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【新北师大版八年级数学（上）同步练习】
§1.1《菱形的性质与判定》（原题卷）
一.选择题：（共25分）
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（ ）
A.：2 B.：3 C.1：2 D.：1
3.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
4.下列命题不正确的是（ ）
A. 对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B. 两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C. 两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
5.如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；
④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM+BM+CM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2．
A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤
二.填空题：（共25分）
6.在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．
7．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______.
8.如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为_____cm．
9.如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是_____．
10.如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．
三.解答题：(共50分)
11.如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC⊥BD，点M、N分别在BD、AC上，且AO＝ON＝NC，BM＝MO＝OD. 求证：BC＝2 DN.
12.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．
13.如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．
14.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）求证：BC=ED．
15.如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．
（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
（2）求EF的最大值与最小值．
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【新北师大版八年级数学（上）同步练习】
§1.1《菱形的性质与判定》（解析卷）
一.选择题：（共25分）
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
【答案】C
【解析】一般平行四边行对角线互相平分但不一定互相垂直。故选C。
2.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（ ）
A.：2 B.：3 C.1：2 D.：1【答案】B
【解析】由∠ADC=120 可得∠ADO=60 ，所以DO：AO=：3，故DB：AC=：3，故选B。
3.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=AB×sin60°=
∴EF=AE=
∴AM=AE sin60°=3，
∴△AEF的面积是： EF AM=××3=.
故选:B.
4.下列命题不正确的是（ ）
A. 对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B. 两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C. 两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
【答案】D
【解析】选项A,B,D正确.选项C,例如下图,满足条件
不是菱形.所以选D.
5.如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；
④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM+BM+CM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2．
A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤
【答案】C
【解析】解：①连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO
∴点A，点C关于直线BD对称，∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值
∵∠ABC=60，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AB=1，∴AC=1，即AM+CM的值最小为1，故①正确．
②∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），故②正确．
③∵S△ABE+S△ABM=S四边形AMBE
S△ACD+S△AMC=S四边形ADCM，且S△AMB≠S△AMC，∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC，∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM，故③错误．
④假设AN⊥BE，且AE=AB，∴AN是BE的垂直平分线，∴EN=BN=BM=MN，∴M点与O点重合，∵条件没有确定M点与O点重合，故④错误．
⑤如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM=MN，∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°﹣120°=60°，设菱形的边长为x，∴BF=x，EF=x，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴ ，解得x=2，故⑤正确．
综上所述，正确的答案是：①②⑤，故选C．
二.填空题：（共25分）
6.在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．【答案】4 4
【解析】
7．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______.
【答案】12cm 72cm2
【解析】
8.如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为_____cm．
【答案】
【解析】试题分析：首先根据菱形的对角线互相垂直平分，再利用勾股定理，求出BC的长是多少；然后再结合△ABC的面积的求法，求出菱形ABCD的高AE是多少即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴BO=BD=×8=4（cm），CO=AC=×6=3（cm），
在△BCO中，由勾股定理，可得
BC===5（cm）
∵AE⊥BC，
∴AE BC=AC BO，
∴AE===（cm），
即菱形ABCD的高AE为cm．
故答案为：．
9.如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是_____．
【答案】80°．
【解析】在菱形ABCD中，∠B=∠D，
∵正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴AB=AE，AD=AF，
∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，
又∵∠EAF=60°，
∴180°-2∠B+60°+180°-2∠D+∠B=180°，
整理得，3∠B=240°，
解得∠B=80°．
10.如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．
【答案】AB=AC或∠B=∠C
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形.
所以当四边形AEDF中有一组邻边相等时，它就是菱形了.
由此在△ABC中可添加条件：（1）AB=AC或（2）∠B=∠C.
（1）当添加条件“AB=AC”时，
∵AD是△ABC的高，AB=AC，∴点D是BC边的中点，
又∵DE∥AC，DF∥AB，∴点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，∴平行四边形AEDF是菱形.
（2）当添加条件“∠B=∠C”时，
则由∠B=∠C可得AB=AC，同（1）的方法可证得：AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形.
三.解答题：(共50分)
11.如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC⊥BD，点M、N分别在BD、AC上，且AO＝ON＝NC，BM＝MO＝OD. 求证：BC＝2 DN.
【答案】见解析
12.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．
【答案】见解析
13.如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】试题分析：（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．
试题解析：（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABF,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,同理：AB=BC，∴AD=BC，∴四边开ABCD是平行四边形，又AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB=，∴AD==．
14.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）求证：BC=ED．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：
试题解析：
（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，
∴EA=EC，
∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．
∴△ACD≌△ACE，
∴EA=EC=DA=DC，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）∵四边形ADCE是菱形，
∴CD∥AE且CD=AE，
∵AE=EB，
∴CD∥EB且CD=EB
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴DE=BC．
15.如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．
（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
（2）求EF的最大值与最小值．
【答案】（1）BE=BF（2）EF的最大值为4，最小值为
【解析】试题分析：（1）AE+CF=4，DF+CF=4，则DF=AE,根据题目已知条件可通过角边角证明,从而证明BE=BF（2）可先证明 BEF为等边三角形。那么BE=BF=EF,点E在AD上运动，当BE AD时，BE最短，当E与A或D重合时最长。
解：（1）BE=BF，证明如下：
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，
∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，
∵AE+CF=4，
∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，
又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
DE=DF,∠BDE=∠C,BD=BC,
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴BE=BF；
（2）∵△BDE≌△BCF，
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，
当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为，
∵EF=BE，
∴EF的最大值为4，最小值为．
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