第1课时 集合的概念
[学习目标] 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.4.会判断集合是有限集还是无限集．
[知识链接]
1．在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．
2．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．
3．解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集．
4．一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.
[预习导引]
1．集合的概念
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．我们约定，同一集合中的元素是互不相同的．
2．元素与集合的关系
知识点
关系
概念
记法
读法
元素与集合的关系
属于
若S是一个集合，a是S的一个元素，就说a属于S
a∈S
a属于S
不属于
若a不是S的元素，就说a不属于S
a?S
a不属于S
3.常用数集及符号表示
名称
非负整数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋
Z
Q
R
4.集合的分类
集合
空集：没有元素的集合，记作?.
要点一 集合的基本概念
例1 下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体．
解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值的全体”不能构成集合．
规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________．
(1)所有正三角形；
(2)第一册课本上的所有难题；
(3)比较接近1的正整数全体；
(4)某校高一年级的16岁以下的学生．
答案 (1)(4)
解析
序号
能否构成集合
理由
(1)
能
其中的元素满足三条边相等
(2)
不能
“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以所给的对象不确定，故不能构成集合
(3)
不能
“比较接近1”的标准不明确，所以所给的对象不确定，故不能构成集合
(4)
能
其中的元素是“16岁以下的学生”
要点二 元素与集合的关系
例2 所给下列关系正确的个数是( )
①－∈R；②?Q；③0∈N＋；④|－3|?N＋.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 －是实数，是无理数，∴①②正确．N＋表示正整数集，∴③和④不正确．
规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a?A”这两种情况中必有一种且只有一种成立．
2．符号“∈”和“?”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．
3．“∈”和“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合．
跟踪演练2 设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是( )
A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈M
C．0∈M,2?M D．0?M,2?M
答案 B
解析 本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是不是不等式3－2x＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0?M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M.
要点三 集合中元素的特性及应用
例3 已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值．
解 ∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
规律方法 1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．
2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
跟踪演练3 已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________．
答案 1
解析 ∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.
当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意．
当a2－1＝0时，a＝±1.a＝－1(舍)，∴a＝1.
此时，A＝{2,0}，符合题意.
1．下列能构成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
答案 C
解析 A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
2．集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是( )
A．0∈A B．a?A C．a∈A D．a＝A
答案 C
解析 由题意知A中只有一个元素a，∴a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，也不能确定a是否等于0，故选C.
3．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A(填∈或?)．
答案 ? ∈
解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
4．已知①∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3?Z.正确的个数为________．
答案 3
解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的．
5．已知1∈{a2，a}，则a＝________.
答案 －1
解析 当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性知a＝－1.
1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．
2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a?A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．
3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.
一、基础达标
1．有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．
其中能构成集合的个数是( )
A．2B．3C．4D．5
答案 A
解析 ①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算“比较小”没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是不是此集合的元素有明确的标准可依．
2．已知集合A由x＜1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1?A
答案 C
解析 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 D
解析 根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
答案 B
解析 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0?A.故选B.
5．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．
答案 ±1
解析 由a2≠1，得a≠±1.
6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________．
答案 3
解析 由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，
∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3.
7．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)我校的年轻教师构成一个集合．
解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素．
(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．
二、能力提升
8．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
答案 B
解析 因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一验证可得m＝3，故选B.
9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.
答案 6
解析 ∵x∈N，且2＜x＜a，∴结合数轴知a＝6.
10．如果有一集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
答案 x≠0,1,2，.
解析 由集合元素互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.
11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，∴a＝－.
三、探究与创新
12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
第2课时 表示集合的方法
[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.3.能记住各类区间的含义及其符号，会用区间表示集合．
[知识链接]
1．质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数(不包括0)整除的数．
2．函数y＝x2－2x－1的图象与x轴有2个交点，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点，函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点．
[预习导引]
1．列举法
(1)把集合中的元素一个一个地写出来表示集合的方法，叫作列举法．
(2)用列举法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔．
2．描述法
(1)把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，叫作描述法．
(2)用描述法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性；也可以在大括号里先写出其中元素的一般属性或形式，再写出特写的符号(竖线)，然后在符号后面列出这些元素要满足的其他条件．
3．区间
设a，b是两个实数，且a＜b，区间的含义及表示如下表
名称
定义
符号
数轴表示
闭区间
{x|a≤x≤b}
[a，b]
开区间
{x|a＜x＜b}
(a，b)
左闭右开区间
{x|a≤x＜b}
[a，b)
左开右闭区间
{x|a＜x≤b}
(a，b]
无穷区间
{x|x≤a}
(－∞，a]
无穷区间
{x|x＜a}
(－∞，a)
无穷区间
{x|x＞a}
(a，＋∞)
无穷区间
{x|x≥a}
[a，＋∞)
要点一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．
解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．
(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
规律方法 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复．
跟踪演练1 用列举法表示下列集合：
(1)我国现有的所有直辖市；
(2)绝对值小于3的整数集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合．
解 (1){北京，上海，天津，重庆}；
(2){－2，－1,0,1,2}；
(3)方程组
的解是
所求集合为.
要点二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，
但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，
所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}．
(2)设被3除余2的数为x，
则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，
故x＝3n＋2，n∈N，
所以被3除余2的正整数集合可表示为
{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
规律方法 用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一．
跟踪演练2 用描述法表示下列集合：
(1)所有被5整除的数；
(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；
(3)集合{－2，－1,0,1,2}．
解 (1){x|x＝5n，n∈Z}；
(2){x|6x2－5x＋1＝0}；
(3){x∈Z||x|≤2}．
要点三 列举法与描述法的综合运用
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解 (1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}．
(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，
∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根．
则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}．
规律方法 1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解．(2)因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．
2．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．
跟踪演练3 把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合．
解 由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个实根．
∴
解得k＜1，且k≠0.
∴k取值范围的集合为{k|k＜1，且k≠0}.
1．集合{x∈N＋|x－3＜2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1, 2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案 B
解析 {x∈N＋|x－3＜2}＝{x∈N＋|x＜5}＝{1,2,3,4}．
2．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则( )
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．2∈A
答案 B
解析 ∵0∈N且－≤0≤，∴0∈A.
3．用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________．
答案 {x|x＜－}
解析 ∵x＜－x－3，∴x＜－.
∴解集为{x|x＜－}．
4．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________．
答案 {1}
解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
5．(1)全体非负实数组成的集合用区间表示为________．
(2)既是不等式x＋2≥0的解又是不等式3－x≥0的解组成的集合用区间表示为________．
(3)若有区间(m－1,2m＋3)，则m的取值范围是________．
答案 (1)[0，＋∞) (2)[－2,3] (3)(－4，＋∞)
1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
一、基础达标
1．下列关系式中，正确的是( )
A．{2,3}≠{3,2}
B．{(a，b)}＝{(b，a)}
C．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}
D．{y|y＝x2＋1}＝{x|y＝x＋1}
答案 C
解析 A中{2,3}＝{3,2}，集合元素具有无序性；B中集合中的点不同，故集合不同；C中{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}＝R；D中{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}≠{x|y＝x＋1}＝R.故选C.
2．方程组的解集是( )
A．{x＝1，y＝1} B．{1}
C．{(1,1)} D．(1,1)
答案 C
解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D不是集合的形式，排除D.
3．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是( )
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集
C．第四象限内的点集 D．第二、四象限内的点集
答案 D
解析 因为xy＜0，所以有x＞0，y＜0；或者x＜0，y＞0.因此集合M表示的点集在第四象限和第二象限．
4．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
答案 C
解析 集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A不对．
5．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________．
答案 {(2,4)，(5,2)，(8,0)}
解析 ∵3y＝16－2x＝2(8－x)，且x∈N，y∈N，∴y为偶数且y≤5，∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0.
6．有下面四个结论：
①0与{0}表示同一个集合；
②集合M＝{3,4}与N＝{(3,4)}表示同一个集合；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示．
其中正确的结论是________(填写序号)．
答案 ④
解析 {0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数3,4的集合，而集合N是实数对(3,4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．
7．下面三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}；
B＝{y|y＝x2＋1}；
C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
问：(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
解 (1)在A、B、C三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．
(2)集合A的代表元素是x，满足y＝x2＋1，
故A＝{x|y＝x2＋1}＝R.
集合B的代表元素是y，满足y＝x2＋1，
故B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C的代表元素是(x，y)，满足条件y＝x2＋1，即表示满足y＝x2＋1的实数对(x，y)；也可认为满足条件y＝x2＋1的坐标平面上的点．
因此，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}＝{点P∈平面α|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
二、能力提升
8．已知x，y为非零实数，则集合M＝＋为( )
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
答案 C
解析 当x＞0，y＞0时，m＝3，
当x＜0，y＜0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x＞0，y＜0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
9．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6 C．8 D．10
答案 D
解析 ∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1}，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.
10．如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．
答案 {(x，y)|－1≤x≤3，且0≤y≤3}
解析 图中阴影部分点的横坐标为－1≤x≤3，纵坐标为0≤y≤3，故用描述法可表示为
11．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个元素，请用列举法表示集合A.
解 ∵1是集合A中的一个元素，
∴1是关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的一个根，
∴a·12＋2×1＋1＝0，即a＝－3.
方程即为－3x2＋2x＋1＝0，
解这个方程，得x1＝1，x2＝－，
∴集合A＝{－，1}．
三、探究与创新
12．定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是多少？
解 当x＝1或2，y＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝2；当x＝2，y＝2时，z＝4.
所以A*B＝{0,2,4}，所以元素之和为0＋2＋4＝6.
13．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}：
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解 (1)∵A中有两个元素，
∴关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴得a＞－且a≠0，
故所求a的取值范围是{a|a＞－，且a≠0}．
(2)当a＝0时，A＝{－}；
当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，
∴Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.
故所求的a的取值范围是{a|a≤－，或a＝0}.
1.1.2 集合的包含关系
[学习目标] 1.明确子集，真子集，两集合相等的概念.2.会用符号表示两个集合之间的关系.3.能根据两集合之间的关系求解参数的范围.4.知道全集，补集的概念，会求集合的补集．
[知识链接]
1．已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是a＝b.
2．若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？x≥1时呢？
答案
3．方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？
答案 不一定．
[预习导引]
1．集合之间的关系
关系
概念
符号表示
图形表示
子集
如果集合B的每个元素都是集合A的元素，就说B包含于A，或者说A包含B.若B包含于A，称B是A的一个子集
B?A
或
真子集
如果B是A的子集，但A不是B的子集，就说B是A的真子集
B(A
集合相等
如果B是A的子集，A也是B的子集，就说两个集合相等
A＝B
全集、
补集
如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合I的元素和子集，就可以约定把集合I叫作全集．若A是全集I的子集，I中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集
?IA
2.常用结论
(1)任意一个集合A都是它本身的子集，即A?A.
(2)空集是任意一个集合的子集，即对任意集合A，都有??A.
要点一 有限集合的子集确定问题
例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．
解 由0个元素构成的子集：?；
由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；
由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；
由3个元素构成的子集：{1,2,3}．
由此得集合A的所有子集为?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．
规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
跟踪演练1 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．
解 当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.
要点二 集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}．
解 (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A(B.
(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A(B.
(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N(M.
规律方法 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．
跟踪演练2 集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合A和B的关系．
解 A＝{－3,2}，B＝.
∵－3＞－，2＞－，
∴－3∈B,2∈B，∴A?B
又0∈B，但0?A，∴A(B.
要点三 简单的补集运算
例3 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA等于( )
A．{1,2} B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5} D．?
(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________.
答案 (1)B (2){x|x＜1}
解析 (1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴?UA＝{3,4,5}．
(2)由补集的定义，结合数轴可得?UA＝{x|x＜1}．
规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
2．解题时要注意使用补集的几个性质：?UU＝?，?U?＝U，A∪(?UA)＝U.
跟踪演练3 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则?UA＝________.
答案 {x|x＝－3，或x＞4}
解析 借助数轴得?UA＝{x|x＝－3，或x＞4}．
要点四 由集合间的关系求参数范围问题
例4 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.
求实数m的取值范围．
解 ∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠?时，有
解得－1≤m＜2，综上得实数m的取值范围为
{m|m≥－1}．
规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．
2．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
跟踪演练4 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A(B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
解 (1)若A(B，由图可知a＞2.
(2)若B?A，由图可知1≤a≤2.
1．集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为( )
A．4 B．7 C．8 D．16
答案 B
解析 可知A＝{0,1,2}，其真子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．共有7(个)．
2．设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是( )
A．{0}?M B．{0}∈M
C．?∈M D．0?M
答案 A
解析 选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误．
3．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则?RA等于( )
A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x＜0，或x＞6}
C．{x|0＜x＜6} D．{x|x≤0，或x≥6}
答案 B
解析 A＝{x|0≤x≤6}，
结合数轴可得，?RA＝{x|x＜0，或x＞6}．
4．已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________.
答案 －1
解析 ∵A＝B，∴1－m＝2，∴m＝－1.
5．已知?({x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
答案 {a|a≤}
解析 ∵?({x|x2－x＋a＝0}．
∴{x|x2－x＋a＝0}≠?.
即x2－x＋a＝0有实根．
∴Δ＝(－1)2－4a≥0，得a≤.
1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
2．集合子集的个数
求解集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
一、基础达标
1．下列命题中，正确的有( )
①空集是任何集合的真子集；
②若A(B，B(C，则A(C；
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
④如果不属于B的元素也不属于A，则A?B.
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
答案 C
解析 ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④画图易知④正确．
2．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 A
解析 集合{0,1,2}的子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．
3．设集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝x2}，则P与Q的关系是( )
A．P?Q B．P?Q
C．P＝Q D．以上都不对
答案 D
解析 集合P是指函数y＝x2的自变量x的取值范围，集合Q是指所有二次函数y＝x2图象上的点，故P，Q不存在谁包含谁的关系．
4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A(B，则实数a满足( )
A．a＜4 B．a≤4
C．a＞4 D．a≥4
答案 D
解析 由A(B，结合数轴，得a≥4.
5．集合{－1,0,1}共有________个子集．
答案 8
解析 由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．
6．设M为非空的数集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有________个．
答案 6
解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)．
7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
二、能力提升
8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是( )
A．1 B．－1
C．0,1 D．－1,0,1
答案 D
解析 因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．
(1)当a＝0时，
方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
(2)当a≠0时，
由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，
∴a＝±1.
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．
∴a＝0或a＝±1.
9．已知集合A＝{高一·三班同学}，B＝{高一·三班二组成员}，则( )
A．A?B B．A?B
C．A(B D．B(A
答案 D
10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A?B，则实数a的值为________．
答案 －1或2
解析 A?B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.
11．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的集合．
解 由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
∴集合A＝{1,3}．
(1)当B＝?时，此时m＝0，满足B?A.
(2)当B≠?时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝.
∵B?A，∴＝1或＝3，解之得m＝3或m＝1.
综上可知，所求实数m的集合为{0,1,3}．
三、探究与创新
12．已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A(?RB，求a的取值范围．
解 ?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?，
∵A(?RB，
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论．
(1)若A＝?，此时有2a－2≥a，
∴a≥2.
(2)若A≠?，
则有或
∴a≤1.
综上所述，a的取值范围是{a|a≤1或a≥2}．
13．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B?A，求实数a的取值范围．
解 A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0，
①当Δ＝1－4a＜0，即a＞时，B＝?，B?A成立；
②当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，
B＝{－}，B?A不成立；
③当Δ＝1－4a＞0，即a＜时，若B?A成立，
则B＝{－3,2}，∴a＝－3×2＝－6.
综上：a的取值范围为{a|a＞或a＝－6}.
1.1.3 集合的交与并
[学习目标] 1.能说出两个集合的交集与并集的含义.2.会求两个集合的交集、并集.3.能记住充分条件、必要条件、充要条件的定义.4.会判断充分条件、必要条件、充要条件.5.知道什么是维恩(Venn)图．
[知识链接]
下列说法中，不正确的有________：
①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,3,4,5}；
②通知班长或团支书到政教处开会时，班长和团支书可以同时参加；
③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为{3}．
答案 ①②
[预习导引]
1．维恩(Venn)图
用来表示集合关系和运算的图，叫维恩(Venn)图．
2．并集与交集的概念
知识点
自然语言描述
符号语言表示
Venn图表示
交集
在数学里，把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A，B的交集
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
把集合A，B中的元素放在一起组成的集合，叫作A和B的并集
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
3.交集与并集的运算性质
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B＝B∩A
A∪B＝B∪A
A∩A＝A
A∪A＝A
A∩?＝?
A∪?＝A
4.集合与推理
一般来说，甲?乙，称甲是乙的充分条件，也称乙是甲的必要条件．如果既有甲?乙，又有乙?甲，就说甲是乙的充分必要条件，简称充要条件．
要点一 集合并集的简单运算
例1 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )
A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}
C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)在数轴上表示两个集合，如图．
规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点值不在集合中时，应用“空心点”表示．
跟踪演练1 (1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )
A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}
(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝ .
答案 (1)C (2){x|x＜－5，或x＞－3}
解析 (1)A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2,3}．
(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．
∴M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．
要点二 集合交集的简单运算
例2 (1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于( )
A．{2} B．{4}
C．{0,2,4,6,8,16} D．{2,4}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
答案 (1)D (2)A
解析 (1)观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}．
(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．
则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．
规律方法 1.求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似．
2．当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．
跟踪演练2 已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，求A∩B.
解 ∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，
把集合A与B表示在数轴上，如图．
∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0，或x≥}
＝{x|－1＜x≤0，或≤x≤3}．
要点三 已知集合交集、并集求参数
例3 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
解 由A∩B＝?，
(1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠?，如下图：
∴解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2，或a＞3}．
规律方法 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．
2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到．最好是把端点值代入题目验证．
跟踪演练3 设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求实数a的取值范围．
解 如下图所示，
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.
故a的取值范围是{a|1＜a≤3}
要点四 集合与推理
例4 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”中选出一种)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x＞1，q：x2＞1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：x2＋2x＋1＝0，q：x＝－1.
解 (1)p?q，但q?p，所以p是q的充分而不必要条件；
(2)方法一 p?q，但q?p，所以p是q的充分而不必要条件；
方法二 p对应的集合A＝{x|x＞1}，q对应的集合B＝{x|x2＞1}＝{x|x＞1，或x＜－1}，由于A(B，所以p是q的充分而不必要条件．
(3)p?q，但q?p，所以p是q的必要而不充分条件．
(4)方法一 p?q且q?p，所以p是q的充要条件．
方法二 p对应的集合A＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，q对应的集合B＝{－1}，而A＝B，所以p是q的充要条件．
规律方法 1.判断p是q的什么条件，实质是判断两个推出是否成立．若p?q但q?p，则p是q的充分而不必要条件；若p?q，但q?p，则p是q的必要而不充分条件；若p?q且q?p，则p是q的充要条件．
2．我们还可以从集合的观点去认识充分必要条件．若命题p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可借助集合知识来判断：(p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)})
(1)若A?B，则p是q的充分条件，若A(B，则p是q的充分而不必要条件，如图①.
(2)若B?A，则p是q的必要条件，若B(A，则p是q的必要而不充分条件，如图②.
(3)若A＝B，则p，q互为充要条件，如图③.
跟踪演练4 用“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”填空：
(1)“a＋b＜0且ab＞0”是“a＜0且b＜0”的 ；
(2)“a＝2”是“a2－2a＝0”的 ；
(3)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个内角相等”的 .
答案 (1)充要条件 (2)充分而不必要条件 (3)充要条件
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
答案 A
解析 集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素．故选A.
2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
答案 A
解析 注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．
3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}
答案 B
解析 由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，
故P∩M＝{0,1,2}．
4．已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－＜x＜}，则( )
A．A∩B＝? B．A∪B＝R
C．B?A D．A?B
答案 B
解析 ∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－＜x＜}，
∴A∩B＝{x|－＜x＜0，或2＜x＜}，A∪B＝R.故选B.
5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则实数k的取值范围为 .
答案 {k|k≤6}
解析 因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，
且M∩N≠?，所以－≥－3?k≤6.
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．
一、基础达标
1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于( )
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}
答案 A
解析 结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．
2．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于( )
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
答案 A
解析 集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.
3．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于( )
A．{0} B．{0,2}
C．{－2.0} D．{－2,0,2}
答案 D
解析 集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.
4．“x＞2”是“x2＞1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．以上都不对
答案 A
解析 由x＞2一定可推得x2＞1，但由x2＞1不一定可推得x＞2，所以“x＞2”是“x2＞1”的充分而不必要条件．
5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝?，则实数t的取值范围是( )
A．t＜－3 B．t≤－3
C．t＞3 D．t≥3
答案 A
解析 B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t＜－3.
6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝ .
答案 2
解析 ∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，
∴a＝2.
7．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
解 (1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．
(2)∵C＝{x|x＞－}，B∪C＝C?B?C，
∴－＜2，即a＞－4.
故a的取值范围是{a|a＞－4}．
二、能力提升
8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 D
解析 ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
9已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠?，若A∪B＝A，则( )
A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4
C．2＜m＜4 D．2＜m≤4
答案 D
解析 ∵A∪B＝A，∴B?A.又B≠?，
∴即2＜m≤4.
10．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}，且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝ ，b＝ .
答案 －1 2
解析 ∵B∪C＝{x|－3＜x≤4}，∴A((B∪C)．
∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．
∴a＝－1，b＝2.
11．已知集合S＝{x|1B＝{x|3≤x<7}．
求：(1)?SA∩?SB；(2)?S(A∪B)；(3)?SA∪?SB；(4)?S(A∩B)．
解 如图所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，
?SA＝{x|1?SB＝{x|1由此可得：(1)?SA∩?SB＝{x|1(2)?S(A∪B)＝{x|1(3)?SA∪?SB＝{x|1＝{x|1(4)?S(A∩B)＝{x|1＝{x|1三、探究与创新
12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解 ∵A∪B＝A，∴B?A.
若B＝?，2a＞a＋3，即a＞3；
若B≠?，
解得：－1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2，或a＞3}．
13．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A?B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
解 (1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，
则A∪B＝{x|－2＜x＜3}．
(2)由A?B知，
得m≤－2，即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．
(3)由A∩B＝?得：
①当2m≥1－m即m≥时，B＝?，符合题意；
②当2m＜1－m即m＜时，需或
得0≤m＜或?，即0≤m＜.
综上知m≥0，
即实数m的取值范围为{m|m≥0}．
1．2.1 对应、映射和函数
[学习目标] 1.能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象.2.会判断给出的对应是否是映射.3.能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域.4.能说出函数的三要素．
[预习导引]
1．映射
(1)在数学里，把集合到集合的确定性的对应说成是映射．
(2)映射的定义：设A，B是两个非空的集合．如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.
(3)在映射f：A→B中，集合A叫作映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的象，记作y＝f(x)，x叫作y的原象．
2．函数
(1)函数就是数集到数集的映射．
(2)函数的定义：设A，B是两个非空的数集．如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B，或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．
(3)在函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)中，A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的象，记作y＝f(x)，由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的值域．
(4)函数的三要素：①对应法则；②定义域；③值域.
要点一 映射定义的理解
例1 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射．哪些不是，为什么？
(1)A＝{x|x∈R＋}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±；
(2)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝
(3)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，f：a→b＝(a－1)2.
解 (1)任一个x都有两个y与之对应，∴不是映射．
(2)对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，∴是映射．
(3)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射．
规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是不是“对于A中的每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”．
一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射．
说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．
跟踪演练1 下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？
(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝；
(2)A＝{a|a＝n，n∈N＋}，B＝，
f：a→b＝；
(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；
(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．
解 (1)当x＝－1时，y的值不存在，
∴不是映射，更不是函数．
(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素．
(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．
(4)是映射，但不是函数，∵A，B不是非空的数集．
要点二 映射的象与原象
例2 已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x2＋2x.
(1)求A中元素－1和3的象；
(2)求B中元素0和3的原象；
(3)B中的哪一些元素没有原象？
解 (1)令x＝－1得y＝(－1)2＋2×(－1)＝－1，
令x＝3得y＝32＋2×3＝15，
所以－1的象是－1,3的象是15.
(2)令x2＋2x＝0，解得x＝0或－2，
所以0的原象是0或－2.
令x2＋2x＝3.解得x＝1或－3，
所以3的原象是1或－3.
(3)由于y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，所以只有当y≥－1时，它在A中才有原象，而当y＜－1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于－1的元素没有原象．
规律方法 1.解答此类问题的关键：
(1)分清原象和象；
(2)搞清楚由原象到象的对应法则．
2．对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解．
跟踪演练2 (1)映射f：A→B，A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a∈A，在集合B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的最少个数是( )
A．7 B．6 C．5 D．4
(2)设A＝{x|x是锐角}，B＝(0,1)，从A到B的映射是“求正弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________，与B中元素相对应的A中的元素是________．
答案 (1)D (2) 45°
解析 (1)由映射定义知，B中至少有元素1,2,3,4，即B中至少有4个元素，选D.
(2)60°角的正弦等于，45°角的正弦等于，所以60°的象是，的原象是45°.
要点三 映射的个数问题
例3 已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？
解 分两类考虑：
(1)集合A中的两个元素都对应B中相同元素的映射有3个．
(2)集合A中的两个元素对应B中不同元素的映射有6个．
∴A到B的映射共有9个．
规律方法 1.若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有mn个，从B到A的映射有nm个．
2．对于给出A到B的映射需要满足某些特殊要求时，求映射的个数的问题，其关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图示法、数形结合法等)．
跟踪演练3 (1)在例3中，从集合B到集合A可以建立多少个不同的映射？
(2)已知集合A＝{a，b}，B＝{2,0，－2}，f是从A到B的映射，且f(a)＋f(b)＝0，求这样的映射f的个数．
解 (1)可以建立以下8个不同的映射：
(2)符合要求的映射f有以下3个：
要点四 函数的概念
例4 下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,1}，对应法则如图所示
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
答案 B
解析 选项A中由x2＋y2＝1，得y＝±，对于x任意值，y不唯一；选项B中，对于任意x∈A，都有唯一y∈B；选项C中，x＝1时，通过法则f，y值不存在；选项D中，取x＝2∈A，但是通过f，对应y值为＝?B，即y值不存在，由函数定义知，答案为B.
规律方法 判断由一个式子是否确定y是x的函数的一般程序：
(1)将原式等价转化为用x表示的形式；
(2)看x的取值集合是否为?，若是?，则不是函数，若不是?，再看x与y的对应法则；
(3)判断对于原式有意义的每一个x值，是否都有唯一的y值与之对应．若是，则确定y是x的函数，若不是，则不能确定y是x的函数．
另外还要注意若题目是图象的形式，就要观察图象中是否有一个自变量对应多个函数值的形式，若有这种情况则构不成函数．
跟踪演练4 下列各图中，可表示函数y＝f(x)图象的只可能是( )
答案 D
解析 由函数定义知，对于x的每一个值应有唯一的y的值与之对应，只有D项正确.
1．给出下列四个对应法则，是映射的是( )
A．③④ B．①②
C．②③ D．①④
答案 C
解析 ①中c没有与之对应的元素，不是映射；④中a有两个与之对应的元素，不是映射，所以选C.
2．对于集合A到集合B的映射，下列理解不正确的是( )
A．A中的元素在B中一定有象
B．B中的元素在A中可能没有原象
C．集合A中的元素与B中的元素一一对应
D．设A＝B＝R，那么y＝x2是A到B的一个映射
答案 C
解析 在A到B的映射中，A中的元素与B中的元素不一定是一一对应，可以多对一，选C.
3．点(x，y)在映射f下的对应元素为，则点(2,0)在f作用下的对应元素为( )
A．(0,2) B．(2,0)
C．(，－1) D．(，1)
答案 C
解析 ∵x＝2，y＝0时，＝，＝－1，
∴(2,0)在f作用下的对应元素为(，－1)．
4．下列各式中，能确定y是x的函数的是( )
A．x＋3y＝1 B．x2＋y2＝2
C．y＝＋ D．y2＝x
答案 A
解析 B选项中y＝±，D选项中y＝±，x的每一个值都有2个y值与之对应，不是函数，C项中由于x－2≥0且1－x≥0，所以x的值不存在，也不能确定函数，只有A项正确．
5．设集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则从A到B的映射共有________个．
答案 4
解析 可以构成4个映射，它们是
1.映射的定义
(1)从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；确定一个映射需要三个条件：两个非空集合A和B，建立一个对应法则f：A→B，且满足映射的对应关系．
(2)对应关系有三种：一是“多对一”，二是“一对一”，再是“一对多”．根据映射的定义可以得知，只有“多对一”和“一对一”才能构成两个非空集合之间的映射，而“一对多”不可以．
(3)映射的定义涉及两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其他的集合．
2．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应法则f的作用下即可得到唯一确定的值y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应法则，甚至认为函数就是函数值．
3．正确理解函数的三要素，其中对应法则是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．
一、基础达标
1．已知A＝{－1,1}，映射f：A→A，则对x∈A，下列关系中肯定错误的是( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝－1
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x＋2
答案 D
解析 对于D，取x＝1∈A，但是通过f，对应f(1)＝3?A.由映射定义知，D错误．
2．已知函数f(x)＝，则f(1)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 B
解析 f(1)＝＝2.
3．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x－1和y＝ B．y＝x和y＝
C．y＝x2和y＝(x＋1)2 D．y＝和y＝
答案 D
解析 A，B中两函数的定义域不同，C中的两个函数对应法则不同，故选D.
4．下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是________．
答案 (2)(5)
5．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝________.
答案 2
解析 f(1)＝12＋|1－2|＝2.
6．已知集合A到集合B＝{2,3,4,5}的映射f：x→y＝|x|－1，且集合B中至少有一个元素在集合A中没有原象，则集合A中最多有________个元素．
答案 6
解析 若|x|－1＝2，则x＝±3；若|x|－1＝3，则x＝±4；若|x|－1＝4，则x＝±5；若|x|－1＝5，则x＝±6.又因为集合B中至少有一个元素在集合A中没有原象，所以集合A中最多有6个元素．
7．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N＋.若x∈A，y∈B，有对应法则f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个函数，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．
解 由f(1)＝4，f(2)＝7，列方程组：?故对应法则为f：x→y＝3x＋1.由此判断出A中元素3的象是n4或n2＋3n.若n4＝10，因为n∈N＋，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A中的元素m的象是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的象是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.
二、能力提升
8．设f(x)＝，则等于( )
A．1 B．－1 C. D．－
答案 B
解析 ∵f(2)＝＝，f＝＝－，
∴＝×(－)＝－1.
9．g(x)＝－3x，f(x)＝(x≠0)，则f()×g()等于( )
A．－ B.C. D．9
答案 C
解析 ∵f()＝＝15，
g()＝－＝，∴f()×g()＝.
10．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则从A到B的不同映射有________个．
答案 4
解析 a→c，b→c；a→d，b→d；a→c，b→d；a→d，b→c，共4个．
11．若f(x)＝ax2－，a为一个正的常数，且f[f()]＝－，求a的值．
解 因为f()＝2a－.
所以f[f()]＝f(2a－)＝a·(2a－)2－＝－，
所以a·(2a－)2＝0(a＞0)，故2a－＝0，所以a＝.
三、探究与创新
12．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，a∈N＋，k∈N＋，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B.
解 根据对应法则f，有：
1→4；2→7；3→10；k→3k＋1.
若a4＝10，则a?N＋，不符合题意，舍去；
若a2＋3a＝10，
则a＝2(a＝－5不符合题意，舍去)．
故3k＋1＝a4＝16，得k＝5.
综上：a＝2，k＝5，集合A＝{1,2,3,5}．
B＝{4,7,10,16}．
13．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f()，f(3)与f()；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f()有什么关系吗？并证明你的发现；
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＋f()＋f()＋…＋f()．
解 (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，f()＝＝，
f(3)＝＝，f()＝＝.
(2)由(1)可发现f(x)＋f()＝1，证明如下：
f(x)＋f()＝＋＝＋＝1.
(3)由(2)知：f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，…，f(2014)＋f()＝1，
∴原式＝＋1＋1＋1＋…＋1＝2013＋＝.
2013个
1.2.2 表示函数的方法
[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．
[知识链接]
1．在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)．
3．函数y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．
[预习导引]
1．表示函数的方法
(1)把一个函数的对应法则和定义域交待清楚的办法，就是表示函数的方法；
(2)表示函数的三种主要方法分别是：解析法、图象法和列表法．
2．解析法
(1)解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式，也叫作解析表达式或函数关系式．
(2)解析法就是用解析式来表示函数的方法．
3．图象法
函数图象的作图过程通常有列表、描点、连线三个步骤.
要点一 待定系数法求函数解析式
例1 (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；
(2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)．
解 (1)设反比例函数f(x)＝(k≠0)，
由f(3)＝＝－6，解得k＝－18，
故f(x)＝－.
(2)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(1)＝1，f(－1)＝－3，
∴
解得∴f(x)＝2x－1.
∴f(3)＝2×3－1＝5.
规律方法 待定系数法求函数解析式的步骤如下：
(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为f(x)＝(k≠0)，二次函数解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组．
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值．
(4)将所求待定系数的值代回原式．
跟踪演练1 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式．
解 设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
解得故f(x)＝x2＋1.
要点二 换元法(或配凑法)求函数解析式
例2 求下列函数的解析式：
(1)已知f＝＋，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
解 (1)方法一 (换元法)令t＝＝＋1，有x＝.
则t≠1.把x＝代入f＝＋，得
f(t)＝＋
＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，(x≠1)
方法二 (配凑法)∵f＝＋
＝2－＝2－＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
又∵＝＋1≠1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
(2)方法一 (换元法)令＋1＝t(t≥1)，
则x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二 (配凑法)∵x＋2＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1.
又∵＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
规律方法 1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法．所谓换元法，即将“＋1”换成另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，再代入原式中求出关于“t”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况．
2．配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x＋2”变成含有“＋1”的表达式．这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求．
跟踪演练2 已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝________.
答案 x2－4x＋3
解析 方法一 (换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，
可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二 (配凑法)因为x2－2x
＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3
＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
即f(x)＝x2－4x＋3.
要点三 作函数的图象
例3 作出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．
解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．
(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示．
规律方法 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．
2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还是空心点．
跟踪演练3 画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)．
解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线．
图象如图(2)．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x＜2
2
2＜x≤4
f(x)
1
2
3
A.1 B．2
C．3 D．不存在
答案 C
解析 由表可知f(3)＝3.
2．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
答案 C
解析 设y＝，由1＝得，k＝2.
因此，y关于x的函数关系式为y＝.
3．若f(x＋2)＝2x＋3，f(3)的值是( )
A．9B．7C．5D．3
答案 C
解析 令x＋2＝3，则x＝1，∴f(3)＝2×1＋3＝5.
4．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
答案 D
解析 由二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，可排除A、B；又图象过点(0,0)，可排除C；D项符合题意．
5．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f的值等于________．
答案 2
解析 由函数f(x)图象，知f(1)＝2，f(3)＝1，
∴f＝f(1)＝2.
1.函数三种表示法的优缺点
2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．
3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．
一、基础达标
1．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于( )
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
答案 B
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴∴，∴f(x)＝3x－2.
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
3．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2－2x－1
答案 A
解析 令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝f(x－1)
＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.
4．等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则( )
A．y＝10－x(0C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5答案 D
解析 ∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x，
解不等式组得55．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
(1)f[g(1)]＝________；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝________.
答案 (1)1 (2)1
解析 由表知g(1)＝3，
∴f[g(1)]＝f(3)＝1；
由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2，
再由表知x＝1.
6．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________．
答案 5
解析 ∵f(2x＋1)＝3x－2＝(2x＋1)－，
∴f(x)＝x－，∵f(a)＝4，
即a－＝4，∴a＝5.
7．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小；
(3)求函数f(x)的值域．
解 f(x)＝－(x－1)2＋4的图象，如图所示：
(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
∴f(1)＞f(0)＞f(3)．
(2)由图象可以看出，
当x1＜x2＜1时，
函数f(x)的函数值随着x的增大而增大，
∴f(x1)＜f(x2)．
(3)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4]．
二、能力提升
8.如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
答案 B
解析 令＝t，则x＝，代入f＝，
则有f(t)＝＝，故选B.
9．函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是________．
答案 [2,11)
解析 画出函数的图象，如下图所示，
观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是
[f(2)，f(5))，即函数的值域是[2,11)．
10．若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，则f(2)＝________.
答案
解析 令x＝2得2f(2)＋f＝，
令x＝得2f＋f(2)＝，
消去f得f(2)＝.
11．已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝c＝0，
∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)
＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1
＝ax2＋(b＋1)x＋1.
∴ ∴
∴f(x)＝x2＋x.
三、探究与创新
12．求下列函数的解析式：
(1)已知f＝x2＋＋1，求f(x)；
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．
解 (1)f＝2＋2＋1＝2＋3.
∴f(x)＝x2＋3.
(2)以－x代x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.
与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得：
f(x)＝x2－2x.
13．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
解 因为对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．
又f(0)＝1，∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.
1.2.3 从图象看函数的性质
[学习目标] 1.能从函数的图象上看出函数的性质，如最值，有界性，单调性，奇偶性等.2.掌握正比例函数，一次函数，反比例函数的性质．
[知识链接]
1．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条直线，它经过原点．
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k＞0时，随着x的增大，y增大．
3．反比例函数y＝的图象为：
[预习导引]
1．奇函数和偶函数
(1)奇函数：如果函数的图象关于原点中心对称．也就是说，绕原点旋转180°后和自己重合．这样的函数被说成是奇函数．
(2)偶函数：如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，这个函数被说成是偶函数．
2．单调函数
(1)单调递增函数：函数值y随自变量x的增大而增大，这样的函数叫作单调递增函数；
(2)单调递减函数：函数值y随自变量x的增大而减小，这样的函数叫作单调递减函数；
(3)单调递增、单调递减简称为递增或递减，递增函数和递减函数统称为单调函数．
3．函数的最值与上、下界
(1)股票指数走势图中，一般会标明最高和最低指数，以及达到最高和最低指数的时间．前者分别叫作函数的最大值和最小值，后者分别叫作函数的最大值点和最小值点．最大值和最小值统称为最值．
(2)图象向上方和下方无限伸展，这样的函数叫作无上界也无下界的函数.
要点一 奇函数与偶函数问题
例1 下面给出了一些函数的图象，根据图象说明哪些是奇函数？哪些是偶函数？
解 从图象可以发现，(1)(4)两个函数图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数；(2)(3)两个函数图象关于原点成中心对称，对应的函数是奇函数．
规律方法 判断函数的奇偶性主要根据图象的对称性来鉴别．偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点成中心对称．
跟踪演练1 (1)如图是根据y＝f(x)绘出来的，则表示偶函数的图象是图中的________．(把正确命题的序号都填上)
(2)函数f(x)＝(x∈(－2,0))是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案 (1)③ (2)D
解析 (1)只有③中的图象是关于y轴对称的，故表示偶函数的只有③.
(2)画出函数f(x)＝(x∈(－2,0))的图象(如图)，可知图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故该函数既不是奇函数也不是偶函数．
要点二 函数的单调性
例2 (1)一天，亮亮发烧了，早晨烧得很厉害，吃过药后，感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下面各图能基本上反映出亮亮这一天(0～24时)体温的变化情况的是( )
(2)如图，是一个函数f(x)在y轴左侧的图象．
①当f(x)是奇函数时，画出该函数在y轴右侧的图象，并说明该函数在(0，＋∞)上是增函数还是减函数？
②当f(x)是偶函数时，该函数在y轴右侧的图象必经过哪个点？
(1)答案 C
解析 依题意知只有C选项最符合条件，故选C.
(2)解 ①f(x)在y轴右侧图象如图，它在(0，＋∞)上是单调减函数；
②f(x)在y轴右侧的图象必经过点(2,0)．
规律方法 1.看函数的单调性主要是看在定义域中函数是否随自变量的增加而增加，若是，就是单调递增，反之则单调递减．
2．一个奇函数在y轴两侧的增减性相同，一个偶函数在y轴两侧的增减性相反．
3．若已知奇函数f(x)的图象经过点(a，b)，则它一定也经过点(－a，－b)；若已知偶函数f(x)的图象经过点(a，b)，则它一定也经过点(－a，b)．
跟踪演练2 (1)若函数f(x)的图象如图，则f(x)在区间________上是单调递增函数，在区间________上是单调递减函数．
(2)从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(时)的关系用图象表示为( )
答案 (1)[－2,1]，[3,5] [－5，－2]，[1,3] (2)C
解析 (2)该人与招待所的距离随着时间增加而减少，故只有C，D符合这一条件．又0≤s≤20，故选C.
要点三 函数的最值
例3 给出函数的图象如图所示，则该函数的最大值和最小值分别是多少？该函数有上界吗？有下界吗？
解 观察图象可知图象的最高点的函数值为2，但该点无意义，最低点的函数值为0.故函数无最大值，最小值是0.从图象可知，该函数既有上界，也有下界．
规律方法 1.最高点对应的是最大值，最低点对应的是最小值．在看这两个点时要注意在该点自变量是否有意义，如果x在该点不能取值，那么即使是图象的最高点和最低点也不是最值．
2．如果一个函数的图象上不封顶、向上方无限延伸，就称该函数无上界，否则有上界；如果一个函数的图象下不保底，向下方无限延伸，就称其无下界，否则有下界．
跟踪演练3 给出函数的图象如图所示，则该函数的最大值和最小值分别是多少？该函数有上界吗？有下界吗？
解 最大值是2，没有最小值．该函数既有上界，也有下界.
1．函数f(x)＝－3x是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案 A
解析 画出y＝－3x的图象(图略)，观察图象知其关于原点中心对称，所以它是奇函数，选A.
2．函数f(x)＝－x2在区间(－1，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．不具有单调性 D．无法判断单调性
答案 C
解析 画出f(x)＝－x2的图象(图略)，观察可知它在(－1，＋∞)上先单调递增后单调递减，不具有单调性，选C.
3．下图的四个函数图象中奇函数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 从图中可以看出(2)(4)两个图象关于原点成中心对称，故有两个奇函数．
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则以下说法正确的是( )
A．函数有最大值，无最小值
B．函数无最大值，有最小值
C．函数有上界，无下界
D．函数无上界，无下界
答案 D
5．已知y＝f(x)的图象如下图(包括端点)，则函数的单调递增区间为________．
答案 [－1,0)，[1,2]
1.一次函数定义：y＝kx＋b(k≠0)，不要漏掉条件k≠0.当b＝0时，此函数为正比例函数，它是一次函数的特例．
2．一次函数的性质：k＞0时，y＝kx＋b单调递增；k＜0时，y＝kx＋b单调递减．
3．函数的图象有着重要的应用，读图、识图作为一种能力在高考中越来越受重视．常见的思考方法：定性法、定量法、模型函数法、转化法．用图象法要通过图象不仅看出函数的定义域、值域，更要看出图象反映出的其他性质．
一、基础达标
1．下列四个函数，不是正比例函数的是( )
A．f(x)＝－2x B．f(x)＝πx
C．f(x)＝2(x＋1) D．f(x)＝－x
答案 C
2．下列命题中错误的是( )
A．图象关于原点为中心对称的函数一定为奇函数
B．奇函数的图象一定过原点
C．偶函数的图象若不过原点则它与x轴交点的个数一定为偶数
D．图象关于y轴对称的函数一定为偶函数
答案 B
3．下列函数中，y随x的增大而增大的是( )
A．y＝4－x B．y＝10－
C．y＝－－x D．y＝x
答案 D
解析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)当y随x增大而增大时，k必须大于零．
4．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
答案 D
解析 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
5．下列图象中能作为偶函数图象的是( )
答案 D
解析 偶函数图象关于y轴对称，而B项是一对多对应，不能作为函数图象，而D项符合题意，因此选D.
6．已知一次函数y＝(m－2)x＋m2－3m－2，它的图象在y轴上的截距为－4，则m的值为________．
答案 1
解析 令x＝0，得y＝m2－3m－2＝－4，
∴m2－3m＋2＝0，∴m＝1或2，
又m－2≠0，即m≠2，∴m＝1.
7．如果一个函数是奇函数，那么它在y轴两侧的增减性有什么关系？如果一个函数是偶函数呢？
解 奇函数在y轴两侧的增减性是相同的，偶函数在y轴两侧的增减性是相反的．
二、能力提升
8．函数y＝1－的图象是( )
答案 B
9．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)
答案 D
解析 由图象法可解，由函数的性质可画出其图象如图所示：显然f(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜2}．
10．关于x的一次函数y＝(2a－5)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是______．
答案 (2，)
解析 因为一次函数y＝(2a－5)x＋a－2与y轴的交点在x轴上方，即截距大于0，且y随x的增大而减小，所以?2＜a＜.
11．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示．
甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明：
(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模最大？说明理由．
解 (1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b，
经过(1,1)和(6,2)．
可求得k＝0.2，b＝0.8.
∴y甲＝0.2(x＋4)．
同理可得y乙＝4(－x＋)．
故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．
(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．
(3)设第x年规模最大，
即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4(－x＋)
＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
当x＝－＝2≈2时，
y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2最大，
即第二年规模最大，为31.2万只．
三、探究与创新
12．设函数g(t)＝t2－2at，若a∈[－1,1]时，g(t)≥0恒成立，求t的取值范围．
解 设f(a)＝－2at＋t2，
∵a∈[－1,1]时，g(t)≥0恒成立，
∴只须f(a)的图象在横轴及横轴上方．
即解得t≤－2或t＝0或t≥2.
13．某公司推销一种产品，设x(件)是推销产品的数量，y(元)是推销费，如图表示了该公司每月付给推销员推销费的两种方案．
看图解答下列问题：
(1)求y1与y2的函数解析式；
(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；
(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？
解 (1)设y1＝k1x，y2＝k2x＋b，
观察图象，点(30,600)在y1＝k1x上，
由此得k1＝20，∴y1＝20x，
把点(0,300)和(30,600)代入y2＝k2x＋b，
得k2＝10，b＝300，∴y2＝10x＋300.
(2)方案一 没有基本工资，每推销1件产品，付推销费20元(即y＝20x)．
方案二 每月发基本工资300元，每推销1件产品，再付10元推销费(即y＝10x＋300)．
(3)可以根据自己的业务能力和市场行情选择付费方案．
由y1＝y2，即20x＝10x＋300，得x＝30.
所以，若每月可以推销30件产品，则两种方案都一样；若每月推销量不足30件，则y2＞y1，选择方案二；若每月推销量可以超过30件，则y1＞y2，选择方案一．
1．2.4 从解析式看函数的性质
[学习目标] 1.理解函数单调性的定义，了解有界函数、无界函数的定义.2.运用函数单调性的定义判断函数的单调性.3.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，体会函数最大值、最小值与单调性之间的关系及其几何意义.4.会利用函数的单调性求函数的最值．
[知识链接]
以下说法中：
①函数y＝2x在R上为增函数；
②函数y＝的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
③函数y＝x2＋2x－3的单调递增区间为(1，＋∞)．
正确的有________．
答案 ①
[预习导引]
1．函数的上界和下界
(1)上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B使得f(x)≤B对一切x∈D成立，称B是函数f的一个上界，如果有实数A使得f(x)≥A对一切x∈D成立，称A是函数f的一个下界．
(2)有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数．
2．函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．
(2)函数的最小值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值f(b)，称f(b)为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点．
3．函数的单调性
(1)函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递减函数．
(2)如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x)的严格单调区间．
(3)对于函数f(x)，设h＞0，差式f(x＋h)－f(x)叫作函数在区间I上的差分．差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数.
要点一 判断或证明函数的单调性
例1 证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．
证明 f(x＋h)＝x＋h＋，
∴f(x＋h)－f(x)＝x＋h＋－x－
＝h＋－＝h－＝.
∵h＞0，x＞1，∴hx2＋h2x－h＞0，x(x＋h)＞0.
∴＞0.
即差分f(x＋h)－f(x)＞0，
∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．
规律方法 证明函数单调性的步骤是：(1)作差分f(x＋h)－f(x)；(2)变形整理；(3)判断差分的符号；(4)下结论．
跟踪演练1 (1)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
(2)证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数．
(1)答案 D
解析 因为在函数的定义中特别强调了x1，x2两个值必须属于同一个单调区间，不是同一单调区间时不能比较函数值的大小，因此，f(x1)与f(x2)的大小关系无法确定，故选D.
(2)证明 f(x＋h)－f(x)＝－＝，
∵x＞0，h＞0，∴＜0.
即差分f(x＋h)－f(x)＜0，故f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数．
要点二 求函数的单调区间
例2 分别作出下列函数图象，写出它们的单调区间．
(1)y＝x2＋2x；(2)y＝2|x|；(3)y＝－x2＋2|x|＋3.
解 (1)函数y＝x2＋2x在(－∞，－1]上是递减函数，在[－1，＋∞)上是递增函数．
(2)y＝2|x|＝
图象如图：
函数y＝2|x|在(－∞，0]上是递减函数，在[0，＋∞)上是递增函数．
(3)∵f(x)＝
图象如图：
函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是递增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是递减函数．
规律方法 利用函数的图象确定函数的单调区间，具体的做法是，先化简函数的解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．
跟踪演练2 作出函数y＝x|x|＋1的图象并写出其单调区间．
解 由题意可知y＝作出函数的图象如图所示，所以原函数在(－∞，＋∞)上为单调递增函数．
要点三 函数单调性的应用
例3 已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的递增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
解 因为f(x)是定义在[－1,1]上的递增函数，
且f(x－2)＜f(1－x)，
所以有
解得
即x的取值范围是1≤x＜.
规律方法 1.单调性的应用主要体现在求解参数的取值范围、解不等式以及求解最值等题型上，解题时注意采用数形结合的方法求解．已知函数在某个区间上的单调性求解x的取值范围时，要求自变量首先应在定义域内，这是一个容易出现错误的地方，然后在此基础上利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系求解．
2．利用函数的单调性求最值时，首先要证明或判断函数的单调性，若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；若f(x)在[a，b]上单调递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)．
跟踪演练3 (1)若函数y＝x2－2ax＋2在[1，＋∞)上为递增函数，求实数a的取值范围；
(2)求函数f(x)＝在[2,4]上的最值．
解 (1)由题意可知原函数为y＝(x－a)2＋2－a2，其开口向上，且对称轴为x＝a，若使得原函数在[1，＋∞)为递增函数，则只需对称轴x＝a在直线x＝1的左侧或与其重合，即满足a≤1即可，所以实数a的取值范围是a≤1.
(2)∵f(x＋h)－f(x)＝－
＝＝，
又∵h＞0，x＞2，∴＞0.
故f(x)在[2,4]上单调递增．
于是f(x)在[2,4]上的最大值是f(4)＝，最小值是f(2)＝0.
1．函数y＝－x2的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案 A
解析 由图象可知，y＝－x2的单调递增区间是(－∞，0]，选A.
2．函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值，最小值分别为( )
A．f(2)，f(－2) B．f()，f(－1)
C．f()，f(－) D．f()，f(0)
答案 C
3．设一次函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的递减函数，则a的取值范围为( )
A．a＞ B．a＜
C．a≥ D．a≤
答案 B
解析 f(x＋h)－f(x)＝[(2a－1)(x＋h)＋b]－[(2a－1)x＋b]＝(2a－1)h，
依题意(2a－1)h＜0，而h＞0，
∴2a－1＜0，即a＜，选B.
4．若函数f(x)在区间I上是单调递增函数，则对任意的x1，x2∈I(x1≠x2)，必有( )
A．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]≤0
D．(x1－x2)[f(x1－f(x2))]≥0
答案 B
解析 由于f(x)在I上单调递增，所以当x1＜x2时有f(x1)＜f(x2)；当x1＞x2时有f(x1)＞f(x2)，因此必有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，选B.
5．若f(x)是R上的单调递减函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1与x2的大小关系是________．
答案 x1＜x2
解析 由定义知当f(x1)＞f(x2)时一定有x1＜x2.
1.函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是递减函数．
3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．
若f(x)＞0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．
5．求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出．
6．运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别当函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法.
一、基础达标
1．下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 B
解析 当x1＜x2时，x1－x2＜0，由＞0知f(x1)－f(x2)＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，①正确；②、③、④均不正确．
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
答案 A
解析 (排除法)函数y＝3－x在R上为减函数，函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，函数y＝－x2＋4在[0，＋∞)上是减函数．
3．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是( )
A．(－∞，40) B．[40,64]
C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞)
答案 C
解析 对称轴为x＝，则≤5或≥8，解得k≤40或k≥64.
4．若f(x)为R上的增函数，kf(x)为R上的减函数，则实数k的取值范围是( )
A．k为任意实数 B．k＞0
C．k＜0 D．k≤0
答案 C
解析 由函数单调性的定义，设x是任意实数，且h＞0，x＜x＋h，则f(x)＜f(x＋h)，且kf(x＋h)＜kf(x)，得出f(x)－f(x＋h)＜0，k[f(x)－f(x＋h)]＞0，则k＜0.
5．函数y＝x|x－1|的单调递增区间是________________．
答案 (－∞，]，[1，＋∞)
解析 画出函数y＝x|x－1|＝的图象，
如图，可得函数的增区间为(－∞，]，[1，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
答案 －3
解析 f(x)＝2(x－)2＋3－，
由题意得＝2，∴m＝8，则f(x)＝2x2－8x＋3，
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
7．证明：f(x)＝－2x＋5在R上是单调递减函数．
证明 f(x＋h)－f(x)＝[－2(x＋h)＋5]－(－2x＋5)＝－2h＜0，
即f(x＋h)－f(x)＜0.
故f(x)在R上是单调递减函数．
二、能力提升
8．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A．(－，＋∞) B．[－，＋∞)
C．[－，0) D．[－，0]
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a＞0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上单调递增；当a＜0时，只有－≥4，即a≥－时满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是－≤a≤0.
9．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则( )
A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(1)答案 B
解析 因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)10．已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是______．
答案 [，)
解析 要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：
①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；
②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；
③g(1)≥h(1)．
∴
∴≤a＜.
11．求函数y＝在区间[2,6]上的最大值和最小值．
解 ∵f(x＋h)－f(x)＝－
＝.
∵x∈[2,6]，h＞0，
∴x＋h－1＞0，x－1＞0，
∴(x＋h－1)(x－1)＞0，
故函数y＝在区间[2,6]上是递减函数．
因此函数y＝在区间[2,6]的两个端点处取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值2，在x＝6时取得最小值.
三、探究与创新
12．已知函数f(x)在实数集中满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)在定义域内是减函数．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(2a－3)＜0，试确定a的取值范围．
解 (1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，得：f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(2a－3)＜0，即是f(2a－3)＜f(1)．
∵f(x)在R上是减函数，
∴2a－3＞1，得a＞2.
即a的取值范围为(2，＋∞)．
13．设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：
(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)；
(2)f(2)＝1；
(3)在(0，＋∞)上是增函数．
如果f(2)＋f(x－3)≤2，求x的取值范围．
解 ∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴令x＝y＝2，
得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)．
又f(2)＝1，∴f(4)＝2.
∵f(2)＋f(x－3)＝f[2(x－3)]＝f(2x－6)，
f(2)＋f(x－3)≤2可化为f(2x－6)≤2＝f(4)，
即f(2x－6)≤f(4)．
∵f(x)在(0，＋∞)上递增，
解得3故x的取值范围为(3,5]．
1．2.5 函数的定义域和值域
[学习目标] 1.理解函数的定义域和值域.2.会求一些常见函数的定义域和值域．
[知识链接]
1．已知函数解析式求定义域时应注意从哪些方面使表达式有意义？
答案 应注意以下几点：
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次根式的被开方数非负；
(3)y＝x0要求x≠0.
2．求出函数定义域后应写成什么形式？
答案 定义域应写成集合或区间的形式．
[预习导引]
1．函数的定义域
(1)实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式有意义，还受到实际问题的限制，要符合实际情形．
(2)函数的定义域就是使函数的表达式有意义的自变量的变化范围．
2．函数的值域
(1)函数的值域是指函数值的集合．
(2)常数函数y＝c的值域是{c}，一次函数y＝ax＋b的值域是R，反比例函数y＝的值域是{y|y∈R，y≠0}.
要点一 求函数的定义域
例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；
(2)y＝.
解 (1)由
解得
所以函数y＝＋的定义域是
{x|x≥－1，且x≠2}．
(2)要使函数有意义，则
解得即x≥1.
所以函数y＝的定义域为[1，＋∞)．
规律方法 求定义域的实质就是求使函数表达式有意义的自变量x的取值范围．常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．
跟踪演练1 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝·.
解 (1)依题意有1＋x≠0，
∴x≠－1，即定义域为{x|x≠－1}．
(2)依题意有
∴x≥1，即定义域为{x|x≥1}．
要点二 求函数的值域
例2 求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝＋1；
(3)y＝；
(4)y＝；
(5)y＝.
解 (1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1中计算得：
函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)∵≥0，∴＋1≥1，
即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(3)∵≠0，
∴y＝＝1－≠1.
∴所求函数的值域是{y|y∈R，且y≠1}．
(4)∵y＝＝－1＋，
∴函数的定义域为R，
∵x2＋1≥1.∴0＜≤2，∴y∈(－1,1]．
∴所求函数的值域为(－1,1]．
(5)∵y＝＝，
且0≤－(x－2)2＋9≤9.
∴所求函数的值域为[0,3]．
规律方法 求函数的值域问题首先必须明确两点：一是对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域，对应法则是确定函数值域的依据．
跟踪演练2 求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝.
解 (1)∵x2＋2≥2，
∴0＜≤，
∴函数y＝的值域是(0，]．
(2)∵y＝＝－＋2，∴y≠2，
∴y＝的值域是{y|y∈R，且y≠2}．
(3)y＝＝，
∵0≤2－(x－1)2≤2，
∴0≤≤，
∴y＝的值域是[0，]．
(4)由y＝得，x＝，∴y≠－1.
∴函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠－1}.
1．函数y＝＋的定义域是( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
答案 D
解析 ?0≤x≤1.
2．函数y＝x－在[1,2]上的最大值为( )
A．0 B. C．2 D．3
答案 B
解析 y＝x－在[1,2]上是递增函数，
∴ymax＝2－＝.
3．函数y＝2－的值域是( )
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
答案 B
解析 当x≠0时，≠0,2－≠2，故值域是(－∞，2)∪(2，＋∞)，选B.
4．函数f(x)＝(2x－4)0的定义域是( )
A．R B．(2，＋∞)
C．{x|x≠2} D．{x|x≠4}
答案 C
解析 依题意知2x－4≠0，x≠2，所以定义域是{x|x≠2}，选C.
5．函数y＝的定义域为________________．
答案 {x|x≥－1，且x≠0}
解析 要使函数y＝有意义须
即∴定义域为{x|x≥－1，且x≠0}．
1.求函数值域，应理解两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域是指集合B＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域，对应法则及函数的性质是确定值域的依据．目前常用的方法有：图象法、配方法、分离常数法、换元法等．
2．求函数的定义域一般有三类问题：
(1)若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解．
(2)由y＝f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域问题，实际上是已知中间变量u＝g(x)的值域，求自变量x的取值范围问题．
(3)若是实际问题除应考虑解析式本身有意义外，还应使实际问题有意义．
一、基础达标
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．{1} B．{－1}
C．{(－1,1)} D．{－1,1}
答案 D
解析 由得x＝±1.
2．函数y＝的值域为( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
答案 B
解析 ∵x＋1≥0，∴y＝≥0.
3．函数y＝的值域是( )
A．(－∞，)∪(，＋∞) B．(－∞，)∪(，＋∞)
C．R D．(－∞，)∪(，＋∞)
答案 B
解析 ∵y＝＝＝＋，
∴y≠.
4．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，此函数的定义域为( )
A．R B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5} D．{x|＜x＜5}
答案 D
解析 △ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，
∴x＜5，又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x，
∴x＞，∴此函数的定义域为{x|＜x＜5}．
5．y＝的定义域为________________．
答案 {x|x≥－4，且x≠－2}
解析 依题意知∴x≥－4且x≠－2.
6．若f(x)＝，则其值域为________．
答案 {y|y∈R，且y≠}
解析 f(x)＝＝＋≠.
7．若函数y＝(k＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为________．
答案 20
解析 因为k＞0，所以函数y＝在[2,4]上是递减函数，所以当x＝4时，y＝最小，由题意知，＝5，k＝20.
二、能力提升
8．函数y＝的值域是( )
A．(0，] B．(0，)
C．(0，＋∞) D．(－∞，]
答案 A
解析 ∵x2≥0，∴3x2≥0,2＋3x2≥2,0＜≤.
∴值域为(0，]，选A.
9．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f(x＋a)的定义域为( )
A．[2a，a＋b] B．[0，b－a]
C．[a，b] D．无法确定
答案 B
解析 由a≤x＋a≤b得0≤x≤b－a，
∴f(x＋a)的定义域为[0，b－a]．
10．已知函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围为________．
答案 [0,1]
解析 依题意，当x∈R时，mx2－6mx＋m＋8≥0恒成立．当m＝0时，x∈R；当m≠0时，
即
解之得0＜m≤1，故0≤m≤1.
11．求下列函数的值域：
(1)y＝2－；
(2)y＝；
(3)y＝x2－3x＋(x∈{0,1,2,3})．
解 (1)∵y＝2－，
而0≤≤2，
∴0≤y≤2，故所求的值域为[0,2]．
(2)由y＝，得x2＝，而x2≥0，∴≥0，等价于(y－1)(3y＋2)≥0，且y－1≠0，解得y＞1或y≤－.故所求的值域为(－∞，－]∪(1，＋∞)．
(3)∵x＝0时，y＝4；x＝1时，y＝2；
x＝2时，y＝－2；x＝3时，y＝.
故所求的值域为{4,2，－2，}．
三、探究与创新
12．用长为30的铁丝弯成下部为矩形，上部为等边三角形的框架．若等边三角形的边长为x，求此框架面积y与x的函数解析式，并写出其定义域．
解 由于等边三角形的边长为x，由勾股定理可求得其高为x，于是其面积y1＝·x·x＝x2.
又下部矩形的一边长为x，另一边长为＝15－x，
所以其面积y2＝(15－x)x.
于是框架面积y＝y1＋y2＝x2＋(15－x)x
＝x2＋15x.
依题意知所以0＜x＜10.
即该函数的定义域是(0,10)．
13．若f(x)＝的定义域为A，g(x)＝(a＜1)的定义域为B，当B?A时，求实数a的取值范围．
解 由2－≥0，得≥0，
∴或
∴或
∴f(x)的定义域A＝{x|x≥1，或x＜－1}
∵a＜1，∴a＋1＞2a.
由(x－a－1)(2a－x)≥0，得
[x－(a＋1)](x－2a)≤0，
∴2a≤x≤a＋1.
即g(x)的定义域为B＝{x|2a≤x≤a＋1}．
又∵B?A，∴a＋1＜－1或2a≥1.
∴a＜－2或a≥.
又∵a＜1.∴a＜－2或≤a＜1.
即实数a的取值范围是(－∞，－2)∪[，1).
1.2.6 分段函数
[学习目标] 1.能说出分段函数的定义.2.能根据题意用分段函数表示函数关系.3.会画出分段函数的图象.4.能求分段函数的函数值或由函数值求自变量的值．
[知识链接]
作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线．
[预习导引]
1．如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．
2．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数．
3．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
4．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
要点一 分段函数求值
例1 已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，
－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f＝－＋1＝－，而－2<－<2，
∴f[f(－)]＝f＝2＋2×
＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2＞－2，不合题意，舍去．当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意．当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．
2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
跟踪演练1 已知函数f(x)＝则f(2)等于( )
A．0 B. C．1 D．2
答案 C
解析 f(2)＝＝1.
要点二 分段函数的图象及应用
例2 已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．
跟踪演练2 作出y＝的图象，并求y的值域．
解 y＝
值域为y∈[－7,7]．图象如下图．
要点三 分段函数的解析式
例3 国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税．
(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x元与纳税额y元的函数关系式；
(2)某人出版了一本书，得稿费5200元，那么他应纳税多少元？
(3)某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？
解 (1)依题意有：当0＜x≤800时，y＝0；
当800＜x≤4000时，y＝(x－800)×14%；
当x＞4000时，y＝x×11%.
故y与x之间的函数关系式是
y＝
(2)某人得稿费x＝5200，显然x＞4000，
∴y＝5200×11%＝572(元)．
即他应纳税572元．
(3)令(x－800)×14%＝420，解得x＝3800∈(800，4000]，而令x×11%＝420，解得x＝3818?(4000，＋∞)，故x＝3818(舍去)．
∴这个人的稿费为3800元．
规律方法 1.实际问题应仔细审题，明确该函数分段情况，弄清每段上对应解析式及自变量的取值范围．
2．在解析式中，分段点不能重复，也不能遗漏，例如本题中，自变量的三段是0＜x≤800,800＜x≤4000和x＞4000，但不能写成0＜x≤800,800≤x＜4000和x＞4000.
跟踪演练3 某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地后没有停留，再以65千米/时的速度返回A地．试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数．
解 该人从A到B地所用时间为＝5时，从B地返回A地所需时间为＝4时．
因此当0≤t≤5时，s＝52t；
当5＜t≤9时，s＝260＋65t.
于是此人驱车走过的路程s与时间t的函数关系式如下：s＝
1．函数y＝|x|的图象是( )
答案 B
解析 ∵y＝|x|＝∴B选项正确．
2．设函数f(x)＝则f(f(3))等于( )
A. B．3 C. D.
答案 D
解析 ∵f(3)＝，∴f(f(3))＝2＋1＝.
3．设函数f(x)＝则f(f(1))等于( )
A．0 B．1C．2 D．3
答案 A
解析 f(1)＝0，∴f(f(1))＝0.
4．设函数f(x)＝ 若f(a)＝4，则实数a等于( )
A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2
答案 B
解析 当a≤0时，f(a)＝－a＝4，∴a＝－4；
当a＞0时，f(a)＝a2＝4，∴a＝2或－2(舍去)．
5．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________________．
答案 y＝
解析 根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意得，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x>100时y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.
理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.
一、基础达标
1．函数y＝|x－3|－|x＋1|的( )
A．最小值是0，最大值是4
B．最小值是－4，最大值是0
C．最小值是－4，最大值是4
D．没有最大值也没有最小值
答案 C
解析 y＝|x－3|－|x＋1|
＝作出图象可求．
2．已知f(x)＝则f[f(－7)]的值为( )
A．100 B．10 C．－10 D．－100
答案 A
解析 ∵f(x)＝ ∴f(－7)＝10.
f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100.
3．函数f(x)＝x＋的图象是( )
答案 C
解析 f(x)＝
画出f(x)的图象可知选C.
4．如图所示的图象所表示的函数的解析式为________．
答案 y＝
解析 由图象知图形是由两条线段构成．
第一段经过点(0,0)，(2,2)，
设y＝kx，则2＝k×2，即k＝1，
于是y＝x(0≤x≤2)．
第二段经过点(2,2)，(4,0)，
设y＝ax＋b，则
解得：a＝－1，b＝4，于是y＝－x＋4(2＜x≤4)，
故函数解析式为y＝
5．已知符号函数sgnx＝则不等式(x＋1)sgnx＞2的解集是________________．
答案 {x|x＜－3，或x＞1}
解析 由题意知，当x＞0时，x＋1＞2，解得x＞1；
当x＝0时，无解；
当x＜0时，－(x＋1)＞2，解得x＜－3，
故不等式的解集为{x|x＜－3，或x＞1}．
6．函数f(x)＝的值域是________．
答案 [1，＋∞)
解析 当x≥0时，f(x)≥1，
当－2≤x＜0时，2＜f(x)≤4，
∴f(x)≥1或2＜f(x)≤4，
即f(x)的值域为[1，＋∞)．
7．已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f[f(2)]的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
解 (1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，
f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，
由x－4＝8，
得x0＝±2(舍去)；
当x0＞2时，由2x0＝8，得x0＝4.
∴x0＝4.
二、能力提升
8．已知f(x)＝则f(3)为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，
f(5)＝f(5＋2)＝f(7)，
∴f(7)＝7－5＝2.故f(3)＝2.
9．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f[f]等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 B
解析 由题图可知，函数f(x)的解析式为
f(x)＝
∴f＝－1＝－，
∴f[f]＝f＝－＋1＝.
10．设函数f(x)＝则f的值是________．
答案
解析 f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，
∴f＝f＝1－2＝.
11．已知函数y＝|x－1|＋|x＋2|.
(1)作出函数的图象；
(2)写出函数的定义域和值域．
解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x＝1，第二个绝对值的分段点x＝－2，这样数轴被分为三部分：
(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)．
所以已知函数可写为分段函数形式：
y＝|x－1|＋|x＋2|
＝
在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象．
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，＋∞)．
三、探究与创新
12．据气象中心观察和预测：发生在M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来．
解 (1)由图象可知：
当t＝4时，v＝3×4＝12，
∴s＝×4×12＝24.
(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2；
当10＜t≤20时，s＝×10×30＋30(t－10)
＝30t－150；
当20＜t≤35时，s＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)
＝－t2＋70t－550.
综上可知，s＝
13．如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，由点B(起点)沿着折线BCDA，向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数解析式．
解 当0≤x≤4时，S△APB＝·4x＝2x；
当4＜x≤8时，S△APB＝×4×4＝8；
当8＜x≤12时，
S△APB＝×4·(12－x)＝24－2x.
∴y＝
1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值
[学习目标] 1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值．
[知识链接]
1．函数y＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，该函数的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(－∞，1)．
2．函数y＝x2的最小值为0.
[预习导引]
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a＞0(a＜0)时，在区间(－∞，－]上递减(递增)，在[－，＋∞)上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x＝－处取到最小(大)值f(－)＝－，这里Δ＝b2－4ac.点(－，－)叫作二次函数图象的顶点.
要点一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式．
解 方法一 利用二次函数一般式．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
则
由①②得b＝－a，则2a＋c＝－1，即c＝－2a－1.
代入③整理得a2＝－4a，
解得a＝－4，或a＝0(舍去)．
∴b＝4，c＝7.
因此所求二次函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
方法二 利用二次函数顶点式．
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线对称轴为x＝＝，即m＝.
又根据题意函数有最大值为n＝8，
∴y＝f(x)＝a(x－)2＋8，
∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1.
解之得a＝－4.
∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三 利用两根式．
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1.
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，
∴＝8.
解之得a＝－4.
∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式)．
跟踪演练1 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x.求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，
f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，
又f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x，
∴2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2＋4x，
∴∴
∴f(x)＝x2＋2x－1.
要点二 二次函数的增减性
例2 f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m的取值范围．
解 函数的顶点横坐标为x＝，
又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数，
∴≤－2，即m≤－16，
故m的取值范围是{m|m≤－16}．
规律方法 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在(－∞，－]上是递减函数，在[－，＋∞)上是递增函数．
跟踪演练2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解 (1)当a＝－1时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
x∈[－5,5]，1∈[－5,5]．
∴当x＝1时，f(x)min＝1；
当x＝－5时，f(x)max＝37.
(2)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
其顶点横坐标为x＝－a.
∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5.
故a的取值范围是a≤－5或a≥5.
要点三 求二次函数的值域或最值
例3 求函数y＝x2－2ax－1在[0,2]上的值域．
解 ①当a＜0时，ymin＝f(0)＝－1，
ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a，
所以函数的值域为[－1,3－4a]．
②当0≤a≤1时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，
ymax＝f(2)＝3－4a，
所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]．
③当1＜a≤2时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，
ymax＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]．
④当a＞2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[3－4a，－1]．
规律方法 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R还是区间[m，n]，若是区间[m，n]，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看顶点横坐标是在区间[m，n]内还是在区间的左边或右边．在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得．
跟踪演练3 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
解 (1)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
其图象顶点横坐标为x＝1，开口向上，
∴当x∈[0,4]时，
∴f(x)max＝f(4)＝42－2×4＋2＝10，
f(x)min＝f(1)＝1.
(2)∵f(x)的顶点横坐标为x＝1，开口向上，
∴f(x)在[2,3]上为增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝22－2×2＋2＝2，
f(x)max＝f(3)＝32－2×3＋2＝5.
(3)g(t)＝
1．若f(x)＝(m－1)x2＋(m＋1)x－1是二次函数，则( )
A．m为任意实数 B．m≠1
C．m≠－1 D．m≠1且m≠－1
答案 B
解析 由m－1≠0，得m≠1，故选B.
2．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )
A．42,12 B．42，－
C．12，－ D．无最大值，最小值为－
答案 D
解析 ∵f(x)＝(x＋)2－，x∈(－5,5)，
∴当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值．
3．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．
答案 (－∞，－]和[0，]
4．已知函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－∞，－1]时是递减函数，则m的取值范围是________．
答案 [－4，＋∞)
解析 f(x)＝2(x－)2＋3－，－1≤，即m≥－4.
二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”，解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指定的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．
具体做法是：首先要采用配方法，化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)．
其次对区间进行讨论，可分成三个类型：
(1)顶点固定，区间也固定．
(2)顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.
一、基础达标
1．二次函数y＝x2－x＋2014的开口方向是( )
A．向上 B．向下
C．可能向上也可能向下 D．向左
答案 A
解析 因为二次项系数＞0，所以二次函数开口向上．
2．函数f(x)＝－x2＋2x－3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( )
A．0，－2 B．－2，－6
C．－2，－3 D．－3，－6
答案 B
解析 ∵f(x)＝－(x－1)2－2，
∴当x＝1时，有最大值－2；当x＝3时，有最小值－6.
3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是递增函数的是( )
A．y＝x2－2x＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝
答案 C
解析 y＝x2－2x＋1在[1，＋∞)上递增，而在(0,1]上递减；y＝在(0，＋∞)上是递减函数；
y＝＝在[0,1]上递增，[1,2]上递减．只有y＝－在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递增，从而在(0，＋∞)上递增．
4．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点为(－1，－3)，则b＋c＝________.
答案 －6
解析 由已知∴
∴b＋c＝－6.
5．二次函数y＝－x2－4x＋3的值域是________．
答案 (－∞，7]
解析 因为y＝－x2－4x＋3＝－(x2＋4x＋4)＋7
＝－(x＋2)2＋7.所以这个函数的值域是(－∞，7]．
6．用长度为24m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m.
答案 3
解析 设隔墙长为x，则y＝x·＝－2x2＋12x，
当x＝3时，y最大．
7．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0.
(1)求b与c的值．
(2)试证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是递增函数．
(1)解 由f(1)＝0，f(3)＝0得
即
解得b＝－4，c＝3.
(2)证明 设任意x∈(2，＋∞)，且h＞0，
∴f(x＋h)－f(x)
＝[(x＋h)2－4(x＋h)＋3]－(x2－4x＋3)
＝(x＋h)2－x2－4(x＋h)＋4x
＝2xh＋h2－4h＝h(2x＋h－4)，
∵x∈(2，＋∞)，∴2x＋h－4＞0，
∴f(x＋h)－f(h)＞0，即f(x＋h)＞f(h)，
因此函数f(x)在区间(2，＋∞)上是递增函数．
二、能力提升
8．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案 D
解析 由A，C，D的图象知f(0)＝c＜0.又abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴对称轴x＝－＜0，
∴B错误．
9．函数y＝的值域为( )
A．[0，] B．(－∞，]
C．(0，] D．(0，)
答案 C
解析 ∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，
∴0＜≤，
∴函数y＝的值域是(0，]．
10．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为________．
答案 f(x)＝x2－x＋1
解析 由f(0)＝1可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
故f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，
可得f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x，
所以2a＝2，a＋b＝0，故a＝1，b＝－1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标分别是－2,6，图象与y轴相交，交点和原点的距离为3，求此函数解析式．
解 设二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)．
∵与x轴交点的横坐标分别为x1＝－2，x2＝6.代入得y＝a(x＋2)(x－6)，
y＝a(x2－4x－12)＝ax2－4ax－12a.
又∵图象与y轴相交，交点和原点的距离为3，
∴|－12a|＝3.
∴－12a＝3或－12a＝－3，即a＝－或a＝.
∴所求函数解析式为y＝－(x2－4x－12)
＝－x2＋x＋3或y＝(x2－4x－12)
＝x2－x－3.
三、探究与创新
12．设函数f(x)＝ax2－2x＋2.对于满足1＜x＜4的一切x的值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．
解 方法一 当a＞0时，f(x)＝a(x－)2＋2－.
∴或
或
∴a≥1或＜a＜1或?，即a＞；
当a＜0时解得?；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，
∴不合题意．
由上可得，实数a的取值范围是a＞.
方法二 ∵x∈(1,4)时，f(x)＞0即ax2－2x＋2＞0，
∴a＞－2(－)，
又－2(－)＝－2(－)2＋，
由1＜x＜4，知∈(，1)，
∴0＜－2(－)2＋≤，∴a＞.
13．已知函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1,1]上有最小值，记作g(a)．
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)求g(a)的最大值．
解 (1)由f(x)＝2x2－2ax＋3＝2(x－)2＋3－，知图象顶点横坐标为x＝，
根据二次函数图象的顶点横坐标与题设区间的相对位置分类讨论．
①当≤－1，即a≤－2时，g(a)＝f(－1)＝2a＋5；
②当－1＜＜1，即－2＜a＜2时，
g(a)＝f()＝3－；
③当≥1，即a≥2时，g(a)＝f(1)＝5－2a.
综合①②③，得
g(a)＝
(2)当a≤－2时，g(a)≤1；当－2＜a＜2时，g(a)≤3；当a≥2时，g(a)≤1.
∴当a＝0时，g(a)的最大值为3.
1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性
[学习目标] 1.能说出奇函数和偶函数的定义.2.会判断具体函数的奇偶性.3.会分析二次函数图象的对称性.4.能求一个二次函数在闭区间上的最值．
[知识链接]
函数y＝x的图象关于原点对称，y＝x2的图象关于y轴对称．
[预习导引]
1．函数的奇偶性
(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数；
(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．
2．二次函数图象的对称性
(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝－；
(2)如果函数f(x)对任意的h都有f(s＋h)＝f(s－h)，那么f(x)的图象关于直线x＝s对称.
要点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；
(3)f(x)＝x2＋；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝＋.
解 (1)函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数；
(2)函数定义域为R，且f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以该函数是偶函数；
(3)函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；
(4)函数定义域是{x|x≠－1}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；
(5)要使函数有意义，需满足解得x＝±2，即函数的定义域是{2，－2}，这时f(x)＝0.
所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数．
规律方法 1.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
(3)还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)
2．判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果．
跟踪演练1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝(x2－1).
解 (1)函数定义域为R，
且f(－x)＝＝＝－f(x)．
故该函数是奇函数；
(2)函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且f(－x)＝＝＝f(x)．故f(x)是偶函数．
(3)函数定义域是{x|x≥－1}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数．
要点二 函数奇偶性的简单应用
例2 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3B．－1C．1D．3
(2)若函数f(x)＝x3＋3x＋a是奇函数，则实数a＝________.
答案 (1)A (2)0
解析 (1)因为当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
所以f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3.
又f(x)是奇函数，
所以f(1)＝－f(－1)＝－3，选A.
(2)方法一 因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x∈R都成立，
即－x3－3x＋a＝－x3－3x－a对任意x∈R都成立．
所以a＝0.
方法二 因为f(x)是奇函数且在x＝0处有定义．
必有f(0)＝0，即03＋3×0＋a＝0，解得a＝0.
规律方法 1.利用奇偶性求值时，主要根据f(x)与f(－x)的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化．
2．已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种方法：一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x＝0处有定义的奇函数，还可根据f(0)＝0求解．
跟踪演练2 (1)已知f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为( )
A．5B．10C．8D．不确定
(2)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )
A．－2B．－1C．1D．2
答案 (1)B (2)C
解析 (1)∵f(x)是偶函数，
∴f(4)＋f(－4)＝f(4)＋f(4)＝2f(4)＝2×5＝10.
(2)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R都成立，
即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)．
整理得2(a－1)x＝0，
∵x∈R，∴必有a－1＝0，即a＝1.
要点三 二次函数的区间最值问题
例3 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．
解 函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为x＝－a.
①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上递增，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，
f(x)min＝f(－5)＝27－10a；
②当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图象如图(1)所示．
由图象可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
f(x)max＝f(5)＝27＋10a；
③当0＜－a＜5，即－5＜a＜0时，函数图象如图(2)所示，由图象可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2；
④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上递减，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，
f(x)max＝f(－5)＝27－10a.
规律方法 1.对于定义域为R的二次函数，其最值和值域可通过配方法求解．
2．若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的最值或值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：
(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；
(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域．
跟踪演练3 求函数f(x)＝－x2－mx＋6(m＜0)在区间[0,2]上的最大值．
解 f(x)＝－x2－mx＋6＝－(x＋)2＋＋6，
该函数曲线开口向下，对称轴为直线x＝－.
(1)当－＞2，即m＜－4时，f(x)在[0,2]上单调递增，其最大值为f(2)＝2－2m.
(2)当0＜－≤2，即－4≤m＜0时，f(x)在[0,2]上的最大值为f(－)＝＋6.
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
答案 C
解析 A项和D项中的函数为偶函数，B项中的函数是非奇非偶函数，选C.
2．对于定义在R上的函数f(x)，给出下列判断：
(1)若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；
(2)若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
(3)若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．
其中正确的判断的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 (1)仅有f(－2)＝f(2)不足以确定函数的奇偶性，不满足奇函数、偶函数定义中的“任意”，故(1)错误；
(2)当f(－2)≠f(2)时，该函数就一定不是偶函数，故(2)正确；
(3)若f(－2)＝f(2)，则不能确定函数f(x)不是奇函数．如若f(x)＝0，x∈R，则f(－2)＝f(2)，但函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数，故(3)错误．
3．函数y＝·( )
A．是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．是偶函数 D．是非奇非偶函数
答案 D
解析 函数定义域是{x|x≥1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选D.
4．函数f(x)＝－2x2＋x－1在区间[－1,2]上的值域是( )
A．(－∞，－] B．[－7，－4]
C．[－7，－] D．[－4，－]
答案 C
解析 由于f(x)＝－2x2＋x－1＝－2(x－)2－，
而∈[－1,2]，所以f(x)最大值是f()＝－，
最小值为f(2)＝－7，故值域为[－7，－]，
故选C.
5．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为偶函数，那么a＝________.
答案 8
解析 ∵f(x)为区间[3－a,5]上的偶函数，
∴区间[3－a,5]关于坐标原点对称，
∴3－a＝－5，即a＝8.
1.在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了作为奇函数或偶函数的条件．
2．解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断．
3．奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.
4．奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性．
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－，开口方向由a确定，和x轴的位置关系由判别式Δ＝b2－4ac确定.
一、基础达标
1．下列说法错误的个数为( )
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
A．4 B．3 C．2 D．0
答案 C
解析 ①、②由奇、偶函数的性质知正确；对于③，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点；对于④，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交．
2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时为增函数，当x∈(－∞，－2]时为减函数，则f(1)等于( )
A．1 B．9 C．－3 D．13
答案 D
解析 由已知得对称轴x＝＝－2，
∴m＝－8，∴f(1)＝2－m＋3＝5－m＝13.
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 ∵f(x)在R上是奇函数，∴f(0)＝0，
又∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(2)＝－f(0)＝0，
又∵f(2＋2)＝－f(2)＝0，
f(4＋2)＝－f(2＋2)＝0，∴f(6)＝0.
4．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.
答案 6
解析 由题意得－＝1.∴a＝－4.
∴＝1，∴b＝6.
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(－2a－3≤x≤1)是偶函数，则a＝________，b＝________.
答案 －1 0
解析 ∵f(x)是偶函数，∴其定义域关于原点对称，
∴－2a－3＝－1，∴a＝－1.
∴f(x)＝－x2＋bx＋c.
∵f(－x)＝f(x)，
∴－(－x)2＋b(－x)＋c＝－x2＋bx＋c.
∴－b＝b，∴b＝0.
6．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间x∈[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为________．
答案 (－∞，－4]
解析 由已知得对称轴方程为x＝1－a，
∵区间x∈[1,5]上的最小值为f(5)，
∴1－a≥5，得a≤－4.
7．判断函数f(x)＝(x－1) 的奇偶性．
解 函数f(x)的定义域为{x|－1≤x＜1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
二、能力提升
8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
答案 A
解析 ∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，
∴b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx，
g(－x)＝－ax3－cx＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．
9．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵f(－4)＝f(0)，∴－＝＝－2，
∴b＝4，又f(－2)＝－2，
∴4＋4×(－2)＋c＝－2，
∴c＝2，∴f(x)＝
作图(图略)可知选C.
10．若f(x)＝ag(x)＋b，a为常数，g(x)为R上的奇函数，且f(－2)＝10，则f(2)＝________.
答案 2b－10
解析 ∵f(x)＝ag(x)＋b，①
∴f(－x)＝ag(－x)＋b＝－ag(x)＋b，②
①＋②得，f(x)＋f(－x)＝2b，
∴f(x)＝2b－f(－x)，∴f(2)＝2b－f(－2)＝2b－10.
11．已知函数f(x)＝ax2＋3a为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，求f(x)的最大值与最小值．
解 ∵f(x)＝ax2＋3a为偶函数，定义域为[a－1,2a]，
∴a－1＝－2a，∴a＝，∴f(x)＝x2＋1，
且定义域为[－，]，∴f(x)min＝f(0)＝1，
f(x)max＝f()＝.
∴函数的最大值为，最小值为1.
三、探究与创新
12．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c，对于任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，比较f(1)、f(2)、f(4)的大小．
解 由题意知，对任意实数t，有f(2＋t)＝f(2－t)，
即(2＋t)2＋b(2＋t)＋c＝(2－t)2＋b(2－t)＋c，
化简得(2b＋8)t＝0，∴2b＋8＝0，∴b＝－4，
∴f(x)的对称轴为x＝2，故f(1)＝f(3)．
∵f(x)在[2，＋∞)上是递增函数，
∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．
13．求函数f(x)＝x2－2ax－1在[0,2]上的最值．
解 二次函数f(x)＝x2－2ax－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝a.
当a≤0时，f(x)在[0,2]上是增函数，此时f(x)的最小值为f(0)＝－1，最大值为f(2)＝4－4a－1＝3－4a；
当0＜a≤1时，f(x)在[0，a]上是减函数，在[a,2]上是增函数，此时f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1，最大值为f(2)＝3－4a；
当1＜a＜2时，f(x)在[0，a]上是减函数，在[a,2]上是增函数，此时f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1，最大值为f(0)＝－1；
当a≥2时，f(x)在[0,2]上是减函数，此时f(x)的最小值为f(2)＝3－4a，最大值为f(0)＝－1.
专题1 集合与函数
1．本章主要内容有集合的初步知识；基于集合和对应观点的函数概念，函数的表示和基本性质；二次函数的图象和性质．
2．集合是最基本的数学概念，元素和集合的关系(属于或不属于)，集合的关系及运算(包含、相等、交、并、补)，这些都是今后经常要使用的数学概念，要能熟练地运用集合语言描述数学事实．
3．集合的表示方法有列举法、描述法和图象法，其中图象法又有维恩图表示和对特定数集(区间)在数轴上表示的方法．
4．以x为自变量的函数y＝f(x)就是从它的定义域到值域的一个映射．设b＝f(a)，那么(a，b)就是函数图象上的一个点，所有这样的点组成的集合就是函数y＝f(x)的图象．
显然，任作垂直于x轴的直线，它和任一函数的图象最多只能有一个公共点．
5．函数的定义域有两种确定方式，即由解析式确定或由函数对应法则的实际含义所确定．一般说，如给出了一个解析式而未说明它的实际含义，那么这一函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．
6．函数的单调递增和单调递减的概念、直观形象和基本判别方法；函数的最大(小)值和最大(小)值点的概念和直观形象；奇函数和偶函数的概念、直观形象和基本判别方法．
7．二次函数的图象特征、增减性、对称性、顶点和在一个区间的最大、最小值．
8．分段函数概念的引入是因为解决实际问题的需要，与分段函数有关的问题，必然要分段讨论，这里再次提醒，分段函数是一个函数而不是两个或更多个函数.
题型一 集合的运算
集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对?的讨论，不要遗漏．
例1 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围．
(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
解 (1)A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0，或x>2}．
∵(?RA)∪B＝R.
∴∴－1≤a≤0，
即a的取值范围是[－1,0]．
(2)由(1)知(?RA)∪B＝R时，
－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾．即这样的a不存在．
跟踪演练1 (1)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(?UA)∩B＝________.
(2)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．[－2,2] D．[－2,1]
答案 (1){6,8} (2)D
解析 (1)先计算?UA，再计算(?UA)∩B.
∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴?UA＝{6,8}．
∴(?UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．
(2)先化简集合A，再借助数轴进行集合的交集运算．
A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．
题型二 函数的概念与性质
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合．
例2 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
解 (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，
∴＝，解得m＝2.
因此，实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x∈[－2，－1]，且h＜0，
则f(x＋h)－f(x)＝(x＋h＋－x－)
＝·.
∵h＜0，x∈[－2，－1]，
∴x(x＋h)＞1，即x(x＋h)－1＞0，
∴f(x＋h)－f(x)＜0，
∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，
因此f(x)max＝f(－1)＝－，
f(x)min＝f(－2)＝－.
跟踪演练2 (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(0,1) D．[1，＋∞)
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
答案 (1)B (2)－
解析 (1)要使函数有意义，
则
即x≤1且x≠0.
(2)设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，
所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．
又因为f(x＋1)＝2f(x)，
所以f(x)＝＝－.
题型三 函数图象及其应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．
例3 对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
解 (1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
图象关于y轴对称．
(2)f(x)＝x2－2|x|＝
画出图象如图所示，
根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.
单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；
减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
跟踪演练3 对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．
答案 2
解析 首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个．
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数f(x)的表达式：
f(x)＝
f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.
题型四 分类讨论思想
分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对?的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等．
例4 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上所述f(x)min＝
跟踪演练4 已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
解 ∵A∪B＝A，∴B?A.
(1)当B≠?时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2.当x＝1时，a＝2；当x＝2时，a＝1.
(2)当B＝?时，即当a＝0时，B＝?，符合题意．
故实数a组成的集合C＝{0,1,2}．
1.函数单调性的判定方法
(1)定义法．
(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)，，f(x)＋g(x)的单调性等．
(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性．
2.二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：
(1)若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}；
(2)若h?[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，
ymax＝max{f(m)，f(n)}(a<0时可仿此讨论)．
3. 函数奇偶性与单调性的差异
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(－x)＝－f(x)或[f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．
