2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学备考热点难点突破练（必修5+必修3）专题01+解三角形

专题01 解三角形
1.解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程．三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．
2.解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．
3.正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．
(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．
(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．
4.正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．
【热点难点突破】
例1.【2018课标1，理17】在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】 (1) .(2).
【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；
(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.
详解：（1）在中，由正弦定理得.
由题设知，，所以.
由题设知，，所以.
（2）由题设及（1）知，.
在中，由余弦定理得
.
所以.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.
例2.【2018北京卷，15】 在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【答案】(1) ∠A=
(2) AC边上的高为
（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．
如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，
∴AC边上的高为．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
例3. 【2018天津卷，15】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
例4.【2018课标1，文16】△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
【答案】
【解析】分析：首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定A为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.
详解：根据题意，结合正弦定理
可得，即，
结合余弦定理可得，
所以A为锐角，且，从而求得，
所以△的面积为，故答案是.
点睛：该题考查的是三角形面积的求解问题，在解题的过程中，注意对正余弦定理的熟练应用，以及通过隐含条件确定角为锐角，借助于余弦定理求得，利用面积公式求得结果.
例5.已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．
（Ⅰ）计算渔政船C与渔港O的距离；
（Ⅱ）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？
（参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，shin63.43°≈0.90，tan63.43°≈2.00， ≈3.62， ≈3.61）
【解析】（1）依题意：BO=160海里，
,

海里
在中， ，由全余弦定理得

(2)
可在3小时内赶到出事地点.
例6.下列是有关的几个命题，
①若，则是锐角三角形；②若，则是等腰三角形；③若，则是等腰三角形；④若 ，则是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是
A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
【答案】A
【方法总结】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；[
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
[注意]　在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
提醒：1．在△ABC中有如下结论sin A＞sin B?a＞b.
2．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；
当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；
当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．
【精选精练】
1．【2018全国2卷，理6】在中，，，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
2．【2018全国3卷文】的内角， ， 的对边分别为， ， ．若的面积为，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由面积公式和余弦定理进行计算可得。
详解：由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。
3．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
点睛：本题考查正弦定理、余弦定理等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力.
4．已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意知的面积为，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小值.
详解：由题意知的面积为，且，所以，
即，
所以，当且仅当时取得等号，
所以的最小值为，故选A.
点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
5．的内角的对边分别为,已知 ，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
6．【2018北京卷文】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
【答案】
【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.
详解：，
，即，
，
则
为钝角，，
故.
点睛：此题考查解三角形的综合应用，余弦定理的公式有三个，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.
7．在中，角，，的对边分别为，，且，若的面积，则的最小值为__________．
【答案】48.
【解析】分析：根据正弦定理将边化角为，再根据三角关系，将其化简得，从而可得角，然后通过余弦定理及基本不等式即可求得的最小值.
详解：∵
∴根据正弦定理可得
∵
∴，即.
∵
∴
∵
∴
∵的面积
∴，即.
∵
∴，当且仅当时取等号.
∴，即的最小值为.
故答案为.
点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
8．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为__________．
【答案】
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
9．如图，在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为__________．
【答案】
【解析】分析：采用分割法对三角形进行分割，利用余弦定理求得可判断三角形与的形状，由三角形的面积公式可得结果.
详解：
连接，在中，，
利用余弦定理得：，
解得，
则是直角三角形，
，
过点作，
则，
，
则，
，故答案为.
点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
10．在中，已知
(1)求证:的内角是锐角;
(2)若的最短边的长等于，求的面积.
【答案】(1)见解析（2）
【解析】分析：（1）假设为钝角，得出，，进而求得的值，得到，这与为钝角的假设相矛盾，即可得到的内角是锐角；
（2）由于，求得，，进而得，得到角最小，再由正弦定理，求解，即可求解三角形的面积.
详解：（1）由于，则不是直角.
假设为钝角，由于，则.又由求得，
则，则,则角也是钝角，这与为钝角的假设相矛盾，于是假设不成立. 综上，的内角是锐角
（2）由于，则.由于且为锐角，则.于是，，则

点睛：本题主要考查了解三角形的综合应用问题，其中解答中涉及到三角形的内角和定理，两角和的正切函数和正弦定理等知识的应用，认真分析、合理运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
11．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值.
【答案】（1） ;（2） ．
【解析】分析：（1）根据正弦定理边化角，根据三角恒等变换求出A；
（2）根据面积求出bc=4，利用余弦定理求出a．
详解：（1）由正弦定理得，
∵
∴ ，即．
∵，∴，
∴ ∴．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
12．在中，角的对边分别为，已知.
（1）若，求的值；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】分析：（1）由,结合正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可求得的值；（2）由正弦定理可得，由基本不等式得，利用余弦定理可得到，从而可得，利用三角形面积公式可得结果.
（2）当，，
∴，
∴，
∴
∵，∴，即，当且仅当时等号成立，
∴，
∴面积的最大值为.
点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．