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第3讲 有理数的加减法
知识点一 有理数加法法则
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。
③一个数同0相加，仍得这个数。
有理数加法的运算步骤：
①确定和的符号；
②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差。
有理数加法的运算律：
①加法交换律：a＋b＝b＋a；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
使用运算定律的技巧：（1）正、负数分开加；
（2）互为相反数的两数先相加；
（3）和为整数的先相加；
（4）同分母的分数先相加；
（5）带分数拆开相加；
（6）小数与分数应化成统一形式后相加。
【例1】计算：
（1）(－5)＋(－7) （2）(－3.9)＋2.5
（3）－2018＋2018 （4）
知识点二 有理数减法法则
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数。用字母表示：a－b＝a＋(－b)
有理数减法的运算步骤：
①把减号变为加号（改变运算符号）
②把减数变为它的相反数（改变性质符号）
③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算
【例2】下列说法中错误的是（ ）
A. 减去一个负数等于加上这个数的相反数 B. 两个负数相减，差仍是负数
C. 负数减去正数，差为负数 D. 正数减去负数，差为正数
【例3】计算：
（1）(－6)－(－10) （2）3－(－9) （3）
（4）18－(＋6) （5）12－(－8) （6）0－8
知识点三 有理数加减混合运算
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用加法法则及加法运算律简化运算
【例4】计算：
（1）(＋7)＋(－21)＋(－7)＋(＋21) （2）
（3）4.23＋(＋8)＋－(－2)－(＋2.23)－
知识点四 有理数加减法的实际应用
【例5】小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．
（1）小虫最后是否回到出发点A？
（2）小虫离开原点最远是多少厘米？
（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
【例6】a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d是绝对值等于2的数，则a＋(－b)＋c＋d＝________
第3讲 有理数的加减法（练习）
1. 点A为数轴上的表示－2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的有理数为（ ）
A．2 B．－6 C．2或－6 D．不同于以上答案
2. 某地一天的最高气温是8℃，最低气温是－2℃，则该地这天的温差是（ ）
A．6℃ B．－6℃ C．10℃ D．－10℃
3. 若|a|＝1，|b|＝4，且a、b异号，则a＋b等于（ ）
A．5 B．－5 C．3 D．±3
4. 计算－2－1的结果是（ ）
A．－3 B．－2 C．－1 D．3
5. 绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（ ）
A．0 B．7 C．14 D．28
6. 红星队在4场足球赛中战绩是：第一场3：1胜，第二场2：3负，第三场0：0平，第四场2：5负，则红星队在这次比赛中总的净胜球数是（ ）球
A．＋1 B．－1 C．＋2 D．－2
7. 甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、－15m和－10m，那么最高的地方比最低的地方高________m．
8. 如果a＝－7.2，b＝3.2，那么|a＋b|＝________；a－b＝_________
9. 两数之和是11，其中一个加数是－5，则另一个加数是________
10. a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a＋b＋c＝_______
11. 计算下列各题
（1） （2）(－41)＋(＋12)＋(－59)＋(＋78)
（3） （4）
12. 下表为某公司股票在本周内每日的涨跌情况：（单位：元）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌 ＋1.25 －1.05 －0.25 －1.55 ＋1.3
计算这一周内该公司股票总体的变化是上涨还是下跌，上涨或下跌多少元？
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第3讲 有理数的加减法
知识点一 有理数加法法则
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。
③一个数同0相加，仍得这个数。
有理数加法的运算步骤：
①确定和的符号；
②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差。
有理数加法的运算律：
①加法交换律：a＋b＝b＋a；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
使用运算定律的技巧：（1）正、负数分开加；
（2）互为相反数的两数先相加；
（3）和为整数的先相加；
（4）同分母的分数先相加；
（5）带分数拆开相加；
（6）小数与分数应化成统一形式后相加。
【例1】计算：
（1）(－5)＋(－7) （2）(－3.9)＋2.5
（3）－2018＋2018 （4）
【解答】（1）(－5)＋(－7)＝－(5＋7)＝－12
（2）(－3.9)＋2.5＝－(3.9－2.5)＝－1.4
（3）－2018＋2018＝0
（4）
知识点二 有理数减法法则
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数。用字母表示：a－b＝a＋(－b)
有理数减法的运算步骤：
①把减号变为加号（改变运算符号）
②把减数变为它的相反数（改变性质符号）
③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算
【例2】下列说法中错误的是（ ）
A. 减去一个负数等于加上这个数的相反数 B. 两个负数相减，差仍是负数
C. 负数减去正数，差为负数 D. 正数减去负数，差为正数
【解答】A、减去一个负数等于加上这个数的相反数，正确；
B、两个负数相减，差仍是负数，错误。差可能是正数、负数或零；
C、负数减去正数，差为负数，正确；
D、正数减去负数，差为正数，正确．
故选B．
【例3】计算：
（1）(－6)－(－10) （2）3－(－9) （3）
（4）18－(＋6) （5）12－(－8) （6）0－8
【解答】（1）原式＝(－6)＋10＝4
（2）原式＝3＋9＝12
（3）原式＝
（4）原式＝18＋(－6)＝12
（5）原式＝12＋8＝20
（6）原式＝0＋(－8)＝－8
知识点三 有理数加减混合运算
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用加法法则及加法运算律简化运算
【例4】计算：
（1）(＋7)＋(－21)＋(－7)＋(＋21) （2）
（3）4.23＋(＋8)＋－(－2)－(＋2.23)－
【解答】（1）原式＝[(＋7)＋(－7)]＋[(－21)＋(＋21)＝0＋0＝0
（2）原式＝
（3）原式＝4.23＋(＋8)＋＋2＋(－2.23)＋
＝[4.23＋(－2.23)]＋(8＋2)＋
＝2＋10＋
＝
知识点四 有理数加减法的实际应用
【例5】小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．
（1）小虫最后是否回到出发点A？
（2）小虫离开原点最远是多少厘米？
（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
【解答】（1）＋5－3＋10－8－6＋12－10
＝27－27
＝0，
所以小虫最后回到出发点A；
（2）第一次爬行距离原点是5cm，
第二次爬行距离原点是5－3＝2（cm）
第三次爬行距离原点是2＋10＝12（cm）
第四次爬行距离原点是12－8＝4（cm），
第五次爬行距离原点是|4－6|＝|－2|（cm）
第六次爬行距离原点是－2＋12＝10（cm），
第七次爬行距离原点是10－10＝0（cm），
从上面可以看出小虫离开原点最远是12cm；
（3）小虫爬行的总路程为：
|＋5|＋|－3|＋|＋10|＋|－8|＋|－6|＋|＋12|＋|－10|
＝5＋3＋10＋8＋6＋12＋10
＝54（cm）． 所以小虫一共得到54粒芝麻
【例6】a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d是绝对值等于2的数，则a＋(－b)＋c＋d＝________
【解答】∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d是绝对值等于2的数，
∴a＝1，b＝－1，c＝0，d＝±2，
∴a＋(－b)＋c＋d＝a－b＋c＋d＝1＋1＋0＋2＝4，
或者a＋(－b)＋c＋d＝a－b＋c＋d＝1＋1＋0－2＝0，
故答案为4或0．
第3讲 有理数的加减法（练习）
1. 点A为数轴上的表示－2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的有理数为（ ）
A．2 B．－6 C．2或－6 D．不同于以上答案
【解答】∵点A为数轴上的表示－2的动点，
①当点A沿数轴向左移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为－2－4＝－6；
②当点A沿数轴向右移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为－2＋4＝2．
故选C．
2. 某地一天的最高气温是8℃，最低气温是－2℃，则该地这天的温差是（ ）
A．6℃ B．－6℃ C．10℃ D．－10℃
【解答】这天最高温度与最低温度的温差为8－(－2)＝10（℃）．
故选：C．
3. 若|a|＝1，|b|＝4，且a、b异号，则a＋b等于（ ）
A．5 B．－5 C．3 D．±3
【解答】∵|a|＝1，|b|＝4，且a、b异号，
∴a＝1，b＝－4或a＝－1，b＝4
∴a＋b＝－3或3．
故选：D．
4. 计算－2－1的结果是（ ）
A．－3 B．－2 C．－1 D．3
【解答】－2－1＝－(2＋1)＝－3．故选：A．
5. 绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（ ）
A．0 B．7 C．14 D．28
【解答】绝对值大于2且小于5的所有整数是：－4，－3，3，4．
则－4＋(－3)＋3＋4＝0
故选：A．
6. 红星队在4场足球赛中战绩是：第一场3：1胜，第二场2：3负，第三场0：0平，第四场2：5负，则红星队在这次比赛中总的净胜球数是（ ）球
A．＋1 B．－1 C．＋2 D．－2
【解答】3－1＋2－3＋2－5＝－2．故选：D．
7. 甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、－15m和－10m，那么最高的地方比最低的地方高________m．
【解答】甲地最高的，乙地最低，20－(－15)＝20＋15＝35（m）．
8. 如果a＝－7.2，b＝3.2，那么|a＋b|＝________；a－b＝_________
【解答】|a＋b|＝|－7.2＋3.2|＝4；
a－b＝－7.2－3.2＝－10.4；
9. 两数之和是11，其中一个加数是－5，则另一个加数是________
【解答】依题意，另一个加数是11－(－5)＝11＋5＝16
10. a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a＋b＋c＝______
【解答】依题意得：a＝1，b＝－1，c＝0，∴a＋b＋c＝1＋(－1)＋0＝0
11. 计算下列各题
（1） （2）(－41)＋(＋12)＋(－59)＋(＋78)
解：原式＝ 解：原式＝[(－41)＋(－59)]＋[(＋12)＋(＋78)]
＝ ＝(－100)＋90
＝－10
（3）
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
（4）
解：原式＝
＝
＝
＝
12. 下表为某公司股票在本周内每日的涨跌情况：（单位：元）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌 ＋1.25 －1.05 －0.25 －1.55 ＋1.3
计算这一周内该公司股票总体的变化是上涨还是下跌，上涨或下跌多少元？
【解答】(＋1.25)＋(－1.05)＋(－0.25)＋(－1.55)＋(＋1.3)
＝[(＋1.25)＋(－0.25)]＋[(－1.05)＋(－1.55)]＋(＋1.3)
＝1＋(－2.6)＋1.3
＝2.3＋(－2.6)
＝－0.3
∴下跌了0.3元
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