任意角、弧度
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
任意角、弧度
1. 理解任意角、弧度制的概念；
2. 掌握象限角、终边相同的角及区间角的表示方法；掌握弧长公式和扇形面积公式
选择题
填空题
任意角、弧度是是学习三角函数的基础，在高考题中多以选择填空形式出现。
二、重难点提示
重点：象限角的概念及终边相同的角的含义；进行弧度与角度的互化；弧长和面积公式及应用。
难点：角的集合与实数之间的一一对应关系；弧度的概念及其与角度的关系。
一、任意角、象限角及终边相同的角的概念
1. 一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边。
其中，按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如果射线没有做任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角。
注意：角的方向影响角的正负。
2. 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系。这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。
注意：
（1）角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
（2）如果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与轴正半轴重合，则不能判断角在哪一个象限，也就是说不能称之为象限角。
（3）如果一个角的终边落在坐标轴上，我们称该角为轴线角。
3. 终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}。
注意：
（1）其中为任意角。
（2）相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
（3）这一条件不可少。
易错点：准确区分锐角、到的角、小于 的角、第一象限角
（1）锐角是指。
（2）到的角是指。
（3）小于的角是指，显然包括角和负角。
（4）第一象限角是指。
二、弧度制的概念、弧度与角度的互化以及弧度制下的扇形的弧长及面积公式
1. 弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制。
【核心归纳】当角的大小一定时，不论这个角所对的圆弧的半径是多少，弧长与半径的比值总是一个定值，它仅与圆心角的大小有关，所以我们可以用弧长与半径的比值来度量角的大小。即|α|＝。即当圆心角一定时，圆心角所对的弧长与半径成正比，与所取半径无关。
另外弧度制下的角的单位“弧度”可以省略，但角度制下的角的单位“度（）”不可以省略。
2.（1）将角度化为弧度
；；
（2）将弧度化为角度
；；
【难点剖析】
（1）1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或弧）的大小，而是圆的所对的圆心角（或弧）的大小。
（2）不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值。
（3）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但量数相同，对于其他非零角度，由于单位不同，量数也就不同了。
3. 扇形的弧长及面积公式
（1）弧度制下的弧长公式
l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r，特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|；
（2）扇形面积公式
在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝|α|r2＝lr。
注意：弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法。弧度制与角度制相比有一定的优点：其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进制，不便于计算；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运算方便。
例题1 已知α为第一象限角，求2α，，所在的象限。
思路分析：
答案：∵α为第一象限角，
∴360°·k＜α＜360°·k＋90°，k∈Z，
∴360°·2k＜2α＜360°·2k＋180°，k∈Z，
∴2α是第一或者第二象限角，或是终边在y轴正半轴上的角，
∵180°·k＜＜180°·k＋45°，k∈Z，
当k为奇数时，是第三象限角；
当k为偶数时，是第一象限角；
∴为第一或第三象限角，
又∵120°·k＜＜120°·k＋30°，k∈Z，
当k＝3n（k∈Z）时，360°·n＜＜360°·n＋30°，n∈Z，
∴是第一象限角；
当k＝3n＋1（k∈Z）时，360°·n＋120°＜＜360°·n＋150°，n∈Z，∴是第二象限角；
当k＝3n＋2（k∈Z）时，360°·n＋240°＜＜360°·n＋270°，n∈Z，∴是第三象限角；
∴为第一、第二或第三象限角。
技巧点拨：
1. 用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法。
2. α，，2α终边位置关系：
α
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
第一、三象限
第一、三象限
第二、四象限
第二、四象限
2α
第一、二象限或y轴的正半轴
第三、四象限或y轴的负半轴
第一、二象限或y轴的正半轴
第三、四象限或y轴的负半轴
另外，对于的判断还有另外一种判断方法——八卦图法
（1）所在象限的判断方法
第一步：画出直角坐标系，如图，将每一象限二等分；
第二步：标号，从靠近轴正半轴的第一象限区域内开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4；
第三步：选号，因为为第一象限角，在图中将1的范围画出，可用阴影表示；
第四步：定象限，阴影在哪一象限，的终边就在哪一象限，若需写出的集合，也可根据终边所在阴影区域写出。
由以上步骤可知，若为第一象限角，则为第一或第三象限角。
（2）所在象限的判断方法
第一步：画出直角坐标系，如图，将每一象限三等分；
第二步：标号，从靠近轴正半轴的第一象限区域内开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4；
第三步：选号，因为为第一象限角，在图中将1的范围画出，可用阴影表示；
第四步：定象限，阴影在哪一象限，的终边就在哪一象限，若需写出的集合，也可根据终边所在阴影区域写出。
由以上步骤可知，若为第一象限角，则为第一、第二或第三象限角。
例题2 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
思路分析：
答案：设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，
依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，
∴α＝，
由l＝20－2r>0及r>0得0∴S扇形＝αr2＝·r2＝（10－r）r，
＝－（r－5）2＋25（0∴当r＝5时，S扇形max＝25，
此时l＝10，α＝2，
故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，
扇形面积最大。
技巧点拨：涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解。
区间角表示错误
例题 用角度表示顶点在原点上，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在如图所示的阴影区域内的角的集合（含边界）。
错解：因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和45°，所以它表示的角的集合为{α|k·360°＋300°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}。
错因分析：因为45°≤300°，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式。
防范措施：表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在（0°，360°）范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角α，β（α＜β），再在所得到的范围{x|α＜x＜β}两边加上k·360°，即得区域角的集合{x|k·360°＋α＜x＜k·360°＋β，k∈Z}。
正解：由题意可知300°角与－60°角的终边相同，
所以它表示的角的集合为{α|k·360°－60°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}。
技巧点拨：
1. 对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：
（1）要明确旋转的方向；
（2）要明确旋转的大小；
（3）要明确射线未做任何旋转时的位置。
2. 在运用终边相同的角时，需注意以下几点：
（1）k是整数，这个条件不能漏掉；
（2）α是任意角；
（3）k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°）（k∈Z）；
（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍。
任意角的三角函数
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
任意角的三角函数
1. 理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值；
2. 会判断给定角的三角函数值的符号；
3. 会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围
选择题
填空题
任意角的三角函数在高考中属于基础题，以选择填空形式出现。注意三角函数的几何应用—三角函数线
二、重难点提示
重点：三角函数的定义、三角函数线。
难点：用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。
一、任意角的三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），并记|OP|＝r（此时r＝>0），那么，
（1）比值叫做的正弦，记做，即；
（2）比值叫做的余弦，记做，即；
（3）比值叫做的正切，记做，即。
注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P（x，y）在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关。
二、三角函数在各象限的符号
根据三角函数的定义可知，三角函数在各象限的符号如下图：
技巧点拨：口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”。
三、三角函数线
（1）有向线段：规定了方向的线段。
（2）三角函数线
【核心归纳】
（1）三角函数线的定义：
正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数量可以用来表示三角函数值，统称为三角函数线。
（2）特殊情况：
当角的终边在轴上，正弦线、正切线分别变成了一个点，其数量为0；当角的终边在轴上，余弦线变成了一个点，其数量为0，正切线不存在。
（3）三角函数线的主要作用
解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象和性质的基础。
例题1 （青岛）已知角θ的终边上有一点P（－，m），且sin θ＝m，求cos θ与tan θ的值。
思路分析：先利用三角函数定义sin θ＝，求出m的值，再用公式cos θ＝，tan θ＝代入数据求解。
答案：由已知r＝＝，
∴，解得m＝0，或m＝±，
（1）当m＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；
（2）当m＝时，cos θ＝－，tan θ＝－；
（3）当m＝－时，cos θ＝－，tan θ＝。
技巧点拨：
1. 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r。
2. 当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。
例题2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合。
（1）sin α≥；（2）cos α≤－。
思路分析：根据三角函数线，在单位圆中首先作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围。
答案：（1）作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域（如图①阴影部分）即为角α的终边的范围，
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}，
（2）作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域（如图②阴影部分）即为角α的终边的范围，
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}。
技巧点拨：三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的有力工具。
忽视角所在象限的讨论致误
【满分训练】已知角α的顶点在原点上，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为（3a，4a）（a≠0），求角α的正弦值和正切值。
错解：由题意得x＝3a，y＝4a，
所以r＝＝＝5a，
所以sin α＝＝＝，tan α＝＝＝。
错因分析：本题中点的坐标含参数，当a＞0时，该点在第一象限，即角α的终边在第一象限；当a＜0时，该点在第三象限，即角α的终边在第三象限，故应对a的取值范围进行分类讨论。
防范措施：根据角的终边上一点的坐标求三角函数值时，若坐标中含有字母，则应分类讨论。
正解：由题意得x＝3a，y＝4a，
所以r＝＝＝5|a|，
若a＞0，则r＝5a，
所以sin α＝，
tan α＝＝＝；
若a＜0，则r＝－5a，
所以sin α＝＝＝－，
tan α＝＝＝。
技巧点拨：开方运算时注意这一结论。
同角三角函数函数关系
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
同角三角函数关系
1. 掌握同角三角函数的基本关系式；
2. 能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明
选择题
解答题
同角三角函数是三角函数的基础，注意理解本质，灵活应用
二、重难点提示
重点：同角三角函数之间的基本关系、化简与证明。
难点：化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。
一、同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系：
2. 商数关系：
二、利用同角三角函数的基本关系式求值、化简、证明
1. 利用同角三角函数的基本关系式求值
利用公式可解决已知某角的一个三角函数值，求它的其余两个三角函数值（即知一求二）的问题。
注意：
（1）如果已知一个角的正弦、余弦、正切中的一个具体值，且角所在的象限也已指定，那么只有一种结果；
（2）如果已知一个角的正弦、余弦、正切中的一个具体值，但未指定角所在的象限，那么要按角所在的可能象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组解。
2. 利用同角三角函数的基本关系式化简和证明
注意：三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，化简的结果一般要求：函数种类尽量少，次数尽量低，项数尽量少，式子中尽可能不含根号，能求值的要求出。
示例：（北京高考）若，则
思路分析：由正弦求余弦，利用平方关系。
答案：由已知得在第三象限，
技巧点拨：注意先判断角所在象限，从而确定开方取负。
例题1 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值。
思路分析：先由cos α的符号判断α所在的象限，然后分别由平方关系和商数关系求sin α，tan α的值。
答案：∵cos α＝－＜0，∴α是第二、三象限角。
若α是第二象限，则sin α＝，tan α＝；
若α是第三象限角，则sin α＝－，tan α＝＝。
例题2 已知tanα＝－，求下列各式的值。
①；②3sin2α＋2sin αcos α－cos2α。
思路分析：利用同角三角函数的基本关系式tanα＝，将所求代数式转化为关于tan α的代数式，再将tan α的值代入即可。
答案：①＝＝＝＝－1。
②3sin2α＋2sin αcos α－cos2α
＝
。
技巧点拨：解决齐次式时，分子分母同除以某一量，其式子可以转化为关于tanα的式子，然后求值。
例题3 求证：sin θ（1＋tan θ）＋cos θ（1＋）＝＋；
思路分析：证明恒等式的原则是由繁到简，所以在该题中应从左到右进行论证，因为右端无切函数，所以在变形、化简过程中应将切借助于商数关系化弦；
答案：左式＝sin θ（1＋）＋cos θ（1＋）＝sin θ＋＋cos θ＋
＝（sin θ＋）＋（cos θ＋）
＝＋＝＋＝右式；
技巧点拨：证明三角恒等式，实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子通过巧妙变形消除差异，实现联通，使其左右两侧相等，为了达到这个目的，我们经常采用以下的策略和方法：
（1）左推右（或右推左）法：从一边开始，证明它等于另一边；
（2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
（3）等价转化法：变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式。
【满分训练】已知关于x的方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实数根分别是sin θ，cos θ，求|sin θ－cos θ|的值。
思路分析：根据根与系数的关系可求出sin θ＋cos θ，sin θcos θ的值，再利用平方关系求得k的值，最后求出|sin θ－cos θ|的值。
答案：由题意得
∴sin2θ＋cos2θ＝（sin θ＋cos θ）2－2sin θcos θ＝k2－＝1，
∴9k2－8k－20＝0，
∴k＝2或k＝－，
当k＝2时，Δ＜0，不符合题意，舍去，
当k＝－时，Δ＞0，∴k＝－，
此时sin θ＋cos θ＝，
∴|sin θ－cos θ|2＋（sin θ＋cos θ）2＝2（sin2θ＋cos2θ）＝2，
∴|sin θ－cos θ|2＝2－＝，
∴|sin θ－cos θ|＝。
技巧点拨：
1. 解答本题时，易忽视“Δ＞0”这一隐含条件。
2. 要学会利用方程的思想解三角函数题，对于sin α±cos α，sin αcos α这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两式的值，求值时不要忘记讨论符号。
三角函数的诱导公式（1）
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
三角函数的诱导公式（一、二、三、四）
1. 能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四；
2. 掌握诱导公式一、二、三、四，会运用诱导公式化简、求值与证明
填空
解答
三角函数的诱导公式是三角函数的基础，注意掌握本质，灵活应用
二、重难点提示
重点：应用诱导公式进行化简、求值和证明。
难点：诱导公式的推导。
◆ 四组诱导公式推导及作用
1. 终边相同的角的诱导公式（公式一）
由三角函数定义或单位圆中的三角函数线推知，终边相同的角的同一三角函数值相等，即得诱导公式一：
sin（α＋2kπ）＝sinα（k∈Z）；
cos（α＋2kπ）＝cosα（k∈Z）；
tan（α＋2kπ）＝tanα（k∈Z）。
2. 终边关于x轴对称的角的诱导公式（公式二）
设角α的终边与单位圆的交点P（cosα，），角-α的终边与单位圆的交点，由于角α的终边与角-α的终边关于x轴对称，所以P与关于x轴对称，所以sin（－α）＝－sinα；cos（－α）＝cosα；所以，
故诱导公式二：
sin（－α）＝－sinα；
cos（－α）＝cosα；
tan（－α）＝－tanα。
3. 终边关于y轴对称的角的诱导公式（公式三）
设角α的终边与单位圆的交点P（cosα，），角的终边与单位圆的交点，由于角α的终边与角的终边关于x轴对称，则P与关于轴对称，所以sin（π－α）＝sinα；cos（π－α）＝－cosα；所以，
故诱导公式三
sin（π－α）＝sinα；
cos（π－α）＝－cosα；
tan（π－α）＝－tanα。
4. 终边关于原点对称的角的诱导公式（公式四）
设角α的终边与单位圆的交点P（cosα，），角的终边与单位圆的交点，由于角α的终边与角的终边关于原点对称，则P与关于原点对称，所以sin（π＋α）＝－sinα；cos（π＋α）＝－cosα；所以，
故诱导公式四
sin（π＋α）＝－sinα；
cos（π＋α）＝－cosα；
tan（π＋α）＝tanα。
5. 明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π求值
公式二
将负角转化为正角求值
公式三
将0～π内的角转化为0～之间的角求值
公式四
将角转化为0～求值
【核心归纳】诱导公式的记忆
诱导公式一～四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”。其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号。将α看成锐角，只是为了公式记忆的方便，实际上α可以是任意角。
注意：公式中的α可以是任意角。
例题1 （给角求值）
计算：（1）sin（－）－cos（－）；
（2）。
思路分析：利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数。
答案：（1）原式＝－sin（4π＋）－cos（2π＋）＝－sin（π＋）－cos（π＋）＝sin＋cos＝＋＝1；
（2）原式＝＝
＝＝
＝－1。
技巧点拨：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
例题2 （给值求值）
已知sin β＝，cos（α＋β）＝－1，则sin（α＋2β）＝________。
思路分析：
先由cos（α＋β）＝－1，可求出α＋β，再代入sin（α＋β）中利用诱导公式求解。
答案：由cos（α＋β）＝－1得，
α＋β＝2kπ＋π（k∈Z），
则α＋2β＝（α＋β）＋β＝2kπ＋π＋β（k∈Z），
∴sin（α＋2β）＝sin（2kπ＋π＋β）
＝sin（π＋β）＝－sin β＝－。
技巧点拨：
1. 找出所求角和已知角之间的关系，把所求角的三角函数化为已知角的三角函数求解。
2. 先用诱导公式转化，再用同角基本关系式求解，因此当用到平方关系时确定符号非常关键，符号不确定时还要分类讨论。
统一形式，巧寻目标角与已知角的关系
【满分训练】设tan（α＋π）＝，求证：＝。
思路分析：本题主要考查诱导公式，从目标角与已知角的关系入手，将所求各角用α＋π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求角。
答案：
左边＝＝
＝＝＝右边，
∴等式成立。
技巧点拨：对于利用诱导公式证明三角恒等式的问题，解题的关键在于公式的灵活运用，思路在于如何配角，如何分配角之间的关系，其中要特别注意函数名称与正负号的正确判断。
三角函数的诱导公式（2）
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
三角函数的诱导公式（五、六）
1. 能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六；
2. 掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题
填空
解答
三角函数的诱导公式是三角函数的基础，注意掌握公式的本质，并灵活应用
二、重难点提示
重点：灵活运用诱导公式进行化简、求值、证明。
难点：诱导公式五、六的推导。
◆ 两组诱导公式推导及作用
1. 终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式（公式五）
设角α的终边与单位圆交于P（cosα，），角－α的终边与单位圆的交点，因为角α的终边与角-α的终边关于x轴对称，所以P与关于x轴对称，所以sin（－α）＝cosα；cos（－α）＝sinα.，
故诱导公式五：
sin（－α）＝cosα；
cos（－α）＝sinα.
2. ＋α型诱导公式（公式六）
其推导方法也可类似于公式五的方法，也可由公式二和公式五推出。
sin（＋α）＝sin[－（－α）]＝cos（－α）＝cos α，
cos（＋α）＝cos[－（－α）]＝sin（－α）＝－sin α。
故诱导公式六：
sin（＋α）＝cosα；
cos（＋α）＝－sinα。
3. 诱导公式五、六的记忆方法和作用
（1）±α的正弦（余弦）函数值，等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”。
（2）利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。
【规律总结】
六组诱导公式的记忆方法
k·＋α（k∈Z）的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k的取值是奇数还是偶数。
注意：
我们在记忆时虽然把公式中的角看做锐角去记，但实际上六组公式中的可以是任意角。
例题1 （给值求值）
（1）已知sin（π＋A）＝－，则cos（π－A）的值是________。
（2）已知sin（－α）＝，则cos（＋α）的值是________。
思路分析：
（1）先化简sin（π＋A）＝－得sin A＝，再利用诱导公式化简cos（－A）即可。
（2）探索已知角－α与＋α之间的关系，根据诱导公式将cos（＋α）化为－α的三角函数求解。
答案：（1）sin（π＋A）＝－sin A＝－，∴sin A＝，cos（－A）＝cos（π＋－A）＝－cos（－A）＝－sin A＝－。
（2）∵（－α）＋（＋α）＝，
∴＋α＝－（－α），
∴cos（＋α）＝cos[－（－α）]＝sin（－α）＝。
技巧点拨：
1. 给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值。
2. 巧用相关角的关系会简化解题过程。常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等；常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等。
例题2 （化简问题）
化简：
思路分析：解决本题的关键是熟练地应用三角函数诱导公式。
答案：
原式＝
＝
＝＝＝1.
技巧点拨：
用诱导公式化简求值的方法：
（1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少。
（2）对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名。
三角函数问题中的方程思想
【满分训练】是否存在角α，β，α∈（－，），β∈（0，π），
使同时成立？若存在，求出角α，β；若不存在，请说明理由。
思路分析：先利用三角函数的诱导公式化简已知条件，再利用方程思想和同角三角函数的基本关系式求解。
答案：将已知方程组化为
①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，∴cos2α＝，
∵α∈（－，），
∴cos α＝，∴α＝或－，
将α＝代入②得cos β＝，
∵β∈（0，π），∴β＝，
将α＝，β＝代入①，符合条件，
将α＝－代入②得cos β＝，
∵β∈（0，π），∴β＝，
将α＝－，β＝代入①，不符合条件，舍去，
综上可知存在满足条件的角α，β，α＝，β＝。
技巧点拨：
首先利用已知条件得出关于cos α的方程，再利用平方关系式sin2α＋cos2α＝1，求出cos α的值，进而求出相应的角，建立方程是解题的关键。
三角函数的周期性
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
三角函数的周期性
1. 理解周期函数的定义；
2. 知道正弦函数、余弦函数的最小正周期；
3. 会求函数y＝sin（ωx＋φ）和y＝cos（ωx＋φ）的周期。
填空
解答
高考必考
周期性是三角型函数的重要性质，也是我们在所学的基本初等函数中唯一具备这一特性的函数。在解答题中往往出现在第1步，较为简单。客观题往往与图象等结合考查。
二、重难点提示
重点：求函数的周期、利用周期求函数值。
难点：对定义的理解及定义的简单应用。
一、周期函数的定义
一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
【要点诠释】函数周期性的理解：
①定义应对定义域中的每一个值来说，只有个别的值满足f（x＋T）＝f（x）或不满足，都不能说T是f（x）的周期。
②从f（x＋T）＝f（x）来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如f（2x＋T）＝f（2x）中，T不是周期，而应写成，则是f（x）的周期。
③对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。
④并不是所有的周期函数都存在最小正周期。例如常数函数为常数），其周期是任意实数，没有最小正数。
⑤周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f（x）的周期，那么kT（k∈Z，k≠0）也一定是函数的周期。
【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？
（1）首先看定义域
若是定义域D内的一个值，则也一定属于定义域D，因此周期函数的定义域D一定是无限集，而且定义域D一定无上界且无下界。
（2）其次看恒等式是否成立
对于定义域D内任意一个，是否有恒成立。如果成立，则是周期函数。否则，不是周期函数。
二、的周期
一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝。
【规律总结】
求三角函数的周期，通常有三种方法。
（1）定义法；
（2）公式法，对y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0），T＝；
（3）图象法。
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1。
示例：已知函数的周期为3，则 。
思路分析：利用y＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0）的最小正周期为T＝这一结论解决。
答案：由题得，则
技巧点拨：在运用公式法求周期时不要忽略绝对值。
例题1 （求三角函数的周期）求下列函数的周期：
（1）y＝3sin（x＋）；
（2）y＝2cos（－＋）；
（3）y＝|sin x|。
思路分析：利用公式法或定义法求解即可。若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期。
答案：（1）T＝＝＝4。
（2）y＝2cos（－＋）＝2cos（－），
∴T＝＝4π。
（3）由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π。验证：∵|sin（x＋π）|＝|－sin x|＝|sin x|，
∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的周期是π。
例题2 （函数周期性的判断）
设函数y＝f（x），x∈R，若函数y＝f（x）为偶函数并且图象关于直线x＝a（a≠0）对称，求证：函数y＝f（x）为周期函数。
思路分析：要证函数y＝f（x）是周期函数，就是要找到一个常数T（T≠0），使得对于任意实数x，都有f（x＋T）＝f（x），可根据y＝f（x）的奇偶性与对称性推导证明。
答案：由y＝f（x）的图象关于x＝a对称得f（2a－x）＝f（x），∴f（2a＋x）＝f（－x），
∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），
∴f（2a＋x）＝f（x），
∴f（x）是以2a为周期的函数。
【重要提示】
1. 判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T满足f（x＋T）＝f（x）对定义域中一切x都成立。
2. 若函数f（x）对定义域内的一切实数x满足f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝或f（x＋a）＝－，则f（x）都是周期函数，且2a为它的一个周期，这里a为非零常数。
函数周期性概念理解不透彻致误
【满分训练】
判断函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]是否为最小正周期为的周期函数，若不是，请说明理由。
【错解】记f（x）＝cos 4x，设T为f（x）的周期，则f（x＋T）＝f（x），即cos 4x＝cos 4（x＋T）对任意实数x都成立，也就是cos（μ＋4T）＝cos μ对任意实数μ都成立，其中μ＝4x，由于y＝cos μ的最小正周期为2π，
令4T＝2π，得T＝，故函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]是最小正周期为的周期函数。
【错因分析】导致错误的原因在于没有注意条件x∈[－π，π]的限制，∵x＝π时，x＋T?[－π，π]，不符合周期函数的定义，即忽略了f（x）＝f（x＋T）对任意x都成立。
【防范措施】要判断一个函数是否为周期函数，①要看定义域I，对任意x∈I，有x＋T∈I；②对任意x∈I，有f（x）＝f（x＋T）。要说明一个函数不是周期函数或者不是以T为周期的周期函数，只需要举一反例即可。
【正解】由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x值，有f（x＋T）＝f（x），故x＋T也应在定义域内，但是当x＝π时，x＋＝?[－π，π]，故函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]不是周期函数。
利用周期解决多个值的和
若函数f（n）＝sin（n∈Z），求f（97）＋f（98）＋f（99）＋…＋f（102）的值。
思路分析：直接求和较难，可以判断f（n）的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解。
答案：由题意得sin＝sin（＋2π）
＝sin[]（n∈Z），
∴f（n）＝f（n＋12），
∵97＝12×8＋1，98＝12×8＋2，…，102＝12×8＋6，
∴f（97）＋f（98）＋f（99）＋…＋f（102）
＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）
＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin
＝＋＋1＋＋＋0＝2＋。
技巧点拨：当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究函数在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值。
三角函数的图象和性质
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
三角函数的图象和性质
1. 会画正弦、余弦、正切函数的图象。
2. 掌握正弦、余弦、正切函数的性质。
填空
解答
三角函数图象及性质是高考的高频考点，也是学习后面三角知识的基础。
二、重难点提示
重点：正、余弦函数的图象、性质及“五点法”作图，以及正切函数的图象与性质。
难点：正弦、余弦、正切函数的性质及应用，并会运用性质解决简单问题。
一、正弦、余弦函数的图象及性质
函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
余弦函数y＝cos x，x∈R
图象
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
最值
当x＝2kπ＋（k∈Z）时，ymax＝1；
当x＝2kπ－（k∈Z）时，ymin＝－1
当x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1
周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在[2kπ－，2kπ＋]（k∈Z）上是增函数；
在[2kπ＋，2kπ＋]（k∈Z）上是减函数
在[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上是增函数；
在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上是减函数
对称轴
对称中心
二、正切函数的图象及性质
函数
y＝tan x
图象
定义域
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在（kπ－，kπ＋）（k∈Z）上都是增函数
【核心突破】
①正切函数是单调递增函数，但不能说函数在定义域内是单调递增函数。
②函数其定义域由不等式得到，其周期为。
③正切函数是中心对称图形，对称中心是；不是轴对称图形，没有对称轴。
示例：
函数y＝2cos（2x－）的对称中心为 。
思路分析：本题主要利用正、余弦函数的对称中心与对称轴坐标再结合整体代入的思想求解。
答案：y＝cos x的对称中心为（kπ＋，0）（k∈Z），
由2x－＝kπ＋，
得x＝＋π（k∈Z）；
故y＝2cos（2x－）的对称中心为（＋π，0）（k∈Z）。
技巧点拨：牢记y＝cos x的对称中心为（kπ＋，0）（k∈Z），且对称中心是点，不要写成x＝kπ＋（k∈Z）。
例题1 求函数y＝cos2 x＋2sin x－2的值域。
思路分析：对于内外两层的复合型函数常采用换元法将其拆分成基础函数模型。故可令t＝sin x，化成关于x的二次函数求解。
答案：令t＝sin x（x∈R），则由－1≤sin x≤1，
知－1≤t≤1，
∴y＝cos2 x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1
＝－t2＋2t－1
＝－（t－1）2（－1≤t≤1），
∵－1≤t≤1，∴－2≤t－1≤0，
∴0≤（t－1）2≤4，
即－4≤y≤0，
故函数y＝cos2x＋2sin x－2的值域为[－4，0]。
技巧点拨：
1. 求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c（或y＝acos2x＋bcos x＋c），x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x（或cos x），将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可，求解过程中要注意t＝sin x（或cos x）的有界性。
2. 求最值时要注意三角函数的定义域，在定义域内求值域，尤其要注意题目中是否给定了区间。
例题2 比较tan 1，tan 2，tan 3的大小。
思路分析：把各角化归到同一单调区间内，再利用函数的单调性进行比较。
答案：tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－π），
又∵＜2＜π，
∴－＜2－π＜0，
∵＜3＜π，
∴－＜3－π＜0，
显然－＜2－π＜3－π＜1＜，
且y＝tan x在（－，）内是增函数，
∴tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1。
技巧点拨：比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较。
重视数形结合思想的运用
【满分训练】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是 。
思路分析：该题是图象的交点的个数问题，从“图形”的角度加以解决。即画出函数图象解决。
答案：
如图，则的取值范围是。
技巧点拨：方程的根的个数和图象的交点的个数是一类问题，解决这类问题从两个角度解决。第一从方程的角度解决，即解方程，方程有几个根即有几个解或几个交点。如果方程不会解或方程含参数不好解，这时采用第二种方法，构造函数，从图形的角度解决问题。在构造函数时，往往参变分离，使其一个函数为定函数，另一个函数为简单的“动”函数。
正弦型函数的图象及三角函数的应用
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念及其图象变换
1. 了解函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的实际意义。
2. 能画出y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象，并借助图象能观察出A，ω，φ对函数图象变化的影响。
选择
填空
正弦型函数的图象及三角函数的应用是高考的热点，应当引起重视，在高考中往往以中低档题形式出现。
二、重难点提示
重点：由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象。
难点：对图象变换过程的理解。
一、有关函数的几个概念
当函数表示一个振动量时，A为振幅，是周期，f＝＝是频率，ωx＋φ为相位，φ为初相。
【重要提示】
上述概念是在这一前提下的定义，否则，当，则就不能称为初相。
二、函数的图象与的关系
1. 振幅变换
2. 周期变换
3. 相位变换
4. 上下平移变换
【难点剖析】由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
①y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）。
②y＝sin xy＝sin ωxy＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）。
注意：利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现。无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）。
先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0）平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得y＝sin（ωx＋）的图象。
途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0）平移个单位，便得y＝sin（ωx＋）的图象。
三、“五点法”作的简图
“五点法”即找五个关键点，分别为使能取得最小值、最大值和曲线与轴的交点，其步骤如下：
（1）先确定周期，在一个周期内作图象。
（2）令，则将分别取来求出对应的值，列表如下：
0
A
0
0
（3）描点画图，再利用函数的周期性，可把所得简图向左、右分别扩展，从而得到的简图。
四、由函数或部分图象确定解析式
【规律总结】
解决的关键在于确定参数，在观察图象的基础上可以按以下规律来确定：
（1）A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定。
（2）：因为，所以往往通过求周期T来确定。可通过已知曲线与轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点在轴上的投影之间的距离为；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为T。
（3）：采用五点法或代入最值点求得。
①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时，A，ω已知）或代入图象与x轴的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）。
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点（－，0）作为突破口。“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0；
“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝；
“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；
“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π。
示例：函数的初相是 。
思路分析：根据初相的定义求解。
答案：
故初相为。
技巧点拨：本题如果填“”，则是错误的答案，其原因在于没有注意到定义中的条件：。因此当时，应先对解析式进行恒等变形，使之满足上述条件。
例题1 作出函数y＝2sin（＋）在长度为一个周期的闭区间上的图象。
思路分析：将看成整体，确定一个周期内的五个关键点，然后描点，用光滑的曲线连接各点即可。
答案：列表
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
描点作图如下：
技巧点拨：
1. 用五点法作y＝Asin（ωx＋φ）的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象。
2. 若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点。
例题2 如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin（2x－）的图象？
思路分析：
方法一：先相位变换→周期变换→振幅变换。
方法二：先周期变换→相位变换→振幅变换。
答案：
【解】方法一
y＝sinx。
方法二
y＝sin x
。
技巧点拨：
1. 由函数y＝sin x的图象到函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的变换通常需要三个变换：相位变换、周期变换、振幅变换，并且也常是这个顺序。当然也可以先周期变换，再相位变换，最后振幅变换，只是平移的单位量不同罢了。
2. 由y＝Asin ωx的图象变换成y＝Asin（ωx＋φ）的图象时，可将y＝Asin（ωx＋φ）化为y＝Asin[ω（x＋）]，由x＋与x的关系确定左右平移的单位，此时时，向左平移个单位，时，向右平移||个单位。
例题3 已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），在一个周期内的图象如下图所示，求函数的解析式。
思路分析：由最值求A，由过点（0，1）求φ，由点（，0）求ω。
答案：显然A＝2，又图象过（0，1）点，∴f（0）＝1，
∴sin φ＝，又∵|φ|＜，∴φ＝。
由图象结合“五点法”可知，（，0）对应五点中的点（2π，0），
∴·ω＋＝2π，∴ω＝2，
所以所求函数解析式为f（x）＝2sin（2x＋）。
技巧点拨：
1. 一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|。
2. 因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω。
3. 从寻找“五点法”中的第一个“零点”（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ。
数形结合思想在三角函数问题中的应用
【满分训练】
设函数f（x）＝4sin（2x＋1）－x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是________。
①[－4，－2]；②[－2，0]；③[0，2]；④[2，4]
思路分析：将f（x）的零点问题转化为函数g（x）＝4sin（2x＋1）与h（x）＝x图象的交点问题。由数形结合的思想，画出g（x）与h（x）的图象解决。
答案：①
在同一坐标系中画出函数g（x）＝4sin（2x＋1）与h（x）＝x的图象，如图，观察可知在[－4，－2]内无交点。
技巧点拨：解答此类题目的关键在于等价转化问题中的曲线，然后准确作图，在解答过程中充分利用数形结合思想及函数与方程的思想，即可解决问题。
