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第1讲 有理数的基本认识
知识点一 正数和负数
正数：大于0的数叫做正数。例如：5、1.2、
负数：在正数前加上“－”号的数，叫做负数，例如：－5、－1.2、、－2018。负数都小于 0。
0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。
【注解】判断一个数是正数还是负数，不能简单理解成带“＋”号的数就是正数，带“－”号的数就是负数。如数a，当a＞0时，是正数，当a＜0时，是负数。
【例1】下列各数中，，0.75，0，－6，－1.2，＋3，49，负数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【解答】本题考查对正、负数概念的理解。负数有，－6，－1.2。故选B
知识点二 用正、负数表示具有相反意义的量
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
1. 相反意义的量包含两方面：（1）意义相反；
（2）它们都是数量，且是同类量，量的大小可以不一样。
如：收入为正，收入1000元表示为＋1000元，那么亏损500元，表示为－500元
2. 不具有相反意义的量不能用正、负数来表示。如向南走5米记作＋5米，向西走10米就不能记作－10米
3. 哪种意义量为正，哪种意义量为负，可以任意选择，但要符合生活中的习惯思维。通常把盈利、增产、上升、提高等量用到的数用正数表示，而把亏损、减产、下降、减少等量用到的数用负数表示。
【例2】下列语句正确的是（ ）
A. “黑色”和“白色”是具有相反意义的量
B. “快”和“慢”是具有相反意义的量
C. “向北4.5m”和“向南8m”是具有相反意义的量
D. “＋15米”是表示向北走了15米
【解答】A、B中只是两个反义词而不是数量。D中只有一个量，可以表示多个意义。
故选C
【例3】在横线上填上适当的词，使之与前面所述成为相反意义的量。
① 上升5米，_________2米； ② 支出100元，_____________；
③ 盈利3万元，_____________； ④ ______________，减产170斤
【解答】①下降；②收入100元；③亏损3万元；④增产170斤（数值可不同）
【例4】一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05（单位：mm），表示这种零件的标准尺寸是9mm，加工要求最大不超过_________，最小不小于________
【解答】最大不超过：9＋0.05＝9.05mm，最小不小于：9－0.05＝8.95mm．
知识点三 有理数的相关概念
1. 整数包括正整数、0、负整数。如9、＋5、0、－2、－1
2. 分数包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化成(a、b都是整数，a≠0)的形式，它们都是分数，而无限不循环小数不是分数。
3. 整数和分数统称为有理数。无限不循环小数不是分数，所以也不是有理数。如“π”
4. 数集：同一类数组成的集合。如所有的正数组成的集合叫正数集。
【例5】下列判断错误的是（ ）
A. 5是整数 B. 0.5是分数
C. 正数和负数统称为有理数 D. 是有理数
【解答】A. 5是整数正确
B. 0.5＝是分数正确
C. 漏了0，错误
D. 是负分数也是有理数，正确。
故选C
【例6】下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）
①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；
④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【解答】①0是正数与负数的分界，所以0既不是正数也不是负数，正确；
②0和正整数都是自然数，所以0是最小的自然数，正确；
③0是正数与负数的分界，0是最小的正数，错误；
④0和正数称为非负数，所以0是最小的非负数，正确；
⑤整数按能否被2整除分为奇数与偶数，0属于偶数，所以0既不是奇数也不是偶数，错误．
综上所知，①②④正确，故选D．
知识点四 有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类 （2）按符号分类
【注解】①有理数的分类要按统一标准分类，做到既不重复，又不遗漏。
②两种分类都是将有理数分为五类，即正整数、正分数、0、负整数、负分数。
③正整数、0统称为非负整数；把负整数、0统称为非正整数；正有理数、0统称为非负有理数；负有理数、0统称为非正有理数。
【例7】下列说法正确的是（ ）
A．整数就是正整数和负整数 B．负整数的相反数就是非负整数
C．有理数中不是负数就是正数 D．零是自然数，但不是正整数
【解答】A、整数就是正整数和负整数，还有0，故本选项错误；
B、负整数的相反数就是非负整数，故本选项错误；
C、有理数中不是负数就是正数，还有0，故本选项错误；
D、零是自然数，但不是正整数，本选项正确； 故选D．
【例8】下列各数中，哪些是有理数，哪些是正整数，哪些是负整数，哪些是正分数，哪些是负分数？
46、－4.5、π、－、0、2.5、＋、－10、
有理数：_________________________
正整数：_________________________ 负整数：_________________________
正分数：_________________________ 负分数：_________________________
【解答】只有能化成分数的小数才是有理数，π是无限不循环小数，不能化成分数，故不是有理数。＋应先化简成2，然后再进行解答。
有理数：46、－4.5、－、0、2.5、＋、－10、
正整数：46、＋ 负整数：－10
正分数：2.5、 负分数：－4.5、－
【例9】观察下列一列数，找出其中的规律后再填空：
1，2，－3，－4，5，6，－7，－8，…，________（第2018个数）
【解答】观察数列得到从1开始的正整数，且两正两负依次循环，由2018除以4余数为2，即可确定出第2018个数．2018÷4＝404…2，则第2018个数为2018．故答案为：2018
知识点五 数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。它包含三层含义：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可；③原点的选定，正方向的选择，单位长度大小的确定，都可以根据实际要求而规定。
【例10】下列给出的四条数轴，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【解答】判断一个图形是不是数轴，只要依据数轴的三要素进行逐一对照即可。
A、没有原点，故错误；
B、三要素完整，故正确；
C、0的左边应该是负数，右边是正数，故错误；
D、单位长度不一致，故错误．
故选B．
知识点六 数轴上的点与有理数的关系
数轴特点分析：
1. 一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；
2. 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大。
3. 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。
4. 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。
【例11】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把他们按从小到大的顺序排列：
＋2，－3，－1.5，4，3.5，－2.5
【解答】在数轴上表示出来如图所示．
根据这些点在数轴上的排列顺序，从左至右分别用“＜”连接为：
－3＜－2.5＜－1.5＜＋2＜3.5＜4．
【例12】在数轴上，与原点的距离是5个单位长度的点有______个，它们表示的有理数是______
【解答】在数轴上，到原点距离为5个单位长度的点有2个，一个在原点的左边，一个在原点的右边，它们是－5和见5，
【例13】数轴上表示整数的点称为整点．某数轴上的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长2016cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（ ）
A．2017个或2018个 B．2016个或2017个
C．2015个或2016个 D．2014个或2015个
【解答】依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖2016＋1＝2017个数；
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2016个数．
故选：B．
第1讲 有理数的基本认识（练习）
1. 下列各数中在、、－3、2、0、4、5、－1中，负数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解答】负数有、－3、－1，共3个。故选C
2. 如果＋5米表示一个物体向东运动5米，那么－3米表示（ ）
A．向西走3米 B．向北走3米 C．向东走3米 D．向南走3米
【解答】如果＋5米表示一个物体向东运动5米，那么－3米表示向西走3米．故选：A．
3. 如果“收入10元”记作＋10元，那么支出20元记作（ ）
A．＋20元 B．－20元 C．＋10元 D. －10元
【解答】如果收入10元记作＋10元，那么支出20元记作－20元．故选：B．
4. 下列各数：0，－3.14，，π中，是有理数的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D. 4
【解答】在0，－3.14，，π中，是有理数的有0，－3.14，。共3个。故选C
5. 下列说法正确的是（ ）
A．有理数是指整数、分数、零、正有理数、负有理数这五类
B．一个有理数不是正数就是负数
C．一个有理数不是整数就是分数
D．以上说法都正确
【解答】根据有理数的定义，有理数可分为整数和分数，或分为正有理数，0，负有理数，
故A错误，
B中0是有理数，但不是正数也不是负数，故错误，
C有理数可分为整数和分数，故C正确， 故选：C．
6. 下列给出的四条数轴，错误的是（ ）
A. (1) (2) B. (2) (3) (4) C. (1) (2) (3) D. (1) (2) (3) (4)
【解答】∵数轴是规定了原点，正方向及单位长度的直线．
∴（1）中没有原点，利用正方向得出，负数标注不正确，故此选项错误；
（2）利用正方向得出，负数标注不正确，故此选项错误；
（3）利用正方向得出，数据标注不正确，故此选项错误；
（4）利用数轴三要素得出此图象正确；
故选：C．
7. 如果水位升高7m时水位变化记作＋7m，那么水位下降5m时水位变化记作________
【解答】因为升高记为＋，所以下降记为－，所以水位下降5m时水位变化记作－5m．
8. 最大的负整数是________，最大的非正数是________
【解答】最大的负整数是－1，最大的非正数是0．
9. 把下列各数填入相应的集合中，17，－3，＋6，π，0，32%，
分数集合{ …}非负数集合{ …}．
【解答】分数集合{、32%、}
非负数集合{17，＋6，π，0，32%}．
10. 某种零件，标明要求是φ：20±0.02 mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm，该零件___________（填“合格”或“不合格”）．
【解答】零件合格范围在19.98和20.02之间．19.9＜19.98，所以不合格．
11. 小明写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，请你确定墨迹盖住部分的整数共有________个．
【解答】由图可知，左边盖住的整数数值是－2，－3，－4，－5；右边盖住的整数数值是1，2，3，4；共8个
12. 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把他们按从小到大的顺序排列：
－2.5，4，，0，1.5
【解答】
－2.5＜＜0＜1.5＜4
13. 观察下面的一列数：……请你找出其中的规律，解答：
（1）第9个数是多少？第14个数是多少？
（2）第2018个数是多少？
【解答】（1）分母逐渐增加，分子第偶数个是负的，并且是偶数，第奇数个是1，并且为正，由此即可确定第9个数是，和第14个数是；
（2）利用（1）的规律即可求解，第2018个数是；
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第1讲 有理数的基本认识
知识点一 正数和负数
正数：大于0的数叫做正数。例如：5、1.2、
负数：在正数前加上“－”号的数，叫做负数，例如：－5、－1.2、、－2018。负数都小于 0。
0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。
【注解】判断一个数是正数还是负数，不能简单理解成带“＋”号的数就是正数，带“－”号的数就是负数。如数a，当a＞0时，是正数，当a＜0时，是负数。
【例1】下列各数中，，0.75，0，－6，－1.2，＋3，49，负数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
知识点二 用正、负数表示具有相反意义的量
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
1. 相反意义的量包含两方面：（1）意义相反；
（2）它们都是数量，且是同类量，量的大小可以不一样。
如：收入为正，收入1000元表示为＋1000元，那么亏损500元，表示为－500元
2. 不具有相反意义的量不能用正、负数来表示。如向南走5米记作＋5米，向西走10米就不能记作－10米
3. 哪种意义量为正，哪种意义量为负，可以任意选择，但要符合生活中的习惯思维。通常把盈利、增产、上升、提高等量用到的数用正数表示，而把亏损、减产、下降、减少等量用到的数用负数表示。
【例2】下列语句正确的是（ ）
A. “黑色”和“白色”是具有相反意义的量
B. “快”和“慢”是具有相反意义的量
C. “向北4.5m”和“向南8m”是具有相反意义的量
D. “＋15米”是表示向北走了15米
【例3】在横线上填上适当的词，使之与前面所述成为相反意义的量。
① 上升5米，_________2米； ② 支出100元，_____________；
③ 盈利3万元，_____________； ④ ______________，减产170斤
【例4】一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05（单位：mm），表示这种零件的标准尺寸是9mm，加工要求最大不超过_________，最小不小于________
知识点三 有理数的相关概念
1. 整数包括正整数、0、负整数。如9、＋5、0、－2、－1
2. 分数包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化成(a、b都是整数，a≠0)的形式，它们都是分数，而无限不循环小数不是分数。
3. 整数和分数统称为有理数。无限不循环小数不是分数，所以也不是有理数。如“π”
4. 数集：同一类数组成的集合。如所有的正数组成的集合叫正数集。
【例5】下列判断错误的是（ ）
A. 5是整数 B. 0.5是分数
C. 正数和负数统称为有理数 D. 是有理数
【例6】下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）
①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；
④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
知识点四 有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类 （2）按符号分类
【注解】①两种分类都是将有理数分为五类，即正整数、正分数、0、负整数、负分数。
②正整数、0统称为非负整数；把负整数、0统称为非正整数；正有理数、0统称为非负有理数；负有理数、0统称为非正有理数。
【例7】下列说法正确的是（ ）
A．整数就是正整数和负整数 B．负整数的相反数就是非负整数
C．有理数中不是负数就是正数 D．零是自然数，但不是正整数
【例8】下列各数中，哪些是有理数，哪些是正整数，哪些是负整数，哪些是正分数，哪些是负分数？
46、－4.5、π、－、0、2.5、＋、－10、
有理数：_________________________
正整数：_________________________ 负整数：_________________________
正分数：_________________________ 负分数：_________________________
【例9】观察下列一列数，找出其中的规律后再填空：
1，2，－3，－4，5，6，－7，－8，…，________（第2018个数）
知识点五 数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。它包含三层含义：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可；③原点的选定，正方向的选择，单位长度大小的确定，都可以根据实际要求而规定。
【例10】下列给出的四条数轴，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
知识点六 数轴上的点与有理数的关系
数轴特点分析：
1. 一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；
2. 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大。
3. 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。
4. 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。
【例11】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把他们按从小到大的顺序排列：
＋2，－3，－1.5，4，3.5，－2.5
【例12】在数轴上，与原点的距离是5个单位长度的点有______个，它们表示的有理数是______
【例13】数轴上表示整数的点称为整点．某数轴上的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长2016cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（ ）
A．2017个或2018个 B．2016个或2017个
C．2015个或2016个 D．2014个或2015个
第1讲 有理数的基本认识（练习）
1. 下列各数中在、、－3、2、0、4、5、－1中，负数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 如果＋5米表示一个物体向东运动5米，那么－3米表示（ ）
A．向西走3米 B．向北走3米 C．向东走3米 D．向南走3米
3. 如果“收入10元”记作＋10元，那么支出20元记作（ ）
A．＋20元 B．－20元 C．＋10元 D. －10元
4. 下列各数：0，－3.14，，π中，是有理数的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D. 4
5. 下列说法正确的是（ ）
A．有理数是指整数、分数、零、正有理数、负有理数这五类
B．一个有理数不是正数就是负数
C．一个有理数不是整数就是分数
D．以上说法都正确
6. 下列给出的四条数轴，错误的是（ ）
A. (1) (2) B. (2) (3) (4) C. (1) (2) (3) D. (1) (2) (3) (4)
7. 如果水位升高7m时水位变化记作＋7m，那么水位下降4m时水位变化记作________
8. 最大的负整数是________，最大的非正数是________
9. 把下列各数填入相应的集合中，17，－3，＋6，π，0，32%，
分数集合{ …}非负数集合{ …}．
10. 某种零件，标明要求是φ：20±0.02 mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm，该零件___________（填“合格”或“不合格”）．
11. 小明写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，请你确定墨迹盖住部分的整数共有________个．
12. 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把他们按从小到大的顺序排列：
－2.5，4，，0，1.5
13. 观察下面的一列数：……请你找出其中的规律，解答：
（1）第9个数是多少？第14个数是多少？
（2）第2018个数是多少？
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