2．1.1 指数概念的推广
[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．
[知识链接]
1．4的平方根为±2,8的立方根为2.
2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，＝4.
[预习导引]
1．把n(正整数)个实数a的连乘记作an，当a≠0时有a0＝1，a－n＝(n∈N)．
2．整数指数幂的运算有下列规则：
am·an＝am＋n，＝am－n，(am)n＝amn，(ab)n＝an·bn，()n＝(b≠0)．
3．若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就说x是a的n次方根.3次方根也称为立方根．
当n是奇数时，数a的n次方根记作.
a＞0时，＞0；a＝0时，＝0；a＜0时，＜0.
当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作算术根，记作.也就是说，当a＞0时，如xn＝a，那么x＝±.
规定：＝0，负数没有偶次方根．
4．式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数．一般地，有()n＝a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|.
5．当a＞0，m，n∈N且n≥2时，规定
＝a，＝a.
6．规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂，在a＞0时，对于任意有理数m，n仍有公式
am·an＝am＋n，＝am－n，(am)n＝amn，(ab)m＝am·bm，()m＝(b≠0)．
7．对任意的正有理数r和正数a，若a＞1则ar＞1；若a＜1则ar＜1.根据负指数的意义和倒数的性质可得：
对任意的负有理数r和正数a，若a＞1，则ar＜1；若a＜1则ar＞1.
8．任意正数a的无理数次幂有确定的意义．于是，给了任意正数a，对任意实数x，a的x次幂ax都有了定义．可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对实数次幂仍然成立．类似地，还有不等式：
对任意的正实数x和正数a，若a＞1则ax＞1；若a＜1则ax＜1.
对任意的负实数x和正数a，若a＞1则ax＜1；若a＜1则ax＞1.
要点一 根式的运算
例1 求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；
(4)－，x∈(－3,3)．
解 (1)＝－2.
(2)＝＝.
(3)＝|3－π|＝π－3.
(4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.
当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.
因此，原式＝
规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪演练1 化简下列各式．
(1)；(2)；(3).
解 (1)＝－2.
(2)＝|－10|＝10.
(3)＝|a－b|＝
要点二 根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂形式：
(1)·； (2)；
(3)·； (4)()2·.
解 (1)·＝a·a＝a；
(2)原式＝a·a·a＝a；
(3)原式＝a·a＝a；
(4)原式＝(a)2·a·b＝ab.
规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝和a＝＝，其中字母a要使式子有意义．
跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式：
(1)·(a＜0)；(2)(a，b＞0)；
(3)()(b＜0)；(4)(x≠0)．
解 (1)原式＝a·(－a)
＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a＜0)；
(2)原式＝＝
＝(a·b)＝ab(a，b＞0)；
(3)原式＝b××＝(－b)(b＜0)；
(4)原式＝＝＝x.
要点三 分数指数幂的运算
例3 (1)计算：0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)化简：÷(a＞0)．
解 (1)原式＝(0.43)－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[a×·a×()]÷[a×()·a×]
＝a－＋－＝a0＝1.
规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
跟踪演练3 计算或化简：
(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；
(2)·.
解 (1)原式＝(－1)＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝(a·a)·[(a－5)·(a)13]
＝(a0)·(a·a)
＝(a－4)＝a－2.
1．下列各式正确的是( )
A．()3＝a B．()4＝－7
C．()5＝|a| D.＝a
答案 A
解析 ()4＝7，()5＝a，＝|a|.
2.＋的值是( )
A．0 B．2(a－b)
C．0或2(a－b) D．a－b
答案 C
解析 当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；
当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.
3．计算[(－)2]的结果是( )
A. B．－
C. D．－
答案 A
解析 [(－)2]＝[()2]＝.
4．在－1，2，，2－1中，最大的数是( )
A.－1 B．2
C. D．2－1
答案 C
解析 －1＝－2,2＝＝，＝，2－1＝，所以最大．
5．2＋＋－·8＝________.
答案 2－3
解析 原式＝＋＋＋1－22＝2－3.
1.掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．
一、基础达标
1．化简的结果是( )
A．aB.C．a2D.
答案 B
解析 ＝(a·a)＝(a)＝a＝.
2．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是( )
A．R B．{x|x∈R且x≠}
C．{x|x＞} D．{x|x＜}
答案 D
解析 (1－2x)－＝，∴1－2x＞0，得x＜.
3．16等于( )
A.B．－C．2D．－2
答案 A
解析 16＝(24)＝24×()＝2－1＝.
4．计算0.25－0.5＋－的值为( )
A．7B．3C．7或3D．5
答案 B
解析 0.25－0.5＋－
＝＋－
＝2×（）＋3×（）－2
＝2＋3－2＝3.
5．设a－a＝m，则等于( )
A．m2－2B．2－m2C．m2＋2D．m2
答案 C
解析 ∵a－a＝m，∴2＝m2，
即a＋a－1－2＝m2，a＋＝m2＋2.
∴＝m2＋2.故选C.
6．如果a＝3，b＝384，那么an－3＝________.
答案 3×2n－3
解析 an－3＝3n－3＝3(128)n－3＝3×2n－3.
7．求下列各式的值：
(1)7－3－6＋；
(2)0.5＋0.1－2＋－3π0＋.
解 (1)原式＝7×3－3－6＋
＝7×3－6×3－6×3＋3
＝2×3－2×3×3
＝2×3－2×3＝0.
(2)原式＝＋102＋－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
二、能力提升
8．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A.B．10C．20D．100
答案 A
解析 ∵2a＝m,5b＝m，∴2＝m，5＝m，∵2×5＝m·m＝m＋∴m2＝10，∴m＝.故选A.
9．化简得( )
A．3＋B．2＋C．1＋2D．1＋2
答案 A
解析 原式＝
＝＝
＝＝3＋.
10．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
答案 2
解析 利用一元二次方程根与系数的关系，
得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
11．计算下列各式的值：
(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)(a·b)·÷(a＞0，b＞0)．
解 (1)原式＝[(0.3)3]－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.
(2)原式＝a×()·b()×()·a÷b
＝a·b·a÷b
＝a＋b－＝a0b0＝1.
三、探究与创新
12．(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值．
解 (1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴8x＋8－x＝23x＋2－3x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝a(a2－2－1)＝a3－3a.
(2)＝
＝.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x＜y，∴x－y＝－6.③
将②③代入①，得＝＝－.
13．当x＝，y＝2－时，化简(x－y)·(x＋xy＋y)．
解 原式＝(x)3－(y)3＝x2－y－1，因为x＝，y＝2－，所以原式＝2＋－＝.
第1课时 指数函数的图象和性质
[学习目标] 1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质．
[知识链接]
1．ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br.
其中a＞0，b＞0，r，s∈R.
2．在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为y＝2x，x∈{0,1,2，…}．
[预习导引]
1．函数y＝ax叫作指数函数，其中a是不等于1的正实数，函数的定义域是R.
2．从图象可以“读”出的指数函数y＝ax(a＞1)的性质有：
(1)图象总在x轴上方，且图象在y轴上的射影是y轴正半轴(不包括原点)．由此，函数的值域是R＋；
(2)图象恒过点(0,1)，用式子表示就是a0＝1；
(3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递增函数，由此有：当x＞0时，有ax＞a0＝1；当x＜0时，有0＜ax＜a0＝1.
3．如果底数a∈(0,1)，那么，它的倒数＞1，y＝ax＝－x，它的图象和y＝x的图象关于y轴对称，可以类似地得到函数y＝ax(0＜a＜1)的性质：
(1)图象总在x轴上方，且图象在y轴上的射影是y轴正半轴(不包括原点)．由此，函数的值域是R＋；
(2)图象恒过点(0,1)，用式子表示就是a0＝1；
(3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递减函数，由此有：当x＞0时，有0＜ax＜a0＝1；当x＜0时，有ax＞a0＝1.
要点一 指数函数的概念
例1 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 B
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．
规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．
跟踪演练1 若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________________．
答案 {a|a＜，且a≠1}
解析 y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：
解得a＜且a≠1.
故a的取值范围为{a|a＜，且a≠1}．
要点二 指数函数的图象
例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
答案 B
解析 方法一 在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．
由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.
∴b＜a＜1＜d＜c.
方法二 作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.
规律方法 1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响．
跟踪演练2 (1)函数y＝|2x－2|的图象是( )
(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
答案 (1)B (2)(0，)
解析 (1)y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的．
(2)当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(1))．由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解．当0＜a＜1时，作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(2))．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜.
要点三 指数型函数的定义域、值域
例3 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝
解 (1)由x－4≠0，得x≠4，
故y＝2的定义域为{x|x∈R，且x≠4}．
又≠0，即2≠1，
故y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0]．
由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，
∴y＝的值域为[0,1)．
(3)y＝的定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴x2－2x－3≤－4＝16.
又∵＞0，
故函数y＝的值域为(0,16]．
规律方法 对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数，
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．
跟踪演练3 (1)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为____________．
答案 (1)A (2)[－，2]
解析 (1)由题意，得自变量x应满足
解得∴－3＜x≤0.
(2)∵－1≤x≤2，∴≤x≤3，
∴－≤x－1≤2，∴值域为.
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
答案 D
解析 由指数函数的定义知a＞0且a≠1，故选D.
2．函数y＝x的图象可能是( )
答案 C
解析 0＜＜1且过点(0,1)，故选C.
3．函数y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是( )
A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 B
解析 y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B.
4．函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．
答案
解析 由题意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，
故f(－3)＝2－3＝.
5．函数y＝的值域是________．
答案 (0,2]
解析 ∵x2－1≥－1，∴y＝≤－1＝2，
又y＞0，∴函数值域为(0,2]．
1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.
2．当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．
一、基础达标
1．y＝2x－1的定义域是( )
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 不管x取何值，函数式都有意义，故选A.
2．已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N等于( )
A．{－1,1}B．{－1}C．{0}D．{－1,0}
答案 B
解析 ∵＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，
∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.
又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，
∴M∩N＝{－1}．
3．函数y＝2x＋1的图象是( )
答案 A
解析 当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.
4．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是( )
A．(－，8] B．[－，8]
C．(，9) D．[，9]
答案 A
解析 y＝3－x－1，在x∈[－2,2)上是减函数，∴3－2－1＜y≤32－1，即－＜y≤8.
5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 由题意可知，0＜2－a＜1，即1＜a＜2.
6．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．
答案 (5,2)
解析 指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．
7．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解 (1)因为f(x)的图象过点(2，)，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝()x－1，x≥0.
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0＜()x－1≤()－1＝2，
所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．
二、能力提升
8．函数y＝5－|x|的图象是( )
答案 D
解析 当x＞0时，y＝5－|x|＝5－x＝()x，又原函数为偶函数，故选D.
9．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3B．－1C．1D．3
答案 A
解析 依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2，∵2x＞0，
∴a≤0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，所以选A.
10．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
答案 {a|a≥1或a＝0}
解析 作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
11．求函数y＝()(0≤x≤3)的值域．
解 令t＝x2－2x＋2，则y＝()t，
又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∵0≤x≤3，
∴当x＝1时，tmin＝1，当x＝3时，tmax＝5.
故1≤t≤5，∴()5≤y≤()1，
故所求函数的值域[，]．
三、探究与创新
12．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解 (1)若a＞1，则f(x)是增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1)．
∴f(2)－f(1)＝，即a2－a＝.
解得a＝.
(2)若0＜a＜1，则f(x)是减函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，
∴f(1)－f(2)＝，即a－a2＝，
解得a＝.
综上所述，a＝或a＝.
13．设0≤x≤2，y＝4－3·2x＋5，试求该函数的最值．
解 令t＝2x,0≤x≤2，
∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.
又y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，
∴y＝(t－3)2＋，在t∈[1,3]上是减函数；在t∈[3,4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.
第2课时 指数函数的图象和性质的应用
[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题．
[知识链接]
1．函数y＝ax(a＞0且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减．
2．复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减．
[预习导引]
1．函数y＝ax与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
2．形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．
3．形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．
4．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).
要点一 利用指数函数的单调性比较大小
例1 比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.7与0.70.3；
(3)0.60.4与0.40.6.
解 (1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.
(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－≈0.268＜0.3，所以0.7＞0.70.3.
(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.
规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
2．对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．
跟踪演练1 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
答案 D
解析 先由函数y＝0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小．
要点二 指数型函数的单调性
例2 判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
解 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜u≤－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．
规律方法 1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
2．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．
跟踪演练2 求函数y＝2的单调区间．
解 函数y＝2的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
要点三 指数函数的综合应用
例3 已知函数f(x)＝.
(1)证明f(x)为奇函数；
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；
(3)求f(x)的值域．
(1)证明 由题意知f(x)的定义域为R，
f(－x)＝＝
＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)解 f(x)在定义域上是增函数．证明如下：
任取x∈R，且h＞0，
则f(x＋h)－f(x)＝
－＝(1－)－(1－)
＝.
∵x＋h＞x，∴3x＋h－3x＞0，
且3x＋h＋1＞0,3x＋1＞0，
∴f(x＋h)－f(x)＞0，
∴f(x)为R上的增函数．
(3)解 f(x)＝＝1－，
∵3x＞0?3x＋1＞1?0＜＜2?－2＜－＜0，
∴－1＜1－＜1，
即f(x)的值域为(－1,1)．
规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可．
跟踪演练3 设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(1)解 依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，即＋＝＋aex，
∴＝0对一切x∈R成立．由此得到a－＝0，
即a2＝1.又a＞0，∴a＝1.
(2)证明 设x∈(0，＋∞)，且h＞0，
则f(x＋h)－f(x)＝ex＋h－ex＋－
＝(ex＋h－ex)，
∵x＞0，h＞0，∴ex＋h－ex＞0，又e2x＋h－1＞0，
∴f(x＋h)－f(x)＞0，
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
1．函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案 A
解析 定义域为R.设u＝1－x，y＝u.
∵u＝1－x在R上为减函数．
又∵y＝u在(－∞，＋∞)为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)是增函数，
∴选A.
2．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
答案 B
解析 原式等价于2a＋1＞3－2a，解得a＞.
3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
答案 D
解析 40.9＝21.8，80.48＝21.44，()－1.5＝21.5，
由于y＝2x在R上是增函数，
所以21.8＞21.5＞21.44，
即y1＞y3＞y2，故选D.
4．某种细菌在培养过程中，每20min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3h，这种细菌由1个可繁殖成________个．
答案 512
解析 3h＝9×20min，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个．
5．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
答案
解析 ∵函数f(x)为奇函数，定义域为R，
∴f(0)＝a－＝0.∴a＝.
1.比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.
2．指数函数单调性的应用
(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(2)形如ax＞ay的不等式，当a＞1时，ax＞ay?x＞y；当0＜a＜1时，ax＞ay?x＜y.
一、基础达标
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
答案 D
解析 ∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，∴0.90.3＞0.90.5.
2．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
答案 B
解析 f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，f(x)为偶函数，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，g(x)为奇函数．
3．已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(0,1)
答案 D
解析 ∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，
又f(x)＝a－x＝x，
∴－2＞－3，
∴＞1，∴0＜a＜1.
4．若定义运算f(a*b)＝则函数f(3x*3－x)的值域是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案 A
解析 由定义可知该函数是求a，b中较小的那一个，所以分别画出y＝3x与y＝3－x＝x的图象，由图象容易看出函数f(3x*3－x)的值域是(0,1]．
5．若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集为________．
答案 {x|0≤x≤1}
解析 (1)当x≥0时，由f(x)≥得()x≥，
∴0≤x≤1.
(2)当x＜0时，不等式≥明显不成立，
综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}．
6．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．
答案 4
解析 设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为y＝x.由题意，得x≤，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．
7．已知函数f(x)＝1＋.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)在(－∞，0)上为减函数．
(1)解 f(x)＝1＋，∵2x－1≠0，∴x≠0.
∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
(2)证明 设任意x∈(－∞，0)，且h＜0，
则f(x＋h)－f(x)＝－
＝.
∵x∈(－∞，0)，且h＜0，
∴2x－2x＋h＞0,2x＋h－1＜0,2x－1＜0.
∴f(x＋h)－f(x)＞0，即f(x＋h)＞f(x)．
∴函数f(x)在(－∞，0)上为减函数．
二、能力提升
8．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
答案 D
解析 由题意可知，f(x)在R上是增函数，
所以
解得4≤a＜8，故选D.
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－的解集是________．
答案 (－∞，－1)
解析 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1－2x＝－f(x)，
则f(x)＝2x－1.当x＝0时，f(0)＝0，
由f(x)＜－，解得x＜－1.
10．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1,0]
解析 依题意，2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，
即x2＋2ax－a≥0恒成立，
∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0.
11．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)
解 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL，…，x小时后其酒精含量为0.3(1－50%)xmg/mL，由题意知0.3(1－50%)x≤0.08，x≤.
采用估算法，x＝1时，1＝＞，
x＝2时，2＝＝＜.由于x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶．
三、探究与创新
12．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝x在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
13．已知函数f(x)＝.
(1)求f[f(0)＋4]的值；
(2)求证：f(x)在R上是增函数；
(3)解不等式：0＜f(x－2)＜.
(1)解 因为f(0)＝＝0，
所以f[f(0)＋4]＝f(0＋4)＝f(4)＝＝.
(2)证明 设任意x∈R，且h＞0，
则2x＋h＞2x＞0,2x＋h－2x＞0，
f(x＋h)－f(x)＝－
＝＞0，
即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上是增函数．
(3)解 由0＜f(x－2)＜，
得f(0)＜f(x－2)＜f(4)，
又f(x)在R上是增函数，所以0＜x－2＜4，
即2＜x＜6，所以不等式的解集是{x|2＜x＜6}．
2．2.1 对数的概念和运算律
[学习目标] 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.4.掌握对数的运算性质及其推导.5.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．
[知识链接]
1．＝4,＝.
2．若2x＝8，则x＝3；若3x＝81，则x＝4.
3．在指数的运算性质中：
am·an＝am＋n，＝am－n，(am)n＝amn.
[预习导引]
1．对数的概念
如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数．
把上述定义中的b＝logaN代入ab＝N，得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，这两个等式叫作对数的基本恒等式：
alogaN＝N，b＝logaab.
由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝1，loga1＝logaa0＝0.
2．对数的运算法则
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(3)loga＝logaM－logaN.
3．常用对数与自然对数
(1)以10为底的对数叫作常用对数，log10N记作lg_N.
(2)以无理数e＝2.71828…为底的对数叫作自然对数．logeN通常记为lnN.
要点一 指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；
(4)log232＝－5；(5)lg0.001＝－3.
解 (1)log2＝－7.
(2)log327＝a.
(3)lg0.1＝－1.
(4)2－5＝32.
(5)10－3＝0.001.
规律方法 1.解答此类问题的关键是要搞清a，x，N在指数式和对数式中的位置．
2．若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成指数式．
跟踪演练1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)log3x＝6；(2)lne＝1；(3)43＝64.
解 (1)36＝x.
(2)e1＝e.
(3)log464＝3.
要点二 对数式的计算与化简
例2 求下列各式的值：
(1)；
(2)2log32－log3＋log38－log5125；
(3)log2＋log212－log242；
(4)(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.
解 (1)原式＝
＝＝＝.
(2)原式＝2log32－log332＋log39＋log323－log553
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3
＝－1.
(3)原式＝log2＝log22＝－.
(4)原式＝(lg2＋lg5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2
＝(lg2＋lg5)2＝1.
规律方法 1.进行对数式的计算与化简，主要依据是对数的运算法则，同时要注意结合对数恒等式、对数性质的应用．
2．应用对数的运算法则时，除了正用这些法则外，还要注意它们的逆用．
3．lg2＋lg5＝1，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2在计算和化简时经常使用，注意记忆．
4．在对数的运算和化简中提取公因式，因式分解等仍适用．
跟踪演练2 (1)已知lga＝2.4310，lgb＝1.4310，则等于( )
A. B. C．10 D．100
(2)计算下列各式的值：
①4lg2＋3lg5－lg；
②.
(3)化简：.
(1)答案 B
解析 由于lg＝lgb－lga＝1.4310－2.4310＝－1，
∴＝10－1＝，故选B.
(2)解 ①原式＝lg＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.
②原式＝＝
＝＝1.
(3)解 方法一 原式＝
＝＝.
方法二 (逆用公式)：
原式＝
＝＝.
要点三 对数恒等式alogaN＝N的应用
例3 计算：31＋log35－24＋log23＋103lg3＋log25.
解 31＋log35－24＋log23＋103lg3＋log25
＝3×3log35－24×2log23＋(10lg3)3＋(2log25)－1
＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－.
规律方法 对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数．
跟踪演练3 求值：(1)9log34；(2)51＋log52.
解 (1)9log34＝(32)log34＝3log34＝4.
(2)51＋log52＝5·5log52＝5×2＝10.
1．已知ab＞0，则下面4个式子中，正确的个数为( )
①lg(ab)＝lga＋lgb；②lg＝lga－lgb；③lg2＝lg.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 当a＜0，b＜0时，虽有ab＞0，但①②不正确，因为lga，lgb均无意义．只有③正确．
2．log34＋log3的值是( )
A．－3 B．3
C．－ D.
答案 A
解析 原式＝log3＝log3＝log33－3＝－3.
3．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＝b＜c B．a＝b＞c
C．a＜b＜c D．a＞b＞c
答案 B
解析 a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log23，因此a＝b，而log23＞log22＝1，log32＜log33＝1，所以a＝b＞c，故选B.
4．若ln(lgx)＝0，则x＝________.
答案 10
解析 由已知得lgx＝1，所以x＝10.
5．已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
答案 2
解析 由已知可得，lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2×1＝2.
1.一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．利用ab＝N?b＝logaN (其中a＞0，a≠1，N＞0)可以进行指数式与对数式的互化．
3．对数恒等式：alogaN＝N(a＞0且a≠1)，b＝logaab.
4．对于同底的对数的化简常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
5．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．
6．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
一、基础达标
1．指数式a5＝b(a＞0，a≠1)所对应的对数式是( )
A．log5a＝b B．log5b＝a
C．logb5＝a D．logab＝5
答案 D
2．若logx(－2)＝－1，则x的值为( )
A.－2 B.＋2
C.－2或＋2 D．2－
答案 B
解析 ∵logx(－2)＝－1，∴x－1＝－2，即＝－2，即x＝＝＋2.
3．21＋·log25的值等于( )
A．2＋ B．2
C．2＋ D．1＋
答案 B
解析 21＋log25＝2×2log25＝2×2log25＝2×5＝2.
4．log7[log3(log2x)]＝0，则x等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由已知得，log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23，
∴x＝(23)＝8＝＝＝.
5．若4lgx＝16，则x的值为________．
答案 100
解析 ∵4lgx＝16＝42，∴lgx＝2，
∴x＝102＝100.
6．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a、b表示为______．
答案 (a＋b＋1)
解析 由3b＝5，得b＝log35，
log3＝log3(3×5×2)
＝(1＋log35＋log32)＝.
7．求下列各式中x的值：
(1)若log3＝1，求x的值；
(2)若log2015(x2－1)＝0，求x的值．
解 (1)∵log3＝1，∴＝3.
∴1－2x＝27，即x＝－13.
(2)∵log2015(x2－1)＝0，
∴x2－1＝1，即x2＝2.
∴x＝±.
二、能力提升
8．设函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(|x1·x2·…·x2014|)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值为( )
A．4 B．8
C．16 D．2loga8
答案 C
解析 因为f(x)＝logax，f(|x1·x2·…·x2014|)＝8，
所以f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋…＋logax
＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋…＋2loga|x2014|
＝2loga|x1x2…x2014|
＝2f(|x1·x2·…·x2014|)＝2×8＝16.
9．对于a＞0，a≠1，下列说法：
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
其中正确的有________．
答案 ②
解析 ①若M＝N＝－5，则logaM与logaN无意义，所以①错；②对；③因为loga52＝loga(－5)2，而5≠－5，所以③错；④若M＝N＝0，则logaM2与logaN2无意义，所以④错．
10．若f(log2x)＝x，则f＝________.
答案
解析 令log2x＝，则2＝x，∴f()＝2＝.
11．计算：(1)3log72－log79＋2log7()；
(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；
(3)loga＋loga＋loga.
解 (1)原式＝log78－log79＋log7
＝log78－log79＋log79－log78＝0.
(2)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2
＝lg5－lg2＋2lg2
＝lg5＋lg2＝1.
(3)原式＝logaa＋logaa－n＋logaa－
＝＋(－n)＋＝－n.
三、探究与创新
12．已知2lg＝lgm＋lgn，求的值．
解 由2lg＝lgm＋lgn，
得lg2＝lgmn，
∴2＝mn.∴m2－6mn＋n2＝0，
即2－＋1＝0，解得＝3±2，
由题意得m＞n＞0，则＞1，∴＝3＋2.
13．已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a、b和m的值．
解 由题意得
由③得(lga＋2)2＝0，
∴lga＝－2，即a＝.④
④代入①得lgb＝1－lga＝3，
∴b＝1000.⑤
④⑤代入②得m＝lga·lgb＝(－2)×3＝－6.
2.2.2 换底公式
[学习目标] 1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题．
[预习导引]
1．对数的换底公式
换底公式：logaN＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)．
最常用的换底公式是logaN＝和logaN＝.
2．换底公式的两个重要推论
(1)logambn＝logab.
(2)logab＝.
解决学生疑难点___________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
要点一 利用换底公式求值或化简
例1 求解下列各题：
(1)化简(log43＋log83)；
(2)已知log1227＝a，求log616的值．
解 (1)方法一 原式＝
＝·
＝·＋·＝＋＝.
方法二 原式＝(log223＋log233)·log32
＝·log32＝log23·log32＝.
(2)方法一 由log1227＝a，得＝a，
∴lg 2＝lg 3.
∴log616＝＝＝＝.
方法二 由于log1227＝log1233＝3log123＝a，
∴log123＝.
于是log312＝，即1＋2log32＝.
因此log32＝.
而log616＝4log62＝＝＝＝＝.
故log616＝.
规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：
一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底．
二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．
三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logambn＝logab.
对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．
2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用．
跟踪演练1 (1)求值：log89·log2732.
(2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.
解 (1)方法一 log89·log2732＝·＝·＝.
方法二 log89·log2732＝log2332·log3325
＝log23·log32＝.
(2)∵log23＝a，∴log37＝＝＝b.
∴log27＝ab.
∴log1456＝＝＝＝.
要点二 利用对数的换底公式证明等式
例2 已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.
证明 不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1，
于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.
则由换底公式可得＝logm3，＝logm4，＝logm6，
于是＋＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)
＝logm36＝2logm6＝.
因此等式成立．
规律方法 1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形．
2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab＝进行变换．
跟踪演练2 已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn.
证明 由已知可得m＝log210，n＝log510，
因此＝lg2，＝lg5，
于是＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1，
即＝1，故m＋n＝mn.
要点三 对数换底公式的综合应用
例3 (1)已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，求－的值；
(2)设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值．
解 (1)∵11.2a＝1000，∴lg11.2a＝lg1000，
即a·lg11.2＝3，
于是＝lg11.2.
同理可得＝lg0.0112.
于是－＝lg11.2－lg0.0112
＝lg＝lg1000＝×3＝1.
(2)由根与系数的关系可得
由换底公式可知
因此
所以＝＝
＝＝±.
规律方法 对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)．解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识．
跟踪演练3 2＋比lg大( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 2＋－lg＝2＋lga－(lga－lg100)＝4.故选B.
1．下列各式中错误的是( )
A．logab·logba＝1 B．logcd＝
C．logcd·logdf＝logcf D．logab＝
答案 D
2．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于( )
A. B．3 C．－ D．－3
答案 A
解析 由指数式转化为对数式：
x＝log2.51000，y＝log0.251000，
则－＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝.
3．log25125等于( )
A. B. C．2 D．3
答案 A
解析 log25125＝＝＝.
4．已知log63＝0.6131，log6x＝0.3869，则x＝________.
答案 2
解析 由log63＋log6x＝0.6131＋0.3869＝1.
得log6(3x)＝1，故3x＝6，x＝2.
5.的值是________．
答案
解析 ＝＝＝＝.
1.对数换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，它在与指数式、对数式有关的计算、化简和证明中将起到重要作用．
2．在什么情况下选用换底公式？
(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算性质进行化简与求值．
一、基础达标
1．(log29)·(log34)等于( )
A.B.C．2D．4
答案 D
解析 原式＝(log232)·(log322)＝4(log23)·(log32)
＝4··＝4.
2．化简＋的结果为( )
A．log38 B．log83
C．log36 D．log63
答案 A
解析 原式＝log32＋log34＝log38，故选A.
3．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为( )
A．a－bB.C．abD．a＋b
答案 B
解析 log32＝＝，故选B.
4．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于( )
A．2B.C．4D.
答案 A
解析 由根与系数的关系，
得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，
∴2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb
＝22－4×＝2.
5．(log43＋log83)(log32＋log98)＝________.
答案
解析 原式＝(＋)(＋)
＝(＋)(＋)
＝·＝.
6．已知lg9＝a,10b＝5，用a，b表示log3645为________．
答案
解析 ∵lg9＝a,10b＝5，∴lg5＝b，
∴log3645＝＝＝
＝＝
＝＝.
7．计算：
(1)lg5·lg8000＋(lg2)2＋lg0.06－lg6；
(2).
解 (1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2＋lg6－2－lg6
＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2
＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2
＝3lg2＋3lg5－2＝1.
(2)原式＝
＝＝.
二、能力提升
8．若a＞1，b＞1，且lg(a＋b)＝lga＋lgb，则lg(a－1)＋lg(b－1)的值为( )
A．lg2B．1C．0D．不确定
答案 C
解析 lg(a＋b)＝lga＋lgb＝lg(ab)?a＋b＝ab，
∴lg(a－1)＋lg(b－1)＝lg[ab－(a＋b)＋1]＝lg1＝0.
9．若log37·log29·log49a＝log4，则a＝________.
答案
解析 log37·log29·log49a＝··
＝··＝log4
＝＝＝－.
∴＝－，∴a＝2－＝.
10．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为______．
答案 1
解析 logabcx＝＝，
∵logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，
∴logxa＝，logxb＝，logxc＝，
∴logabcx＝＝＝1.
11．若26a＝33b＝62c，求证：＋＝.
证明 设26a＝33b＝62c＝k (k＞0)，
那么∴
∴＋＝6·logk2＋2×3logk3
＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝，
即＋＝.
12．设a＞1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，求a的取值范围．
解 ∵logax＋logay＝3，∴logaxy＝3，
∴xy＝a3，∴y＝.
∵函数y＝(a＞1)在[a,2a]上为减函数，
又当x＝a时，y＝a2，当x＝2a时，y＝＝，
∴?[a，a2]，∴≥a，又a＞1，∴a≥2，
∴a的取值范围为a≥2.
三、探究与创新
13．设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)试求x，y，z之间的关系；
(2)求使2x＝py成立，且与p最接近的正整数(即求与p的差的绝对值最小的整数)；
(3)比较3x,4y,6z的大小．
解 (1)设3x＝4y＝6z＝t，由x＞0，知t＞1，
故取以t为底的对数，得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1，
∴x＝，y＝，z＝，
－＝logt6－logt3＝logt2＝logt4＝，
∴x，y，z之间的关系为－＝.
(2)p＝＝·logt4＝2·log34＝log316.
由9＜16＜27，得log39＜log316＜log327，从而2＜p＜3.
而p－2＝log316－log39＝log3，
3－p＝log327－log316＝log3.
由÷＝＞1，得＞.
∴p－2＝log3＞log3＝3－p，
故所求正整数为3.
(3)∵3x－4y＝3log3t－4log4t＝－
＝lgt()＝(lg43－lg34)．
而lgt＞0，lg3＞0，lg4＞0，lg43＜lg34，
∴3x＜4y.
又∵4y－6z＝2(2log4t－3log6t)＝2(－)
＝＝.
而lgt＞0，lg4＞0，lg6＞0，lg62＜lg43，
∴4y＜6z，故有3x＜4y＜6z
第1课时 反函数及对数函数的图象和性质
[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．
[知识链接]
1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．
2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与性质.
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
[预习导引]
1．对数函数的概念
把函数y＝logax(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过点
过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
3.反函数
(1)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).
要点一 对数函数的概念
例1 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；
(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.
解 (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．
规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
答案 A
解析 设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0且a≠1)，由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，
∴该对数函数的解析式为y＝log2x.
要点二 对数函数的图象
例2 如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，、，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为( )
A.、、、
B.、、、
C.、、、
D.、、、
答案 A
解析 方法一 先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图低的底大，c1、c2对应的a分别为、.然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时底大的图高，c3、c4对应的a分别为、.综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、、、.故选A.
方法二 作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、、、，故选A.
规律方法 函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响．
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时a越小，图象向右越靠近x轴．
(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
跟踪演练2 (1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点( )
A．(1,2) B．(2,1) C．(－2,1) D．(－1,1)
(2)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
答案 (1)D (2)B
解析 (1)令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．
(2)作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
要点三 对数函数的定义域
例3 (1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
(2)若f(x)＝，则f(x)的定义域为( )
A. B.
C.∪(0，＋∞) D.
答案 (1)C (2)C
解析 (1)由题意知解得x＞－1且x≠1.
(2)由题意有
解得x＞－且x≠0.
规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．
跟踪演练3 (1)函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1]D．[0,1]
(2)函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
答案 (1)B (2)C
解析 (1)因为y＝ln(1－x)，所以
解得0≤x＜1.
(2)要使函数有意义，需
解得x＞－1且x≠1，
故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C.
要点四 反函数
例4 求下列函数的反函数：
(1)y＝2x－5；(2)y＝；(3)y＝1＋e.
解 (1)从x＝2y－5中解得y＝，即为所求；
(2)从x＝中解得y＝，即为所求；
(3)从x＝1＋e移项得x－1＝e.两端取自然对数得到ln(x－1)＝，解得y＝2ln(x－1)，即为所求．
规律方法 要找寻函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f(x)的反函数g(x)．既然y＝g(x)是从x＝f(y)解出来的，必有f(g(x))＝x，这个等式也可以作为反函数的定义．
跟踪演练4 y＝lnx的反函数是________．
答案 y＝ex
解析 由y＝lnx，得x＝ey，所以反函数为y＝ex.
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(2x) B．y＝log22x
C．y＝log2x＋1 D．y＝lgx
答案 D
解析 选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合．
2．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A．(－，＋∞) B．(－∞，－)
C．(－，) D．(－，1)
答案 D
解析 由可得－＜x＜1.
3．函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )
答案 A
解析 函数y＝－logax恒过定点(1,0)，排除B项；
当a＞1时，y＝ax是增函数，
y＝－logax是减函数，排除C项，
当0＜a＜1时，y＝ax是减函数，
y＝－logax是增函数，排除D项，A项正确．
4．若a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点________．
答案 (2,1)
解析 函数图象过定点，则与a无关，
故loga(x－1)＝0，
所以x－1＝1，x＝2，y＝1，
所以y＝loga(x－1)＋1过定点(2,1)．
5．函数y＝lgx的反函数是________．
答案 y＝10x
解析 由反函数的定义知x＝10y，故反函数为y＝10x.
1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0且a≠1)这种形式．
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
一、基础达标
1．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是( )
A．0.5 B．2
C．e D．π
答案 A
解析 ∵函数y＝logax的图象单调递减，∴0＜a＜1，只有选项A符合题意．
2．函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为( )
A．(1,4] B．(1,4)
C．[1,4] D．[1,4)
答案 A
解析 由解得1＜x≤4.
3．在同一坐标系中，函数y＝log3x与y＝的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
答案 B
解析 ∵y＝＝－log3x，∴函数y＝log3x与y＝的图象关于x轴对称．
4．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
答案 D
解析 y＝logax的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b，c∈(0,1)，又易知c＞b，故a＞c＞b.
5．已知函数f(x)＝那么f(f())的值为( )
A．27 B. C．－27 D．－
答案 B
解析 f()＝log2＝log22－3＝－3，f(f())＝f(－3)＝3－3＝.
6．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________.
答案 －
解析 设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，
则－3＝loga8，∴a＝.
∴f(x)＝logx，f(2)＝log(2)
＝－log2(2)＝－.
7．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
解 (1)要使函数有意义，需满足
解之得x＞2且x≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足
解之得－1＜x＜0或0＜x＜4.
∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
二、能力提升
8．设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝，则a等于( )
A．2 B．－2C. D．－
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝log2x的反函数为y＝2x，即g(x)＝2x.
又∵g(a)＝，∴2a＝，∴a＝－2.
9．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
答案 D
解析 由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．
所以0＜a＜1且0＜b＜1.所以g(x)＝ax＋b在R上是减函数，故排除A，B.由g(x)的值域为(b，＋∞)．所以g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.
10．若log2a<0，则a的取值范围是____________．
答案
解析 当2a>1时，∵log2a<0＝log2a1，
∴<1.∵1＋a>0，∴1＋a2<1＋a，
∴a2－a<0，∴0
当0<2a<1时，∵log2a<0＝log2a1，
∴>1.∵1＋a>0，∴1＋a2>1＋a，
∴a2－a>0，∴a<0或a>1，此时不合题意．
综上所述，a∈.
11．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)＜f(2)，利用图象求a的取值范围．
解 (1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：函数f(x)为单调增函数，当0＜a＜2时，恒有f(a)＜f(2)．∴所求a的取值范围为(0,2)．
三、探究与创新
12．求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解 因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥logx≥－2.
设t＝logx，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
13．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．
解 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为
f(x)＝
∴f(x)的大致图象如图所示：
第2课时 对数函数的图象和性质的应用
[学习目标] 1.进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用．
[知识链接]
对数函数的图象和性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
(1,0)，即当x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
[预习导引]
形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝logaf(x)的定义域须满足f(x)＞0.
(2)当a＞1时，函数y＝logaf(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝logaf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．
解决学生疑难点________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
______________________________________________________
要点一 对数值的大小比较
例1 比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
解 (1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3＜2，
所以ln0.3＜ln2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
(3)方法一 因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，即log30.2＜log40.2.
方法二 如图所示
由图可知log40.2＞log30.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
规律方法 比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
1．若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
2．若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
3．若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较．
4．若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
跟踪演练1 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a＞c＞b B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．c＞a＞b
答案 (1)D (2)B
解析 (1)利用对数函数的性质求解．
a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，
由对数函数的性质可知log52＜log32，∴b＜a＜c，故选D.
(2)a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a＞c＞b，故选B.
要点二 对数函数单调性的应用
例2 求函数y＝(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．
解 要使y＝(1－x2)有意义，则1－x2＞0，
∴x2＜1，则－1＜x＜1，
因此函数的定义域为(－1,1)．令t＝1－x2，x∈(－1,1)．
当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝t减小，
∴x∈(－1,0]时，y＝(1－x2)是减函数；
同理当x∈[0,1)时，y＝(1－x2)是增函数．
故函数y＝(1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝(1－02)＝0.
规律方法 1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．
2．求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证；(2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性．
跟踪演练2 (1)函数f(x)＝|x|的单调递增区间是( )
A.B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
(2)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
答案 (1)D (2)D
解析 (1)f(x)＝
当x≥1时，t＝x是减函数，
f(x)＝－x是增函数．
∴f(x)的单调增区间为[1，＋∞)．
(2)f(x)≤2?或?0≤x≤1或x＞1，故选D.
要点三 对数函数的综合应用
例3 已知函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
解 (1)要使此函数有意义，
则有或
解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga(1＋)，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．所以当a＞1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；当0＜a＜1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．
规律方法 1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．
2．求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间．
跟踪演练3 已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(3)＝2，求使h(x)＜0成立的x的集合．
解 (1)∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩
{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．
函数h(x)为奇函数，理由如下：
∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，
∴h(x)为奇函数．
(2)∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，
∴解之得－1＜x＜0.
∴使得h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}.
1．函数y＝lnx的单调递增区间是( )
A．[e，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 B
解析 函数y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，在(0，＋∞)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，＋∞)．
2．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
答案 D
解析 ∵1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，
∴1＞a＝log54＞log53＞b＝(log53)2.
又∵c＝log45＞log44＝1.∴c＞a＞b.
3．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(1,2]
答案 D
解析 由题意有解得1＜x≤2.
4．函数f(x)＝的值域为________．
答案 (－∞，2)
解析 当x≥1时，x≤1＝0，
∴当x≥1时，f(x)≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，
即0＜f(x)＜2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2)．
5．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
答案
解析 要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，
即x＞－，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，
当x＞－时，u＝2x＋1也为(－，＋∞)上的增函数，
故原函数的单调增区间是.
1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解．
2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
一、基础达标
1．若集合A＝，则?RA等于( )
A．(－∞，0]∪
B.
C．(－∞，0]∪
D.
答案 A
解析 x≥，即x≥，
∴0＜x≤，即A＝，
∴?RA＝.故选A.
2．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
答案 A
解析 a＝log3π＞1，
b＝log2＝log23∈，
c＝log3＝log32∈，
故有a＞b＞c.
3．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是( )
A．0 B．1 C．2 D．a
答案 C
解析 ∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
4．函数f(x)＝lg()是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
答案 A
解析 f(x)定义域为R，
f(－x)＋f(x)
＝lg()＋lg()
＝lg＝lg1＝0，
∴f(x)为奇函数，选A.
5．函数y＝(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－2,2) D．(－2,6)
答案 C
解析 y＝u，u＝－x2＋4x＋12.
令u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6.
∴x∈(－2,2)时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，
∵y＝u为减函数，
∴函数的单调减区间是(－2,2)．
6．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________．
答案 {x|＜x＜2}
解析 由题意可知，f(log4x)＜0?－＜log4x＜?log44＜log4x＜log44?＜x＜2.
7．已知f(x)＝(x)2－3x，x∈[2,4]．试求f(x)的最大值与最小值．
解 令t＝x，
则y＝t2－3t＝(t－)2－，
∵2≤x≤4，∴4≤x≤2，
即－2≤t≤－1.
可知y＝(t－)2－在[－2，－1]上单调递减．
∴当t＝－2时，y取最大值为10；
当t＝－1时，y取最小值为4.
故f(x)的最大值为10，最小值为4.
二、能力提升
8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
答案 D
解析 a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，
∵log32＞log52＞log72，∴a＞b＞c，故选D.
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1,2]B.C．[，2] D．(0,2]
答案 C
解析 ∵f(a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，
∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．
又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.
∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．
又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，
∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.
综上可知≤a≤2.
10．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案 {a|2＜a≤3}
解析 ∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
∴a的取值需满足
解得2＜a≤3.
11．讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
解 由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为
.
则当a＞1时，
若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数．
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．
当0＜a＜1时，
若x＞1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；
若x＜－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
三、探究与创新
12．已知x满足不等式：2(x)2＋7x＋3≤0，求函数f(x)＝·的最大值和最小值．
解 由2(x)2＋7x＋3≤0，
可解得－3≤x≤－，即≤x≤8，
∴≤log2x≤3.
∵f(x)＝(log2x－2)(log2x－1)
＝2－，
∴当log2x＝，即x＝2时，f(x)有最小值－.
当log2x＝3，即x＝8时，f(x)有最大值2.
∴f(x)min＝－，f(x)max＝2.
13．已知f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)在函数y＝f(x)的图象上时，点在函数y＝g(x)的图象上．
(1)写出y＝g(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－g(x)＝0的根．
解 (1)依题意
则g＝log2(x＋1)，
故g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)由f(x)－g(x)＝0得，
log2(x＋1)＝log2(3x＋1)，
所以
解得，x＝0或x＝1.
2．3 幂函数
2．3.1 幂函数的概念
2．3.2 幂函数的图象和性质
[学习目标] 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．
[知识链接]
函数y＝x，y＝x2，y＝(x≠0)的图象和性质
函数
图象
定义域
值域
单调性
奇偶性
y＝x
R
R
递增
奇
y＝x2
R
[0，＋∞)
在(－∞，0)上递减
偶
在[0，＋∞)上递增
y＝
{x|x≠0}
{y|y≠0}
在(－∞，0)上递减
奇
在(0，＋∞)上递减
[预习导引]
1．幂函数的概念
一般来说，当x为自变量而α为非0实数时，函数y＝xα叫作(α次的)幂函数．
2．幂函数的图象与性质
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0) ∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
递增
x∈[0，＋∞)递增；x∈(－∞，0]递减
递增
递增
x∈(0，＋∞)递减；x∈(－∞，0)递减
定点
(1,1)
要点一 幂函数的概念
例1 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
解 根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．
2．幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
跟踪演练1 已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________.
答案 10
解析 由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，
∴α＝，∴f(x)＝，∴f(100)＝＝10.
要点二 幂函数的图象
例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
答案 B
解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B.
规律方法 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由小变大．(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．
跟踪演练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜－1,0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1
D．n＜－1，m＞1
答案 B
解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.
要点三 比较幂的大小
例3 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)－1与－1；
(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.
解 (1)∵y＝是[0，＋∞)上的增函数，且＞，
∴＞.
(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－＜－，
∴－1＞－1.
(3)0.25＝＝2，6.25＝2.5.
∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2＜2.5，
∴2＜2.5，即0.25＜6.25.
(4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.
规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
跟踪演练3 比较下列各组数的大小：
(1)0.5与0.5；(2)－3.143与－π3；
(3)与.
解 (1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且＞，
∴0.5＞0.5.
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，
∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.
(3)∵y＝x是减函数，∴＜.
y＝是[0，＋∞)上的增函数，
∴＞.∴＞.
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝(x＋1)3
答案 B
解析 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A．y＝ B．y＝x
C．y＝ D．y＝x
答案 D
解析 y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
答案 A
解析 可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1,3.
4．若a＝()，b＝()，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________．
答案 a＞b＞c
解析 ∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数．
∴()＞()，即a＞b＞0.
而c＝(－2)3＝－23＜0，∴a＞b＞c.
5．幂函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
答案 2
解析 ∵f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1不符合题意．
综上可知m＝2.
1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．
2．幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
3．简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
一、基础达标
1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值为( )
A．16 B.
C. D．2
答案 C
解析 设f(x)＝xα，则有2α＝，解得α＝－，即f(x)＝x，所以f(4)＝4＝.
2．下列命题中正确的是( )
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D．幂函数的图象不可能在第四象限
答案 D
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为两条射线，故A选项不正确；当α＜0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故选项B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝xα＞0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确．
3．下列幂函数中①y＝x－1；②y＝x；③y＝x；④y＝x2；⑤y＝x3，其中在定义域内为增函数的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
答案 B
解析 由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数．
4．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是( )
A．h(x)＜g(x)＜f(x) B．h(x)＜f(x)＜g(x)
C．g(x)＜h(x)＜f(x) D．f(x)＜g(x)＜h(x)
答案 D
解析 在同一坐标系中，画出当0＜x＜1时，函数y＝x2，y＝x，y＝x－2的图象，如图所示．
∴当0＜x＜1时，有x－2＞x＞x2，
即f(x)＜g(x)＜h(x)．
5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝
答案 A
解析 由于y＝x－1和y＝都是奇函数，故B、D不合题意．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C不合题意．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．
6．幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则满足f(x)＝－27的x值等于________．
答案 －
解析 设f(x)＝xα，由题意可知2α＝，α＝－3，
即f(x)＝x－3.
由x－3＝－27可知x＝－.
7．比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.5与1.6；(2)0.61.3与0.71.3；
(2)3.5与5.3；(4)0.18－0.3与0.15－0.3.
解 (1)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且1.5＜1.6，∴1.5＜1.6.
(2)∵幂函数y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6＜0.7，∴0.61.3＜0.71.3.
(3)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，且3.5＜5.3，∴3.5＞5.3.
(4)∵幂函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18＞0.15，∴0.18－0.3＜0.15－0.3
二、能力提升
8．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．a＜b＜c D．b＞c＞a
答案 C
解析 ∵函数y＝x在R上是减函数，又＞，
∴＜，即a＜b.
又∵函数y＝x在R上是增函数，且＞，
∴＞，即c＞b，
∴a＜b＜c.
9．函数y＝的图象是( )
答案 B
解析 方法一 代入选项验证即可．
方法二 y＝＝＝－＋1，利用函数图象的变换可知选B.
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )
A．7个B．8个C．9个D．无数个
答案 C
解析 值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1,2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1,2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1,2，－2}，共有9种情况．
11．已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lgx)，求g(x)的定义域、值域．
解 (1)设f(x)＝xa，则由题意可知25a＝5，
∴a＝，∴f(x)＝x.
(2)∵g(x)＝f(2－lgx)＝，
∴要使g(x)有意义，只需2－lgx≥0，
即lgx≤2，解得
0＜x≤100.
∴g(x)的定义域为(0,100]，
又2－lgx≥0，
∴g(x)的值域为[0，＋∞)．
三、探究与创新
12．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2＜x＜2，x∈Z}，满足：
(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
解 因为m∈{x|－2＜x＜2，x∈Z},
所以m＝－1,0,1.
因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)、(2)都不满足．
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数．
所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
13．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
解 ∵函数f(x)在(0，＋∞)上的函数值随着x的增大而减小，∴m2－2m－3<0，
利用二次函数的图象可得－1又∵m∈N，∴m＝0,1,2.
又∵函数的图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数，故m＝1，
∴(a＋1)－<(3－2a)－.
又∵y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递减，
∴有以下三种情况：
①当即a<－1时，不等式的左边为负数，右边为正数，不等式成立；
②当时，必有a＋1>3－2a，
即解得③当时，必有a＋1>3－2a，
即此不等式组无解，
综上可得a的取值范围是(－∞，－1)∪.
2．4.1 方程的根与函数的零点
[学习目标] 1.知道函数零点的定义，会求函数的零点.2.能说出函数零点的存在性定理，会判断函数零点的存在性及存在区间.3.能利用数形结合的方法分析方程根的个数或分布情况.4.会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围．
[知识链接]
考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；
(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？
答案
方程
x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝0
x2－2x＋3＝0
函数
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函数的图象
方程的实数根
x1＝－1，x2＝3
x1＝x2＝1
无实数根
函数的图象与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
[预习导引]
1．函数零点的定义
(1)对于函数f(x)，把方程f(x)＝0的实数根叫作函数y＝f(x)的零点；
(2)求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点；
(3)函数y＝f(x)的零点，也就是函数y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的存在性定理
设f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化而且f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个根，即存在x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.
要点一 求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
解 (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，
所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，
所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，
所以函数的零点为－6.
规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
跟踪演练1 判断下列说法是否正确：
(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(0,2)；
(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.
解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错．
(2)虽然f(1)＝0，但1?[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．
要点二 判断函数零点所在区间
例2 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵f＝－2＜0，f()＝－1＞0，
∴f·f＜0，∴零点在上．
规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．
2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．
跟踪演练2 函数f(x)＝ex＋x－2零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 C
解析 ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，
∴f(0)·f(1)＜0，
∴f(x)在(0,1)内有零点．
要点三 判断函数零点的个数
例3 判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．
解 方法一 函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点．从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．
方法二 由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，
f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，
所以f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．
跟踪演练3 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 将函数零点视为两个函数图象的交点横坐标，分别画出函数图象，利用数形结合求解．
令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝x.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点.
1．函数y＝4x－2的零点是( )
A．2 B．(－2,0) C. D.
答案 D
解析 令y＝4x－2＝0，得x＝.
∴函数y＝4x－2的零点为.
2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
答案 D
解析 ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．
3．函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8)
C．(8,9) D．(9,10)
答案 D
解析 因为f(9)＝lg9－1＜0，
f(10)＝lg10－＝1－＞0，
所以f(9)·f(10)＜0，所以y＝lgx－在区间(9,10)上有零点，故选D.
4．方程2x－x2＝0的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 在同一坐标系画出函数y＝2x及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.
5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，1)
解析 由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.
1.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
一、基础达标
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
答案 A
解析 B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
答案 C
解析 由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，
f(2)＝7.39－4＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，∴f(x)在区间(1,2)上存在零点．
4．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案 B
解析 f(1)＝ln1＋2－6＝－4＜0，
f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2＜0，
f(3)＝ln3＋6－6＝ln3＞0，所以f(2)f(3)＜0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
5．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 令f(x)＝log3x＋x－3，
则f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，
f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，
那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
6．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
答案 0
解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.
7．判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．
解 令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，
即log2x＝x－2.
令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示，
有两个不同的交点．
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．
二、能力提升
8．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 计算出函数在区间端点处的函数值并判断符号，再利用零点的存在条件说明零点的位置．
∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，
∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，
f(c)＝(c－a)(c－b)，
∵a＜b＜c，∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
9．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝________.
答案 0或－
解析 a＝0时，f(x)只有一个零点－1，
a≠0时，由Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.
10．设x0是方程lnx＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
答案 2
解析 令f(x)＝lnx＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln2＋2－4＜0，
f(3)＝ln3－1＞0.
∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.
11．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？
解 (1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，
其图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．
(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．
由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，
∴0≤m＜4.
∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，
故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
三、探究与创新
12．已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3；f(x＋1)＝f(x)＋2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的取值范围．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝3，
∴c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3.
f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，
f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3，
∵f(x＋1)＝f(x)＋2x，
∴
解得a＝1，b＝－1，
∴f(x)＝x2－x＋3.
(2)由(1)，得g(x)＝x2－|x|＋3＋m，
在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示，
由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图象与x轴有4个交点．
由图象得
解得－3＜m＜－，
即实数m的取值范围是.
13．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解 (1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，
结合二次函数的单调性与零点存在性定理，得
解得2≤a＜.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，
结合二次函数的单调性与零点存在性定理，
得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，
结合二次函数的单调性与零点存在性定理，得
解得＜a＜.
2.4.2 计算函数零点的二分法
[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
[知识链接]
现有一款三星手机，目前知道它的价格在500～1000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？
[预习导引]
用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x－x0|≤ε.用二分法求函数零点的一般步骤如下：
(1)在D内取一个闭区间[a0，b0]?D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．
(2)取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的横坐标为x0＝.
计算f(x0)和f(a0)．并判断：
①如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；
②如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0；
③如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.
(3)对区间[a1，b1]，按(2)中的方法，可以得到区间[a2，b2]，且它的长度是区间[a1，b1]长度的一半．
如此反复地二分下去，可以得到一系列有限区间[a0，b0]，[a1，b1]，[a2，b2]，[a3，b3]，…，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半．
继续实施上述步骤，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当|an－bn|＜2ε时，区间[an，bn]的中点xn＝(an＋bn)就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点与真正零点的误差不超过ε.
要点一 二分法概念的理解
例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
答案 A
解析 按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.
规律方法 1.准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．
跟踪演练1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )
(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]内连续不断；②f(a)·f(b)＜0；
③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.
A．①② B．①③
C．①④ D．①②③
答案 (1)B (2)A
解析 (1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．
(2)由二分法的意义，知选A.
要点二 用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程x2－10＝0在区间[3.1,3.2]上的近似解(误差不超过0.001，即ε＝0.001)．
解 设f(x)＝x2－10，则f(3.1)＝－0.39，
f(3.2)＝0.24.
取a0＝3.1，b0＝3.2，有f(a0)·f(b0)＜0.列表计算：
n
an
bn
bn－an
f(an)
f(bn)
xn＝
0
3.1000
3.2000
0.1000
－0.3900
0.2400
3.1500
1
3.1500
3.2000
0.0500
－0.0775
0.2400
3.1750
2
3.1500
3.1750
0.0250
－0.0775
0.0806
3.1625
3
3.1500
3.1625
0.0125
－0.0775
0.0014
3.1563
4
3.1563
3.1625
0.0062
－0.0378
0.0014
3.1594
5
3.1594
3.1625
0.0031
－0.0182
0.0014
3.1610
6
3.1610
3.1625
0.0015
－0.0081
0.0014
3.1618
由于b6－a6＝0.0015＜0.002＝2ε，计算停止，取＝x6＝＝3.16175≈3.162为方程的近似解．
规律方法 给定ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(a)·f(c)＞0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)重复第(3)步，可得到一系列有限区间，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半，当所在区间值小于2ε时，区间中点就是函数f(x)的近似零点．
跟踪演练2 若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为______．(只填序号)
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4]
⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
答案 ③④⑤
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
答案 A
解析 ∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，
f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
2．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或x＝b
答案 B
解析 由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．由f＝0，知选B.
3．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
答案 A
解析 由于f(1.25)f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．
4．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间( )
A. B.
C. D．(1,2)
答案 C
解析 f＝－＜0，
f＝－＜0，
f＝－1＜0，
f(1)＝1＞0，f(2)＝4＞0，
∴函数零点落在区间上．
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
答案 (2,2.5)
解析 f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，
f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，
∴下一个有根的区间是(2,2.5)．
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的误差，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
一、基础达标
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
答案 D
解析 由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．
2．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表如示：
x
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
f(x)
1.16
1.00
0.68
0.24
－0.25
－0.70
－1.00
则函数f(x)的一个零点所在的区间是( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
答案 C
解析 ∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)＜0，
∴零点在区间(1.8,2.2)上．故选C.
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.125)
答案 A
解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)＜0，f(0.5)＞0知x0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置．
4．设方程2x＋2x＝10的根为β，则β∈( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为单调增函数，故只有一个零点．f(0)＝－9，f(1)＝－6，
f(2)＝－2，f(3)＝4，∴f(2)·f(3)＜0.∴β∈(2,3)．
5．函数y＝x与函数y＝lgx的图象的交点的横坐标约是( )
A．1.5 B．1.6
C．1.7 D．1.8
答案 D
解析 设f(x)＝lgx－x，
经计算f(1)＝－＜0，f(2)＝lg2－＞0，
所以方程lgx－x＝0在(1,2)内有解．
应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．
6．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．
答案
解析 令f(x)＝lnx－2＋x，
∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，
f＝ln－＞0，
∴下一个含根的区间是.
7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)＝0.200
f(1.5875)＝0.133
f(1.5750)＝0.067
f(1.5625)＝0.003
f(1.5562)＝－0.029
f(1.5500)＝－0.060
据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(误差为0.01)．
解 由表中f(1.5625)＝0.003，f(1.5562)＝－0.029.
∴f(1.5625)·f(1.5562)＜0.
又|1.5625－1.5562|＝0.0063＜0.01，
∴一个零点近似值为1.5625(不唯一)．
二、能力提升
8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C. D.
答案 D
解析 由于第一次所取的区间为[－2,4]，
∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，
第三次所取区间为
，，或.
9．下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数零点时才用二分法
答案 B
解析 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
10．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(误差为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．
答案 4
解析 设等分的最少次数为n，则由＜0.01，得2n＞10，∴n的最小值为4.
11．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．
解 图象如图所示，
因为f(0)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，
所以方程x2－x－1＝0
在(0,2)内有根x0；
取(0,2)的中点1，
因为f(1)＝－1＜0，
所以f(1)·f(2)＜0，根x0在区间(1,2)内；
再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25＜0，
所以f(1.5)·f(2)＜0，根x0在区间(1.5,2)内；
取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.3125＞0，
所以f(1.5)·f(1.75)＜0，根x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．
三、探究与创新
12．求方程lnx＋x－3＝0在(2,3)内的近似解．(误差为0.1)
解 令f(x)＝lnx＋x－3，求函数f(x)＝0在(2,3)内的零点．
∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.416
(2,2.5)
2.25
0.061
(2,2.25)
2.125
－0.121
(2.125,2.25)
2.1875
－0.030
∵2.25－2.1875＝0.0625＜0.1，
∴在区间(2.1875,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.
13．用二分法求的近似值(误差为0.1)．
解 设x＝，则x2＝5，即x2－5＝0，
令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.0625.
因为f(2,2)·f(2.25)＜0，
所以x0∈(2.2,2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，
所以的近似值可取为2.25.
2．5.1 几种函数增长快慢的比较
[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
[预习导引]
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐渐变陡
随x增大逐渐变缓
随n值而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．
(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
要点一 函数模型的增长差异
例1 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝10000x B．y＝log2x
C．y＝x1000 D．y＝x
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
答案 (1)D (2)y2
解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝x增长速度最快．
(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，若x＞x0，有logax＜xn＜ax.
跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
答案 A
解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数．
要点二 几种函数模型的比较
例2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2010
2011
2012
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
解 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型
g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42.则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．
规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．
2．理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．
跟踪演练2 函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图．
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知
曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
答案 D
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x
答案 B
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.
方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
答案 D
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
答案 A
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，
得y＝300.
5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．
答案 y＝－x＋50(0＜x＜200)．
解析 设解析式为y＝kx＋b，
由解得k＝－，b＝50，
∴y＝－x＋50(0＜x＜200)．
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
一、基础达标
1．下列函数中，增长速度最慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
答案 B
解析 对数函数增长的越来越慢，故选B.
2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图象为( )
答案 B
解析 ∵v1＜v2，
∴前半段路程用的时间长．
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A．y＝0.9 B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9m D．y＝(1－0.150x)m
答案 C
解析 设每年湖水量为上一年的q%，
则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9.
∴x年后的湖水量为y＝0.9m.
4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
答案 C
解析 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．
5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________万件．
答案 1.75
解析 由
得
所以y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．
答案 ②④
解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则②④正确．
7．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N＋)，
旅游收费为y，旅游原价为a.
甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)a＝(x＋3)a；
乙旅行社收费：y＝(x＋2)a.
∵(x＋2)a－(x＋3)a＝(x－1)a，
∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．
当x＞1时，甲旅行社更优惠．
二、能力提升
8．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是( )
A．2x＞＞lgx B．2x＞lgx＞
C．＞2x＞lgx D．＞lgx＞2x
答案 A
解析 ∵x∈(1,2)，∴2x∈(2,4)．
∴∈(1，)，lgx∈(0,1)．
∴2x＞＞lgx.
9．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
答案 B
解析 (如图)取OH的中点E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．
10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v＝2000·ln，则当燃料质量是火箭质量的______倍时，火箭的最大速度可达12km/s.
答案 e6－1
解析 由题意得2000ln＝12000.
∴ln＝6，从而＝e6－1.
11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．
解 (1)设V＝k·log3，
∵当Q＝900时，V＝1，
∴1＝k·log3，
∴k＝，
∴V关于Q的函数解析式为V＝log3.
(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，
∴Q＝2700，
∴一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．
三、探究与创新
12．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明．
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
解 设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，
∵y1＜y2，
∴应选择方案二处理污水．
(2)当x＝6000时，y1＝114000，
y2＝108000，
∵y1＞y2，
∴应选择方案一处理污水．
13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L2＝10lg＝10lg1＝0(分贝)；
耳语的强度水平为
L3＝10lg＝10lg102＝20(分贝)；
恬静的无线电广播的强度水平为
L4＝10lg＝10lg104＝40(分贝)．
(2)由题意知0≤L1＜50，
即0≤10lg＜50，
所以1≤＜105，
即1×10－12≤I＜1×10－7.
所以新建的安静小区的声音强度I大于等于1×10－12W/m2，同时小于1×10－7W/m2.
2.5.2 形形色色的函数模型
[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．
[预习导引]
1．解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
2．数学模型
就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
解决学生疑难点_________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
要点一 用已知函数模型解决问题
例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5min与开讲后20min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
解 (1)当0＜x≤10时，
f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.
故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为
f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16＜x≤30时，f(x)单调递减，
f(x)＜－3×16＋107＝59.
因此，开讲后10min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6min.
(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5)．
因此，开讲后5min学生的接受能力比开讲后20min强一些．
(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，
则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.
所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，
故x＝6.
当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.
所以x＝17.
因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为
17－6＝11＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．
规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．
解决此类型函数应用题的基本步骤是：
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．
第二步：根据所给模型，列出函数关系式．
根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．
跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
解 当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，要耗油×2.5＝28.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升．
要点二 建立函数模型解决实际问题
例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
解 (1)由题意：得当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)
＝－x2＋x＝－(x2－200x)
＝－(x－100)2＋，
所以当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
规律方法 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下．
①能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
②通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
③根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
④利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝，N＝t，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)求总利润y的最大值．
解 (1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M＝(亿元)，此时乙项目投资(3－x)亿元，获得利润为N＝(3－x)(亿元)，则有y＝＋(3－x)，x∈[0,3]．
(2)令＝t，t∈[0，]，则x＝t2，此时y＝t＋(3－t2)＝－(t－1)2＋.
∵t∈[0，]，∴当t＝1，即x＝1时，y有最大值.即总利润y的最大值是亿元.
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．390元 D．280元
答案 B
解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )
答案 D
3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
答案 D
解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，…，分裂x次后y＝2x＋1个．
4．长为3，宽为2的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为________．
答案
解析 S＝(3＋x)(2－)＝－＋＋6
＝－(x－)2＋，
∴x＝时，Smax＝.
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．
一、基础达标
1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )
答案 C
解析 由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．
2．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)
0＜x≤500
500＜x≤1000
1000＜x≤1500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
答案 C
解析 由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元．
3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( )
A．30B．40C．50D．60
答案 C
解析 设安排生产x台，则获得利润
f(x)＝25x－y＝－x2＋100x
＝－(x－50)2＋2500.
故当x＝50台时，获利润最大．
4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
答案 D
解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.
5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
答案 A
解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝x－
＝x2＋(a－5)x－1000(x＞0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
∴解得
6．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
答案 甲
解析 对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，
对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．
7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
解 设报摊主每天买进报纸x份，每月利润为y元(x为正整数)．
当x≤250时，y＝0.1×30×x＝3x.
当250≤x≤400时，
y＝0.1×20×x＋0.1×10×250－(x－250)×0.32×10
＝2x＋250－3.2x＋800
＝1050－1.2x.
当x≥400时，
y＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x－400)×0.32×20－(x－250)×0.32×10
＝800＋250－6.4x＋2560－3.2x＋800
＝－9.6x＋4410.
当x≤250时，取x＝250，ymax＝3×250＝750(元)．
当250≤x≤400时，取x＝250，ymax＝750(元)．
当x≥400时，取x＝400，ymax＝570(元)．
故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．
二、能力提升
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新樟脑丸经过50天后，体积变为a.若一个新樟脑丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125B．100C．75D．50
答案 C
解析 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝，∴＝，t1＝75.
9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________(已知lg2≈0.301，lg3≈0.477)．
答案 36.72
解析 当N＝40时，则t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg5－2lg3)＝36.72.
10．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y＝at，有以下几种说法：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等．
其中正确的命题序号是________．
答案 ①②
解析 由图象知，t＝2时，y＝4，
∴a2＝4，故a＝2，①正确．
当t＝5时，y＝25＝32＞30，②正确，
当y＝4时，由4＝2t1知t1＝2，
当y＝12时，由12＝2t2知t2＝log212＝2＋log23.
t2－t1＝log23≠1.5，故③错误；
浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．
11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额．
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解 设该店月利润余额为L元，则由题设得：
L＝Q(P－14)×100－3600－2000.①
由销量图易得：Q＝
代入①式得
L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450(元)，
此时P＝19.5(元)；
当20＜P≤26时，Lmax＝(元)，此时P＝(元)．
故当P＝19.5(元)时，月利润余额最大，为450元．
(2)设可在n年后脱贫，依题意有
12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫．
三、探究与创新
12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多少时间？
解 由题意知40－24＝(88－24)·，
即＝.
解之，得h＝10.
故T－24＝(88－24)·.
当T＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·，
即＝.
两边取对数，用计算器求得t≈25.
因此，约需要25min，可降温到35℃.
13．某年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P(t)＝P0e－kt (P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11.)
解 (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0，
于是有90%P0＝P0e－5t.
解得k＝－ln0.9(或0.022)．
(2)由(1)得，知P＝P0et.
当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0et，
解得t＝≈＝≈41.82.
故污染物减少到40%至少需要42小时.
专题2 指数函数、对数函数和幂函数
1．指数和对数
(1)分数指数的定义：
a＝(a＞0，m，n∈N，m≥2)，
a＝(a＞0，m，n∈N，m≥2)．
(2)如同减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算一样，对数运算是指数运算的逆运算．
ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．
由此可得到对数恒等式：
alogaN＝N，b＝logaab.
(3)对数换底公式logaN＝(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，N＞0)的意义在于把各个不同底数的对数换成相同底数的对数，这样，一可以进行换算，二可以通过对数表求值．
(4)指数和对数的运算法则有：
am·an＝am＋n，logaM＋logaN＝loga(MN)，
(am)n＝amn，logaMn＝nlogaM，
am÷an＝am－n，logaM－logaN＝loga.
(a∈R＋，m，n∈R)(M，N∈R＋，a＞0，a≠1)．
2．指数函数、对数函数和幂函数
(1)要熟记这三个函数在不同条件下的图象，并能熟练地由图象“读”出该函数的主要性质；
(2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形．由图可“读”出指数函数和对数函数的主要性质：
指数函数
对数函数
(1)定义域：R
(1)定义域：R＋
(2)值域：R＋
(2)值域：R
(3)过点(0,1)
(3)过点(1,0)
(4)a＞1时为增函数，
0＜a＜1时为减函数
(4)a＞1时为增函数，
0＜a＜1时为减函数
如果两个函数y＝f(x)和x＝g(x)描述的是同一个对应法则，则称这两个函数互为反函数．这时两者之间满足关系g(f(x))＝x和f(g(y))＝y，并且它们的图象关于直线y＝x成轴对称．函数f叫作g的反函数，g也叫作f的反函数．f的定义域是g的值域，f的值域是g的定义域，两者同为递增或递减．
由上面反函数的定义，我们知道，指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)和同底数的对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．这给研究对数函数的图象和性质带来了方便．
(3)幂函数y＝xn在第一象限内的图象由幂指数的不同取值可分为三种走势．
由下图，当n＞0时幂函数的主要性质是：
①恒过(0,0)，(1,1)两点；
②在区间[0，＋∞)上为增函数．
当n＜0时幂函数的主要性质有：
①恒过点(1,1)；
②在区间(0，＋∞)上为递减函数；
③图象走向和x轴、y轴正向无限接近．
3．函数与方程
(1)实系数一元二次方程当Δ＞0时有两个不等实根；当Δ＝0时有两个相等实根；当Δ＜0时无实数根．
(2)方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象和x轴交点的横坐标，也叫作函数的零点；方程f(x)＝g(x)的解也就是两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标．
(3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值．
4．函数模型及其应用
(1)目前我们能建立的函数模型主要是一次函数，二次函数，幂函数，指数函数和对数函数的模型；
(2)建模的目的是：模拟实际问题和用模拟函数的性质去推测判断未进行测量或不便测量的数据，特别是实际问题的未来走势；
(3)建模的大致步骤是：了解和简化实际问题，建立实际问题的数学模型，分析所得数学模型，把模型所判断的结论和实际模型的表现加以比较，改进数学模型.
题型一 有关指数、对数的运算问题
指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．
指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．
例1 (1)化简÷×；
(2)计算：2log32－log3＋log38－25log53.
解 (1)原式＝××ab＝×a×ab＝a.
(2)原式＝log34－log3＋log38－52log53
＝log3(4××8)－52log53
＝log39－9＝2－9＝－7.
跟踪演练1 (1)求＋5log52＋16的值．
(2)已知x＞1，且x＋x－1＝6，求x－x.
解 (1)＋5log52＋16
＝＋2＋(24)
＝＋2＋8＝11.
(2)2＝x＋x－1－2＝6－2＝4，
又x＞1，∴x－x＞0，
∴－x＝2.
题型二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质
函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．
例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
解 (1)先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
跟踪演练2 (1)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0B．1C．2D．3
(2)函数y＝的图象大致是( )
答案 (1)C (2)C
解析 (1)作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．
g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝lnx与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．
(2)由3x－1≠0得x≠0，
∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；
当x＝－1时，y＝＝＞0，可排除选项B；
当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，
但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.
题型三 比较大小
比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：
(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；
(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；
(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决．
例3 设a＝，b＝0.2，c＝2，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
答案 A
解析 a＝＜0,0＜b＝0.2＜1，c＝2＞1，故有a＜b＜c.
跟踪演练3 (1)下列不等式成立的是( )
A．log32＜log23＜log25 B．log32＜log25＜log23
C．log23＜log32＜log25 D．log23＜log25＜log32
(2)已知0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则( )
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．y＞x＞z D．z＞x＞y
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由于log31＜log32＜log33，
log22＜log23＜log25，
即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，
所以log32＜log23＜log25.故选A.
(2)依题意，得x＝loga，y＝loga，
z＝loga.
又0＜a＜1，＜＜，
因此有loga＞loga＞loga，即y＞x＞z.故选C.
题型四 函数的零点与方程的根的关系及应用
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上看，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起重视．
例4 已知a是函数f(x)＝的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0
C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定
答案 C
解析 如下图所示，是y＝2x与y＝x的图象，显然两个图象的交点的横坐标为a，于是在(0，a)区间上，y＝2x的图象在y＝x的图象的下方，从而2x0＜x0，即f(x0)＝2x0－x0＜0.
跟踪演练4 设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 建立函数g(x)＝x3－22－x，计算判断g(0)、g(1)、g(2)、g(3)、g(4)的符号．设g(x)＝x3－22－x，
则g(0)＝－4，g(1)＝－1，g(2)＝7，g(3)＝26，g(4)＝63，显然g(1)·g(2)＜0，于是函数g(x)的零点，
即y＝x3与y＝x－2的图象的交点在(1,2)上．
题型五 分类讨论思想
本章常见分类讨论思想的应用如下表：
问题
讨论标准
分类情况
比较af(x)与ag(x)的大小
a与1的大小关系
(1)a＞1时，若f(x)＞g(x)，则af(x)＞ag(x)；(2)0＜a＜1时，若f(x)＞g(x)，则af(x)＜ag(x)
解不等式af(x)＞ag(x)
a与1的大小关系
(1)a＞1时，f(x)＞g(x)；
(2)0＜a＜1时，f(x)＜g(x)
比较logax1与logax2的大小
a与1的大小关系
(1)a＞1时，若x1＞x2，则logax1＞logax2；
(2)0＜a＜1时，若x1＞x2，则logax1＜logax2
解不等式logaf(x)＞logag(x)
a与1的大小关系
(1)a＞1时，f(x)＞g(x)＞0；
(2)0＜a＜1时，0＜f(x)＜g(x)
例5 已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f＝0，求不等式f(logax)＞0(a＞0，且a≠1)的解集．
解 ∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又f＝0，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f＝0.
故若f(logax)＞0，则有logax＞或logax＜－.
①当a＞1时，由logax＞或logax＜－，
得x＞或0＜x＜.
②当0＜a＜1时，由logax＞或logax＜－，
得0＜x＜或x＞.
综上可知，当a＞1时，f(logax)＞0的解集为∪(，＋∞)；当0＜a＜1时，f(logax)＞0的解集为(0，)∪.
跟踪演练5 已知函数y＝在x∈[1,3]时有最小值，求a的值．
解 令t＝x2－3x＋3＝2＋，
当x∈[1,3]时，t∈.
①若a＞1，则ymin＝a＝，
解得a＝，与a＞1矛盾．
②若0＜a＜1，则ymin＝a3＝，
解得a＝，满足题意．
综合①，②知，a＝.
1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿高中数学的整个过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．
3．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．
4．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
