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第2讲 有理数的两大重要概念
知识点一 相反数的意义
相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0 的相反数是 0。
如果两个数互为相反数，那么它们和为零，分之也成立。用式子表示为：a与b互为相反数，则a＋b＝0
几何意义：1. 一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。
2. 在数轴上到原点距离为a（a＞0）的点有两个，分别在原点的左右两侧，表示的数分别是－a和a，它们关于原点对称。
求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号即可。
点拨：①.＋5的相反数是－5；－5的相反数是5；a的相反数是－a.。
②.正数的相反数是一个负数；负数的相反数是一个正数；0的相反数是0。
③.一个数的相反数的相反数是它本身。即－(－a)＝a
【例1】6的相反数是（ ）
A. －6 B. C. D. 6
【解答】只有符号相反的两个数互为相反数。所以6的相反数是－6。故选A
【例2】下列说法正确的是（ ）
A. －3是相反数 B. 与互为相反数
C. 的相反数是2 D. －0.5的相反数是
【解答】相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数，故A错误；相反数不但要符号相反，而且符号后面的数要相同，故B、C错误；D正确。
【例3】已知m，n互为相反数，则3＋m＋n＝________。
【解答】∵m，n互为相反数，
∴m＋n＝0，
∴3＋m＋n＝3＋0＝3．
知识点二 多重符号的化简
多重符号化简规律：“＋”号的个数对结果无影响，可一次省去，结果的符号取决于“－”号的个数，当“－”号的个数为奇数个时，结果为负；当“－”号的个数为偶数个时，结果为正，即“奇负偶正”。
【例4】化简下列各数中的符号
（1）－(－3)＝________；（2）－(＋5)＝________；（3）－{－[＋(－4)]}＝_______
（4）＋(－5)＝________；（5）－(－a)＝________；（6）－[＋(－7)]＝________
【解答】根据多重符号的化简法则求解即可
（1）－(－3)＝3； （2）－(＋5)＝－5；（3）－{－[＋(－4)]}＝－4
（4）＋(－5)＝－5；（6）－(－a)＝a； （6）－[＋(－7)]＝7
知识点三 对绝对值的几何定义的理解
1. 数轴上表示数a的点与原点的距离叫数a的绝对值，记作|a|。它是一个非负数，即|a|≥0。
拓展：若干个非负数之和为0，则每一个非负数都为0。
即|a|＋|b|＋…＋＝0，则有|a|＝0，|b|＝0，……，所以a＝0，b＝0，……
2. 绝对值为正数的数有两个，且互为相反数；绝对值为0的数只有1个，即0；没有绝对值为负数的数。
3. 绝对值相等的两数相等或互为相反数。
【例5】－6的绝对值是（ ）
A．6 B． C． D．－6
【解答】A
【例6】求下列各数的绝对值
（1） （2）0 （3） （4）－8
【解答】（1）；（2）|0|＝0；（3）；（4）|－8|＝8
【例7】下列说法不正确的是（ ）
A. 如果a的绝对值比它本身大，则a一定是负数
B. 如果两个数不相等，那么它们的绝对值不相等
C．两个负有理数，绝对值大的离原点远
D．两个负有理数，绝对值大的离原点近
【解答】D、绝对值表示离原点的距离，因此，绝对值大的离原点远，错误。故选：D．
【例8】绝对值最小的数是_____，绝对值等于4的数是_____，绝对值等于它本身的数是______
【解答】0；±4；非负数（或0和正数）
知识点四 对绝对值的代数定义的理解
1. 一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数。绝对值的代数意义用式子表示为：
或 或
2. 求一个数的绝对值时要先判断这个数是正数、负数还是0，再由绝对值意义去求。
3. 如不能判断这个数的符号，求这个数的绝对值时需分类讨论。
【例9】（1）；的相反数是________；|3－π|＝__________
【解答】；；π－3
【例10】如果|a|＝2，|b|＝3，且a＜b，求a、b的值。
【解答】∵|a|＝2，|b|＝3
∴a＝±2，b＝±3
又∵a＜b，∴a＝2，b＝3或a＝－2，b＝3
【例11】若a，b互为相反数，c，d互为负倒数，m的绝对值为3，求的值．
【解答】依题意有：a＋b＝0，cd＝－1，＝9
∴＝0＋9＋1＝10
知识点五 有理数的大小比较
1. 利用数轴比较有理数的大小
数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2. 运用数的性质和绝对值比较两有理数大小的三种情况：
（1）两个正数比较，绝对值大的数较大；
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
【例12】比较下列各组数的大小
（1）－(－3)与|4| （2）与 （3）－(－2)与＋(－5)
【解答】（1）化简－(－3)＝3，|4|＝4，而3＜4，所以－(－3)＜|4|
（2）化简，，而，所以＞
（3）化简－(－2)＝2，＋(－5)＝－5，而2＞－5，所以－(－2)＞＋(－5)
【例13】已知a、b为有理数，且a＞0，b＜0，a＜|b|，则a，b，－a，－b的大小顺序是( )
A. b＜－a＜a＜－b B. －a＜a＜－b＜b
C. －a＜b＜a＜－b D. －b＜a＜－a＜b
【解答】由已知条件，设a＝1，b＝－2，则－a＝－1，－b＝2
∵－2＜－1＜1＜2 ∴b＜－a＜a＜－b
故选A
第2讲 有理数的两大重要概念（练习）
1. 3的相反数是（ ）
A. B. C. 3 D. －3
【解答】只有符号相反的两个数互为相反数。所以3的相反数是－3。故选D
2. 如果a＋b＝0，那么a，b两个实数一定是（ ）
A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个是0 D．互为倒数
【解答】A：a，b都为0时，则a＝b＝0，故A不对，
B：若a＝1，则b＝－1，a＋b＝0，故B对，
C：若a＝0，则b＝0，∴a＋b＝0，故C不对，
D：若a与b互为倒数，则ab＝1，则a＋b≠0，故D不对．
故答案为B．
3. 一个数的相反数小于它本身，则这个数为（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
【解答】一个正数的相反数是负数，小于它本身；一个负数的相反数是正数，大于它本身；0的相反数是0，等于它本身。根据相反数的概念，得一个数的相反数小于它本身，则这个数是正有理数．故选A
4. 下列各式不正确的是（ ）
A．|－2|＝2 B．－2＝－|－2| C．－(－2)＝|－2| D．－|2|＝|－2|
【解答】A、|－2|＝2，正确； B、－2＝－|－2|，正确；
C、－(－2)＝|－2|，正确； D、－|2|＝－2，|－2|＝2，错误；
故选：D．
5. 绝对值大于2而小于4的整数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解答】绝对值大于2而小于4的整数有±3，故选B
6. 已知a≠b，a＝－5，|a|＝|b|，则b等于( )
A. ＋5 B. －5 C. 0 D. ±5
【解答】∵a＝－5，|a|＝|b|，∴|b|＝5，又∵a≠b，∴b＝＋5。故选A
7. 与______互为相反数；是_______的相反数
【解答】只有符号相反的两个数互为相反数。∴的相反数是，的相反数是
8. 一个数的相反数是最大的负整数，这个数是__________
【解答】最大的负整数是－1，根据概念，则－1的相反数是1。故答案为1．
9. 计算：|－8|＋|－4|＝_______ |－25|×|－4|＝_______
|－12.5|－|＋3.5|＝_______
【解答】12；100；9
10. 两个负数比较大小，绝对值大的________，绝对值小的________
【解答】小；大
11. 当x＞0时，|x|＝________；当x＜0时，|x|＝________
【解答】一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数。
当x＞0时，|x|＝x，当x＜0时，|x|＝－x
12. 若a与－1互为相反数，则|a＋2|＝________
【解答】∵a与－1互为相反数，∴a＝1，∴|a＋2|＝|1＋2|＝3
13. 在数轴上标出下列各点：，并用“＞”号连接起来
【解答】在数轴上表示出各点，如图
∴
14. 已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，求代数式的值。
【解答】∵a，b互为倒数，m，n互为相反数，
∴ab＝1，m＋n＝0
∴
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第2讲 有理数的两大重要概念
知识点一 相反数的意义
相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0 的相反数是 0。
如果两个数互为相反数，那么它们和为零，分之也成立。用式子表示为：a与b互为相反数，则a＋b＝0
几何意义：1. 一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。
2. 在数轴上到原点距离为a（a＞0）的点有两个，分别在原点的左右两侧，表示的数分别是－a和a，它们关于原点对称。
求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号即可。
点拨：①.＋5的相反数是－5；－5的相反数是5；a的相反数是－a.。
②.正数的相反数是一个负数；负数的相反数是一个正数；0的相反数是0。
③.一个数的相反数的相反数是它本身。即－(－a)＝a
【例1】6的相反数是（ ）
A. －6 B. C. D. 6
【例2】下列说法正确的是（ ）
A. －3是相反数 B. 与互为相反数
C. 的相反数是2 D. －0.5的相反数是
【例3】已知m，n互为相反数，则3＋m＋n＝________。
知识点二 多重符号的化简
多重符号化简规律：“＋”号的个数对结果无影响，可一次省去，结果的符号取决于“－”号的个数，当“－”号的个数为奇数个时，结果为负；当“－”号的个数为偶数个时，结果为正，即“奇负偶正”。
【例4】化简下列各数中的符号
（1）－(－3)＝________；（2）－(＋5)＝________；（3）－{－[＋(－4)]}＝_______
（4）＋(－5)＝________；（5）－(－a)＝________；（6）－[＋(－7)]＝________
知识点三 对绝对值的几何定义的理解
1. 数轴上表示数a的点与原点的距离叫数a的绝对值，记作|a|。它是一个非负数，即|a|≥0。
拓展：若干个非负数之和为0，则每一个非负数都为0。
即|a|＋|b|＋…＋＝0，则有|a|＝0，|b|＝0，……，所以a＝0，b＝0，……
2. 绝对值为正数的数有两个，且互为相反数；绝对值为0的数只有1个，即0；没有绝对值为负数的数。
3. 绝对值相等的两数相等或互为相反数。
【例5】－6的绝对值是（ ）
A．6 B． C． D．－6
【例6】求下列各数的绝对值
（1） （2）0 （3） （4）－8
【例7】下列说法不正确的是（ ）
A. 如果a的绝对值比它本身大，则a一定是负数
B. 如果两个数不相等，那么它们的绝对值不相等
C．两个负有理数，绝对值大的离原点远
D．两个负有理数，绝对值大的离原点近
【例8】绝对值最小的数是_____，绝对值等于4的数是_____，绝对值等于它本身的数是______
知识点四 对绝对值的代数定义的理解
1. 一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数。绝对值的代数意义用式子表示为：
或 或
2. 求一个数的绝对值时要先判断这个数是正数、负数还是0，再由绝对值意义去求。
3. 如不能判断这个数的符号，求这个数的绝对值时需分类讨论。
【例9】（1）；的相反数是________；|3－π|＝__________
【例10】如果|a|＝2，|b|＝3，且a＜b，求a、b的值。
【例11】若a，b互为相反数，c，d互为负倒数，m的绝对值为3，求的值．
知识点五 有理数的大小比较
1. 利用数轴比较有理数的大小
数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2. 运用数的性质和绝对值比较两有理数大小的三种情况：
（1）两个正数比较，绝对值大的数较大；
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
【例12】比较下列各组数的大小
（1）－(－3)与|4| （2）与 （3）－(－2)与＋(－5)
【例13】已知a、b为有理数，且a＞0，b＜0，a＜|b|，则a，b，－a，－b的大小顺序是( )
A. b＜－a＜a＜－b B. －a＜a＜－b＜b
C. －a＜b＜a＜－b D. －b＜a＜－a＜b
第2讲 有理数的两大重要概念（练习）
1. 3的相反数是（ ）
A. B. C. 3 D. －3
2. 如果a＋b＝0，那么a，b两个实数一定是（ ）
A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个是0 D．互为倒数
3. 一个数的相反数小于它本身，则这个数为（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
4. 下列各式不正确的是（ ）
A．|－2|＝2 B．－2＝－|－2| C．－(－2)＝|－2| D．－|2|＝|－2|
5. 绝对值大于2而小于4的整数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 已知a≠b，a＝－5，|a|＝|b|，则b等于( )
A. ＋5 B. －5 C. 0 D. ±5
7. 与______互为相反数；是_______的相反数
8. 一个数的相反数是最大的负整数，这个数是__________
9. 计算：|－8|＋|－4|＝_______ |－25|×|－4|＝_______
|－12.5|－|＋3.5|＝_______
10. 两个负数比较大小，绝对值大的________，绝对值小的________
11. 当x＞0时，|x|＝________；当x＜0时，|x|＝________
12. 若a与1互为相反数，则|a＋2|＝________
13. 在数轴上标出下列各点：，并用“＞”号连接起来
14. 已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，求代数式的值。
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