2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学黄金30题（浙江版）专题05+小题易丢分（30题）

小题易丢分
一、单选题
1．【2018年新课标I卷理】已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
2．已知为虚数单位，若复数满足，那么（ ）
A. 1 B. C. D. 5
【答案】C
3．【2018年全国卷Ⅲ文】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D.
4．【2018年全国卷II理】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，选D.
5．【2018年全国卷Ⅲ文】设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得。
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的重心
中，有
故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型.
6．【2018年新课标I卷理】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A. B.
C. D. 2
【答案】B
点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.
7．已知展开式中的常数项与展开式中的系数相等，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由展开式中的常数项与展开式中的系数相等，利用二项式的通项公式列方程求解即可.
详解：的通项公式为，
当时，常数项为，通项式为，
当时，的系数为，故选A.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
8．已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：根据等差数列的定义，“数列为等差数列”能推出“数列为等差数列”， “数列为等差数列”不能推出“数列为等差数列”，从而可得结果.
详解：若数列是等差数列，设其公差为，则
，
所以数列是等差数列.
若数列是等差数列，
设其公差为，则，
不能推出数列是等差数列.
所以“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A.
点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
9．已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得数列的首项和公比，然后结合等比数列前n项和公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，，
则：，，数列的公比，
数列的首项，
其前n项和.
本题选择C选项.
10．记数列的前项和为.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题可得 由此可得 又，可得数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1,2，由此可求.
详解：由题数列满足，，又，由此可得数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1,2，则


故选A.
11．函数为定义域上的奇函数，在上是单调函数，函数；数列为等差数列，公差不为0，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
12．已知，满足，的最小值、最大值分别为，，且对上恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先作出不等式组表示的平面区域，利用消元法和二次函数求出的最值，再分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．
详解：作出表示的平面区域（如图所示），
显然的最小值为0，
当点在线段上时，
；
当点在线段上时，
；
即；
当时，不等式恒成立，
若对上恒成立，
则在上恒成立，
又在单调递减，在上单调递增，
即，即．
13．在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由已知式子和正弦定理可得，再由余弦定理可得，然后再由三角形的面积公式可得结果．
详解：∵，
∴，
由正弦定理得，
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
由余弦定理得，
∴，当且仅当时等号成立．
∴．
故面积的最大值为．
故选A．
点睛：三角形的面积常与余弦定理结合在一起考查，解题时要注意常见的变形和整体代换的应用，如；另外，三角形面积的最值问题一般通过基本不等式来解决，解题时注意构造适合应用不等式所需的形式，同时注意等号成立的条件．
14．已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意设PA与PB的夹角为，通过解直角三角形求出PA，PB的长，由向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简，然后换元后利用基本不等式求出最值．
详解：如图，由题意设，则，
∴，
设，则，
当且仅当，即时等号成立，此时．
又当点P在椭圆的右顶点时，，∴，
此时最大，且最大值．
∴的取值范围是
故选C．
15．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据正弦函数的单调递减区间，可以求出的单调递减区间为；利用辅助角公式，先将化成，再利用余弦函数的单调递减区间可以求出的单调递减区间为；两个区间的交集即为两个函数的单调递减区间，根据的范围可确定的最大值。
详解：根据正弦函数的单调递减区间为 ，所以 的单调递减区间为，可解得
，由余弦函数的单调递减区间为，所以，可解得
因为与在 上同为单调递减函数，所以其交集为，所以
所以选B.
16．【2018年新课标I卷理】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
17．【2018年新课标I卷理】已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）
【答案】C
【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
二、填空题
18．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
19．【2018年北京卷文】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
【答案】
【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.
详解：，
，即，
，
则
为钝角，，
故.
点睛：此题考查解三角形的综合应用，余弦定理的公式有三个，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.
20．设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
【答案】
点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
21．设抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限内一点，满足，已知为抛物线准线上任一点，当取得最小值时，的外接圆半径为______.
【答案】
【解析】分析：根据抛物线的定义可知，解得，得，作抛物线的焦点，关于抛物线准线的对称点得，连接交抛物线的准线于点，使得取得最小值，此时点的坐标为，在中，分别应用正、余弦定理，即可求解结果.
详解：由抛物线的方程可知，
设，又由，根据抛物线的定义可知，
解得，代入抛物线的方程，可得，即，
作抛物线的焦点，关于抛物线准线的对称点得，
连接交抛物线的准线于点，此时能使得取得最小值，
此时点的坐标为，
在中，，
由余弦定理得，则，
由正弦定理得，所以，
即三角形外接圆的半径为.
点睛：本题主要考查了抛物线标准方程及其定义的应用，以及正弦定理和余弦定理解三角形问题，其中解答中根据抛物线的定义和直线的对称性，得到点的坐标是解答的关键，着重考查了转化与化归的数
【答案】
30．【2018年天津卷理】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．