课件34张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.1 指数函数
2.1.1 指数概念的推广[学习目标]
1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.
2.会进行根式与分数指数幂的互化.
3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.4的平方根为 ,8的立方根为 .
2.23·22＝ ，(22)2＝ ，(2·3)2＝ ， ＝ .±223216364[预习导引]
1.把n(正整数)个实数a的连乘记作 ，当a≠0时有a0＝ ，a－n＝ (n∈N).an12.整数指数幂的运算有下列规则：am＋nam-namnan·bn3.若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就说x是a的 .3次方根也称为 .当n是偶数时，正数a的n次方根有 个，它们互为 .其中正的n次方根叫作 ，记作 .也就是说，当a＞0时，如xn＝a，那么x＝± .
规定： ＝ ，负数没有 .n次方根立方根两相反数算术根0偶次方根5.当a＞0，m，n∈N且n≥2时，规定根式根指数被开方数a奇数偶数 6.规定0的正分数指数幂为 ,0没有 指数幂，在a＞0时，对于任意有理数m，n仍有公式0负分数am＋nam－namnam·bm7.对任意的正有理数r和正数a，若a＞1则 ；
若a＜1则 .根据负指数的意义和倒数的性质可得：
对任意的负有理数r和正数a，若a＞1，则 ；
若a＜1则 .ar＞1ar＜1ar＜1ar＞18.任意正数a的无理数次幂有确定的意义.于是，给了任意正数a，对任意实数x，a的x次幂ax都有了定义.可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对 仍然成立.类似地，还有不等式：
对任意的正实数x和正数a，若a＞1则 ；若a＜1则 .
对任意的负实数x和正数a，若a＞1则 ；若a＜1则 .实数次幂ax＞1ax＜1ax＜1ax＞1要点一 根式的运算
例1 求下列各式的值：当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.
当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.
2.开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪演练1 化简下列各式.要点二 根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂形式：跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式：要点三 分数指数幂的运算
例3 规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.跟踪演练3 计算或化简：123451.下列各式正确的是( )A12345A.0 B.2(a－b)
C.0或2(a－b) D.a－b
解析 当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；
当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.C12345A1234512345答案 C12354课堂小结2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.课件30张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.1 指数函数
2.1.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质[学习目标]
1.理解指数函数的概念和意义.
2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.
3.初步掌握指数函数的有关性质.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.ar·as＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ .
其中a＞0，b＞0，r，s∈R.
2.在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为 ，x∈{0,1,2，…}.ar＋sarsar·bry＝2x[预习导引]
1.函数y＝ax叫作 函数，其中a是不等于1的 ，函数的定义域是 .
2.从图象可以“读”出的指数函数y＝ax(a＞1)的性质有：
(1)图象总在 轴上方，且图象在y轴上的射影是 (不包括原点).由此，函数的值域是 ；
(2)图象恒过点 ，用式子表示就是 ；
(3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递 函数，由此有：当x＞0时，有ax＞a0＝1；当x＜0时，有0＜ax＜a0＝1.指数正实数Rxy轴正半轴R＋(0,1)a0＝1增y轴数y＝ax(0＜a＜1)的性质：(1)图象总在 上方，且图象在y轴上的射影是 (不包括原点).由此，函数的值域是R＋；
(2)图象恒过点 ，用式子表示就是 ；
(3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递 函数，由此有：当x＞0时，有0＜ax＜a0＝1；当x＜0时，有ax＞a0＝1.x轴y轴正半轴(0,1)a0＝1减要点一 指数函数的概念
例1 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.
⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
答案 B规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.跟踪演练1 若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________________.
解析 y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：要点二 指数函数的图象
例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，
③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，
b，c，d与1的大小关系是( )
A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c解析 方法一 在y轴的右侧，指数函数的
图象由下到上，底数依次增大.
由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.
∴b＜a＜1＜d＜c.
方法二 作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.
答案 B规律方法 1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.
2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.跟踪演练2 (1)函数y＝|2x－2|的图象是( )解析 y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，
故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的.
答案 B(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________.
解析 当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和
y＝|ax－1|的图象(如图(1)).
由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解.
当0＜a＜1时，作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(2)).若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜ .要点三 指数型函数的定义域、值域
例3 求下列函数的定义域和值域：解 由x－4≠0，得x≠4，解 由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，规律方法 对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数，
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.答案 A12345解析 由指数函数的定义知a＞0且a≠1，故选D.D12345C123453.函数y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是( )
A.[1，＋∞) B.[2，＋∞)
C.[0，＋∞) D.(0，＋∞)
解析 y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B.B123454.函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________.
解析 由题意知4＝a2，
所以a＝2，因此f(x)＝2x，12354又y＞0，∴函数值域为(0,2].(0,2]课堂小结
1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.
2.当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.课件31张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.1 指数函数
2.1.2 指数函数的图象和性质
第2课时 指数函数的图象和性质的应用[学习目标]
1.理解指数函数的单调性与底数的关系.
2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.函数y＝ax(a＞0且a≠1)恒过点 ，当a＞1时，单调 ，当0＜a＜1时，单调 .
2.复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调 ，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调 ，简称为 .(0,1)递增递减递增递减同增异减[预习导引]
1.函数y＝ax与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于 对称.
2.形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域.
(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；
当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 .y轴相同相同相反3.形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种________函数，这是一种非常有用的函数模型.
4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝ .指数型N(1＋p)x(x∈N)要点一 利用指数函数的单调性比较大小
例1 比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；
解 由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，
而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.解 因为函数y＝0.7x在R上单调递减，(3)0.60.4与0.40.6.
解 因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；
又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，
所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.
2.对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较.跟踪演练1 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
解析 先由函数y＝0.8x判断前两个数的大小，
再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小.D要点二 指数型函数的单调性
例2 ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴原函数的值域为(0,3].规律方法 1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成.
2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，?要点三 指数函数的综合应用(1)证明f(x)为奇函数；
证明 由题意知f(x)的定义域为R，所以f(x)为奇函数.(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；
解 f(x)在定义域上是增函数.证明如下：
任取x∈R，且h＞0，∵x＋h＞x，∴3x＋h－3x＞0，
且3x＋h＋1＞0,3x＋1＞0，
∴f(x＋h)－f(x)＞0，
∴f(x)为R上的增函数.(3)求f(x)的值域.即f(x)的值域为(－1,1).规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可.(1)求a的值；
解 依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，即a2＝1.又a＞0，∴a＝1.(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
证明 设x∈(0，＋∞)，且h＞0，∵x＞0，h＞0，∴ex＋h－ex＞0，又e2x＋h－1＞0，
∴f(x＋h)－f(x)＞0，
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数.12345A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0,1)12345∵u＝1－x在R上为减函数.答案 A12345B12345A.y3＞y1＞y2 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2由于y＝2x在R上是增函数，
所以21.8＞21.5＞21.44，
即y1＞y3＞y2，故选D.D123454.某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成___个.
解析 3 h＝9×20 min，即经过9次分裂，
可分裂为29＝512个.51212354解析 ∵函数f(x)为奇函数，定义域为R，课堂小结
1.比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.2.指数函数单调性的应用
(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数.
(2)形如ax＞ay的不等式，当a＞1时，ax＞ay?x＞y；
当0＜a＜1时，ax＞ay?x＜y.课件32张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.2 对数函数
2.2.1 对数的概念和运算律[学习目标]
1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.
2.了解常用对数与自然对数的意义.
3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.
4.掌握对数的运算性质及其推导.
5.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]2.若2x＝8，则x＝ ；若3x＝81，则x＝ .
3.在指数的运算性质中：434[预习导引]
1.对数的概念
如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的 ，记作b＝ .这里，a叫作对数的 ，N叫作对数的 .
把上述定义中的b＝logaN代入ab＝N，得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，这两个等式叫作对数的基本恒等式：
alogaN＝ ， ＝logaab.
由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝ ，loga1＝logaa0＝ .对数logaN真数底Nb102.对数的运算法则
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么
(1)loga(MN)＝ .
(2)logaMn＝ (n∈R).logaM＋logaNnlogaMlogaM－logaN3.常用对数与自然对数
(1)以 为底的对数叫作常用对数，log10N记作 .
(2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数叫作 对数.
logeN通常记为ln N.10lg N自然要点一 指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(2)3a＝27；
解 log327＝a.(3)10－1＝0.1；
解 lg 0.1＝－1.
(4)log232＝－5；
解 2－5＝32.
(5)lg 0.001＝－3.
解 10－3＝0.001.规律方法 1.解答此类问题的关键是要搞清a，x，N在指数式和对数式中的位置.
2.若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成指数式.跟踪演练1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)log3x＝6；
解 36＝x.
(2)ln e＝1；
解 e1＝e.
(3)43＝64.
解 log464＝3.要点二 对数式的计算与化简
例2 求下列各式的值：解 原式＝2log32－log332＋log39＋log323－log553
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3
＝－1.(4)(lg 2)3＋3lg 2·lg 5＋(lg 5)3.
解 原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2
＝(lg 2＋lg 5)2＝1.规律方法 1.进行对数式的计算与化简，主要依据是对数的运算法则，同时要注意结合对数恒等式、对数性质的应用.
2.应用对数的运算法则时，除了正用这些法则外，还要注意它们的逆用.
3.lg 2＋lg 5＝1，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2在计算和化简时经常使用，注意记忆.
4.在对数的运算和化简中提取公因式，因式分解等仍适用.B(2)计算下列各式的值：方法二 (逆用公式)：要点三 对数恒等式alogaN＝N的应用＝3×3log35－24×2log23＋(10lg 3)3＋(2log25)－1规律方法 对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用.这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数.(2)51＋log52.
解 51＋log52＝5·5log52＝5×2＝10.1234512345解析 当a＜0，b＜0时，虽有ab＞0，但①②不正确，
因为lg a，lg b均无意义.
只有③正确.
答案 B12345A1234512345所以a＝b＞c，故选B.答案 B123454.若ln(lg x)＝0，则x＝________.
解析 由已知得lg x＝1，所以x＝10.10123545.已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
解析 由已知可得，lg(ab)＝1，
∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2×1＝2.2课堂小结
1.一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数.
2.利用ab＝N?b＝logaN (其中a＞0，a≠1，N＞0)可以进行指数式与对数式的互化.
3.对数恒等式：alogaN＝N(a＞0且a≠1)，b＝logaab.4.对于同底的对数的化简常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).
5.对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题.
6.对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值.课件29张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.2 对数函数
2.2.2 换底公式[学习目标]
1.能记住换底公式，并会证明换底公式.
2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.
3.能综合利用对数的相关知识解决问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[预习导引]
1.对数的换底公式logaN2.换底公式的两个重要推论要点一 利用换底公式求值或化简
例1 求解下列各题：方法二 原式＝(log223＋log233)·log32(2)已知log1227＝a，求log616的值.方法二 由于log1227＝log1233＝3log123＝a，规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：
一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底.
二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值.
三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值.
2.对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用.跟踪演练1 (1)求值：log89·log2732.方法二 log89·log2732＝log2332·log3325(2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.∴log27＝ab.要点二 利用对数的换底公式证明等式证明 不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1，
于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.因此等式成立.规律方法 1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形.
2.由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab＝ 进行变换.跟踪演练2 已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn.
证明 由已知可得m＝log210，n＝log510，要点三 对数换底公式的综合应用解 ∵11.2a＝1 000，∴lg 11.2a＝lg 1 000，
即a·lg 11.2＝3，(2)设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求 的值.规律方法 对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系).解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识.故选B.B12345D12345解析 由指数式转化为对数式：
x＝log2.51 000，y＝log0.251 000，A12345A123454.已知log63＝0.613 1，log6x＝0.386 9，则x＝________.
解析 由log63＋log6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.
得log6(3x)＝1，故3x＝6，x＝2.212354课堂小结
1.对数换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，它在与指数式、对数式有关的计算、化简和证明中将起到重要作用.
2.在什么情况下选用换底公式？
(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算性质进行化简与求值.课件37张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.2 对数函数
2.2.3 对数函数的图象和性质
第1课时 反函数及对数函数的图象和性质[学习目标]
1.理解对数函数的概念.
2.初步掌握对数函数的图象及性质.
3.会类比指数函数，研究对数函数的性质.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.作函数图象的步骤为 、 、 .另外也可以采取_______________.
2.指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与性质.列表描点连线图象变换法(0,1)01y＞10＜y＜10＜y＜1y＞1增函数减函数[预习导引]
1.对数函数的概念
把函数___________________________叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_________.y＝logax(x＞0，a＞0，a≠1)(0，＋∞)2.对数函数的图象与性质(1,0)y＜0y＞0y＞0y＜0增函数减函数3.反函数
(1)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与___________________
_________互为反函数.
(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成 的形式，如果这种形式是 确定的，就得到f(x)的反函数g(x).指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)y＝g(x)唯一要点一 对数函数的概念
例1 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；
解 log2x的系数是3，不是1，不是对数函数.
(2)y＝log6x；
解 符合对数函数的结构形式，是对数函数.(3)y＝logx3；
解 自变量在底数位置上，不是对数函数.
(4)y＝log2x＋1.
解 对数式log2x后又加1，不是对数函数.规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A.y＝log2x B.y＝2log4x
C.y＝log2x或y＝2log4x D.不确定
解析 设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0且a≠1)，由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，
∴该对数函数的解析式为y＝log2x.A要点二 对数函数的图象
例2 如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取解析 方法一 先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图低的底大，然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，故选A.方法二 作直线y＝1与四条曲线
交于四点，由y＝logax＝1，
得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，
所以横坐标小的底数小，答案 A规律方法 函数y＝logax(a＞0且a≠1)的
底数变化对图象位置的影响.
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时a越小，图象向右越靠近x轴.
(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.跟踪演练2 (1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1)
解析 令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1).D(2)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A.0＜a＜b＜1
B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1
D.b＞a＞1解析 作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
答案 B要点三 对数函数的定义域C答案 C规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.解得0≤x＜1.BA.(－1，＋∞) B.[－1，＋∞)
C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.[－1,1)∪(1，＋∞)解得x＞－1且x≠1，
故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C.C要点四 反函数
例4 求下列函数的反函数：
(1)y＝2x－5；解得y＝2ln(x－1)，即为所求.规律方法 要找寻函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式.如果这种形式是唯一确定的，就得到了f(x)的反函数g(x).既然y＝g(x)是从x＝f(y)解出来的，必有f(g(x))＝x，这个等式也可以作为反函数的定义.跟踪演练4 y＝ln x的反函数是________.
解析 由y＝ln x，得x＝ey，
所以反函数为y＝ex.y＝ex123451.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
解析 选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.D12345D123453.函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )12345解析 函数y＝－logax恒过定点(1,0)，排除B项；
当a＞1时，y＝ax是增函数，
y＝－logax是减函数，排除C项，
当0＜a＜1时，y＝ax是减函数，
y＝－logax是增函数，排除D项，A项正确.
答案 A123454.若a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点________.
解析 函数图象过定点，则与a无关，
故loga(x－1)＝0，
所以x－1＝1，x＝2，y＝1，
所以y＝loga(x－1)＋1过定点(2,1).(2,1)123545.函数y＝lg x的反函数是________.
解析 由反函数的定义知x＝10y，
故反函数为y＝10x.y＝10x课堂小结
1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0且a≠1)这种形式.
2.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.课件32张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.2 对数函数
2.2.3 对数函数的图象和性质
第2课时 对数函数的图象和性质的应用[学习目标]
1.进一步加深理解对数函数的概念.
2.掌握对数函数的性质及其应用.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
对数函数的图象和性质(0，＋∞)(1,0)0增函数减函数R[预习导引]
形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝logaf(x)的定义域须满足 .
(2)当a＞1时，函数y＝logaf(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝logaf(x)与函数y＝f(x)的单调性 .f(x)＞0相同相反要点一 对数值的大小比较
例1 比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
解 因为函数y＝ln x是增函数，且0.3＜2，
所以ln 0.3＜ln 2.(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
解 当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.(3)log30.2，log40.2；
解 方法一 因为0＞log0.23＞log0.24，方法二 如图所示由图可知log40.2＞log30.2.(4)log3π，logπ3.
解 因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.规律方法 比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性.
1.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.
2.若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
3.若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较.
4.若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.跟踪演练1 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A.a＞c＞b B.b＞c＞a
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
解析 利用对数函数的性质求解.
a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，
由对数函数的性质可知log52＜log32，
∴b＜a＜c，故选D.D(2)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.c＞a＞b
解析 a＝log23.6＝log43.62，
函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，
所以a＞c＞b，故选B.B要点二 对数函数单调性的应用
例2 求函数y＝ (1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值. ∴x2＜1，则－1＜x＜1，
因此函数的定义域为(－1,1).令t＝1－x2，x∈(－1,1).规律方法 1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域.
2.求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证；
(2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性.∴f(x)的单调增区间为[1，＋∞).
答案 D则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A.[－1,2] B.[0,2]
C.[1，＋∞) D.[0，＋∞)故选D. D要点三 对数函数的综合应用(1)求f(x)的定义域；
解 要使此函数有意义，解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).(2)判断函数的奇偶性和单调性.又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数.规律方法 1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称.
2.求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间.跟踪演练3 已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x).
(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
解 ∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩
{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}.函数h(x)为奇函数，理由如下：
∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，
∴h(x)为奇函数.(2)若f(3)＝2，求使h(x)＜0成立的x的集合.
解 ∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，∴使得h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}.123451.函数y＝ln x的单调递增区间是( )
A.[e，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.[1，＋∞)
解析 函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，
在(0，＋∞)上是增函数，
故该函数的单调递增区间为(0，＋∞).B123452.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A.a＜c＜b B.b＜c＜a
C.a＜b＜c D.b＜a＜c
解析 ∵1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，
∴1＞a＝log54＞log53＞b＝(log53)2.
又∵c＝log45＞log44＝1.∴c＞a＞b.D12345A.(1，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(1,2]D12345∴当x≥1时，f(x)≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，
即0＜f(x)＜2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2).(－∞，2)123545.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是___________.
解析 要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，课堂小结
1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解.
2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.课件31张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.3 幂函数
2.3.1 幂函数的概念
2.3.2 幂函数的图象和性质[学习目标]
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]R递增奇[0，＋∞)(－∞，0)[0，＋∞){x|x≠0}递减递减偶奇[预习导引]
1.幂函数的概念
一般来说，当x为自变量而α为非0实数时，函数y＝xα叫作(α次的) .
2.幂函数的图象与性质幂函数[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)[0，＋∞)[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶奇非奇非偶奇递增递增递减递增递增递减递减(1,1)要点一 幂函数的概念
例1 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.
解 根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻.
2.幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错.跟踪演练1 已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________.
解析 由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，10要点二 幂函数的图象
例2 如图所示，图中的曲线是幂函数
y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，
± 四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( )解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.
注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小.
根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，
n越大，y＝xn递增速度越快，答案 B规律方法 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由小变大.(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸.跟踪演练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A.－1＜n＜0＜m＜1
B.n＜－1,0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1
D.n＜－1，m＞1解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，
如图所示.根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.答案 B要点三 比较幂的大小
例3 比较下列各组数中两个数的大小：(4)0.20.6与0.30.4.
解 由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，
又y＝0.3x是减函数，
∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数.
2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量.跟踪演练3 比较下列各组数的大小：(2)－3.143与－π3；
解 ∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，
∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.123451.下列函数是幂函数的是( )
A.y＝5x B.y＝x5
C.y＝5x D.y＝(x＋1)3
解析 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；
函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；
函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；
函数y＝x5是幂函数.B123452.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )故定义域与值域不同.D12345A.1,3 B.－1,1
C.－1,3 D.－1,1,3
解析 可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，
又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1,3.A12345为________.而c＝(－2)3＝－23＜0，∴a＞b＞c.a＞b＞c123545.幂函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
解析 ∵f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1不符合题意.
综上可知m＝2.2课堂小结
1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.课件27张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.4 函数与方程
2.4.1 方程的根与函数的零点[学习目标]
1.知道函数零点的定义，会求函数的零点.
2.能说出函数零点的存在性定理，会判断函数零点的存在性及存在区间.
3.能利用数形结合的方法分析方程根的个数或分布情况.
4.会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；
(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案[预习导引]
1.函数零点的定义
(1)对于函数f(x)，把 叫作函数y＝f(x)的零点；
(2)求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点；
(3)函数y＝f(x)的零点，也就是函数y＝f(x)图象与 交点的横坐标.方程f(x)＝0的实数根x轴2.函数零点的存在性定理
设f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化而且 ，则方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个根，即存在x0∈(a，b)，使 .f(a)·f(b)＜0f(x0)＝0要点一 求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
解 解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
解 解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，
所以函数的零点是－1.(3)f(x)＝2x－1－3；
解 解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，
所以函数的零点是log26.所以函数的零点为－6.规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.跟踪演练1 判断下列说法是否正确：
(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(0,2)；
解 函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错.
(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.
解 虽然f(1)＝0，但1?[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.要点二 判断函数零点所在区间答案 C规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.
2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.跟踪演练2 函数f(x)＝ex＋x－2零点所在的一个区间是( )
A.(－2，－1) B.(－1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析 ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，
∴f(0)·f(1)＜0，
∴f(x)在(0,1)内有零点.C要点三 判断函数零点的个数
例3 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数.
解 方法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象
只有一个交点.从而ln x＋x2－3＝0有一个
根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.方法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
所以f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.跟踪演练3 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 将函数零点视为两个函数图象的交点横坐标，分别画出函数图象，利用数形结合求解.在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点.
答案 B12345D123452.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )
A.方程f(x)＝0一定有实数解
B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实根
D.方程f(x)＝0可能无实数解
解析 ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，
故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解.D12345A.(6,7) B.(7,8)
C.(8,9) D.(9,10)
解析 因为f(9)＝lg 9－1＜0，D123454.方程2x－x2＝0的解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 在同一坐标系画出函数y＝2x及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，
故2x－x2＝0的解的个数为3.C123545.函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的取值范围是__________.
解析 由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，
故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.(－∞，1)课堂小结
1.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
2.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.课件28张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.4 函数与方程
2.4.2 计算函数零点的二分法[学习目标]
1.能用二分法求出方程的近似解.
2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
现有一款三星手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；
(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？[预习导引]
用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x－x0|≤ε.用二分法求函数零点的一般步骤如下：
(1)在D内取一个闭区间[a0，b0]?D，使f(a0)与f(b0) ，即_______________，零点位于区间[a0，b0]中.异号f(a0)·f(b0)＜0(2)取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的横坐标为
计算f(x0)和f(a0).并判断：
①如果 ，则x0就是f(x)的零点，计算终止；
②如果 ，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0；
③如果 ，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.f(x0)＝0f(a0)·f(x0)＜0f(a0)·f(x0)＞0(3)对区间[a1，b1]，按(2)中的方法，可以得到区间[a2，b2]，且它的长度是区间[a1，b1]长度的一半.
如此反复地二分下去，可以得到一系列有限区间[a0，b0]，[a1，b1]，[a2，b2]，[a3，b3]，…，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半.继续实施上述步骤，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当|an－bn|＜2ε时，区间[an，bn]的中点xn＝ (an＋bn)就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止.这时函数y＝f(x)的近似零点与真正零点的误差不超过ε.要点一 二分法概念的理解
例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )解析 按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.
故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.
答案 A规律方法 1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.跟踪演练1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )解析 函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.
答案 B(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a ，b]内连续不断；②f(a)·f(b)＜0；
③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.
A.①② B.①③
C.①④ D.①②③
解析 由二分法的意义，知选A.A要点二 用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程x2－10＝0在区间[3.1,3.2]上的近似解(误差不超过0.001，即ε＝0.001).
解 设f(x)＝x2－10，
则f(3.1)＝－0.39，f(3.2)＝0.24.取a0＝3.1，b0＝3.2，有f(a0)·f(b0)＜0.列表计算：由于b6－a6＝0.001 5＜0.002＝2ε，计算停止，规律方法 给定ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(a)·f(c)＞0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).(4)重复第(3)步，可得到一系列有限区间，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半，当所在区间值小于2ε时，区间中点就是函数f(x)的近似零点.跟踪演练2 若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为______.(只填序号)
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4]
⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)③④⑤123451.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A.[－2,1] B.[－1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
解析 ∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，
故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.A123452.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0时，当f ＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A.(a，b)外的点D.x＝a或x＝b12345解析 由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值.答案 B123453.函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为( )
A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)
C.(1.5,2) D.不能确定
解析 由于f(1.25)f(1.5)＜0，
则方程的解所在区间为(1.25,1.5).A1234512345f(1)＝1＞0，f(2)＝4＞0，答案 C123545.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.
解析 f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，
f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，
∴下一个有根的区间是(2,2.5).(2,2.5)课堂小结
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的误差，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.课件26张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.5 函数模型及其应用
2.5.1 几种函数增长快慢的比较[学习目标]
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.
2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[预习导引]
1.三种函数模型的性质变陡变缓2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和
y＝xn(n＞0)都是 ，但 不同，且不在同一个“档次”上.
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会 .
(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.增函数增长速度越来越慢要点一 函数模型的增长差异
例1 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A.y＝10 000x B.y＝log2x解析 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，D(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是________.解析 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
答案 y2规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，若x＞x0，有logax＜xn＜ax.跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t
(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟
合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所
提到的红豆生长时间与枝数的关系的
函数模型是( )
A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2t
C.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2
解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数.A要点二 几种函数模型的比较
例2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？解 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型
g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.
2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣.跟踪演练2 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图.(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；
解 由函数图象特征及变化趋势，知
曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解 当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x).
函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.123451.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A.y＝100x B.y＝log100x
C.y＝x100 D.y＝100x
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.D123452.当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A.2x＞x2＞log2x B.x2＞2x＞log2x
C.2x＞log2x＞x2 D.x2＞log2x＞2x
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.
方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.B123453.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )12345解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.
答案 D123454.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.A123545.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________________________.12354解析 设解析式为y＝kx＋b，课堂小结
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快.课件32张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数2.5 函数模型及其应用
2.5.2 形形色色的函数模型[学习目标]
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[预习导引]
1.解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.这些步骤用框图表示如图：2.数学模型
就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.要点一 用已知函数模型解决问题
例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
解 当0＜x≤10时，
f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为
f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16＜x≤30时，f(x)单调递减，
f(x)＜－3×16＋107＝59.
因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
解 f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5).
因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些.(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
解 当0＜x≤10时，令f(x)＝55，
则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.
所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，
故x＝6.当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.
解决此类型函数应用题的基本步骤是：
第一步：阅读理解，审清题意.
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景.在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题.第二步：根据所给模型，列出函数关系式.
根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果.
第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答.跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为： .已知甲、乙两地相距100千米.当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升.要点二 建立函数模型解决实际问题
例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
解 由题意：得当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)
解 依题意并由(1)可得当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.规律方法 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下.
①能够根据原始数据、表格，绘出散点图.
②通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的.因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.③根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
④利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式： ，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元.(1)写出y关于x的函数表达式；(2)求总利润y的最大值.12341.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A.310元 B.300元
C.390元 D.280元1234解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，
可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，
当x＝0时，y＝300.
答案 B12342.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )D12343.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A.y＝2x B.y＝2x－1
C.y＝2x D.y＝2x＋1
解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，
分裂两次后4×2＝23个，…，分裂x次后y＝2x＋1个.D1234课堂小结
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.
3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.课件43张PPT。第2章——指数函数、对数函数和幂函数1知识网络 系统盘点，提炼主干2要点归纳 整合要点，诠释疑点3题型研修 突破重点，提升能力章末复习提升1.指数和对数
(1)分数指数的定义：(2)如同减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算一样，对数运算是指数运算的逆运算.
ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0).
由此可得到对数恒等式：
alogaN＝N，b＝logaab.
(3)对数换底公式logaN＝ (a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，N＞0)的意义在于把各个不同底数的对数换成相同底数的对数，这样，一可以进行换算，二可以通过对数表求值.(4)指数和对数的运算法则有：
am·an＝am＋n，logaM＋logaN＝loga(MN)，
(am)n＝amn，logaMn＝nlogaM，(a∈R＋，m，n∈R)(M，N∈R＋，a＞0，a≠1).2.指数函数、对数函数和幂函数
(1)要熟记这三个函数在不同条件下的图象，并能熟练地由图象“读”出该函数的主要性质；
(2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.由图可“读”出指数函数和对数函数的主要性质：如果两个函数y＝f(x)和x＝g(x)描述的是同一个对应法则，则称这两个函数互为反函数.这时两者之间满足关系g(f(x))＝x和f(g(y))＝y，并且它们的图象关于直线y＝x成轴对称.函数f叫作g的反函数，g也叫作f的反函数.f的定义域是g的值域，f的值域是g的定义域，两者同为递增或递减.
由上面反函数的定义，我们知道，指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)和同底数的对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数.这给研究对数函数的图象和性质带来了方便.(3)幂函数y＝xn在第一象限内的图象由幂指数的不同取值可分为三种走势.
由下图，当n＞0时幂函数的主要性质是：①恒过(0,0)，(1,1)两点；
②在区间[0，＋∞)上为增函数.
当n＜0时幂函数的主要性质有：
①恒过点(1,1)；
②在区间(0，＋∞)上为递减函数；
③图象走向和x轴、y轴正向无限接近.3.函数与方程
(1)实系数一元二次方程当Δ＞0时有两个不等实根；当Δ＝0时有两个相等实根；当Δ＜0时无实数根.
(2)方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象和x轴交点的横坐标，也叫作函数的零点；方程f(x)＝g(x)的解也就是两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标.
(3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值.4.函数模型及其应用
(1)目前我们能建立的函数模型主要是一次函数，二次函数，幂函数，指数函数和对数函数的模型；
(2)建模的目的是：模拟实际问题和用模拟函数的性质去推测判断未进行测量或不便测量的数据，特别是实际问题的未来走势；
(3)建模的大致步骤是：了解和简化实际问题，建立实际问题的数学模型，分析所得数学模型，把模型所判断的结论和实际模型的表现加以比较，改进数学模型.题型一 有关指数、对数的运算问题
指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容.
指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用.＝log39－9＝2－9＝－7.题型二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质
函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质.教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用.例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，(1)画出函数f(x)的图象；
解 先作出当x≥0时，f(x)＝ x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象.(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域.
解 函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，
单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1].跟踪演练2 (1)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解.
g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面
直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x与
g(x)＝(x－2)2的图象(如图).
由图可得两个函数的图象有2个交点.C解析 由3x－1≠0得x≠0，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.
答案 C题型三 比较大小
比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：
(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；
(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；
(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决.A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c故有a＜b＜c. A跟踪演练3 (1)下列不等式成立的是( )
A.log32＜log23＜log25 B.log32＜log25＜log23
C.log23＜log32＜log25 D.log23＜log25＜log32
解析 由于log31＜log32＜log33，
log22＜log23＜log25，
即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，
所以log32＜log23＜log25.故选A.AA.x＞y＞z B.z＞y＞x
C.y＞x＞z D.z＞x＞yC题型四 函数的零点与方程的根的关系及应用
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根.从图形上看，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起重视.A.f(x0)＝0 B.f(x0)＞0
C.f(x0)＜0 D.f(x0)的符号不确定答案 C显然两个图象的交点的横坐标为a，
于是在(0，a)区间上，y＝2x的图象在A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析 建立函数g(x)＝x3－22－x，计算判断g(0)、g(1)、g(2)、g(3)、g(4)的符号.设g(x)＝x3－22－x，显然g(1)·g(2)＜0，于是函数g(x)的零点，答案 B题型五 分类讨论思想
本章常见分类讨论思想的应用如下表：例5 已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f ＝0，求不等式f(logax)＞0(a＞0，且a≠1)的解集.
解 ∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，课堂小结
1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿高中数学的整个过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题.
2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.3.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围.
4.函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
