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第5讲 有理数的乘方、科学记数法
知识点一 有理数乘方
1. 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。n个相同因数a相乘：，记作，读作a的n次方。乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数。
2. 单个数字可看成这个数本身的一次方。如5就是51，a就是a1，指数1通常省略不写。
3. 如果底数是负数或分数时，要将底数用括号括起来。如，
【例1】把下列各式写成乘方运算的形式
（1）；（2）(－5)×(－5)×(－5)×(－5)×(－5)＝_______
（3）
【解答】（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝
【例2】计算
（1）；（2）（3）；（4）
【解答】（1）原式＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27
（2）原式＝2×2×2＝8
（3）原式＝
（4）原式＝－(－4)×(－4)×(－4)＝64
知识点二 有理数乘方的运算性质
1. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0；
2. 有理数的乘方运算，要先确定幂的符号，再计算幂的绝对值；
3. 1的任何次幂都为1，－1的偶次幂都为1，－1的奇次幂都为－1；
4. 任何数a的偶次幂都为非负数。
【例3】在下列各数：－(＋2)，，，，，－|－3|中，负数的个数有（ ）个。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解答】D
知识点三 有理数的混合运算
1. 有理数混合运算的运算顺序
（1）先乘方，再乘除，最后加减
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。
2. 灵活运用运算定律，简化运算
【例4】计算下列各题
（1） （2）
解：原式＝ 解：原式＝－4－3×|16＋2|＋27÷3
＝ ＝－4－3×18＋9
＝ ＝－4－54＋9
＝ ＝－49
（3）
解：原式＝
＝－32－3＋66－9
＝22
（4） （5）
解：原式＝－9－8＋16÷8 解：原式＝－4＋1
＝－9－8＋2 ＝－3
＝－15
【例5】计算，结果为（ ）
A. 22017 B. (－2)2017 C. －22017 D. －2
【解答】运用分配律可得：原式＝(－2)2017×[1＋(－2)]＝－(－2)2017＝22017。故选A
知识点四 科学记数法
定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中，1≤a＜10，n是正整数），此种记法叫科学计数法。
科学记数法a×10n的形式中a和n的确定方法：
（1）确定a的方法：使它为只含有以为整数位的数（即1≤a＜10）
（2）确定n的方法：①要表示的数的小数点左移几位，n就是几；
②原数的整数位数减1就是n的值。
例如：3850000，小数点左移6位到3.85时，则a＝3.85，n＝6，即3850000＝3.85×106。
【总结】大于10的数的科学记数法有一个规律：10的指数比原数的整数位数少1，熟记这条规律，用科学记数法表示大于10的有理数时，只要先查一下原数的整数位数即可求出10的指数n。
【例6】用科学记数法表示下列各数
（1）234000000＝____________ （2）58900000000＝______________
（3）－3658.5＝______________ （4）2000000＝___________________
【解答】（1）234000000＝2.34×108 （2）58900000000＝5.89×1010
（3）－3658.5＝－3.6585×103 （4）2000000＝2×106
【例7】太阳直径为1.392×106千米，其原数为多少千米？
【解答】1.392×106＝1392000
知识点五 近似数和精确度的理解
准确数：与实际完全相符的数。如：2018年有多少天；班内人数，……
近似数：与实际相近的数。如：地球的直径，长江的长度，……
精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。
一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到那一位。所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量。
如12.369，①保留整数（或精确到个位，或精确到1）时为12，即12.369≈12
②保留一位小数（或精确到十分位，或精确到0.1）时为12.4，即12.369≈12.4
【例8】小亮用天平称得一个罐头的质量为2.026kg，用四舍五入法将2.026精确到0.01的近似值为（ ）
A．2 B．2.0 C．2.02 D．2.03
【解答】2.026≈2.03，故选：D．
【例9】对下列各数按括号内的要求取近似数：
（1）8.1465≈_________（精确到0.01）；（2）－2.49876≈_________（精确到百分位）
【解答】（1）8.1465≈8.15（精确到0.01）； （2）－2.49876≈－2.50（精确到百分位）
第5讲 有理数的乘方、科学记数法（练习）
1. 260000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.26×109 B．2.6×108 C．2.6×109 D．26×107
【解答】260000000用科学记数法表示为2.6×108．故选：B．
2. 下列各数|－2|，－(－2)2，－(－2)，(－2)3中，负数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】|－2|＝2，－(－2)2＝－4，－(－2)＝2，(－2)3＝－8。－4，－8是负数，共2个。故选B
3. 下列各式成立的是（ ）
A. ＝3×4 B. C. D.
【解答】A. ＝3×3×3×3，此选项错误。 B. ，此选项错误
C. ，此选项错误 D. ，此选项正确
故选D
4. a2＝1，b是2的相反数，则a＋b的值为（ ）
A．－3 B．－1 C．－1或－3 D．1或－3
【解答】∵a2＝1，b是2的相反数，∴a＝±1，b＝－2，
①当a＝－1，b＝－2时，a＋b＝－3；
②当a＝1，b＝－2时，a＋b＝－1． 故选：C．
5. 下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A．－(－2)4和－24 B．(－2)3和－23 C．|－23|和|2|3 D．|－2|2和－22
【解答】A. －(－2)4＝－16，－24＝－16，所以－(－2)4＝－24
B. (－2)3＝－8，－23＝－8，所以(－2)3＝－23
C. |－23|＝8，|2|3＝8，所以|－23|＝|2|3
D. |－2|2＝4，－22＝－4，所以|－2|2≠－22
故选D
6. 计算：的结果是（ ）
A. －2 B. －1 C. 2 D. 1
【解答】原式＝0＋1＋1＝2，故选C
7. 计算：
【解答】原式＝－27
8. 计算[(－6)＋11]÷3的结果是________
【解答】原式＝5÷3＝
9. 中，底数是________，指数是________
【解答】底数是，指数是5
10. 已知a的相反数为6，则a2＝________
【解答】因为a＋6＝0，所以a＝－6，则a2＝36．
11. 若3070000＝3.07×，则x＝________
【解答】∵3070000＝3.07×106＝3.07×10x，∴x＝6
12. 小刚的身高约为1.69米，这个数精确到________位，将这个数精确到十分位是______
【解答】1.69米，这个数精确到百分位，将这个数精确到十分位是1.7米。
13. 计算下列各题
（1） （2）
解：原式＝－1＋16÷(－8)×4 解：原式＝－9＋4×(－5)－6
＝－1－8 ＝－9－20－6
＝－9 ＝－35
（3） （4）
解：原式＝ 解：原式＝
＝ ＝－2－(－3－4)
＝－11 ＝－2＋7
＝5
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第5讲 有理数的乘方、科学记数法
知识点一 有理数乘方
1. 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。n个相同因数a相乘：，记作，读作a的n次方。乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数。
2. 单个数字可看成这个数本身的一次方。如5就是51，a就是a1，指数1通常省略不写。
3. 如果底数是负数或分数时，要将底数用括号括起来。如，
【例1】把下列各式写成乘方运算的形式
（1）；（2）(－5)×(－5)×(－5)×(－5)×(－5)＝_______
（3）
【例2】计算
（1）；（2）（3）；（4）
知识点二 有理数乘方的运算性质
1. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0；
2. 有理数的乘方运算，要先确定幂的符号，再计算幂的绝对值；
3. 1的任何次幂都为1，－1的偶次幂都为1，－1的奇次幂都为－1；
4. 任何数a的偶次幂都为非负数。
【例3】在下列各数：－(＋2)，，，，，－|－3|中，负数的个数有（ ）个。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
知识点三 有理数的混合运算
1. 有理数混合运算的运算顺序
（1）先乘方，再乘除，最后加减
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。
2. 灵活运用运算定律，简化运算
【例4】计算下列各题
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【例5】计算，结果为（ ）
A. 22017 B. (－2)2017 C. －22017 D. －2
知识点四 科学记数法
定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中，1≤a＜10，n是正整数），此种记法叫科学计数法。
科学记数法a×10n的形式中a和n的确定方法：
（1）确定a的方法：使它为只含有以为整数位的数（即1≤a＜10）
（2）确定n的方法：①要表示的数的小数点左移几位，n就是几；
②原数的整数位数减1就是n的值。
例如：3850000，小数点左移6位到3.85时，则a＝3.85，n＝6，即3850000＝3.85×106。
【总结】大于10的数的科学记数法有一个规律：10的指数比原数的整数位数少1，熟记这条规律，用科学记数法表示大于10的有理数时，只要先查一下原数的整数位数即可求出10的指数n。
【例6】用科学记数法表示下列各数
（1）234000000＝____________ （2）58900000000＝______________
（3）－3658.5＝______________ （4）2000000＝___________________
【例7】太阳直径为1.392×106千米，其原数为多少千米？
知识点五 近似数和精确度的理解
准确数：与实际完全相符的数。如：2018年有多少天；班内人数，……
近似数：与实际相近的数。如：地球的直径，长江的长度，……
精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。
一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到那一位。所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量。
如12.369，①保留整数（或精确到个位，或精确到1）时为12，即12.369≈12
②保留一位小数（或精确到十分位，或精确到0.1）时为12.4，即12.369≈12.4
【例8】小亮用天平称得一个罐头的质量为2.026kg，用四舍五入法将2.026精确到0.01的近似值为（ ）
A．2 B．2.0 C．2.02 D．2.03
【例9】对下列各数按括号内的要求取近似数：
（1）8.1465≈_________（精确到0.01）；（2）－2.49876≈_________（精确到百分位）
第5讲 有理数的乘方、科学记数法（练习）
1. 260000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.26×109 B．2.6×108 C．2.6×109 D．26×107
2. 下列各数|－2|，－(－2)2，－(－2)，(－2)3中，负数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 下列各式成立的是（ ）
A. ＝3×4 B. C. D.
4. a2＝1，b是2的相反数，则a＋b的值为（ ）
A．－3 B．－1 C．－1或－3 D．1或－3
5. 下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A．－(－2)4和－24 B．(－2)3和－23 C．|－23|和|2|3 D．|－2|2和－22
6. 计算：的结果是（ ）
A. －2 B. －1 C. 2 D. 1
7. 计算：
8. 计算[(－6)＋11]÷3的结果是________
9. 中，底数是________，指数是________
10. 已知a的相反数为6，则a2＝________
11. 若3070000＝3.07×，则x＝________
12. 小刚的身高约为1.69米，这个数精确到________位，将这个数精确到十分位是______
13. 计算下列各题
（1） （2）
（3） （4）
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