2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学备考热点难点突破练（必修5+必修3）专题02+数列

专题02 数列
1.在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．
2.数列通项公式的求法：(1)定义法．
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
(2)已知Sn求an.
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．
(3)由递推公式求数列通项法．
①已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an.
②已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为＝＋q，利用为等差数列求an.
③已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an.
④已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求an.
3.数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．
一般常见的求和方法有：
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式；
(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．
【热点难点突破】
例1.【2018全国1卷理】设为等差数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为，
根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
例2.【2018全国1卷理】记为数列的前项和，若，则_____________．
【答案】
【解析】分析：首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
例3.【2018天津卷】设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.
【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前n项和.
（II）由（I），有
由可得，
整理得解得（舍），或．所以n的值为4．
点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.
例4.【2018全国3卷文】等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或
（2）
【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m。
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。
例5.设等差数列满足，且， 为其前项和，则数列的最大项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
例6.【2018全国2卷】记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
【方法总结】
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
4.已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
(1)先利用求出；
(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；
(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.
5. [易错提示]　利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：
(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；
(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．
应用错位相减法求和时需注意：
①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；
②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.
【精选精练】
1．等比数列中，，令，且数列的前项和为，下列式子一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由数列为等比数列，可得数列是以1为首项，以为公比的数列，再结合，逐一判断四个选项即可得到答案.
详解：在等差数列中，，可得，即，
所以，所以A是错误的；
而数列是以1为首项，以为公比的数列，
所以，所以B是错误的；
又
，所以，所以C是错误的，
由，且，所以是正确的，故选D.
点睛：本题考查了数列的递推公式的应用，等比数列的通项公式及前项和公式的运用，其中熟记数列的基本概念与基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
2．已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，（n≥2），则a6=（　　）
A. B. 4 C. 16 D. 45
【答案】B
【解析】分析：先根据等差数列定义及其通项公式得，再根据正项数列条件得an，即得a6.
详解：因为，所以
所以公差等差数列， ，
因为，因此，
选B.
点睛：证明或判断为等差数列的方法：
(1)用定义证明：为常数）；
(2)用等差中项证明：；
(3)通项法： 为的一次函数；
(4)前项和法：
3．已知等差数列的公差为，若成等比数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：本题解题的关键是由条件求出，然后再根据等差数列的通项公式求解，主要考查学生的运算能力．
4．若干个连续奇数的和（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：本题中连续奇数项组成一个公差为2的等差数列，但是与项数ｎ之间没有对应，所以通过补项的方法，构造一个数列，使得相邻两项的和为一个公差为8的等差数列，此时项数n与项之间有对应的关系。
详解：方法一：把连续的奇数数列加1减1变成 ，把相邻两项的和看成一个新的数列，为 ，所以变成首项 的等差数列，求和为


方法二：用特殊值检验法，
当时，数列的和为3，可排除C；
当时，数列的和为15，可排除A、B；
所以选D
点睛：本题考查了等差数列的求和，主要是注意等差数列的公差与数列的项之间的对应。另外，数列求通项公式或求和公式的应用，特殊值检验法在选择题中有广泛的应用，要注意解题方法的选择。
5．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏
A. 2 B. 3 C. 26 D. 27
【答案】C
【解析】分析：每次灯的个数成等差数列，设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，利用等差数列求和公式列方程可得
详解：设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，
，
，
，
，
，，
，
，（盏），
所以最下面一层有灯，
（盏），故选C.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.
6．在数列中，，且任意连续三项的和都是15，则____．
【答案】9
【解析】分析：将中，换为，两式相减可得数列的周期为的数列，先求出，的值，再求出，从而可求出得到.
详解：由题意可得，
将换为，
可得，
可得数列为周期为的数列，
，即有，
由任意连续三项的和都是可得
可得， 故答案为.
点睛： 本题主要考查递推公式求数列中的项以及周期数列的性质，属于中档题.利用递推公式求通项时，有两个思路：一是利用递推公式变形构造特殊数列，利用等比等差数列求解；二是求出数列的周期.
7．已知数列的首项为3，等比数列满足，且，则的值为__________．
【答案】3
【解析】分析：由已知，得到
，结合，以及等比数列的性质求得结论.
点睛：由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项.
8．已知数列是等比数列，且，则________________．
【答案】
【解析】分析：根据数列是等比数列，将、分别代入，可以得到数列公比，从而求得通项公式。
详解：将 带入数列的通项公式，可以得到首项为2，将带入数列通项公式可以得第二项为4，所以数列的公比
所以
所以
所以数列的通项公式为
所以
点睛：本题考查了等比数列的定义、通项公式的求法，灵活运用公式进行变形求解，属于中档题。
9．已知数列的首项，且，则数列的前项的和为__________．
【答案】.
【解析】分析：先证明为等比数列，求得，，利用等比数列求和公式可得结果.
详解：由，得，
为等比数列，，
，，故答案为.
点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.
10．已知数列的前项和为，，且满足．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和为．
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列的通项.(2)利用错位相减法求数列
的前项和为.
详解：（1），，
，即；
当时，，当时，
，
不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；
所以.
点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中，不能合在一起.
11．已知正项等比数列满足，前三项和．
（1）求；
（2）若数列满足，的前项和为，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）根据等比数列的性质，可将转化为，再根据数列各项为正数，可得的值，然后根据前三项和，可求得公比，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再根据数列的特性，利用裂项相消法即可求得.
详解：（1）∵
∴
∵
∴
∵，且
∴
∴
（2）∵
∴
∴．
点睛：本题主要考查递推公式求通项的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
12．【2018全国1卷】已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4．
(2) {bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析.
(3) an=n·2n-1．
【解析】分析：(1)根据题中条件所给的数列的递推公式，将其化为an+1=，分别令n=1和n=2，代入上式求得a2=4和a3=12，再利用，从而求得b1=1， b2=2，b3=4．
(2)利用条件可以得到，从而 可以得出bn+1=2bn，这样就可以得到数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)借助等比数列的通项公式求得，从而求得an=n·2n-1．
详解：（1）由条件可得an+1=．
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
从而b1=1，b2=2，b3=4．
点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.