课件28张PPT。第1章——集合与函数1.1 集 合
1.1.1 集合的含义和表示
第1课时 集合的概念[学习目标]
1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.
2.体会元素与集合间的“从属关系”.
3.记住常用数集的表示符号并会应用.
4.会判断集合是有限集还是无限集.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合， ，有理数的集合.
2.在初中几何里学习圆时，说圆是到 的点的集合.几何图形都可以看成 .
3.解不等式2x－1＞3得 ，即 称为这个不等式的解集.
4.一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是 .负数的集合定点的距离等于定长点的集合x＞2所有大于2的实数集在一起x＝1，x＝2[预习导引]
1.集合的概念
在数学语言中，把一些 放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个 ，给这些对象的总的名称，就是这个 的名字.这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个 .我们约定，同一集合中的元素是互不相同的.对象集合集合元素2.元素与集合的关系aS3.常用数集及符号表示NN＋ZQ4.集合的分类有限集无限集空集：没有元素的集合，记作?.要点一 集合的基本概念
例1 下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
解 “高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.
(2)不超过20的非负数；
解 任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
解 “一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；解 “ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“ 的近似值的全体”不能构成集合.规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________.
(1)所有正三角形；
(2)第一册课本上的所有难题；
(3)比较接近1的正整数全体；
(4)某校高一年级的16岁以下的学生.解析 答案 (1)(4)要点二 元素与集合的关系
例2 所给下列关系正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4∴①②正确.N＋表示正整数集，
∴③和④不正确.B规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a?A”这两种情况中必有一种且只有一种成立.
2.符号“∈”和“?”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.
3.“∈”和“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合.跟踪演练2 设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是( )
A.0∈M,2∈M B.0?M,2∈M
C.0∈M,2?M D.0?M,2?M
解析 本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是不是不等式3－2x＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0?M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M.B要点三 集合中元素的特性及应用
例3 已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值.
解 ∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.规律方法 1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.
2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.跟踪演练3 已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________.
解析 ∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.
当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.
当a2－1＝0时，a＝±1.a＝－1(舍)，∴a＝1.
此时，A＝{2,0}，符合题意.11.下列能构成集合的是( )
A.中央电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.上海市所有的中学生
D.香港的高楼
解析 A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合.1234C52.集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是( )
A.0∈A B.a?A C.a∈A D.a＝A
解析 由题意知A中只有一个元素a，
∴a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，
也不能确定a是否等于0，故选C.1234C53.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A(填∈或?).
解析 深圳不是省会城市，
而广州是广东省的省会.1234?∈51234解析 ①②③是正确的；
④⑤是错误的.35123455.已知1∈{a2，a}，则a＝________.
解析 当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，
由元素的互异性知a＝－1.－1课堂小结
1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定，则不能构成集合.
2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a?A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.
3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.课件31张PPT。第1章——集合与函数1.1 集 合
1.1.1 集合的含义和表示
第2课时 表示集合的方法[学习目标]
1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
3.能记住各类区间的含义及其符号，会用区间表示集合.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了 和______
______外，不能被其他自然数(不包括0)整除的数.
2.函数y＝x2－2x－1的图象与x轴有 个交点，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有 个交点，函数y＝x2－x＋1的图象与x轴 交点.1此整数自身21没有[预习导引]
1.列举法
(1)把集合中的元素 表示集合的方法，叫作列举法.
(2)用列举法表示集合，通用的格式是在一个 里写出每个元素的名字，相邻的名字用 分隔.一个一个地写出来大括号逗号2.描述法
(1)把集合中元素 ，也只有 属性描述出来，以确定这个集合，叫作描述法.
(2)用描述法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出集合中元素的 ；也可以在大括号里先写出其中元素的 ，再写出特写的符号(竖线)，然后在符号后面列出这些元素 .共有的该集合中元素才有的共有属性一般属性或形式要满足的其他条件3.区间
设a，b是两个实数，且a＜b，区间的含义及表示如下表要点一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
解 设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么
A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
解 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.
解 设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.规律方法 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复.跟踪演练1 用列举法表示下列集合：
(1)我国现有的所有直辖市；
解 {北京，上海，天津，重庆}；
(2)绝对值小于3的整数集合；
解 {－2，－1,0,1,2}；要点二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
解 偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，
但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，
所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}.(2)被3除余2的正整数的集合；
解 设被3除余2的数为x，
则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，
故x＝3n＋2，n∈N，
所以被3除余2的正整数集合可表示为
{x|x＝3n＋2，n∈N}.(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解 坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.规律方法 用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一.跟踪演练2 用描述法表示下列集合：
(1)所有被5整除的数；
解 {x|x＝5n，n∈Z}；
(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；
解 {x|6x2－5x＋1＝0}；
(3)集合{－2，－1,0,1,2}.
解 {x∈Z||x|≤2}.要点三 列举法与描述法的综合运用
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解 (1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}.
(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，
∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}.
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}.规律方法 1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解.(2)因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏.
2.解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点.跟踪演练3 把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合.
解 由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个实根.解得k＜1，且k≠0.
∴k取值范围的集合为{k|k＜1，且k≠0}.1.集合{x∈N＋|x－3＜2}用列举法可表示为( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1, 2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
解析 {x∈N＋|x－3＜2}＝{x∈N＋|x＜5}＝{1,2,3,4}.12345B12345B3.用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________.12345123454.已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________.
解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.{1}123455.(1)全体非负实数组成的集合用区间表示为________.
(2)既是不等式x＋2≥0的解又是不等式3－x≥0的解组成的集合用区间表示为________.
(3)若有区间(m－1,2m＋3)，则m的取值范围是____________.[0，＋∞)[－2,3](－4，＋∞)课堂小结
1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.课件31张PPT。第1章——集合与函数1.1 集 合
1.1.2 集合的包含关系[学习目标]
1.明确子集，真子集，两集合相等的概念.
2.会用符号表示两个集合之间的关系.
3.能根据两集合之间的关系求解参数的范围.
4.知道全集，补集的概念，会求集合的补集.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是 .
2.若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？ x≥1时呢？
答案 a＝b3.方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？答案 不一定.[预习导引]
1.集合之间的关系子集B?A真子集B?A相等A＝B?IA补集2.常用结论
(1)任意一个集合A都是它本身的 ，即 .
(2)空集是 的子集，即对任意集合A，都有 .子集A?A任意一个集合??A要点一 有限集合的子集确定问题
例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集.
解 由0个元素构成的子集：?；
由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；
由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；
由3个元素构成的子集：{1,2,3}.由此得集合A的所有子集为?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.
在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集.规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.跟踪演练1 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.
解 当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.要点二 集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
解 集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
解 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
解 集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A?B.(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}.
解 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，
故N?M.规律方法 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示.跟踪演练2 集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合A和B的关系.∴－3∈B,2∈B，∴A?B
又0∈B，但0?A，∴A?B.要点三 简单的补集运算
例3 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?U A等于( )
A.{1,2} B.{3,4,5}
C.{1,2,3,4,5} D.?
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴?UA＝{3,4,5}.
(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?U A＝________.
解析 由补集的定义，结合数轴可得?U A＝{x|x＜1}.B{x|x＜1}规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.
2.解题时要注意使用补集的几个性质：?UU＝?，?U?＝U，A∪(?UA)＝U.跟踪演练3 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则?U A＝_______________________.
解析 借助数轴得?UA＝{x|x＝－3，或x＞4}.{x|x＝－3，或x＞4}要点四 由集合间的关系求参数范围问题
例4 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.
求实数m的取值范围.
解 ∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.解得－1≤m＜2，综上得实数m的取值范围为{m|m≥－1}.规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.
2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.跟踪演练4 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A?B，求a的取值范围；
解 若A?B，由图可知a＞2.(2)若B?A，求a的取值范围.
解 若B?A，由图可知1≤a≤2.1.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为( )
A.4 B.7 C.8 D.16
解析 可知A＝{0,1,2}，其真子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}.共有7(个).12345B2.设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是( )
A.{0}?M B.{0}∈M
C.?∈M D.0?M
解析 选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；
选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.12345A3.设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则?RA等于( )
A.{0,1,2,3,4,5,6} B.{x|x＜0，或x＞6}
C.{x|0＜x＜6} D.{x|x≤0，或x≥6}
解析 A＝{x|0≤x≤6}，
结合数轴可得，?RA＝{x|x＜0，或x＞6}.12345B123454.已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________.
解析 ∵A＝B，∴1－m＝2，∴m＝－1.－1123455.已知??{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________.
解析 ∵??{x|x2－x＋a＝0}.
∴{x|x2－x＋a＝0}≠?.
即x2－x＋a＝0有实根.课堂小结
1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
2.集合子集的个数
求解集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.课件37张PPT。第1章——集合与函数1.1 集 合
1.1.3 集合的交与并[学习目标]
1.能说出两个集合的交集与并集的含义.
2.会求两个集合的交集、并集.
3.能记住充分条件、必要条件、充要条件的定义.
4.会判断充分条件、必要条件、充要条件.
5.知道什么是维恩(Venn)图.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
下列说法中，不正确的有________：
①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,3,4,5}；
②通知班长或团支书到政教处开会时，班长和团支书可以同时参加；
③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为{3}.①②[预习导引]
1.维恩(Venn)图
用来表示集合关系和运算的图，叫 .维恩(Venn)图既属于A又属于B2.并集与交集的概念3.交集与并集的运算性质＝＝AA?A4.集合与推理
一般来说，甲?乙，称甲是乙的 ，也称乙是甲的必要条件.如果既有甲?乙，又有乙?甲，就说甲是乙的充分必要条件，简称_________.充分条件充要条件要点一 集合并集的简单运算
例1 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )
A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8}
C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}
解析 由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}.A(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )
A.{x|－1≤x＜3} B.{x|－1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥－1}
解析 在数轴上表示两个集合，如图.C规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点值不在集合中时，应用“空心点”表示.跟踪演练1 (1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)
(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )
A.{－1,2,3} B.{－1，－2,3}
C.{1，－2,3} D.{1，－2，－3}
解析 A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2,3}.C(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝____________________.
解析 将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来.∴M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}.{x|x＜－5，或x＞－3}要点二 集合交集的简单运算
例2 (1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于( )
A.{2} B.{4}
C.{0,2,4,6,8,16} D.{2,4}
解析 观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}.D(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
解析 在数轴上表示出集合A与B，如下图.则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}.A规律方法 1.求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似.
2.当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合.跟踪演练2 已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥ }，求A∩B.把集合A与B表示在数轴上，如图.∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0，或x≥ }要点三 已知集合交集、并集求参数
例3 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围.
解 由A∩B＝?，
(1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠?，如下图：规律方法 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.
2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到.最好是把端点值代入题目验证.跟踪演练3 设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求实数a的取值范围.
解 如下图所示，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.
故a的取值范围是{a|1＜a≤3}要点四 集合与推理
例4 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”中选出一种).
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
解 p?q，但q?p，
所以p是q的充分而不必要条件；(2)p：x＞1，q：x2＞1；
解 方法一 p?q，但q?p，所以p是q的充分而不必要条件；
方法二 p对应的集合A＝{x|x＞1}，
q对应的集合B＝{x|x2＞1}＝{x|x＞1，或x＜－1}，由于A?B，所以p是q的充分而不必要条件.
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
解 p?q，但q?p，所以p是q的必要而不充分条件.(4)p：x2＋2x＋1＝0，q：x＝－1.
解 方法一 p?q且q?p，所以p是q的充要条件.
方法二 p对应的集合A＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，
q对应的集合B＝{－1}，而A＝B，所以p是q的充要条件.规律方法 1.判断p是q的什么条件，实质是判断两个推出是否成立.若p?q但q?p，则p是q的充分而不必要条件；若p?q，但q?p，则p是q的必要而不充分条件；若p?q且q?p，则p是q的充要条件.
2.我们还可以从集合的观点去认识充分必要条件.若命题p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可借助集合知识来判断：(p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)})(1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分而不必要条件，如图①.(2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要而不充分条件，如图②.(3)若A＝B，则p，q互为充要条件，如图③.跟踪演练4 用“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”填空：
(1)“a＋b＜0且ab＞0”是“a＜0且b＜0”的 ；
(2)“a＝2”是“a2－2a＝0”的 ；
(3)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个内角相等”的 .充要条件充分而不必要条件充要条件1.若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B 等于( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{1,2} D.{0}
解析 集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素.故选A.12345A2.设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2} B.{3}
C.{－3,2} D.{－2,3}
解析 注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知
B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}.12345A3.集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于( )
A.{1,2} B.{0,1,2}
C.{x|0≤x＜3} D.{x|0≤x≤3}
解析 由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，
故P∩M＝{0,1,2}.12345B12345A.A∩B＝? B.A∪B＝R
C.B?A D.A?BB123455.设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则实数k的取值范围为 .{k|k≤6}课堂小结
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分.特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.课件39张PPT。第1章——集合与函数1.2 函数的概念和性质
1.2.1 对应、映射和函数[学习目标]
1.能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象.
2.会判断给出的对应是否是映射.
3.能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域.
4.能说出函数的三要素.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[预习导引]
1.映射
(1)在数学里，把集合到集合的 说成是映射.
(2)映射的定义：设A，B是两个非空的集合.如果按照某种对应法则f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.
(3)在映射f：A→B中，集合A叫作映射的 ，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的 ，记作y＝f(x)，x叫作y的 .确定性的对应任何一个唯一定义域象原象2.函数
(1)函数就是 的映射.
(2)函数的定义：设A，B是两个非空的 .如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有____
________和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B，或者y＝f(x)(x∈A，y∈B).数集到数集数集唯一的数y(3)在函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)中，A叫作函数的 ，与x∈A对应的数y叫x的 ，记作y＝f(x)，由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的 .
(4)函数的三要素：① ；② ；③ .定义域象值域对应法则定义域值域要点一 映射定义的理解
例1 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射.哪些不是，为什么？解 任一个x都有两个y与之对应，∴不是映射.解 对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，∴是映射.
(3)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，f：a→b＝(a－1)2.
解 在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射.规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是不是“对于A中的每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”.
一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射.
说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可.跟踪演练1 下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？解 当x＝－1时，y的值不存在，
∴不是映射，更不是函数.解 是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素.(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；
解 ∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数.
(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆.
解 是映射，但不是函数，∵A，B不是非空的数集.要点二 映射的象与原象
例2 已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x2＋2x.
(1)求A中元素－1和3的象；
解 令x＝－1得y＝(－1)2＋2×(－1)＝－1，
令x＝3得y＝32＋2×3＝15，
所以－1的象是－1,3的象是15.(2)求B中元素0和3的原象；
解 令x2＋2x＝0，解得x＝0或－2，
所以0的原象是0或－2.
令x2＋2x＝3.解得x＝1或－3，
所以3的原象是1或－3.(3)B中的哪一些元素没有原象？
解 由于y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，
所以只有当y≥－1时，它在A中才有原象，
而当y＜－1时，它在A中就没有原象，
即集合B中小于－1的元素没有原象.规律方法 1.解答此类问题的关键：
(1)分清原象和象；
(2)搞清楚由原象到象的对应法则.
2.对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解.跟踪演练2 (1)映射f：A→B，A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a∈A，在集合B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的最少个数是( )
A.7 B.6 C.5 D.4
解析 由映射定义知，B中至少有元素1,2,3,4，
即B中至少有4个元素，选D.D(2)设A＝{x|x是锐角}，B＝(0,1)，从A到B的映射是“求正弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________，与B中元素 相对应的A中的元素是________.
解析 60°角的正弦等于 ，45°角的正弦等于 ，
所以60°的象是 ， 的原象是45°.45°要点三 映射的个数问题
例3 已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？
解 分两类考虑：
(1)集合A中的两个元素都对应B中相同元素的映射有3个.(2)集合A中的两个元素对应B中不同元素的映射有6个.∴A到B的映射共有9个.规律方法 1.若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有mn个，从B到A的映射有nm个.
2.对于给出A到B的映射需要满足某些特殊要求时，求映射的个数的问题，其关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图示法、数形结合法等).跟踪演练3 (1)在例3中，从集合B到集合A可以建立多少个不同的映射？
解 可以建立以下8个不同的映射：(2)已知集合A＝{a，b}，B＝{2,0，－2}，f是从A到B的映射，且f(a)＋f(b)＝0，求这样的映射f的个数.
解 符合要求的映射f有以下3个：要点四 函数的概念
例4 下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A.x2＋y2＝1，x∈A，y∈B
B.A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,1}，对应法则如图所示选项B中，对于任意x∈A，都有唯一y∈B；
选项C中，x＝1时，通过法则f，y值不存在；答案 B意值，y不唯一；规律方法 判断由一个式子是否确定y是x的函数的一般程序：
(1)将原式等价转化为用x表示的形式；
(2)看x的取值集合是否为?，若是?，则不是函数，若不是?，再看x与y的对应法则；(3)判断对于原式有意义的每一个x值，是否都有唯一的y值与之对应.若是，则确定y是x的函数，若不是，则不能确定y是x的函数.
另外还要注意若题目是图象的形式，就要观察图象中是否有一个自变量对应多个函数值的形式，若有这种情况则构不成函数.跟踪演练4 下列各图中，可表示函数y＝f(x)图象的只可能是( )解析 由函数定义知，对于x的每一个值应有唯一的y的值与之对应，只有D项正确.D1.给出下列四个对应法则，是映射的是( )12345A.③④ B.①②
C.②③ D.①④解析 ①中c没有与之对应的元素，不是映射；
④中a有两个与之对应的元素，不是映射，所以选C.
答案 C123452.对于集合A到集合B的映射，下列理解不正确的是( )
A.A中的元素在B中一定有象
B.B中的元素在A中可能没有原象
C.集合A中的元素与B中的元素一一对应
D.设A＝B＝R，那么y＝x2是A到B的一个映射
解析 在A到B的映射中，A中的元素与B中的元素不一定是一一对应，可以多对一，选C.12345C1234512345答案 C1234512345D选项中y＝± ，x的每一个值都有2个y值与之对应，不是函数，C项中由于x－2≥0且1－x≥0，所以x的值不存在，也不能确定函数，只有A项正确.
答案 A123455.设集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则从A到B的映射共有___个.
解析 可以构成4个映射，它们是4课堂小结
1.映射的定义
(1)从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；确定一个映射需要三个条件：两个非空集合A和B，建立一个对应法则f：A→B，且满足映射的对应关系.
(2)对应关系有三种：一是“多对一”，二是“一对一”，再是“一对多”.根据映射的定义可以得知，只有“多对一”和“一对一”才能构成两个非空集合之间的映射，而“一对多”不可以.(3)映射的定义涉及两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其他的集合.
2.函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应法则f的作用下即可得到唯一确定的值y”.在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应法则，甚至认为函数就是函数值.3.正确理解函数的三要素，其中对应法则是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义.课件30张PPT。第1章——集合与函数1.2 函数的概念和性质
1.2.2 表示函数的方法[学习目标]
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.在平面上， 个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为______________.
3.函数y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与x轴的交点坐标为 ， .两(－1,0)(3,0)[预习导引]
1.表示函数的方法
(1)把一个函数的 和 交待清楚的办法，就是表示函数的方法；
(2)表示函数的三种主要方法分别是： 、 和__________.对应法则定义域解析法图象法列表法2.解析法
(1)解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作________，也叫作____________或______________.
(2)解析法就是用解析式来表示函数的方法.
3.图象法
函数图象的作图过程通常有 、 、 三个步骤.解析式解析表达式函数关系式列表描点连线要点一 待定系数法求函数解析式
例1 (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；(2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3).
解 设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(1)＝1，f(－1)＝－3，∴f(3)＝2×3－1＝5.规律方法 待定系数法求函数解析式的步骤如下：
(1)设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为f(x)＝ (k≠0)，二次函数解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组.
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值.
(4)将所求待定系数的值代回原式.跟踪演练1 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式.
解 设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得要点二 换元法(或配凑法)求函数解析式
例2 求下列函数的解析式：＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，(x≠1)∴f(x)＝x2－x＋1.∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1).则x＝(t－1)2，∴f(x)＝x2－1(x≥1).规律方法 1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法.所谓换元法，即将“ ＋1”换成另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，再代入原式中求出关于“t”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况.
2.配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x＋2 ”变成含有“ ＋1”的表达式.这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求.跟踪演练2 已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝________.
解析 方法一 (换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，
可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
即f(x)＝x2－4x＋3.方法二 (配凑法)因为x2－2x
＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3
＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
即f(x)＝x2－4x＋3.
答案 x2－4x＋3 要点三 作函数的图象
例3 作出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x∈Z)；
解 这个函数的图象由一些点组成，
这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).
解 因为0≤x＜3，所以这个函数的
图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间
的一部分，如图(2)所示.规律方法 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还是空心点.跟踪演练3 画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
解 y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1).
解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线.
图象如图(2).1.已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )12345A.1 B.2
C.3 D.不存在
解析 由表可知f(3)＝3.C2.y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为
( )12345C123453.若f(x＋2)＝2x＋3，f(3)的值是( )
A.9 B.7 C.5 D.3
解析 令x＋2＝3，则x＝1，
∴f(3)＝2×1＋3＝5.C123454.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A.f(x)＝x2－1 B.f(x)＝－(x－1)2＋1
C.f(x)＝(x－1)2＋1 D.f(x)＝(x－1)2－1
解析 由二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，可排除A、B；又图象过点(0,0)，可排除C；D项符合题意.D123455.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中
点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，
(3,1)，那么f 的值等于________.
解析 由函数f(x)图象，知f(1)＝2，f(3)＝1，2课堂小结
1.函数三种表示法的优缺点2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线.
3.求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.课件34张PPT。第1章——集合与函数1.2 函数的概念和性质
1.2.3 从图象看函数的性质[学习目标]
1.能从函数的图象上看出函数的性质，如最值，有界性，单调性，奇偶性等.
2.掌握正比例函数，一次函数，反比例函数的性质.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是 ，它经过 .
2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k＞0时，随着x的增大，y .一条直线原点增大[预习导引]
1.奇函数和偶函数
(1)奇函数：如果函数的图象关于原点中心对称.也就是说，绕原点旋转180°后和自己重合.这样的函数被说成是 .
(2)偶函数：如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，这个函数被说成是 .奇函数偶函数2.单调函数
(1)单调递增函数：函数值y随自变量x的增大而增大，这样的函数叫作 ；
(2)单调递减函数：函数值y随自变量x的增大而减小，这样的函数叫作 ；
(3)单调递增、单调递减简称为 或 ，递增函数和递减函数统称为 函数.单调递增函数单调递减函数递增递减单调3.函数的最值与上、下界
(1)股票指数走势图中，一般会标明最高和最低指数，以及达到最高和最低指数的时间.前者分别叫作函数的 和最小值，后者分别叫作函数的最大值点和 .最大值和最小值统称为 .
(2)图象向上方和下方无限伸展，这样的函数叫作_________
__________的函数.最大值最小值点最值无上界也无下界要点一 奇函数与偶函数问题
例1 下面给出了一些函数的图象，根据图象说明哪些是奇函数？哪些是偶函数？解 从图象可以发现，(1)(4)两个函数图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数；
(2)(3)两个函数图象关于原点成中心对称，对应的函数是奇函数.规律方法 判断函数的奇偶性主要根据图象的对称性来鉴别.偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点成中心对称.跟踪演练1 (1)如图是根据y＝f(x)绘出来的，则表示偶函数的图象是图中的________.(把正确命题的序号都填上)解析 只有③中的图象是关于y轴对称的，
故表示偶函数的只有③.
答案 ③A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数解析 画出函数f(x)＝ (x∈(－2,0))的图象(如图)，
可知图象既不关于原点对称，
也不关于y轴对称，
故该函数既不是奇函数也不是偶函数.
答案 D要点二 函数的单调性
例2 (1)一天，亮亮发烧了，早晨烧得很厉害，吃过药后，感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了.下面各图能基本上反映出亮亮这一天(0～24时)体温的变化情况的是( )解析 依题意知只有C选项最符合条件，故选C.
答案 C(2)如图，是一个函数f(x)在y轴左侧的图象.①当f(x)是奇函数时，画出该函数在y轴右侧的图象，并说明该函数在(0，＋∞)上是增函数还是减函数？
解 f (x)在y轴右侧图象如图，
它在(0，＋∞)上是单调减函数；
②当f(x)是偶函数时，该函数在y轴右侧的图象必经过哪个点？
解 f (x)在y轴右侧的图象必经过点(2,0).规律方法 1.看函数的单调性主要是看在定义域中函数是否随自变量的增加而增加，若是，就是单调递增，反之则单调递减.
2.一个奇函数在y轴两侧的增减性相同，一个偶函数在y轴两侧的增减性相反.
3.若已知奇函数f(x)的图象经过点(a，b)，则它一定也经过点(－a，－b)；若已知偶函数f(x)的图象经过点(a，b)，则它一定也经过点(－a，b).跟踪演练2 (1)若函数f(x)的图象如图，则f(x)在区间____________上是单调递增函数，在区间________________上是单调递减函数.[－2,1]，[3,5][－5，－2]，[1,3](2)从山顶到山下的招待所的距离为20千米.某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(时)的关系用图象表示为( )解析 该人与招待所的距离随着时间增加而减少，
故只有C，D符合这一条件.
又0≤s≤20，故选C.
答案 C要点三 函数的最值
例3 给出函数的图象如图所示，则该函数的最大值和最小值分别是多少？该函数有上界吗？有下界吗？解 观察图象可知图象的最高点的函数值为2，但该点无意义，最低点的函数值为0.故函数无最大值，最小值是0.从图象可知，该函数既有上界，也有下界.规律方法 1.最高点对应的是最大值，最低点对应的是最小值.在看这两个点时要注意在该点自变量是否有意义，如果x在该点不能取值，那么即使是图象的最高点和最低点也不是最值.
2.如果一个函数的图象上不封顶、向上方无限延伸，就称该函数无上界，否则有上界；如果一个函数的图象下不保底，向下方无限延伸，就称其无下界，否则有下界.跟踪演练3 给出函数的图象如图所示，则该函数的最大值和最小值分别是多少？该函数有上界吗？有下界吗？解 最大值是2，没有最小值.该函数既有上界，也有下界.1.函数f(x)＝－3x是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
解析 画出y＝－3x的图象(图略)，观察图象知其关于原点中心对称，所以它是奇函数，选A.12345A2.函数f(x)＝－x2在区间(－1，＋∞)上( )
A.是增函数 B.是减函数
C.不具有单调性 D.无法判断单调性
解析 画出f(x)＝－x2的图象(图略)，观察可知它在(－1，＋∞)上先单调递增后单调递减，不具有单调性，选C.12345C123453.下图的四个函数图象中奇函数的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.412345解析 从图中可以看出(2)(4)两个图象关于原点成中心对称，
故有两个奇函数.
答案 B123454.已知函数f(x)的图象如图所示，则以下说法正确的是( )
A.函数有最大值，无最小值
B.函数无最大值，有最小值
C.函数有上界，无下界
D.函数无上界，无下界D123455.已知y＝f(x)的图象如下图(包括端点)，则函数的单调递增区间为______________.[－1,0)，[1,2]课堂小结
1.一次函数定义：y＝kx＋b(k≠0)，不要漏掉条件k≠0.当b＝0时，此函数为正比例函数，它是一次函数的特例.
2.一次函数的性质：k＞0时，y＝kx＋b单调递增；k＜0时，y＝kx＋b单调递减.3.函数的图象有着重要的应用，读图、识图作为一种能力在高考中越来越受重视.常见的思考方法：定性法、定量法、模型函数法、转化法.用图象法要通过图象不仅看出函数的定义域、值域，更要看出图象反映出的其他性质.课件34张PPT。第1章——集合与函数1.2 函数的概念和性质
1.2.4 从解析式看函数的性质[学习目标]
1.理解函数单调性的定义，了解有界函数、无界函数的定义.
2.运用函数单调性的定义判断函数的单调性.
3.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，体会函数最大值、最小值与单调性之间的关系及其几何意义.
4.会利用函数的单调性求函数的最值.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
以下说法中：
①函数y＝2x在R上为增函数；③函数y＝x2＋2x－3的单调递增区间为(1，＋∞).
正确的有________.①[预习导引]
1.函数的上界和下界
(1)上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B使得f(x)≤B对一切x∈D成立，称B是函数f的一个 ，如果有实数A使得f(x)≥A对一切x∈D成立，称A是函数f的一个 .
(2)有上界又有下界的函数叫 ，否则叫无界函数.上界下界有界函数2.函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的 ，a为f(x)的 .
(2)函数的最小值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值f(b)，称f(b)为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点.最大值最大值点3.函数的单调性
(1)函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的 ；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的 .递增函数递减函数(2)如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上 ，区间I叫作f(x)的 .
(3)对于函数f(x)，设h＞0，差式 叫作函数在区间I上的差分.差分为正的函数就是 ，差分为负的函数就是 .严格单调严格单调区间f(x＋h)－f(x)递增函数递减函数要点一 判断或证明函数的单调性
例1 ∵h＞0，x＞1，∴hx2＋h2x－h＞0，x(x＋h)＞0.即差分f(x＋h)－f(x)＞0，规律方法 证明函数单调性的步骤是：(1)作差分f(x＋h)－f(x)；(2)变形整理；(3)判断差分的符号；(4)下结论.跟踪演练1 (1)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A.f(x1)＜f(x2) B.f(x1)＞f(x2)
C.f(x1)＝f(x2) D.不能确定解析 因为在函数的定义中特别强调了x1，x2两个值必须属于同一个单调区间，不是同一单调区间时不能比较函数值的大小，因此，f(x1)与f(x2)的大小关系无法确定，故选D.
答案 D即差分f(x＋h)－f(x)＜0，故f(x)＝ 在(0，＋∞)上为单调递减函数.要点二 求函数的单调区间
例2 分别作出下列函数图象，写出它们
的单调区间.
(1)y＝x2＋2x；
解 函数y＝x2＋2x在(－∞，－1]上是递减函数，在[－1，＋∞)上是递增函数.(2)y＝2|x|；图象如图：函数y＝2|x|在(－∞，0]上是递减函数，在[0，＋∞)上是递增函数.(3)y＝－x2＋2|x|＋3.图象如图：
函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是递增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是递减函数.规律方法 利用函数的图象确定函数的单调区间，具体的做法是，先化简函数的解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间.跟踪演练2 作出函数y＝x|x|＋1的图象并写出其单调区间.作出函数的图象如图所示，所以原函数
在(－∞，＋∞)上为单调递增函数.要点三 函数单调性的应用
例3 已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的递增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围.
解 因为f(x)是定义在[－1,1]上的递增函数，
且f(x－2)＜f(1－x)，规律方法 1.单调性的应用主要体现在求解参数的取值范围、解不等式以及求解最值等题型上，解题时注意采用数形结合的方法求解.已知函数在某个区间上的单调性求解x的取值范围时，要求自变量首先应在定义域内，这是一个容易出现错误的地方，然后在此基础上利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系求解.2.利用函数的单调性求最值时，首先要证明或判断函数的单调性，若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；若f(x)在[a，b]上单调递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a).跟踪演练3 (1)若函数y＝x2－2ax＋2在[1，＋∞)上为递增函数，求实数a的取值范围；
解 由题意可知原函数为y＝(x－a)2＋2－a2，其开口向上，
且对称轴为x＝a，若使得原函数在[1，＋∞)为递增函数，
则只需对称轴x＝a在直线x＝1的左侧或与其重合，
即满足a≤1即可，所以实数a的取值范围是a≤1.故f(x)在[2,4]上单调递增.
于是f(x)在[2,4]上的最大值是f(4)＝ ，最小值是f(2)＝0.1.函数y＝－x2的单调递增区间为( )
A.(－∞，0] B.[0，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－∞，＋∞)
解析 由图象可知，y＝－x2的单调递增区间是(－∞，0]，选A.12345A2.函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值，最小值分别为( )12345C123453.设一次函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的递减函数，则a的取值范围为( )12345解析 f(x＋h)－f(x)＝[(2a－1)(x＋h)＋b]－[(2a－1)x＋b]＝(2a－1)h，
依题意(2a－1)h＜0，而h＞0，答案 B123454.若函数f(x)在区间I上是单调递增函数，则对任意的x1，x2∈I(x1≠x2)，必有( )
A.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]≤0
D.(x1－x2)[f(x1－f(x2))]≥012345解析 由于f(x)在I上单调递增，
所以当x1＜x2时有f(x1)＜f(x2)；
当x1＞x2时有f(x1)＞f(x2)，
因此必有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，选B.
答案 B123455.若f(x)是R上的单调递减函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1与x2的大小关系是________.
解析 由定义知当f(x1)＞f(x2)时一定有x1＜x2.x1＜x2课堂小结
1.函数的单调区间必须是定义域的子集.因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域.
2.研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递减函数，但不能说函数f(x)＝ 在定义域上是递减函数.
3.求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性.4.用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤.
若f(x)＞0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”.
5.求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出.
6.运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别当函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法.课件29张PPT。第1章——集合与函数1.2 函数的概念和性质
1.2.5 函数的定义域和值域[学习目标]
1.理解函数的定义域和值域.
2.会求一些常见函数的定义域和值域.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.已知函数解析式求定义域时应注意从哪些方面使表达式有意义？
答案 应注意以下几点：
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次根式的被开方数非负；
(3)y＝x0要求x≠0.
2.求出函数定义域后应写成什么形式？
答案 定义域应写成集合或区间的形式.[预习导引]
1.函数的定义域
(1)实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式有意义，还受到实际问题的限制，要符合 .
(2)函数的定义域就是使 有意义的自变量的变化范围.实际情形函数的表达式2.函数的值域
(1)函数的值域是指 的集合.
(2)常数函数y＝c的值域是 ，一次函数y＝ax＋b的值域是R，反比例函数y＝ 的值域是{y|y∈R，y≠0}.函数值{c}要点一 求函数的定义域
例1 求下列函数的定义域：{x|x≥－1，且x≠2}.规律方法 求定义域的实质就是求使函数表达式有意义的自变量x的取值范围.常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.跟踪演练1 求下列函数的定义域：解 依题意有1＋x≠0，
∴x≠－1，即定义域为{x|x≠－1}.∴x≥1，即定义域为{x|x≥1}.要点二 求函数的值域
例2 求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
解 将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1中计算得：
函数的值域为{3,5,7,9,11}.即所求函数的值域为[1，＋∞).∴所求函数的值域是{y|y∈R，且y≠1}.∴函数的定义域为R，∴所求函数的值域为(－1,1].且0≤－(x－2)2＋9≤9.
∴所求函数的值域为[0,3].规律方法 求函数的值域问题首先必须明确两点：一是对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域，对应法则是确定函数值域的依据.跟踪演练2 求下列函数的值域：解 ∵x2＋2≥2，∵0≤2－(x－1)2≤2，12345A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1，或x≤0} D.{x|0≤x≤1}D12345B12345A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)故值域是(－∞，2)∪(2，＋∞)，选B.B123454.函数f(x)＝(2x－4)0的定义域是( )
A.R B.(2，＋∞)
C.{x|x≠2} D.{x|x≠4}
解析 依题意知2x－4≠0，x≠2，
所以定义域是{x|x≠2}，选C.C12345{x|x≥－1，且x≠0}∴定义域为{x|x≥－1，且x≠0}.课堂小结
1.求函数值域，应理解两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域是指集合B＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域，对应法则及函数的性质是确定值域的依据.目前常用的方法有：图象法、配方法、分离常数法、换元法等.2.求函数的定义域一般有三类问题：
(1)若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解.
(2)由y＝f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域问题，实际上是已知中间变量u＝g(x)的值域，求自变量x的取值范围问题.
(3)若是实际问题除应考虑解析式本身有意义外，还应使实际问题有意义.课件28张PPT。第1章——集合与函数1.2 函数的概念和性质
1.2.6 分段函数[学习目标]
1.能说出分段函数的定义.
2.能根据题意用分段函数表示函数关系.
3.会画出分段函数的图象.
4.能求分段函数的函数值或由函数值求自变量的值.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
作函数的图象通常分三步，即 、 、 .列表描点连线[预习导引]
1.如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的________给出，这种函数叫作 .
2.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.
3.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是空集.
4.作分段函数图象时，应 .解析式分段函数对应法则并集分别作出每一段的图象要点一 分段函数求值 (2)若f(a)＝3，求实数a的值.
解 当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2＞－2，不合题意，舍去.
当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意.
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意.综上可得，
当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值.
2.已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.C要点二 分段函数的图象及应用 (1)画出f(x)的图象；
解 利用描点法，作出f(x)的图象，
如图所示.(2)求f(x)的定义域和值域.
解 由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1].规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”.
2.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象.
3.画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”.跟踪演练2 作出y＝ 的图象，并求y的值域.－7，x∈(－∞，－2]，
2x－3，x∈(－2，5]，
7，x∈(5，＋∞)解 y＝－7，x∈(－∞，－2]，
2x－3，x∈(－2，5]，
7，x∈(5，＋∞)值域为y∈[－7,7].图象如图.要点三 分段函数的解析式
例3 国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税.
(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x元与纳税额y元的函数关系式；
解 依题意有：当0＜x≤800时，y＝0；
当800＜x≤4 000时，y＝(x－800)×14%；当x＞4 000时，y＝x×11%.
故y与x之间的函数关系式是(2)某人出版了一本书，得稿费5 200元，那么他应纳税多少元？
解 某人得稿费x＝5 200，显然x＞4 000，
∴y＝5 200×11%＝572(元).
即他应纳税572元.(3)某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？
解 令(x－800)×14%＝420，解得x＝3 800∈(800，4 000]，∴这个人的稿费为3 800元.规律方法 1.实际问题应仔细审题，明确该函数分段情况，弄清每段上对应解析式及自变量的取值范围.
2.在解析式中，分段点不能重复，也不能遗漏，例如本题中，自变量的三段是0＜x≤800,800＜x≤4 000和x＞4 000，但不能写成0＜x≤800,800≤x＜4 000和x＞4 000.跟踪演练3 某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地后没有停留，再以65千米/时的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数.因此当0≤t≤5时，s＝52t；
当5＜t≤9时，s＝260＋65t.123451.函数y＝|x|的图象是( )B12345D12345A.0 B.1 C.2 D.3
解析 f(1)＝0，∴f(f(1))＝0.A12345A.－4或－2 B.－4或2 C.－2或4 D.－2或2
解析 当a≤0时，f(a)＝－a＝4，∴a＝－4；
当a＞0时，f(a)＝a2＝4，∴a＝2或－2(舍去).B123455.某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________________.12345解析 根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意得，当0≤x≤100时，y＝0.5x；
当x>100时y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.课堂小结
理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.课件30张PPT。第1章——集合与函数1.2 函数的概念和性质
1.2.7 二次函数的图象和性质
——增减性和最值[学习目标]
1.了解二次函数的定义.
2.掌握二次函数的图象及增减性和最值.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.函数y＝x2－2x－3的对称轴为 ，该函数的递增区间为 ，递减区间为 .
2.函数y＝x2的最小值为 .x＝1(1，＋∞)(－∞，1)0[预习导引]
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a＞0(a＜0)时，在区间(－∞，－ ]上递减(递增)，在[－ ，＋∞)上递增(递减)，图象曲线开口向 ，在x＝－ 处取到最小(大)值f(－ )＝－ ，这里Δ＝b2－4ac.点(－ ，－ )叫作二次函数图象的顶点.上(下)要点一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式.
解 方法一 利用二次函数一般式.
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由①②得b＝－a，则2a＋c＝－1，即c＝－2a－1.
代入③整理得a2＝－4a，
解得a＝－4，或a＝0(舍去).
∴b＝4，c＝7.
因此所求二次函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7.方法二 利用二次函数顶点式.
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
∵f(2)＝f(－1)，又根据题意函数有最大值为n＝8，解之得a＝－4.方法三 利用两根式.
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1.
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，解之得a＝－4.
∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式).跟踪演练1 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x.求f(x)的解析式.
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，
f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，
又f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x，
∴2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2＋4x，∴f(x)＝x2＋2x－1.要点二 二次函数的增减性
例2 f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m的取值范围.又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数，故m的取值范围是{m|m≤－16}.跟踪演练2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
解 当a＝－1时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
x∈[－5,5]，1∈[－5,5].
∴当x＝1时，f(x)min＝1；
当x＝－5时，f(x)max＝37.(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.
解 f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
其顶点横坐标为x＝－a.
∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5.
故a的取值范围是a≤－5或a≥5.要点三 求二次函数的值域或最值
例3 求函数y＝x2－2ax－1在[0,2]上的值域.
解 ①当a＜0时，ymin＝f(0)＝－1，
ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a，
所以函数的值域为[－1,3－4a].
②当0≤a≤1时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，
ymax＝f(2)＝3－4a，
所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a].③当1＜a≤2时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，
ymax＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1].
④当a＞2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[3－4a，－1].规律方法 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R还是区间[m，n]，若是区间[m，n]，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看顶点横坐标是在区间[m，n]内还是在区间的左边或右边.在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得.跟踪演练3 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；
解 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
其图象顶点横坐标为x＝1，开口向上，
∴当x∈[0,4]时，
∴f(x)max＝f(4)＝42－2×4＋2＝10，
f(x)min＝f(1)＝1.(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值；
解 ∵f(x)的顶点横坐标为x＝1，开口向上，
∴f(x)在[2,3]上为增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝22－2×2＋2＝2，
f(x)max＝f(3)＝32－2×3＋2＝5.(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).12341.若f(x)＝(m－1)x2＋(m＋1)x－1是二次函数，则( )
A.m为任意实数 B.m≠1
C.m≠－1 D.m≠1且m≠－1
解析 由m－1≠0，得m≠1，故选B.B12342.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )1234答案 D12343.函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________
___________.(－∞，12344.已知函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－∞，－1]时是递减函数，则m的取值范围是____________.[－4，＋∞)课堂小结
二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”，解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指定的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.
具体做法是：首先要采用配方法，化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n).其次对区间进行讨论，可分成三个类型：
(1)顶点固定，区间也固定.
(2)顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外.
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.课件34张PPT。第1章——集合与函数1.2 函数的概念和性质
1.2.8 二次函数的图象和性质
——对称性[学习目标]
1.能说出奇函数和偶函数的定义.
2.会判断具体函数的奇偶性.
3.会分析二次函数图象的对称性.
4.能求一个二次函数在闭区间上的最值.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
函数y＝x的图象关于 对称，y＝x2的图象关于___对称.原点y轴[预习导引]
1.函数的奇偶性
(1)如果对一切使F(x)有定义的x， 也有定义，并且 成立，则称F(x)为偶函数；
(2)如果对一切使F(x)有定义的x， 也有定义，并且 成立，则称F(x)为奇函数.F(－x)F(－x)＝F(x)F(－x)F(－x)＝－F(x)2.二次函数图象的对称性(2)如果函数f(x)对任意的h都有 ，那么f(x)的图象关于直线x＝s对称.f(s＋h)＝f(s－h)要点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；
解 函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x
＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数；
(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；
解 函数定义域为R，且f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|
＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以该函数是偶函数；解 函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；解 函数定义域是{x|x≠－1}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；解得x＝±2，即函数的定义域是{2，－2}，这时f(x)＝0.
所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数.规律方法 1.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定.
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)
2.判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果.跟踪演练1 判断下列函数的奇偶性：解 函数定义域为R，故该函数是奇函数；解 函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，故f(x)是偶函数.解 函数定义域是{x|x≥－1}，不关于原点对称，
所以是非奇非偶函数.要点二 函数奇偶性的简单应用
例2 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
解析 因为当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
所以f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3.
又f(x)是奇函数，
所以f(1)＝－f(－1)＝－3，选A.A(2)若函数f(x)＝x3＋3x＋a是奇函数，则实数a＝________.
解析 方法一 因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x∈R都成立，
即－x3－3x＋a＝－x3－3x－a对任意x∈R都成立.
所以a＝0.
方法二 因为f(x)是奇函数且在x＝0处有定义.
必有f(0)＝0，即03＋3×0＋a＝0，解得a＝0.0规律方法 1.利用奇偶性求值时，主要根据f(x)与f(－x)的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化.
2.已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种方法：一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x＝0处有定义的奇函数，还可根据f(0)＝0求解.跟踪演练2 (1)已知f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为( )
A.5 B.10 C.8 D.不确定
解析 ∵f(x)是偶函数，
∴f(4)＋f(－4)＝f(4)＋f(4)＝2f(4)＝2×5＝10.B(2)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
解析 ∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R都成立，
即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a).
整理得2(a－1)x＝0，
∵x∈R，∴必有a－1＝0，即a＝1.C要点三 二次函数的区间最值问题
例3 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].
用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值.
解 函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为x＝－a.
①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上递增，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，
f(x)min＝f(－5)＝27－10a；②当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图象如图(1)所示.
由图象可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
f(x)max＝f(5)＝27＋10a；③当0＜－a＜5，即－5＜a＜0时，函数图象如图(2)所示，
由图象可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2；
④当－a≥5，即a≤－5时，
函数在区间[－5,5]上递减，
所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，
f(x)max＝f(－5)＝27－10a.规律方法 1.对于定义域为R的二次函数，其最值和值域可通过配方法求解.
2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的最值或值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：
(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；
(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.跟踪演练3 求函数f(x)＝－x2－mx＋6(m＜0)在区间[0,2]上的最大值.12341.下列函数为奇函数的是( )
A.y＝|x| B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋4解析 A项和D项中的函数为偶函数，
B项中的函数是非奇非偶函数，选C.C512342.对于定义在R上的函数f(x)，给出下列判断：
(1)若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；
(2)若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
(3)若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数.
其中正确的判断的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.351234解析 (1)仅有f(－2)＝f(2)不足以确定函数的奇偶性，不满足奇函数、偶函数定义中的“任意”，故(1)错误；
(2)当f(－2)≠f(2)时，该函数就一定不是偶函数，故(2)正确；
(3)若f(－2)＝f(2)，则不能确定函数f(x)不是奇函数.如若f(x)＝0，x∈R，则f(－2)＝f(2)，但函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数，故(3)错误.
答案 B51234A.是奇函数 B.既是奇函数又是偶函数
C.是偶函数 D.是非奇非偶函数
解析 函数定义域是{x|x≥1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选D.D5123451234故选C.
答案 C5123545.如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为偶函数，那么a＝________.
解析 ∵f(x)为区间[3－a,5]上的偶函数，
∴区间[3－a,5]关于坐标原点对称，
∴3－a＝－5，即a＝8.8课堂小结
1.在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了作为奇函数或偶函数的条件.
2.解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断.3.奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.
4.奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性.
5.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－ ，开口方向由a确定，和x轴的位置关系由判别式Δ＝b2－4ac确定.课件34张PPT。第1章——集合与函数1知识网络 系统盘点，提炼主干2要点归纳 整合要点，诠释疑点3题型研修 突破重点，提升能力章末复习提升1.本章主要内容有集合的初步知识；基于集合和对应观点的函数概念，函数的表示和基本性质；二次函数的图象和性质.
2.集合是最基本的数学概念，元素和集合的关系(属于或不属于)，集合的关系及运算(包含、相等、交、并、补)，这些都是今后经常要使用的数学概念，要能熟练地运用集合语言描述数学事实.3.集合的表示方法有列举法、描述法和图象法，其中图象法又有维恩图表示和对特定数集(区间)在数轴上表示的方法.
4.以x为自变量的函数y＝f(x)就是从它的定义域到值域的一个映射.设b＝f(a)，那么(a，b)就是函数图象上的一个点，所有这样的点组成的集合就是函数y＝f(x)的图象.
显然，任作垂直于x轴的直线，它和任一函数的图象最多只能有一个公共点.5.函数的定义域有两种确定方式，即由解析式确定或由函数对应法则的实际含义所确定.一般说，如给出了一个解析式而未说明它的实际含义，那么这一函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围.
6.函数的单调递增和单调递减的概念、直观形象和基本判别方法；函数的最大(小)值和最大(小)值点的概念和直观形象；奇函数和偶函数的概念、直观形象和基本判别方法.7.二次函数的图象特征、增减性、对称性、顶点和在一个区间的最大、最小值.
8.分段函数概念的引入是因为解决实际问题的需要，与分段函数有关的问题，必然要分段讨论，这里再次提醒，分段函数是一个函数而不是两个或更多个函数.题型一 集合的运算
集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对?的讨论，不要遗漏.例1 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}.
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围.
解 A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0，或x>2}.
∵(?RA)∪B＝R，即a的取值范围是[－1,0].(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
解 由(1)知(?RA)∪B＝R时，
－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾.即这样的a不存在.跟踪演练1 (1)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(?UA)∩B＝________.
解析 先计算?UA，再计算(?UA)∩B.
∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴?UA＝{6,8}.
∴(?UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}.{6,8}(2)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于( )
A.(－∞，2] B.[1,2]
C.[－2,2] D.[－2,1]
解析 先化简集合A，再借助数轴进行集合的交集运算.
A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}.D题型二 函数的概念与性质
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合.例2 (1)求实数m和n的值；
解 ∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，比较得n＝－n，n＝0.因此，实数m和n的值分别是2和0.(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值.任取x∈[－2，－1]，且h＜0，∵h＜0，x∈[－2，－1]，
∴x(x＋h)＞1，即x(x＋h)－1＞0，
∴f(x＋h)－f(x)＜0，
∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，跟踪演练2 A.(－∞，1) B.(－∞，0)∪(0,1]
C.(－∞，0)∪(0,1) D.[1，＋∞)即x≤1且x≠0.B(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析 设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，
所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1).
又因为f(x＋1)＝2f(x)，题型三 函数图象及其应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.例3 对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
解 函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
图象关于y轴对称.(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.画出图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.
单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；
减区间是(－∞，－1]，[0,1].x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8).
从图象观察可得函数f(x)的表达式：f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，
所以f(x)的最小值是2.
答案 2题型四 分类讨论思想
分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对?的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等.例4 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.
解 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.跟踪演练4 已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
解 ∵A∪B＝A，∴B?A.
(1)当B≠?时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2.当x＝1时，a＝2；当x＝2时，a＝1.
(2)当B＝?时，即当a＝0时，B＝?，符合题意.
故实数a组成的集合C＝{0,1,2}.课堂小结
1.函数单调性的判定方法
(1)定义法.
(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)， ，f(x)＋g(x)的单调性等.
(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性.2.二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：
(1)若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}；
(2)若h?[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，
ymax＝max{f(m)，f(n)}(a<0时可仿此讨论).3. 函数奇偶性与单调性的差异
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(－x)＝－f(x)或[f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇函数(或偶函数).
