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人教版数学八年级15.1教学设计
课题 15.1.1从分数到分式 单元 第十二单元 学科 数学 年级 八年级
学习目标 1.知识与技能（1）掌握分式的定义。（2）能够正确判断分式有意义的条件。2.过程与方法通过对分式的概念的学习以及用分式表示现实情境中的数量关系，进一步发展符号感，认识事物之间的相对独立与必然联系。3.情感态度和价值观通过类比思考，揭示分式有意义的条件，在实际操练中掌握分式有意义的条件，体验解题成功带来的愉悦感。
重点 分式的概念，掌握分式有意义的条件.
难点 分式值为零的条件、分类意识的渗透。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 课件展示：情景引入。【过渡】在正式进行新课的讲解之前，我们先来看一下课本这一章内容的前言部分。一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时,它沿江以最大船速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等。江水的流速是多少？【过渡】结合速度的计算公式，我们知道，最大船速顺流航行100千米所用时间=路程100÷（轮船在静水中的速度+江水流速），最大航速逆流航行60千米所用的时间=路程60÷（轮船在静水中的速度-江水流速），而我们将具体的数字代入，就会得到两个式子，大家观察一下，这个式子和我们之前学习的分数有什么联系呢？这就是我们今天要学习的内容。 情景引入，通过数学问题，使学生自己写出答案，初步对分式有一个概念。 通过情景引入，自然而然的引入所要学习的分式，并在最开始就使学生明白类比的思想。
讲授新课 1．从分数到分式【过渡】刚刚我们看了引言中涉及到的问题，现在，我们再一起来看一下课本思考的内容。(1)矩形的面积为10cm2，长为7cm，宽应为________cm；矩形的面积为S，长为a，宽应为________；(2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，水面高度为________cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为________。（学生回答）【过渡】通过答案，我们发现，这里有我们经常见到的分数，如、等，而其他两个式子、则是与分数具有类似的结构，大家观察一下这几个式子有什么区别与联系吧？（学生讨论回答）【过渡】通过比较，我们发现，这几个式子都具有分数的形式，而它们与分数不同的地方在于其分母都不是单一的数字，而是具有字母的形式。这样的式子就是我们今天要学习的分式，类比于分数，大家能总结出分式的定义吗？（学生回答）分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母。【过渡】通过这个定义，大家能够挖掘出关于分式我们需要注意的地方吗？（1）分式是不同于整式的另一类式子，且分母中含有字母是分式的一大特点。（2）分式比分数更具有一般性。（3）分式也是代数式；（4）分式是两个整式的商，分式的分子A可以含字母，也可以不含字母，B中必须含有字母。【过渡】既然掌握了分式的定义，我们一起来练习一下吧。【牛刀小试】指出下列代数式中，哪些是整式，哪些是分式？、、、、、、、4y+3【过渡】经过这个练习，希望大家能够牢记，对于分式而言，分母中必须含有字母。【过渡】我们知道，分式是与分数相类似的，那对于分数来说，我们知道，分数有意义的条件是分母不为0，那么分式有意义时，分母应该满足什么条件？（引导学生利用类比的思想，总结分式有意义的条件）当B=0时，分式无意义.当B≠0时，分式 有意义。【过渡】那么在什么条件下分式的值为0呢？当A=0且B≠0时，分式的值为零.。【过渡】这个条件是我们解决问题的根本，现在我们一起来看一下如何利用分母有意义的条件解决问题吧。讲解课本例1。【知识巩固】拓展练习 1、通过学生对课本思考的内容的填写，引导学生从分数和分式进行对比，从而得到分式的定义。2、学生思考，同样通过类比的方法总结分式有意义的条件，加深印象及理解。 通过问题完成分式概念的教学，首先渗透分类思想，依托类比发现分式的客观存在，并在对比中挖掘出分式的本质特性；然后借助练习从识辨的角度反扣分式的本质，帮助认识模糊的同学澄清认识.以具体的问题，强化两类式子的异同，形成明显的落差，以实现对分式内涵的理性理解，使得新旧知识发生意义同化.
课堂小结 设计安排了多种形式的教学实践活动，让学生经历了知识的形成与应用过程，从而为更好地理解、掌握分式的概念以及分式有意义的条件做好了准备，发展学生应用数学的意识与类比、分类以及数式通性等数学思想，增强学生学好数学的愿望和信心。
板书
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《分式》练习
一、选择——基础知识运用
1．式子，，，，2x+，中，是分式的一共有（ ）
A．2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
2．已知对任意实数x，式子都有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A． m＞4 B．m＜4 C． m≥4 D．m≤4
3．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x＞1 B．x＞-1 C．x≠0 D． x≠-1
4．同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠-4，且x≠-2 B．x=-4，或x=2
C．x=-4 D．x=2
5．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
6．已知=，则x应满足（ ）
A． x＜2 B． x≤0 C． x＞2 D． x≥0且x≠2
二、解答——知识提高运用
7．若分式不论x取何实数时总有意义，求m的取值范围。
8． 当x满足什么条件时，下列分式有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
9．已知：代数式
（1）当m为何值时，式子有意义？
（2）当m为何值时，该式的值大于零？
（3）当m为何整数时，该式的值为正整数？
10．对于分式
（1）如果x=1，那么y取何值时，分式无意义？
（2）如果y=1，那么x取何值时，分式无意义？
（3）要使分式的值为零，x、y应该有怎样的关系？
（4）要使分式的值为1，x、y又应该有怎样的关系？
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】根据分式的定义对各式进行分析，即分母中含有未知数的式子叫分式。
在这一组式子中：，，2x+，这四个式子的分母中含有未知数，故是分式。
故选C。
2．【答案】A
【解析】∵x2-4x+m=（x-2）2+m-4，
∵（x-2）2≥0，对任意实数式子都有意义，
∴m-4＞0，
解得m＞4．
故选A。
3．【答案】D
【解析】根据题意，得
x+1≠0，
解得，x≠-1；
故选D。
4．【答案】D
【解析】让第一个分式的分母不为0，第二个分式的分母为0即可。
由题意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2-9=0，
（x+2）（x+4）≠0，x+1=3或-3，
x≠-2且x≠-4，x=2或x=-4，
∴x=2，故选D。
5．【答案】B
【解析】由x2-1=0，得x=±1．
当x=-1时，x+1=0，故x=-1不合题意；
当x=1时，x+1=2≠0，所以x=1时分式的值为0。
故选B。
6．【答案】B
【解析】∵==-，
∴x≤0．
又分母x-2≠0，
∴x≠2．
综上所述，x≤0．
故选B。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】∵分式不论x取何实数时总有意义
∴x2-2x+m＞0，
即二次函数的y=x2-2x+m与x轴无交点，
∴△=4-4m＜0，
解得m＞1。
8．【答案】（1）x+1≠0，
解得x≠-1；
（2）∵x2+1≥1，
∴x为任意实数；
（3）1-|x|≠0，
解得x≠±1；
（4）（x+2）（x-1）≠0，
解得x≠-2且x≠1。
9．【答案】解：（1）若使式子有意义，则需满足m-1≠0，即m≠1；
（2）若使该式的值大于零，则＞0，即m-1＞0，m＞1；
（3）若使该式的值为正整数，则（m-1）能够被4整除，所以m-1可以为1，2，4；即m=2，3，5。
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15.1.1从分数到分式
人教版 八年级上册
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教学目标
导入新课
一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时,它沿江以最大船速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等。江水的流速是多少？
如果设江水的流速为v千米/时。
=
最大船速顺流航行100千米所用时间
以最大航速逆流航行60千米所用的时间
这个式子和我们之前学习的分数有什么联系呢？
从分数到分式
教学目标
新课讲解
想一想
1.长方形的面积为10cm ,长为7cm，宽应为____cm;长
方形的面积为S,长为a,宽应为______.
S
a
教学目标
新课讲解
2.把体积为200cm 的水倒入底面积为33cm 的圆柱形容器中，水面高度为____cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为______.
V
S
相同点
教学目标
新课讲解
请大家观察式子 和 ， 和 ，有什么特点？
他们与分数 和 有什么相同点和不同点？
都具有分数 的形式
不同点
分母中含有字母
比较分数和分式，你能得到分式的定义吗？
教学目标
新课讲解
整数
整数
分数
整式
整式
(100-v)÷(20+v)
3 ÷ 5 =
被除数÷除数=商数
如:
被除式÷除式=商式
如:
分式
分数
分式
比较分数和分式
=
教学目标
新课讲解
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
分式的定义
如：
教学目标
新课讲解
注意：
（1）分式是不同于整式的另一类式子，且分母中含有字母是分式的一大特点。
（2）分式比分数更具有一般性。
（3）分式也是代数式；
（4）分式是两个整式的商，分式的分子A可以含字母，也可以不含字母，B中必须含有字母。
教学目标
牛刀小试
指出下列代数式中，哪些是整式，哪些是分式？
整式有
分式有
、 、 、 、 、 、 、4y+3
4y+3
强调分母中必须含有字母！
教学目标
新课讲解
1、分数有意义的条件是什么？
2、分式有意义时，分母应该满足什么条件？
想一想
分母不为0.
分数
分式
分母不为0
类比
分母不为0
教学目标
新课讲解
1.分式 的分母有什么条件限制
当B=0时，分式无意义.
当B≠0时，分式 有意义.
2.当=0时分子和分母应满足什么条件？
当A=0且B≠0时，分式 的值为零.
教学目标
新课讲解
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1）
（2）
（3）
（4）
分母不为0即可使分式有意义。
教学目标
新课讲解
解：要使分式有意义，则分母3x ≠0，即x ≠0.
要使分式有意义，则分母x－1 ≠0 ，即x ≠1.
要使分式有意义，则分母5－3b ≠0 ，即b ≠ .
要使分式 有意义，则分母x－y ≠0 ，即x ≠y.
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1．在、 、 、 、 、2+ 中分式的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
B
巩固提升
解析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
分式有：在、 、2+ 共3个．
故选B
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教学目标
巩固提升
2、分式有意义的条件是（ ）
A．x≠0 B．y≠0
C．x≠0或y≠0 D．x≠0且y≠0
C
解：分式有意义的条件是分母不为0，则x2+y2≠0．
只要x和y不同时是0，分母x2+y2就一定不等于0．
故选C．
教学目标
巩固提升
3、若分式的值是0，则x的值为（ ）
A. -1 B. 5 C. -1或5 D. 3
B
解：由分式的值为零的条件得 =0， ≠0；
由 =0，得（x-5）（x+1）=0，即x=5或x=-1；
由 ≠0，得（x-3）（x+1）≠0，即x≠3且x≠-1；
综上可知：x的值为5；
故选B．
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教学目标
巩固提升
(2) 当x为何值时，分式有意义
(1) 当x为何值时，分式无意义
4、已知分式 ,
(2)由(1)得 当x ≠-2时，分式有意义.
∴当x = -2时分式
解：(1)当分母等于零时,分式无意义.
无意义.
∴ x =-2，
即 x+2=0
教学目标
拓展练习
思考：分数 在什么情况下值为正？
分数 在什么情况下值为正？
当X等于什么时， 的值为正数？
解析：当2x+1与 同号时，且
的值为正数
归纳：当A、B同号时，且A、B不等于零，分式 的值为正；
当A、B异号时，且A、B不等于零，分式 的值为负。
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教学目标
课堂小结
分式有意义的条件：
分式的值为零的条件：
分式的分母等于零
分式的分子等于零，且分母不等于零
分式无意义的条件：
分式的分母不等于零
分式的特征：分母B中含有字母
谢 谢！
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