一、透镜同步测试

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安徽省岳野两校2010届高三上学期联考
时间120分钟 满分150分
一．选择题：共10题，每题5分，共50分。
1．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．．如果实数b与纯虚数z满足关系式(2-i)z=4-bi (其中i是虚数单位），那么b等于
A．-8 B．8 C．-2 D．2
3．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
4．右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为等差数列，若且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n =（ ）
A．10 B．11 C．12 D． 13
6．椭圆（＞＞）的离心率为，右焦点为f（，），方程的两个实根分别为，，则点 （ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．以上三种情形都有可能
7．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）
A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．
8．已知等差数列的前n项和，若,且A．B．C三点共线（该直线不过原点O），则 ( )
A． 1004 B． 2010 C． 2009 D． 2008
9．如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，是原点，点的坐标满足,则的最大值是（ ）
A . B . C． D .
二．填空题：共5题，每题5分，共25分
11．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则=______
12．定义在上的函数满足，当，，则= .
13．已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝_______
14．已知中满足，则面积的最大值是_____
15．给出下列命题:
(1)若实数满足成立;
(2)若则不等式恒成立;
(3)对于函数若则函数在内至多有一零点;
(4)函数与的图像关于直线对称;
则其中所有正确命题的序号是 .
三．解答题（本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
16．（本小题12分）已知函数
（1）判断函数奇偶性与单调性，并说明理由；
（2）若，求实数的取值范围。
17．（本小题12分） 已知ΔABC的角A．B．C所对的边分别是a、b、c，设向量，
　　 ， .
若=，求证：ΔABC为等腰三角形；
若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .
18．（本小题12分）已知R，命题：对任意，不等式恒成立；命题：对任意，不等式恒成立．
（Ⅰ）若为真命题，求的取值范围；
（Ⅱ）若且为假，或为真，求的取值范围．
19（本小题13分）．已知数列 的首项前n项和满足，数列的前n项和
（Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）设，①求数列前n项和
②证明：当且仅当n≥2时，＜
20.（本小题13分）．过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，
(1) 求这条弦所在直线的方程。（2）与这条弦所在直线平行的所有的直线中，求与椭圆相交所截得的最长弦所在的直线方程。
21．（本小题13分）已知函数，．
（Ⅰ） 求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ） 若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围；
（Ⅲ） 若方程有唯一解,试求实数的值．
岳野联考数学（文）答案
一．选择题：共10题，每题5分，共50分。
1—5：D A D C B ，6—10：A C B C B。
二．填空题：共5题，每题5分，共25分
11. 12. -2 13. 0 14. 15. ⑴⑷
三．解答题（本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
16.（本小题12分）已知函数
（1）判断函数奇偶性与单调性，并说明理由；
（2）若，求实数的取值范围。
解：（1），当 时，
当 时，则
当 时，则
时，都有故是奇函数 …………6分
又恒成立，是R上的增函数。…………9分
（2）由（1）是R上的增函数。要使不等式成立，
只要， …………12分
17．（本小题12分） 已知ΔABC的角A．B．C所对的边分别是a、b、c，设向量，
　　， .
若=，求证：ΔABC为等腰三角形；
若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .
证明：（1）
即，其中R是三角形ABC外接圆半径，
为等腰三角形 …………5分
解（2）由题意可知
…………7分
由余弦定理可知， …………9分
…………10分
…………12分
18．（本小题12分）已知R，命题：对任意，不等式恒成立；命题：对任意，不等式恒成立．
（Ⅰ）若为真命题，求的取值范围；
（Ⅱ）若且为假，或为真，求的取值范围．
（Ⅰ）令，
则在上为减函数，
因为，所以当时，． ……2分
不等式恒成立，等价于，
解得． ……4分
（Ⅱ）不等式，
即，
所以， ……7分
即命题：． ……8分
若且为假，或为真，则与有且只有一个为真．
若为真，为假，那么，则；
若为假，为真，那么，则．
综上所述，或，
即的取值范围是． ……12分
19.（本小题13分）．已知数列 的首项前n项和满足，数列的前n项和
（Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）设，①求数列前n项和
②证明：当且仅当n≥2时，＜
解. (1)由于
是首项为1，公差为1的等差数列 …………2分
又当时
又
数列是等比数列,其首项为,公比为 …………4分
(2)① 由(1)知=
…………9分
②由=，由即即
又时由于恒成立.
因此,当且仅当时, …………13分
20.（本小题13分）．过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，
(1) 求这条弦所在直线的方程。（2）与这条弦所在直线平行的所有的直线中，求与椭圆相交所截得的最长弦所在的直线方程。
解：（1）设直线与椭圆的交点为、…………1分
为的中点 　　…………2分
又、两点在椭圆上，则，…………3分
两式相减得…………4分
于是
由题意可知，
………5分
即，故所求直线的方程为，即。…………6分
（2）设与这条弦所在直线平行的直线为，…………7分
由得…………8分
因为直线与椭圆有公共点，所以得，设直线与椭圆交于
由韦达定理得，…………9分
所以
…………11分
所以当 m=0时，最大，此时的直线方程是…………13分
21．（本小题13分）已知函数，．
（Ⅰ） 求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ） 若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围；
（Ⅲ） 若方程有唯一解,试求实数的值．
解：（Ⅰ）因为,所以切线的斜率…………………2分
又,故所求切线方程为,即…………………4分
（Ⅱ）因为,又x>0,所以当x>2时,；当0即在上递增,在（0,2）上递减………………………………5分
又,所以在上递增,在上递减……………6分
欲与在区间上均为增函数,则,
解得…………8分
（Ⅲ） 原方程等价于,令,则原方程即为．
因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在y轴右侧有唯一的交点 ……… ……10分
又, 且x>0,所以当x>4时,；
当0即在上递增,在（0,4）上递减．故h（x）在x=4处取得最小值………12分
从而当时原方程有唯一解的充要条件是……………13分 www.
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