2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学备考热点难点突破练（必修5+必修3）专题03+不等式

专题03 不等式
1.线性规划在实际中的类型主要有：
(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；
(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．
2．解析线性规划应用题的步骤：
(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．
(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．
(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
(4)求：通过解方程组求出最优解．
(5)答：作出答案．
3.基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．
(1)基本不等式通常用来求最值，一般用a＋b≥2(a>0，b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤2解“定和求积，积最大”问题．
(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)＝x＋(k>0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．
4.不等式是高考中的难点所在，其单一考查难度不大，主要跟其他知识进行综合考查，如不等式恒成立问题，含参不等式问题经常出现，在解决这类问题时需要进行分类讨论.
【热点难点突破】
例1.【2018全国3卷文】若变量满足约束条件则的最大值是________．
【答案】3
【解析】分析：作出可行域，平移直线可得
详解：作出可行域
由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3
故答案为3.
例2.小王计划租用两种型号的小车安排30名队友（大多有驾驶证，会开车）出去游玩， 与两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且型车至少要有1辆，则租车所需的最少租金为（ ）
A. 1000元 B. 2000元 C. 3000元 D. 4000元
【答案】D
【解析】设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元，
则
其中x，y满足不等式组，
作出可行域：
当直线经过D点时，z最小，此时D（1,5）
∴租车所需的最少租金为
故选：D
例3.【2018天津卷】已知，且，则的最小值为_____________.
【答案】
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
例4.（1）求函数的值域，并求取最大值时相应的的值.
（2）若,求函数的值域.
【解析】(1)因为利用二次函数的性质可知，
函数的值域为，当x=2时，最大值是4 . （2）， ，
故其值域为.
例5.若不等式x2＋ax＋3－a>0对于满足－2≤x≤2的一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围．
【分析】　因为(x－1)的符号不确定，所以参变量 a 不能分离，只好研究二次函数 y＝x2＋ax＋3－a.
【解析】　设 f(x)＝x2＋ax＋3－a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x≤2的一切实数 x 恒有f(x)>0，只需满足：
(1)Δ＝a2－4(3－a)<0；
(2)或
解(1)(2)得，当－70对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒成立．
例6.若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围．
【分析】　不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断．
【解析】　由x2－x－2>0，得x<－1或x>2.
对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解
x1＝－，x2＝－k.
(1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为
，显然－2?.
(2) 当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为?.
(3)当－<－k，即k<时，
不等式的解集为.
∴不等式组的解集由
或确定．
∵原不等式组整数解只有－2，
∴－2<－k≤3，
故所求k的范围是－3≤k<2.
【方法总结】
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：
因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0, 0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.
2. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：
①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；
②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；
③确定要画不等式所表示的平面区域.
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【精选精练】
1．【2018天津卷】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19
C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的解析式整理计算即可求得最终结果.
详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
本题选择C选项.
点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
2．【2018北京卷】设集合则
A. 对任意实数a，
B. 对任意实数a，（2,1）
C. 当且仅当a<0时,（2,1）
D. 当且仅当 时,（2,1）
【答案】D
3．若实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）
A. -12 B. -4 C. 6 D. 12
【答案】C
【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数表示的直线，结合图像确定最大值的取法.
详解：作可行域，则直线过点A(3,3)时取最大值，为6,
因此选C.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4．已知变量，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求解．
详解：由约束条件作出可行域如图所示：
联立，解得，即；
联立，解得，即.
的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率.
∵，
∴的取值范围是
故选B.
点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如，而本题属于斜率型.
5．若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
点睛：本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
6．【2018全国2卷文】若满足约束条件 则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.
详解：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.
点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.
7．已知函数恒过定点，其中且，均为正数，则的最小值是_____________.
【答案】
【解析】分析：由函数图象过定点得到m+2n=2，根据均值不等式求出代数式的最小值即可．
详解：由题意得：3﹣m﹣2n=1，
故m+2n=2，即（m+1）+2n=3，
故
=（+）[（m+1）+2n]
=（1+++1）
≥+
=，
当且仅当m+1=2n时“=”成立，
故答案为：．
点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
8．某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产，两种饮品.生产1吨饮品，需1小时，获利900元；生产1吨饮品，需1小时，获利1200元.每天饮品的产量不超过饮品产量的2倍，每天生产饮品的时间不低于生产饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为__________元．
【答案】4400
【解析】分析：设每天两种饮品的生产数量分别为，目标函数为，则有，利用线性规划求解即可.
详解：
设每天两种饮品的生产数量分别为，
目标函数为，则有，
可行域为三直线三交点为组成的三角形，
变形为，
平移直线，
当直线经过，
即当时，直线在轴上的截距最大，
最大获利，故答案为.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
9．在中，若，则角__________．
【答案】
【解析】分析：由正弦定理可得，结合余弦定理得，从而得，结合左右两边式子的有界性可得，从而得解.
详解：由正弦定理，由，
可得.
由余弦定理可得，代入上式得：.
所以.
因为.
所以.
解得.
故答案为：.
点睛：解三角形问题，主要是确定选用什么公式：正弦定理、余弦定理、三角形的面积，一般可根据已知条件和要求的问题确定，本题由正弦定理角化边,再由余弦定理，这样才能达到迅速化简的目的.
10．若实数满足，且的最大值为4，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】分析：作出可行域，易知在处得最大值，进而由，可利用基本不等式求最小值.
详解：作出不等式组表示的可行域，如图所示：
易知可行域内的点，均有.
所以要使最大，只需最大，最大即可，即在点A处取得最大值.
，解得.
所以有，即.
.
当且仅当时，有最小值2.
故答案为：2.
点睛：利用基本不等式证明不等式、求最值时应注意基本步骤和应用的条件：
一正、二定、三相等．这类问题一般有一定的技巧性，需要构造出符合要求的基本形式，这是解决这类问题的关键，但也是问题的难点.
11．（1）已知、.求证： ；
（2）解不等式.
【答案】(1)见解析；（2）原不等式的解为或或.
【解析】试题分析：（1）作差证明不等式成立；（2）移项通分得，利用穿根法解不等式。
试题解析：
（1）作差得： ．
∵时，∴，而，∴．
所以， ．
（2）原不等式可化为，
继续化为，其等价于．
∴原不等式的解为或或．
12.解关于的不等式： ， .
【解析】试题分析：解含参的二次不等式要进行讨论，不等式解集的端点是对应方程的根，所以对进行讨论， ， ， ，还要注意到二次函数开口的方向，分， .
（4）当时， 不等式的解是；
综上所述：当时，不等式解集；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集；