课件21张PPT。 苏科版义务教育标准实验教科书 九年级 下册5.1 二次函数【问题情境】下列哪些是函数关系式: 在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,则y是x的函数.其中,x是自变量,y是因变量.【知识回顾】函数定义【知识回顾】下列哪些是函数关系式:上述各函数中哪些是我们所学过的函数关系式？【知识回顾】下列哪些是函数关系式: 生活中,存在着许多变化的量,函数是刻画变量与变量之间关系的一个有效的数学模型.1.水滴激起的波纹不断地向外扩展……所形成的圆的面积S与相应圆的半径r的关系式是： ．【问题情境】2．用16m长的篱笆围成矩形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大? (8-x)【问题情境】这3个关系式有哪些共同特征？【概念探究】以上3个关系式是函数关系式吗？类比一次函数的定义，你能归纳出二次函数的定义吗？二次函数的概念且a≠0为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？ 下列函数中，y是x的二次函数的是： 【概念辨析】注意条件：a≠0【拓展延伸】已知 ，当m为何值
时，y是x的二次函数？ 要给边长为x m的正方形房间铺设地板．已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8m，请写出总费用y（元）与边长x（m）之间的函数关系式，并判断它是什么函数？【例题分析】 要给边长为x m的正方形房间铺设地板．已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8m，请写出总费用y（元）与边长x（m）之间的函数关系式，并判断它是什么函数？
【例题分析】总费用=地板费用+踢脚线费用+其它费用 自变量可取任意实数【思考与交流】r＞0x＞00实际问题中自变量通常有一定的范围
【课堂小结】 y=a x 2 + b x + c
(a≠0) 【课后思考】我们研究了一次函数、反比例函数的定义后，还研究了它们的 .
图像和性质思考下一步将如何来研究二次函数．1、2、3、4 .作业 5.(选做）某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x元，请你写出每天销售利润y与售价x的函数关系式．【课后思考】1．回顾过去研究一次函数、反比例函数的方法，思考下一步将如何来研究二次函数．
2．尝试探索【自我测评5】中的矩形花园怎样围时面积y才会最大？课件22张PPT。5.2二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.2.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)(h>0,向右平移;h<0向左平移.)回味无穷y轴(0,0)y轴(0,k)直线x=h(h,0)当x<0时,?
当x>0时,?当x<0时,?
当x>0时,?当x当x>h时,?温故知新在同一坐标系中作出函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系? 对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物y=3x2,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?X=1 怎样平移抛物线y=2x2可以得到抛物线y=2(x-1)2+1?
交流：思考 (1)怎样平移抛物线y=2x2可以得到抛物线y=2(x-1)2+1?
y=2x2y=2x2+1y=2(x-1)2+1
上 1 右 1y=2x2y=2(x-1)2+1y=2(x-1)2 上 1 右 15y=2(x-1)2+1y=2(x-1)2 y=2x25y=2(x-1)2+1y=2x2 +1y=2x2返回我思考，我进步 在同一坐标系中作出二次函数
y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x2和
y=-3(x-1)2的图象 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小? 对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)二次函数y=-3(x+1)2+2
与y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值= - 2).先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. x=-1 怎样平移抛物线y=ax2可以得到抛物线y=a(x+h)2+k?
思考： 上 k 右 h 上 k 右 hy=a(x-h)2y=ax2y=ax2y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+ky=ax2+k如果K>0,h>0二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 注: y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式称二次函数的顶点式二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,y最小值为k.当x=h时,y最大值为k.当x当x>h时 y随着x的增大而增大. 当x当x>h时, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：例1、说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值。(1)y=2(x+3)2+4(3)y=－(x－1)2－3 (2)y=3x2－2(4)y=－2(x+2)2例题精讲（1）把抛物线 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．
（2）二次函数 的图像开口向 ，对称轴是 ，顶点 ，
当x= 时，函数有最 值为 ，
当x 时，y随的增大而增大。
抛物线与x轴的交点为 ，
与y轴的交点 。小试牛刀例题精讲练习1.一条抛物线的形状与抛物线 相同，其对称轴与 相同，且顶点纵坐标为6，求此抛物线的解析式。
2.把抛物线 向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线 ，求b、c的值．例3.已知二次函数y=(x+m)2+k的图象如图。
①根据图中提供的信息求二次函数的关系式；
②求图象与x轴的交点坐标；③观察图象解答：当x为何值时，y>0?y=0?y<0?二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,y最小值为k.当x=h时,y最大值为k.当x当x>h时 y随着x的增大而增大. 当x当x>h时, y随着x的增大而减小. 2、将抛物线y=－4(x－3)2向上平移1个单位再向右平移2个单位所得抛物线为 。1、将抛物线y=3x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位所得抛物线为 。y=－2(x+2)2－3如何平移得到y=－2x2呢？试一试课件22张PPT。用待定系数法确定二次函数表达式 初中数学九年级 下册
(苏科版)
第五章 第三节y＝－x＋2 2.若反比例函数的图像经过点(－2，3)，则反比例
函数的表达式为________． 1.若一次函数的图像经过点(2，0)，(0，2)，则一次函数的表达式为___________．用待定系数法确定二次函数表达式 小结：要确定一个待定系数，需要列一个方程求解小结:要确定两个待定系数，需要列两个方程求解例2、已知二次函数y=ax2＋c的图像经过点(－1,3)和(2,0),求此函数表达式。例2、已知二次函数y=ax2＋c的图像经过点(－1,3)和(2,0),求此函数表达式。例1、已知二次函数y=ax2的图像经过点(－1,3),求此函数表达式。例1、已知二次函数y=ax2的图像经过点(－1,3),求此函数表达式。例2、已知二次函数y=ax2＋c 的图像经过点(－1，3)和(2, 0),求此函数表达式．变式1：已知二次函数y=ax2＋bx 的图像经过点(－1，3)和(2, 0),求此函数表达式．例2、已知二次函数y=ax2＋c 的图像经过点(－1，3)和(2, 0),求此函数表达式． 变式2：已知二次函数图像如图所示，求此二次函数表达式．设二次函数表达式为y=ax2＋c,（a≠0）y=ax2+c例2、已知二次函数y=ax2＋c的图像经过点(－1,3)和(2,0),求此函数表达式．如何用“待定系数法”确定二次函数的表达式？一般步骤：①依题意设二次函数的表达式；②把已知条件代入表达式得到方程?(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值；④将待定系数的值代回所设的表达式． 注：通常，要确定函数表达式中几个待定系数，相应地需要几个条件，根据这些条件列出方程(组)求解． 变式3：已知二次函数图像的顶点是(－1,3)且经过点(2,0)，求此二次函数表达式． 如果把(－1,3)看成是二次函数图像的顶点，那么刚才的题目可改编为：y=a(x－h)2 ＋k你还有其它解法吗？ 你能说出该函数的增减性吗？ 变式2：已知二次函数图像的顶点是(－1,3)且经过点(2,0)，求此二次函数表达式． 你能将变式2继续改编吗? 变式4：已知二次函数图像：当x＜－1时y随x的增大而增大，x＞－1时，y随x的增大而减小，函数最大值为3，且图像与x轴的交点的横坐标是2 ，求此二次函数表达式． 变式2：已知二次函数图像的顶点是(－1,3)且经过点(2,0)，求此二次函数表达式． 变式5：已知二次函数图像的对称轴是x=－1，函数最大值为3，且经过点(2,0)，求此二次函数表达式．y=a(x－h)2 ＋k 变式6：已知二次函数图像如图所示，求此二次函数表达式． 由题意，得： 解： 设二次函数表达式为y=ax2＋bx ，（a≠0）a－b=34a＋2b=0∴ y=x2－2x 解： 设二次函数表达式为y=ax2＋bx＋c，（a≠0） c=0练一练：已知二次函数的图像经过点(－ 3，6)、(－2, －1)和(0,－3),求此函数表达式．解：设二次函数表达式为y=ax2＋bx＋c，（a≠0）∴y=2x2＋3x－3由题意，得：注：要确定三个待定系数，需要列三个方程求解.课堂感悟本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？重点内容回眸已知二次函数图像如图所示，求此函数表达式．由题意，得：解：设二次函数表达式为y=ax2,（a≠0）
注：要确定一个待定系数，需要列一个方程求解．y=ax2 已知二次函数图像如图所示，求此二次函数表达式．由题意，得：解：设二次函数表达式为y=ax2＋c,（a≠0） 注：要确定两个待定系数，需要列两个方程求解．y=ax2+c 已知二次函数图像的顶点是(－1,3)且经过点(2,0)，求此二次函数表达式．由题意，得：解：设二次函数表达式为 y=a(x＋1)2＋3，（a≠0）y=a(x－h)2＋k 已知二次函数的图像：当x＜－1时y随x的增大而增大，x＞－1时，y随x的增大而减小，且函数最大值为3，且图像与x轴的交点的横坐标是2 ，求此二次函数表达式． 已知二次函数图像如图所示，求此二次函数表达式． 由题意，得： 解： 设二次函数表达式为y=ax2＋bx,（a≠0） c=0已知二次函数的图像经过点(－ 3，6)、(－2, －1)和(0,－3),求此函数表达式．注：要确定三个待定系数，需要列三个方程求解.解：设二次函数表达式为y=ax2＋bx＋c，（a≠0）∴ y=2x2＋3x－3由题意，得：用“待定系数法”确定二次函数的表达式的一般步骤：①依题意设二次函数的表达式；②把已知条件代入表达式得到方程?(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值；④将待定系数的值代回所设的表达式. 注：通常，要确定函数表达式中几个待定系数，相应地需要几个条件，根据这些条件列出方程(组)求解．课件19张PPT。5.4 二次函数与一元二次方程(1)九年级(下册)初中数学（1）解一元一次方程x＋1＝0；
（2）画一次函数y ＝x ＋1的图像，并指出函数y ＝ x ＋1的图像与x轴有几个交点；
（3）一元一次方程x ＋1＝ 0与一次函数y ＝x ＋1有什么联系？ 5.4 二次函数与一元二次方程(1)y＝x2－2x－3
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为
（－1，0） （3，0）方程x2－2x－3 ＝0的两根是
x1＝ －1 , x2 ＝ 3 你发现了什么？
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c
与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根;
（2）二次函数与x轴的交点问题可以
转化为一元二次方程去解决.探究一：图象与x轴的交点的坐标是什么？例1. 求二次函数y＝x2＋4x－5的图象与x轴的交点坐标.
解：令y＝0
则x2＋4x－5 ＝0
解之得，x1＝ －5 ,x2 ＝ 1
∴二次函数y＝x2＋4x－5的图象与x轴的
交点坐标为：（－5，0）（1，0）
结论一：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，
则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是
A（ ）， B（ ）X1，0X2，0探究2、抛物线与x轴的公共点个数能不能
用一元二次方程的知识来说明呢？Oxy与x轴的公共点个数一元二次方程根的个数2个2个不等根b2-4ac＞01个2个等根0个0个b2-4ac＜0b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根结论2： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根 ※b2-4ac＞0 ※b2-4ac =0 ※b2-4ac ＜0 例2.判断下列二次函数图象与x轴的交点情况
y＝x2－1；
解：∵ b2－4ac＝02 －4×1×(－1) = 4 ＞0
∴函数与x轴有两个交点
练习1不画图象判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由．
(1) y=x2-x (2) y=-x2+6x-9
(3) y=3x2+6x+11
例1．已知抛物线
（1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？
（2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求出这个公共点的坐标．
（3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?例题分析：根据对应方程的根的情况，可以确定二次函数的图象与x轴的交点个数。例2．已知：抛物线
求证：此抛物线与x轴必有两个不同交点．例题分析：即证明对应方程中的b2-4ac＞0例3.(1)已知二次函数y=x2-4x+k+2的图象
与x轴有公共点，求k的取值范围.(2)已知二次函数y=kx2－7x－7的图象
与x轴有两个交点,则k的取值范围为 .练习2、已知抛物线y=x2-6x+a,
(1)顶点在x轴上，则a= ；
(2)若抛物线与坐标轴有两个公共点则a= ；99或0 1．已知抛物线 ．
（1）求它与x轴交点A、B的坐标，与y轴交点C的坐标．
（2）求△ABC的面积．已知二次函数
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点．
（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1，0），求B 点的坐标．已知抛物线 与坐标轴只有两个交点，求k的值． 联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助
判别式解决，那么二次函数与一次
函数的交点个数又该怎么解决呢？
例如: 二次函数y＝x2－2x－3和一次函数
y＝x＋2有交点吗？有几个？
分析: 两个函数的交点是这两个函数的公共解，
先列出方程组，消去y后，再利用判别式
判断即可.拓展： 二次函数y＝x2－x－3和一次函数
y＝x＋b有一个公共点（即相切），
求b的值.
解：由题意，得
消元，得 x2－x－3 ＝x＋b
整理，得x2－2x －（3 ＋ b） ＝0
∵有唯一交点
∴（－2）2 ＋4（ 3 ＋ b） ＝0
解之得，b ＝－4y＝x2－x－3y＝x＋b1. 若2，4是方程 的两个根，
则对应抛物线y＝ 的对称轴
是_________.
拓展与延伸：交流总结同学们，
通过这节课的学习，你收获了什么？课件19张PPT。5.5 用二次函数解决问题2教学目标：1.根据具体问题列出二次函数的表达式，并根据
二次函数表达式探求实际问题中的最值问题；2.结合具体情境体会二次函数的意义，深刻理解
二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型，
了解建模思想在实际问题中广泛应用。
1.二次函数的最大值是 一．学生自学活动1 知识准备2.当时，二次函数的最大值是，最小值是已知：小明用长为16米的绳子去围一个矩形，
问：怎样围才能使其面积最大，
最大面积为多少？活动2
体验用二次函数解决几何图形最值问题例１.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长为15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用
总长为40m的栅栏围成，
如图所示，设花园的
边BC的长为xm,
花园的面积为y .二．例题解析 求y与
(2)当x取何值时，花园面积最大，
最大面积为多少？ 并写出自变量的取值范围；之间的函数表达式，练习２.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤
（岸堤足够长）为一边，用总长为８０ｍ的围网在水库
中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，
而且这三块矩形区域的面积相等。
设ＢＣ的长度为矩形区域ＡＢＣＤ的面积为ｙ ．ｍ，(2)ｘ为何值时，ｙ有最大值？
最大值是多少？(1)求ｙ与ｘ之间函数关系式，
并注明自变量ｘ的取值范围；练习：如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６ｃｍ，
ＢＣ＝１２ｃｍ，点P从点Ａ开始沿ＡＢ边向终点Ｂ以
１ｃｍ／ｓ的速度移动，点Ｑ从点Ｂ开始沿边ＢＣ向
终点Ｃ以２ｃｍ／ｓ的速度移动，
Ｐ、Ｑ分别从Ａ、Ｂ同时出发，表示面积，表示移动时间为何值时，
(2)写出与
(3)在移动的过程若存在，请求出相应的ｘ值，
并指出最大值、最小值；
若不存在，请说明理由。？(1)当 之间的函数关系式；是否存在最大值和最小值？例２. 如图，在Rt△ABC中，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，
点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿AB运动。当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动。,AB=3cm,BC=4cm,(1)试写出△PBQ的面积S时间ｔ（ｓ）之间的
函数表达式；与动点运动(2)运动时间ｔ为何值时，△ＰＢＱ的面积最大？最大面积是多少？
例3 阅读材料
如图①，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直
的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫做△ABC的
“水平宽”,中间的这条直线在△ABC内部线段
的长度叫△ABC的
“铅垂高”。三．拓展提高 我们可以得出一种计算三角形面积的
新方法：即三角形面积等于
水平宽与铅垂高乘积的一半。
解决下列问题：，(1)如图，已知抛物线经过点A(-4，0),B(0，-4),
C(2，0)三点。
求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，
其横坐标为m, △AMB的面积为S，
求S关于m的函数关系式，
并求出S的最大值。四.课堂小结
本节课你有什么收获？练习1、把一根长为100cm的铁丝分成两部分，
分别围成两个正方形，则这两个正方形的
面积和最小是多少？检测反馈 ：检测反馈 ： 练习2.
师大附校为七年级新生设计的单人课桌的抽屉部分
是长方体形状，其中，抽屉底面周长为180cm，
高为20cm,请通过计算说明，当底面的宽 为何值时，抽屉的体积y 最大值为多少？（材质及其厚度等忽略不计）最大？
