函数的概念
一、考点突破
1. 理解函数的概念，了解函数构成的要素；
2. 会求一些简单函数的定义域，函数值，知道两函数相等的条件。
二、重难点提示
重点：函数的三要素：定义域、值域和对应关系；
难点：一些简单函数的定义域的求法。
1. 函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记做y＝f（x），x∈A。
2. 函数的定义域、值域
在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。两个函数的定义域和对应法则完全一致时，则认为两个函数相等。
3. 常见函数定义域的求法
（1）分式函数中分母不等于零。
（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0。
（3）一次函数、二次函数的定义域为R。
【重要提示】在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点。
4. 函数解析式的求法
求函数解析式的常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法。
例题1 有以下判断：
①f（x）＝与g（x）＝表示同一函数；
②函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f（x）＝x2－2x＋1与g（t）＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f（x）＝|x－1|－|x|，则＝0；
其中正确判断的序号是________。
思路分析：对于（1），由于函数f（x）＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g（x）＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于（2），若x＝1不是y＝f（x）定义域的值，则直线x＝1与y＝f（x）的图象没有交点，如果x＝1是y＝f（x）定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f（x）的图象只有一个交点，即y＝f（x）的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于（3），f（x）与g（t）的定义域、值域和对应关系均相同，所以f（x）和g（t）表示同一函数；对于（4），由于＝－＝0，所以＝f（0）＝1。
综上可知，正确的判断是（2）（3）。
答案：（2）（3）
例题2 给出下列两个条件：
（1）f（＋1）＝x＋2；
（2）f（x）为二次函数，且f（0）＝3，f（x＋2）－f（x）＝4x＋2，请试着分别求出f（x）的解析式。
思路分析：（1）将 +1 当作一个整体，利用换元法设其为t，求出f(t)关于t的函数关系式，就是f(x)的解析式。
（2）设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，先求出c，再代入到f(x+2)-f(x)=4x+2中，根据一次项系数与常数项分别相等，列出关于a,b的方程即可分别求出a,b.
答案：解：（1）令t＝＋1，∴t≥1，x＝（t－1）2，
则f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，
∴f（x）＝x2－1（x≥1）；
（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c （a≠0），又f（0）＝c＝3，
∴f（x）＝ax2＋bx＋3，
∴f（x＋2）－f（x）＝a（x＋2）2＋b（x＋2）＋3－（ax2＋bx＋3）＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，
∴，∴，
∴f（x）＝x2－x＋3。
【方法提炼】
1. 函数三要素
函数的三要素：定义域、值域、对应关系。这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同时，函数才是同一函数。
特别值得说明的是，对应关系是就结果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同），而不是指形式上的，即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断。
2. 函数定义域的求解方法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集。
复合函数求定义域的方法
（1）若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域；
（2）若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
（3）若的定义域为，求的定义域，可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求的定义域。
【满分训练】
求下列函数的定义域：
（1）已知函数，求函数f（x）的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（4）函数定义域是，求的定义域。
思路分析：（1）要使该函数有意义，应满足，即，
∴函数的定义域为；
（2）的定义域为，，，
故函数的定义域为；
（3）由，得；
令，则，，
故的定义域为；
（4）先求的定义域
的定义域是，，，
即的定义域是，再求的定义域为，，
∴的定义域是。
总结：已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域，是指求满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]。
3. 函数解析式的求法
（1）配凑法：由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得到f（x）的解析式；
（2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；
（3）换元法：已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
（4）消去法：已知关于f（x）与或f（-x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）。
二次函数的图象及性质
一、考点突破
1. 求二次函数的解析式；
2. 求二次函数的值域或最值及一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；
二、重难点提示
1. 理解二次函数三种解析式的特征及应用；
2. 分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；
3. 充分应用数形结合思想把握二次函数的性质。
1. 二次函数的定义与解析式
（1）二次函数的定义
形如：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数叫做二次函数。
（2）二次函数解析式的三种形式
①一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
②顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）；
③零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）；
2. 二次函数的图象和性质
解析式
f（x）＝ax2＋bx＋c
（a>0）
f（x）＝ax2＋bx＋c
（a<0）
图象
定义域
（－∞，＋∞）
（－∞，＋∞）
值域
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性
图象关于直线x＝－成轴对称图形
3. 与二次函数有关的不等式恒成立问题
①ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是
②ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是
例题1 已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]。
（1）当a＝－2时，求f（x）的最值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－4，6]上是单调函数；
（3）当a＝1时，求f（|x|）的单调区间。
思路分析：对于（1）和（2）可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于（3），应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用。
答案：
解：（1）当a＝－2时，f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，由于x∈[－4，6]，
∴f（x）在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，
∴f（x）的最小值是f（2）＝－1，又f（－4）＝35，f（6）＝15，故f（x）的最大值是35；
（2）由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f（x）在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4；
（3）当a＝1时，f（x）＝x2＋2x＋3，
∴f（|x|）＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6，6]，
且f（x）＝
∴f（|x|）的单调递增区间是（0，6]。
单调递减区间是[－6，0]。
【总结提升】
（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；
（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解。
例题2 若二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c （a≠0）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1。
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上，不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围。
思路分析：第（1）问，由f（0）＝1可得c，利用f（x＋1）－f（x）＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f（x）的解析式。第（2）问，可利用函数思想求得。
答案：
解：（1）由f（0）＝1得，c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1，
又f（x＋1）－f（x）＝2x，
∴a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，∴，，∴，，
因此，f（x）＝x2－x＋1；
（2）f（x）>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可。
∵g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
∴g（x）min＝g（1）＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1，
因此满足条件的实数m的取值范围是（－∞，－1）。
技巧点拨：
二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起出现，而二次函数又是“三个二次”的核心，三者通过二次函数的图象贯穿为一体。因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立）问题是高考命题的热点。
【方法提炼】
分类讨论思想在二次函数中的应用
分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一。在二次函数中，对称轴是一个隐含信息，一定要结合二次函数的图象，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析，保证分类讨论中考虑问题的全面性。
【矫正练习】
设a为实数，函数f（x）＝2x2＋（x－a）|x－a|。
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
思路分析：（1）求a的取值范围，即求关于a的不等式，解不等式即可；（2）求f（x）的最
小值，由于f（x）可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起；（3）对a进行讨论时，要找到恰当的分类标准。
解：（1）因为f（0）＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0，由a2≥1知a≤－1，因此，a的取值范围为（－∞，－1]；
（2）记f（x）的最小值为g（a），则有f（x）＝2x2＋（x－a）|x－a|
=
（ⅰ）当a≥0时，f（－a）＝－2a2，
由①②知f（x）≥－2a2，此时g（a）＝－2a2，
（ⅱ）当a<0时，f＝a2，
若x>a，则由①知f（x）≥a2，
若x≤a，由②知，此时g（a）＝a2，
综上，得g（a）＝；
技巧点拨：
在解答本题时有两点容易造成失分：
一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论。
除此以外，解决函数问题时，以下几点也容易造成失分：
1. 含绝对值的问题，去绝对值符号，易出现计算错误；
2. 分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较大小；
3. 解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻。
函数的表示方法
一、考点突破
能够熟练掌握函数的三种表示方法。
能够根据函数的表达式求函数的值域。
二、重难点提示
求函数的值域的方法。
一、函数表示方法有解析式法、列表法、图象法三种。
定义
优点
缺点
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
对于每一个x都能知道其函数值
定义域中有较多元素时不易表示，不易观察出其变化趋势
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
能表示无限集的定义域的函数，对于每一个x能精确求值
对于复杂的函数求值过程繁琐，不能直接观察其变化趋势
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
变化趋势一目了然
不精确
二、函数值域的相关概念
（1）函数值
在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值。
（2）函数的值域：
我们把函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
2. 基本初等函数的值域
①y＝kx＋b（k≠0）的值域是______。
②y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为。
③y＝（k≠0）的值域是{y|y∈R且y≠0}。
例题1 求函数y＝x－的值域。
思路分析：利用换元法。
解：令＝t，则t≥0且x＝，
于是y＝－t＝－（t＋1）2＋1，
由于t≥0，所以y≤，
故函数的值域是，
答案：函数的值域是。
例题2 求函数 y＝的值域。
思路分析：函数表达式中分子分母同时含有变量，直接求解值域较为困难。通过凑、配等方法，有意识地使得分子变为一个常数，进而研究分母的范围，最终得到函数表达式的值域。
答案：
解：方法一（配方法）
∵y＝1－，
又x2－x＋1＝2＋≥，
∴0<≤，∴－≤y<1，
∴函数的值域为；
方法二（判别式法）
由y＝，x∈R，得（y－1）x2＋（1－y）x＋y＝0，
∵y＝1时，x∈?，∴y≠1，
又∵x∈R，∴Δ＝（1－y）2－4y（y－1）≥0，
解得－≤y≤1，
综上得－≤y<1，
∴函数的值域为。
函数值域的几何意义是对应函数图象上的点的纵坐标的变化范围。利用函数的几何意义，数形结合可求某些函数的值域。
【方法提炼】
数形结合求函数的值域
函数值域的几何意义是对应函数图象上的点的纵坐标的变化范围。利用函数的几何意义，数形结合可求某些函数的值域。
【满分训练】
求函数y＝的值域。
解析：原函数可化简得：y＝∣x－2∣＋∣x＋8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（－8）间的距离之和，
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y＝∣x－2∣＋∣x＋8∣＝∣AB∣＝10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y＝∣x－2∣＋∣x＋8∣＞∣AB∣＝10
故所求函数的值域为：[10，＋∞）
答案：所求函数的值域为：[10，＋∞）。
技巧点拨：本题考查函数的图象，函数的值域及数形结合的数学思想。数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。
函数的单调性
一、考点突破
1. 如何求解函数的单调区间；
2. 利用函数的单调性求参数的取值范围。
二、重难点提示
重点：求函数的单调区间。
难点：
1. 从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；
2. 带参函数的最值问题，如何对参数进行讨论。
◆ 函数的单调性
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2
当x1
当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
注意
1. 如果函数在区间上是单调递增函数或单调递减函数（两者只能居其一），那么就说函数在区间上具有单调性。
2. 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
3. 函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质。
【方法提炼】
判断函数单调性的基本方法——定义法
①设元，任取，且；
②作差；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差的正负）；
⑤下结论。（即指出函数在给定的区间D上的单调性）
示例 已知a>0，函数f（x）＝x＋ （x>0），证明函数f（x）在（0，）上是减函数，在（，＋∞）上是增函数。
思路分析：可利用定义法讨论函数的单调性。用定义法证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→确定符号→下结论。
答案：证明：设x1，x2是任意两个正数，且0则f（x1）－f（x2）＝
＝（x1x2－a）。
当0∴，即，
∴函数在（0，）上是减函数。
当a，又 x1－x2<0，
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）∴函数f（x）在（，＋∞）上是增函数。
例题1 若函数f（x）＝在（－∞，－1）上是减函数，求实数a的取值范围。
思路分析：利用函数的单调性求参数的取值范围时，关键是要把参数看作已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较求参。
答案：解：f（x）＝＝a－，设任意x1则f（x1）－f（x2）＝－
＝－
＝
又因为函数f（x）在（－∞，－1）上是减函数，
所以f（x1）－f（x2）>0，由于x1所以x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，
所以a＋1<0，即a<－1。
故实数a的取值范围是（－∞，－1）。
技巧点拨：已知函数单调性求参数的值或范围时，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的。
例题2 设的定义域对于任意正实数恒有，且当时，
（1）求的值；
（2）求证：在上是增函数。
思路分析：（1）求特殊点处的函数值可利用灵活赋值的方法解决。先求出的值，然后再利用2与互为倒数及求出的值。
（2）由推出是解题的关键。
答案：（1）解：令，代入到中，
，解得
令，代入到中，
，又，
。
证据：任意取，且，
则：，
，
又当时，，
，即，
∴在上是增函数。
技巧点拨：对于抽象函数（未给出具体解析式的函数）的求值问题，需要根据题目给出的已知条件进行灵活赋值，求出需要求的函数值；抽象函数单调性的证明仍然采用单调性的定义以及结合题目已知来进行。
【综合拓展】
巧用函数单调性解不等式
◆解函数不等式问题的一般步骤：
①确定函数f（x）在给定区间上的单调性；
②将函数不等式转化为f（M）③运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；
④解不等式或不等式组确定解集；
【满分训练】已知函数若求实数的取值范围。
思路分析：画出函数的图象，结合图象可看出函数的单调性，再利用单调性将不等式中的“壳”给去掉，形成关于的不等式。
答案：解：画出函数的图象如下：
由函数图象可知，在上单调递增，所以等价转化为，解得。
技巧点拨：利用函数单调性解不等式的关键：准确判断出函数单调性，成功去掉这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系。然后，解关于的简单不等式。
映射
一、考点突破
了解映射的概念及表示方法。
二、重难点提示
重点：理解映射的概念；
难点：理解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象。
◆ 映射的定义
设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作：。
注意：
（1）要理解映射定义中的关键词；
（2）A中元素必须取完，B中元素可以取完，也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多；
（3）在映射中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应的B中元素y叫做x的象，记作：，x叫做y的原象。
◆ 映射的“三性”
1. “有序性”：映射是有方向的，从A到B的映射与从B到A的映射往往不是同一个映射；
2. “存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；
3. “唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的。
例题1 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?
（1）A=R，B=R，对应法则f：取倒数；
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆。
思路分析：根据定义分析是否满足“A中元素的任意性”和“B中对应元素的唯一性”。
答案：（1）不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意性”；若把集合A改为A={x|x≠0}或者把对应法则f改为“加1”等，就可成为映射；
（2）是映射，集合A中的任意一个元素（三角形），在集合B中都有唯一的元素（该三角形的外接圆）与之对应，这是因为平面内不共线的三点可以确定一个圆。
技巧点拨：将不是映射的对应修改为映射，可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手。
例题2 已知A=R，B={（x，y）|x，yR}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→（x+1，x2+1），求A中的元素的象，B中元素的原象。
思路分析：把握好象与原象的关系，进而求象或原象。
答案：∵的映射关系为
∴A中元素的象为
故的原象为。
【思维拓展】
巧算有限集合间可建立的映射个数
若集合中有元素个，集合中有元素个，则从集合到集合的映射的个数为个。
【满分训练】
已知集合，集合，则从集合到集合的映射有_______个？
思路分析：因为集合中有两个元素，所以可将从到的映射分两步进行。
元素有3种对应选择，元素也有3种对应选择，所以从集合到集合的映射的个数为（个）。
答案：9
函数的奇偶性和周期性
函数的奇偶性和周期性（一）
一、考点突破
1. 判断函数的奇偶性和周期性；
2. 函数性质的综合应用。
二、重难点提示
重点：结合函数图象理解函数的奇偶性、周期性；
难点：函数性质的综合应用。
函数的奇偶性和周期性（二）
一、考点突破
1. 函数奇偶性、周期性的重要特征与性质；
2. 函数性质的综合应用。
二、重难点提示
重点：函数奇偶性、周期性的判断，及它们之间的关系；
难点：利用数形结合思想解决函数的综合问题。
函数的奇偶性和周期性（一）
◆函数的奇偶性
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，
都有，那么函数f（x）就叫做奇函数。
都有，那么函数f（x）就叫做偶函数。
图象
描述
图象是关于原点对称的
图象是关于轴对称的
注意
1. 判断函数的奇偶性时，先判断函数的定义域；
重要提示：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。
2. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
思考：若函数是奇函数，且在处有定义，则____，为什么？
解析：∵0与0互为相反数，
又∵函数为奇函数，
∴，
∴，
∴。
◆ 函数的周期性
1. 周期函数
对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期。
2. 最小正周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期。
函数的奇偶性和周期性（二）
◆ 函数奇偶性的性质
1. 若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则f（0）＝0；
若f(x)为偶函数，则.
2. 设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
示例 （重庆高考改编）设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数。则：
是 奇 函数； 是 偶 函数；
是 奇 函数；是 偶 函数.
3. 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性在对称区间上完全相同；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性在对称区间上恰恰相反。
◆ 周期函数的特征与性质
1. 如果T是函数y＝f（x）的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是y＝f（x）的周期，即f（x＋kT）＝f（x）。
2. 当时：
；
；
。
函数的奇偶性和周期性（一）
例题1 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝＋；
（2）f（x）＝（x＋1） .
思路分析：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称。若对称，再验证f（－x）＝±f（x）或其等价形式f（－x）±f（x）＝0是否成立。
答案：解：（1）由，得x＝±3。
∴f（x）的定义域为{－3，3}。
又f（3）＋f（－3）＝0，f（3）－f（－3）＝0。
即f（x）＝±f（－x）。
∴f（x）既是奇函数，又是偶函数。
（2）由，得。
∵f（x）的定义域（－1，1]不关于原点对称。
∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。
技巧点拨：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
（1）定义域关于原点对称。这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；
（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系。在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）是否成立。
例题2 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）。当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2。
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式。
思路分析：（1）只须证明f（x＋T）＝f（x），即可说明f（x）是周期函数；
（2）由f（x）在[0，2]上的解析式求得f（x）在[－2，0]上的解析式，进而求f（x）在[2，4]上的解析式。
答案：（1）证明：∵f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）。
∴f（x）是周期为4的周期函数。
（2）解：∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
又∵当时，，
∴f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8，
又f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），
∴－f（x）＝－x2＋6x－8，
即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4]。
技巧点拨：对于周期函数在特定区间上的二次函数的求法，要善于转化区间，利用已知区间上的函数的解析式来求未知区间上的二次函数的解析式。
函数的奇偶性和周期性（二）
例题1 设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意的，，都有.
设，求，；
证明是周期函数。
思路分析：
（1）灵活赋值，令代入到，可求得的值；
令代入到可求得的值。
（2）灵活利用函数的奇偶性和图象关于直线对称，将文字语言转化为数学语言。
答案：
（1）解: 令代入到中，
得：，∴或
令代入到，
得：，∴，或，
同理可得，∴
（2）证明：∵的图象关于直线对称，
∴ ①
又∵是定义在上的偶函数，
∴，∴ ②
由①②两式可得：，
∴，
∴是周期为2的周期函数.
技巧点拨：本题考查函数奇偶性与周期性以及抽象函数的综合，根据题目已知条件进行灵活赋值来求函数值，灵活利用函数奇偶性和关于直线的对称性来导出函数的周期性。
例题2 已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x＋2）=－，当2≤x≤3时，
f（x）＝x，则f（105.5）＝________。
思路分析：将形如f（x＋2）＝－式子进行变形是解题的关键。这里的几种变形方法一定要理解并掌握。
答案：由已知，可得f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]
＝－＝－＝f（x）。
故函数的周期为4。
∴f（105.5）＝f（4×27－2.5）＝f（－2.5）。
∵2≤2.5≤3，由题意，得f（2.5）＝2.5。
∴f（105.5）＝2.5。
技巧点拨：对周期函数的特征要熟悉，并且要熟练掌握数形结合、转化与化归等思想。
函数的奇偶性和周期性（一）
巧用函数性质进行等价转换
示例 函数f（x）的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）。
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）＝1，f（3x＋1）＋f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围。
思路分析：（1）从f（1）联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1。
（2）判断f（x）的奇偶性，就是研究f（x）、f（－x）的关系。从而想到赋值x1＝－1，x2＝x，即f（－x）＝f（－1）＋f（x）。
（3）将函数不等式转化为f（M）N的形式求解。
答案：解：（1）令x1＝x2＝1，
有f（1×1）＝f（1）＋f（1），解得f（1）＝0.
（2）f（x）为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，
有f[（－1）×（－1）]＝f（－1）＋f（－1），解得f（－1）＝0。
令x1＝－1，x2＝x，有f（－x）＝f（－1）＋f（x），
∴f（－x）＝f（x）。∴f（x）为偶函数。
（3）f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，
f（16×4）＝f（16）＋f（4）＝3。
由f（3x＋1）＋f（2x－6）≤3，
变形为f[（3x＋1）（2x－6）]≤f（64）。（*）
∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x）＝f（|x|）。
∴不等式（*）等价于f[|（3x＋1）（2x－6）|]≤f（64）。
又∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，
∴|（3x＋1）（2x－6）|≤64，且（3x＋1）（2x－6）≠0.
解得－≤x<－或－∴x的取值范围是{x|－≤x<－或－技巧点拨：等价转化要做到规范，应注意以下几点：
（1）要有明确的语言表示。如“M”等价于“N”，“M”变形为“N”。
（2）要写明转化的条件。
如本例题中：∵f（x）为偶函数，∴不等式（*）等价于f[|（3x＋1）（2x－6）|]≤f（64）。
（3）转化的结果要等价。
如本例题中：由于f[|（3x＋1）（2x－6）|]≤f（64）?|（3x＋1）（2x－6）|≤64，且（3x＋1）（2x－6）≠0.若漏掉（3x＋1）（2x－6）≠0，则这个转化就不等价了。
函数的奇偶性和周期性（二）
【综合拓展】
函数性质的综合应用
函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想。
【满分训练】
设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.
（1）求f（π）的值；
（2）当－4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积；
（3）写出（－∞，＋∞）内函数f（x）的单调区间。
思路分析：可以先确定函数的周期性，求出f（π）的值；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间。
答案：解：（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，
f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，
∴f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）
＝－（4－π）＝π－4.
（2）由f（x）是奇函数与f（x＋2）＝－f（x），
得：f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，
即f（1＋x）＝f（1－x）。
故知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称。
又当0≤x≤1时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示。
当－4≤x≤4时，f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4。
（3）函数f（x）的单调递增区间为[4k－1，4k＋1）（k∈Z），
单调递减区间为[4k＋1，4k＋3）（k∈Z）。
技巧点拨：函数的一切性质反映在图象之中，利用函数图象来判断函数的奇偶性，形象直观，方便且不易出错。
