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人教版数学八年级15.1.2分式的基本性质 教学设计
课题 15.1.2分式的基本性质 单元 第十二单元 学科 数学 年级 八年级
学习目标 1.知识与技能（1）理解并掌握分式的基本性质。（2）会用分式的基本性质将分式进行简单的恒等变形，并能熟练地进行分式的通分、约分.。2.过程与方法通过对分式的基本性质的学习，进一步发展符号感，认识事物之间的相对独立与必然联系。3.情感态度和价值观经历对分式基本性质及符号法则的探究过程，在探究中获得一些探索定理性质的初步经验，渗透良好的类比联想思维习惯和思想方法。
重点 理解并掌握分式的基本性质。
难点 灵活应用分式的基本性质将分式变形。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 课件展示：问题引入。【过渡】在小学的时候，我们就学过关于分数的问题，我们知道，对于一个分数，我们可以有这样的一个变形：大家有谁能告诉我这样变形的依据是什么吗？（学生回答）【过渡】没错，我们这样变形的依据就是分数的基本性质。我们先不找人回答分数的基本性质究竟是什么，我们先来看另外一个问题。下列两式成立吗？为什么？仔细观察这两个式子，我们能够发现，均是分数的分子和分母同时乘以或除以一个c，而这同样是由于分数的性质决定的，现在，有谁能告诉我分数的基本性质吗？ 情景引入，通过数学问题，使学生自己写出答案，初步对分式有一个概念。 通过情景引入，自然而然的引入所要学习的分式，并在最开始就使学生明白类比的思想。
讲授新课 1．分式的基本性质【过渡】通过刚刚的问题回忆，我们知道了分数的基本性质：分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变。上节课我们通过分数得到了分式的基本概念，那么我们能不能通过分数的基本性质得到分式的基本性质呢？我们一起来看一下。【过渡】请大家观察式子和，它们相等吗？请大家观察式子和，它们相等吗？（学生讨论回答，引导学生结合分数的基本性质分析）【过渡】结合分式的基本性质，我们能够将上述的两个式子分别写为：【过渡】通过这两个式子，我们发现，对于分式而言，其性质也与分数的性质是一样的。分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式 ，分式的值不变。用符号语言表示：= = 【过渡】在这里，我们需要注意的地方是c≠0，同时，也需要知道，这里的A、B、C均指的是整式。【过渡】既然学习了分式的基本性质，我们一起来看一下如何去利用吧。讲解课本例2。【过渡】通过刚刚例题的分析，我们应该能够掌握，在利用分式的基本性质解决问题时，需要牢记分子和分母的变化是一致的，因此，我们需要看分母（分子）如何变化，想分子（分母）如何变化。【过渡】在运用分式的基本性质时，我们还应该注意，分式的计算过程中，其符号的变化也需要特别注意：分式的分子a、分母b和分式本身的符号， 若只改变其中任意一个，结果变为它的相反数;若同时改变其中任意两个，结果不变。【过渡】在实际的运用过程中，我们也可以通过符号法则去改变我们需要的分式的形式。【牛刀小试】若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 缩小6倍 D. 不变【过渡】这里我们发现，和分式的基本性质的结论是不对的，这是因为，x和y都扩大3倍，对于分子来说，由于是x+y，所以总的来说是扩大3倍，而对于分母来说，由于是乘法，因此实际分母是乘了9，所以最终的分式值发生变化。【过渡】掌握了分式的基本性质之后，我们再回来看课堂最开始的一个问题：=这里我们知道运用了分数的基本性质，大家知道这样的一个运算叫做什么吗？（学生回答）【过渡】这就是分数的约分，既然分式具有与分数显示的性质，那么分式又该如何进行约分呢？【过渡】在解决如何约分之前，我们需要先明确分式的约分的定义： 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分。【过渡】有谁能够告诉我，分式约分的依据是什么？（学生回答）【过渡】分式约分的依据就是我们刚刚所学习的分式的基本性质。现在有这样两个式子，你觉得哪个是正确的？（学生回答）【过渡】比较这两个式子，我们发现，第一个式子的结果跟第二个比较，相当于是第二个式子分子分母同时乘以5x，那么到底哪个是对的呢？在分式的约分当中，我们一般把分子化为最简，也就是第二个是正确的。一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式。 在这里，我们要学习最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。【过渡】对于分式的约分，我们一定要注意将其化简为最简分式。讲解课本例3.【过渡】通过例3 ，我们可以得到分式约分的一般步骤：（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数，并约去相同字母的最低次幂；（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式。【过渡】在学习了约分之后，自然我们也要分析分式的通分又是如何进行。分式的通分： 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.讲解课本例4.【过渡】正确的寻找最简公分母是解题的关键。【知识巩固】 1、通过两个问题，引导学生分式和分数性质的相似，强化分式基本性质的两种变形：同乘以与同除以；以开放的形式给不同层次的学生提供施展的空间。 启动了数形结合，让学生亲眼看见、切身体验分式基本性质的存在，增强可感性，扣住学生心理，自然实现难点理解的突破，至于后面的几个问题的解决已是水到渠成，揭示出分式的基本性质。
课堂小结 整个过程从分数的性质引入，自然流畅、合情合理的得到分式的基本性质，以及约分、通分的相关知识，便于学生的理解及掌握。
板书 1、分式的基本性质。2、分式基本性质的应用。3、分式的约分，最简分式。4、分式的通分，最简公分母。
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《分式的基本性质》练习
一、选择——基础知识运用
1．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C．- D．-
2．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ）
A． B． C． D．
3．分式的最小值是（ ）
A．-5 B．-3 C．5 D．3
4．化简+的结果为（ ）
A． ﹣1 B． 1 C． D．
5．已知x﹣ =3，则4﹣x2+x的值为（ ）
A． 1 B．- C． D．
6．下列分式中，不论x取何值，都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
二、解答——知识提高运用
7．用分式的基本性质填空：
（1）= （b≠0）；
（2）= ；
（3）=3a-b．
8． 先化简，再求值：
( - )÷，其中x=3
9．若 = 成立，求m的取值范围。
10．根据分式的基本性质，对于分式，当分式的分子和分母都乘以10时，分式的值不变，则分式可变形为．这样，分式的分子、分母中各项的系数都化为整数了．请你根据这个方法，把下列分式的分子、分母中各项的系数都化为整数，但不能改变分式的值．
（1）；
（2）。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】∵=-，
故选：C。
2．【答案】D
【解析】分式的分子、分母中含有分数系数，不改变分式的值，使分式分子、分母的各项系数化为整数要乘以2与3的最小公倍数6．
分式的分子和分母乘以6，原式=
故选D．。
3．【答案】D
【解析】把分子先整理成分母的倍数加上的形式，然后约分并整理成分子是常数的形式，分母再利用配方法配方，然后根据二次函数的最值问题进行解答.
==5-=5-
当= -3时，原式取最小值，最小值为5-=3
故选D．
4．【答案】B
【解析】先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案：
+=-=1
故选B。
5．【答案】D
【解析】∵x﹣ =3
∴x2-1=3x
∴x2-3x=1，
∴原式=4-（x2-3x）=4-=
故选D.
6．【答案】B
【解析】不论x取何值，都有意义，就是说不论x取何值，分式的分母都不等于0，而x2+1永远不等于0，选B.
二、解答——知识提高运用
7．【答案】（1）==；
（2）==；
（3）=3a-b．
8．【答案】原式= ×=×=
当x=3时，原式=1。
10．【答案】（1）分子分母都乘以6，得
===
（2）分子分母都乘以10，得
===
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15.1.2 分式的基本性质
人教版 八年级上册
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教学目标
导入新课
你知道吗？
你能说出原因吗？
=
依据是什么？
下列两式成立吗？为什么？
=(c≠0）
=(c≠0）
变形的依据是分数的基本性质
分式的基本性质
教学目标
新课讲解
想一想
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.
分数的基本性质：
即；对于任意一个分数有：
a，b，c都是数
教学目标
新课讲解
请大家观察式子 和 ，它们相等吗？
相等
=
=
结合分数的性质，你能得到分式的基本性质吗？
想一想
请大家观察式子 和 ，它们相等吗？
相等
=
=
教学目标
新课讲解
其中A,B,C是整式.
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
分式的基本性质
符号语言：
=
=
(C≠0)
教学目标
新课讲解
例2：填空
（1）=
x2
分子分母同时÷x
=
2x
分子分母同时÷3x
（2）=
a
=
2ab-b2
分子分母同时×a
分子分母同时×b
方法：看分母（分子）如何变化，想分子（分母）如何变化。
教学目标
新课讲解
分式的分子a、分母b和分式本身的符号， 若只改变其中任意一个，结果变为它的相反数;若同时改变其中任意两个，结果不变。
符号法则：
=
=-
-= =-
=
教学目标
牛刀小试
若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 缩小6倍 D. 不变
用3x和3y代替式子中的x和y得：==× ，
则分式的值缩小成原来的，即缩小3倍．
故选B．
分式的基本性质。
B
教学目标
新课讲解
把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分.
分式约分的依据是什么？
分式的基本性质
分式的约分
教学目标
新课讲解
对于分数而言，彻底约分后的分数叫什么？
分子与分母没有公因式的分式叫最简分式.
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
如下两个式子，你觉得哪个是正确的？
=
==
√
教学目标
新课讲解
例3：约分：
（1）
（2）
（3）
解：=-=-
（2）==
（3）==2(x-y)
先分解因式，寻找公因式
教学目标
新课讲解
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数，并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
约分的基本步骤
教学目标
新课讲解
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
分式通分的依据是什么？
分式的基本性质
分式的通分
教学目标
新课讲解
例4 通分：
分析：为通分要先确定分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
（1）与
（2）与
教学目标
新课讲解
解：
（1）最简公分母是2a2b2c.
==
==
（2）最简公分母是(x+5)(x-5).
==
==
正确的寻找最简公分母是解题的关键。
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1．在分式：①=，②=，
③ ，④ 中，最简分式有（ ）
A.1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
巩固提升
解析：①有公因式（a-b） ；
②中分子分母没有公因式，是最简分式；
③中有公约数4；
④中分子分母没有公因式，是最简分式
故②和④是最简分式．故选B．
教学目标
巩固提升
2、先化简，再求值(+) ，其中x=2．
解： (+) = =x-1。
当x=2时，原式=2﹣1=1。将括号内的第一项约分，进行同分母分式的加法运算，再将除法转化为乘法，进行化简，最后将x=2代入。
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教学目标
巩固提升
3、请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．
a2-1；ab-b；b+ab。
教学目标
巩固提升
==;
==;
==;
==;
==;
==;
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教学目标
课堂小结
1、分式的基本性质。
2、分式基本性质的应用。
3、分式的约分，最简分式。
4、分式的通分，最简公分母。
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谢 谢！
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