向量的概念及表示
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
向量的概念及表示
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念；
2. 理解零向量、单位向量、相等向量、共线（平行）向量、相反向量的含义；
3. 理解向量的几何表示
选择
填空
高考必考
向量是代数和几何的知识交汇点，在选择填空题中向量的几何应用要引起足够的重视
二、重难点提示
重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。
难点：向量的概念和共线向量的概念。
一、向量及相关概念
（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量，其中向量的大小称为向量的模（也就是用来表示有向线段的长度）。
注意：向量与数量的区别
向量有大小有方向，数量只有大小没有方向。故长度能比较大小，而向量不能说哪个大哪个小，只能说相等还是不相等。
（2）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0。
（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。
（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。规定零向量与任一向量平行。
【要点诠释】
两个向量共线，不一定相等；而两个向量相等，则一定共线。向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线” 的含义。平面几何里的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为以下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等；（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任一向量共线。
二、向量的表示
（1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如用表示。
（2）整体法：用一个小写英文字母来表示，如a,b,c等，注意此时手写（）与书写体a 不一样。
（3）坐标法：用坐标来表示向量（以后学习）。
【易错点】
注意：
1. 零向量的手写体为，书写体用黑体字0表示。
2. 如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段。
3. 共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合。
示例：四边形ABCD满足＝且＝，则四边形ABCD的形状是________。
思路分析：根据相等向量的定义可得。
答案：由四边形ABCD满足＝可知，四边形ABCD为平行四边形，又＝，即平行四边形ABCD对角线相等，从而可知四边形ABCD为矩形。
【重要提示】
本题是考查图形的形状的问题，把向量关系转化为图形的边的关系来解决。
例题1 （向量的有关概念）判断下列各说法是否正确：
（1）单位向量一定相等；
（2）若a＝b，b＝c，则a＝c；
（3）若＝，则点A与点C重合，点B与点D重合；
（4）若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
（5）若向量a＝b，则a∥b；
（6）若a∥b，b∥c，则a∥c。
思路分析：从概念的理解出发，结合具体实例进行判断。
答案：（1）不正确。向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等。
（2）正确。∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。
（3）不正确。这是因为＝时，应有＝及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定有A与C重合，B与D重合。
（4）不正确。“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的。
（5）正确。相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。
（6）不正确。对于非零向量命题正确，但当b＝0时，满足a∥b，b∥c，但a与c不一定共线。
技巧点拨：
1. 在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数（即模的大小），又要考虑其形（即方向性）。
2. 涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量。
3. 对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可。
例题2 （向量的表示） 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D。
（1）作出向量，，；
（2）求
思路分析：解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解。
答案：
（1）如图，
（2）由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD，
又∵＝，
∴在四边形ABCD中，AB与CD平行且相等，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝＝200（千米）。
技巧点拨：
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点。必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度（模），选择合适的比例关系作出向量。
向量在几何证明中的应用
【例证】如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝。求证：CN与MA平行且相等。
思路分析：要证CN∥MA且CN＝MA，只需证四边形AMCN是平行四边形，而四边形AMCN是平行四边形，可以通过＝得证。
答案：由条件＝可知AB＝DC且AB∥DC，从而四边形ABCD为平行四边形，从而＝，
又M，N分别是BC，AD的中点，于是＝，所以AN＝MC且AN∥MC，所以四边形AMCN是平行四边形，从而CN＝MA且CN∥MA，即CN与MA平行且相等。
技巧点拨：
1. 若＝，且四点A，B，C，D不共线，则四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则＝。
2. 利用向量相等或共线证明平行、相等问题：
（1）证明线段相等，只需证明相应向量的长度（模）相等；
（2）证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线。
平面向量基本定理
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
平面向量基本定理
1. 了解平面向量基本定理及其意义；
2. 了解基底的含义；
3. 会用任意一组基底表示指定的向量；
4. 能应用平面向量基本定理解决一些实际问题
选择
填空
平面向量基本定理体现了平面内向量的“统一”思想，是向量坐标表示的基础，注意认真掌握
二、重难点提示
重点：平面向量基本定理及其意义；
难点：平面向量基本定理的应用。
考点一：基底的概念
基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
【要点诠释】
1. 对基底的理解——基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；
②基底的选择是不唯一的，平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件。
2. 零向量与任意向量共线，故不能作为基底。
考点二：平面向量基本定理
定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。
其中当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解。
【难点剖析】准确理解平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。
（2）平面向量基本定理中，实数λ1、λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的。
（3）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个向量之间的关系是：其中任意一个向量都可以作为其他两个不共线的向量的线性组合。
【核心突破】关于基底的一个结论
设e1，e2是平面内的一组基底，当＋＝0时，恒有λ1＝λ2＝0。
注意：这个结论很有用，可以实现向量向代数值的转化。
【随堂练习】已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足（3x－4y）e1＋（2x－3y）e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________。
思路分析：利用结论：“若e1，e2是平面内的一组基底，当＋＝0时，恒有λ1＝λ2＝0”解决。
答案：3
∵（3x－4y）e1＋（2x－3y）e2＝6e1＋3e2，且e1，e2不共线，
∴解得
∴x－y＝6－3＝3。
技巧点拨：向量是数形结合的知识交汇，注意掌握从向量向代数转化的这个重要结论：“设e1，e2是平面内的一组基底，当＋＝0时，恒有λ1＝λ2＝0。”
例题1 （用基底表示向量）
如图所示，以向量＝a，＝b为邻边作?AOBD，又，＝，用a，b表示，，。
思路分析：，再将各量转化为，。
答案：＝a－b，
∴
＝a＋b，
又＝a＋b，
＝a＋b，
∴
＝a＋b－a－b＝a－b。
技巧点拨：
1. 若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系。
2. 若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解。
例题2 （平面向量基本定理的应用）如图，已知在△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点（靠近B点），DC和OA交于点E，设＝a，＝b，
（1）用a，b表示向量，；
（2）若，求实数λ的值。
思路分析：（1）由题意可知A是BC的中点，利用平行四边形法则求，利用三角形法则求；
（2）利用C，D，E三点共线，结合共线向量定理求解。
答案：（1）∵A为BC中点，
∴2a－b；
＝2a－b－b＝2a－b，
（2）设，
则＝λa－2a＋b＝（λ－2）a＋b，
∵与共线，
∴存在实数m，使得，即（λ－2）a＋b＝m（－2a＋b），即（λ＋2m－2）a＋（1－m）b＝0，
∵a，b不共线且为非零向量，
∴解得λ＝。
技巧点拨：
1. 此类问题要结合图形条件与所求证的问题，寻求解题思路。本题充分利用三点共线，即共线向量定理，共面向量定理，建立方程组求解，同时要恰当选择基底简化运算。
2. 应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法是：先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题。
【例证】用向量法证明三角形的三条中线交于同一点。
思路分析：令△ABC的中线AD与中线BE交于点G1，中线AD与CF交于点G2，利用向量说明G1与G2重合，证得三条中线交于一点。
答案：如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线。
令＝a，＝b，则＝a－b，＋＝a－b，＝－a＋b，
令AD与BE交于点G1，并假设，，则有＝λa－b，a＋μb，
∴＝＝（1－）a＋（μ－1）b，
∴
由此可得λ＝μ＝，∴，
再令AD与CF相交于G2，同样的方法可得AD，
∴G1与G2重合，
即AD，BE，CF相交于同一点，
∴三角形三条中线交于一点。
技巧点拨：向量方法证明三线共点的思路为：设三条直线l1，l2，l3中l1与l2的交点为G1，l2与l3的交点为G2，在图形中选择两个简单的不共线的向量作为基底，证明共起点的向量表示唯一，如证，则得G1，G2重合。
平面向量的坐标运算
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
平面向量的坐标运算
1. 理解平面向量的坐标的概念，会写给定向量的坐标；
2. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
3. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件；
4. 会根据平面向量的坐标判断向量是否共线
填空
向量的坐标运算是向量重要的内容，它实现了从向量向代数的转化，尤其是两向量平行的坐标化判定应用广泛
二、重难点提示
重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算；
难点：平面向量平行条件的理解。
考点一：平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a＝（x，y）。
（2）平面向量的坐标运算
①已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和实数λ，那么a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），
a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1）；
②已知A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，则＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1），即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。
【要点诠释】向量的坐标运算
（1）向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标。
（2）解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。
【核心突破】点的坐标与向量的坐标的区别和联系
① 在直角坐标平面内，以原点为起点的向量也叫位置向量。位置向量，点A的位置被向量唯一确定，此时A的坐标与向量的坐标统一为；
② 相等向量的坐标是相同的，但起点、终点坐标可以不同，如A（3，5），B（6，8），＝（3，3）；若C（－5，3），D（－2，6），＝（3，3），显然四点坐标各不相同。
【重要提示】向量的坐标的作用
利用向量的坐标表示，可把向量问题中的几何属性代数化，使问题的解决达到程序化，从而降低了思维难度，有利于问题的解决。
考点二：平面平行的坐标表示
设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b。
【核心归纳】两个向量共线条件的表示方法
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
（1）当b≠0时，a＝λb；
（2）x1y2－x2y1＝0；
（3）当x2y2≠0时，，即两向量的相应坐标成比例。
【重要提示】
利用向量平行的坐标表示，可以解决三点共线问题。
【随堂练习】已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k），若A，B，C三点共线，则实数k＝________。
思路分析：把三点共线转化为向量平行，然后利用共线定理的坐标形式转化为关于k的方程。
答案：由题意得＝＝（4－k，－7），
＝（6，k－5），∵与共线，
∴（4－k）×（k－5）－6×（－7）＝0，
解得k＝－2或11。
技巧点拨：两向量共线定理的坐标形式实现了三点共线向方程的转化，即“形”向“数”的转化。
例题1 （向量的坐标表示）在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标。
思路分析：利用三角函数求出各向量在x轴、y轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标。
答案：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），c＝（c1，c2），则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×（－）＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos（－30°）＝4×＝，
c2＝|c|sin（－30°）＝4×（－）＝－2，
因此a＝（，），b＝（－，），c＝（，－2）。
技巧点拨：
1. 向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标。
2. 求向量的坐标一般要转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算。
例题2 （平面向量的坐标运算）
（1）若a＝（1，－3），b＝（－2，4），c＝（0，5），则3a－b＋c＝________。
（2）已知三点A（2，－1），B（3，4），C（－2，0），试求向量3＋，－2。
思路分析：（1）中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行运算。
（2）中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算。
答案：（1）∵a＝（1，－3），b＝（－2，4），c＝（0，5），
∴3a－b＋c＝3（1，－3）－（－2，4）＋（0，5）
＝（3，－9）－（－2，4）＋（0，5）＝（3＋2＋0，－9－4＋5）
＝（5，－8）。
（2）∵A（2，－1），B（3，4），C（－2，0），
∴＝（3，4）－（2，－1）＝（1，5），
＝（2，－1）－（－2，0）＝（4，－1），
＝（－2，0）－（3，4）＝（－5，－4），
∴3＋＝3（1，5）＋（4，－1）＝（5，），
－2＝（－5，－4）－2（1，5）＝（－7，－14）。
技巧点拨：
平面向量坐标的线性运算的方法：
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算。
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算。
（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行。
例题3 （向量平行的坐标表示）
（1）已知四点坐标A（－1，1），B（1，5），C（－2，－1），D（4，11），请判断直线AB与CD是否平行？
（2）已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k），当k为何值时，A，B，C三点共线？
思路分析：（1）判断∥→判断点A是否在直线CD上→结论。
（2）求A，B，C三点共线时k的值，则一定有＝λ成立，先求，，再列方程组求解k。
答案：（1）因为＝（2，4），＝（4，11）－（－1，1）＝（5，10），＝（－2，－1）－（－1，1）＝（－1，－2），
所以＝－2，＝－5，
所以∥∥，
由于与，有共同的起点A，
所以A，B，C，D四点共线，
因此直线AB与CD重合。
（2）＝＝（4－k，－7），＝（10－k，k－12），
若A，B，C三点共线，则∥，
∴（4－k）（k－12）＝－7×（10－k），
解得k＝－2或11，
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线。
技巧点拨：
1. 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解。
2. 利用x1y2－x2y1＝0求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点及程序化的特征。
充分利用向量共线解决求值问题
【例证】已知△AOB中，O（0，0），A（0，5），B（4，3），＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标。
思路分析：由已知条件易求得点C，D的坐标，再由点M是AD与BC的交点，即A，M，D三点共线与B，M，C三点共线可得到以点M的坐标为解的方程组，解方程组即可。
答案：∵点O（0，0），A（0，5），B（4，3），
∴＝（0，5），＝（4，3），
＝＝（0，），
∴点C的坐标为（0，），同理可得D（2，），
设点M（x，y），则＝（x，y－5），
∵A，M，D共线，∴与共线，
又＝（2－0，－5）＝（2，－），
∴－x－2（y－5）＝0，
即7x＋4y＝20，①
∵＝（x，y－），＝（4－0，3－）＝（4，），
与共线，
∴x－4（y－）＝0，
即7x－16y＝－20，②
由①②得x＝，y＝2，
∴M的坐标为（，2）。
技巧点拨：在求点或向量坐标的问题中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据。
向量的加减法
向量的加法
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
向量的加法
1. 了解向量加法在物理学中的背景知识；
2. 掌握向量加法的运算（三角形法则和平行四边形法则），理解向量加法的几何意义；
3. 会推导向量加法的交换律与结合律
选择
填空
高考必考
向量的加法要注意向量的“形”的应用
二、重难点提示
重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
难点：向量加法的交换律与结合律的推导。
向量的减法
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
向量的减法
1. 了解相反向量的概念；
2. 了解差向量的概念和向量加法与减法间的关系；（重点）
3. 掌握向量减法运算，并理解其几何意义（难点）
选择
填空
高考必考
向量的减法要注意向量的“形”的应用
二、重难点提示
重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系。
难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义。
向量的加法
一、向量加法的定义及运算法则
1. 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
其中。
2. 向量加法的运算法则
（1）三角形法则：如图1，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记做a＋b，即a＋b＝＋＝。
图1
（2）平行四边形法则：
把向量a，b平移到同一点O，如图2，作出平行四边形，则a＋b＝。
图2
【核心归纳】
准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
（1）两个法则的使用条件不同
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和，但是在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性，因此向量加法的三角形法则和它的平行四边形法则都应该熟练掌握。
（2）当两个向量不共线时，两个法则是一致的。
（3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同。
二、向量加法的运算律
（1）交换律：a＋b＝b＋a；
（2）结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
【核心突破】
（1）两个向量的和仍然是一个向量。
（2）当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且。
（3）特殊位置关系的两向量的和
①向量a与b同向，则a＋b与a、b方向相同，则；
②向量a与b反向，若a＋b与b方向相同，则。
（4）向量加法广泛应用于力的合成、速度的合成等。
示例：在四边形ABCD中，，试判断四边形的形状。
思路分析：要结合图形中的三角形运用加、减法的法则。
答案：如图所示
由向量加法的三角形法则得
即AB∥DC，且四边形ABCD是平行四边形。
技巧点拨：
如果再添上，那么四边形ABCD是菱形；如果垂直，那么四边形ABCD是矩形。
向量的减法
一、向量的减法定义
如果，则向量叫做与的差，记为，求两个向量差的运算叫做向量的减法。
【要点诠释】
向量的减法是向量的加法的逆运算，利用相反向量的定义，，就可以把减法转化为加法。
二、向量减法的运算法则——三角形法则
在平面内任取一点O，作，则，即表示从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。
【要点诠释】
1. 向量的减法运算与向量的加法运算可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
2. 以向量为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线，，。
向量的加法
例题1 （向量加法的化简与运算） 化简或运算：
如图所示，梯形ABCD中，＝8，＝10，试求。
思路分析：利用三角形法则，先求和向量，再求模。
答案：如图所示，作＝，
则＋＝＋＝，
结合图形可知＝
＝－
＝－＝10－8＝2。
技巧点拨：
求向量的和要考虑用向量加法的运算律和运算法则，求和的关键是利用向量加法的三角形法则，在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。此类题要利用运算律将“首尾相接”的两个向量分在一组，多个向量求和也要注意首尾相连。
例题2 （向量加法在平面几何中的应用）
如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
思路分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，只需证明＝，且A，B，C，D不在一条直线上即可。
答案：由向量的加法法则，知：
＝＋，＝＋，
∵＝，∴＝，
又＝，∴＝，
∵A，B，C，D不在一条直线上，
∴AD与BC平行且相等，
∴四边形ABCD是平行四边形。
技巧点拨：
利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原成几何问题。
向量的减法
例题1（已知向量作和（差）向量）
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c。
思路分析：先将a，b首尾相连，作出a＋b，然后根据向量减法的定义作a＋b与c的差向量。
答案：
作法一 如图（1）所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c；
作法二 如图（2）所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，过点B作＝c，则＝a＋b－c。
【重要提示】
1. 求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用。
2. 求作向量的差可以转化为两个向量的和进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量。
3. 作图时一定要注意箭头的方向。
例题2 （向量加减法的基本运算）
化简：（－）－（－）。
思路分析：思路一：相反向量法，即把向量的减法转化成向量的加法求解；思路二：利用减法的几何意义，即利用向量减法的三角形法则求解；思路三：向量分解法，即把向量转化成从一点出发的两向量的差向量，如＝－等。
答案：
方法一 （利用相反向量）
（－）－（－）＝－－＋
＝＋＋＋＝＋＋＋＝；
方法二 （利用向量减法的几何意义）
（－）－（－）＝－－＋＝（－）－＋＝－＋＝＋＝；
方法三 （利用＝－）
设O是平面内任意一点，则
（－）－（－）＝－－＋
＝（－）－（－）－（－）＋（－）
＝－－＋－＋＋－＝；
技巧点拨：
1. 向量减法运算的常用方法：
2. 注意在满足下列两种形式的情况下可以化简：
（1）首尾相连且为和；
（2）起点相同且为差。
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用。
向量的加法
忽视零向量与数0的区别致误
化简＋＋。
【错解】＋＋＝＋＝。
【错因分析】错解的原因是混淆了数0和零向量这两个不同的概念，结果应为零向量。
【防范措施】向量相加或相减，其结果仍然是向量，注意与0的不同。
【正解】＋＋＝＋＝。
向量的减法
利用“形”解决向量的模的求值问题
已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值。
思路分析：解答本题可先由|a|，|b|及|a－b|出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断三角形的形状，再求|a＋b|的值。
答案：如图，＝a，＝b，则＝|a－b|，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝|a＋b|，由于（＋1）2＋（－1）2＝42.故＋＝，所以△AOB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有＝＝4，即|a＋b|＝4。
技巧点拨：
向量在平面几何中的应用一般有两种题型：
（1）以平面几何为背景的向量计算、证明问题；
（2）利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用。
解题的关键是应用向量加法、减法的几何意义，对相关向量进行合理转化。
向量的数乘
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
向量的数乘
1. 掌握向量数乘的运算及其几何意义；
2. 理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理；
3. 了解向量线性运算的性质及其几何意义
选择题
填空题
1. 向量的数乘要注意向量的“形”的应用；
2. 向量的共线定理是很重要的一维空间定理，要重点掌握
二、重难点提示
重点：向量数乘的运算及其几何意义。
难点：两向量共线的含义及共线定理。
一、向量的数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|；
（2）当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0。
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘。
【要点诠释】向量数乘的几何意义
由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的|λ|倍；
当|λ|＜1时，表示a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩小为原来的|λ|倍。
二、向量数乘的运算律
（1）λ（μa）＝（λμ）a；
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb。
三、向量数乘的作图
已知，作。当时，把按原来方向变成原来的倍；当时，把按原来向量的相反方向变成原来的倍。
【要点诠释】
①注意数零及零向量：
②实数与向量求积有意义，结果是一个向量，不能进行加减运算，比如是没有意义的。
③式子时可以改写为，但一定不能改写成或者，两个向量不定义除法运算。
四、共线向量定理
如果有一个实数λ，使b＝λa（a≠0），那么b与a是共线向量；反之，如果b与a（a≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa。
【要点诠释】
准确理解共线向量定理
共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据。理解时应注意以下几点：
（1）定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa（a≠0），则a与b共线；反之，若a与b共线（a≠0），则必存在一个实数λ，使b＝λa。
（2）定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面不成立。
（3）若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0。
【随堂练习】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的___________。
① 外心 ② 内心 ③ 重心 ④ 垂心
思路分析：根据向量的减法和数乘以及几何意义解决。
答案：②
由得
设，则
以AE，AD为邻边构造平行四边形AEFD，则
所以，所以共线。
所以P的轨迹一定通过ABC的内心
【重要提示】
注意：为与同向的单位向量。在判断图形情况时注意向量的运算以及向量运算的几何图形的应用。
例题1 （向量数乘的基本运算）
设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求（a－b）－（a－b）＋（2b－a）。
思路分析：去括号→合并共线向量→化简。
答案：原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝（－1－1）a＋（－1＋＋2）b
＝－a＋b＝－（3i＋2j）＋ （2i－j）
＝（－5＋）i＋（－－）j＝－i－5j。
技巧点拨：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看做是向量的系数。
例题2 （向量的表示）
如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，。
思路分析：由D，E为边AB的两个三等分点可知A，B，D，E四点共线，从而向量，均可以由向量表示，而向量可由向量，表示，从而问题可解。
答案：∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a，
又D，E为边AB的两个三等分点，
所以＝＝b－a，
所以＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，
＝＋＝3a＋
＝3a＋ （2b－3a）＝a＋b。
技巧点拨：
用已知向量表示未知向量的求解思路：
（1）先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；
（2）然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；
（3）求解过程体现了数学上的化归思想。
如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线。
思路分析：本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题。
答案：在△AMC中，D为MC的中点，
∴2＝＋，
又∵D是AB的中点，∴2＝，
∴＝＋，∴＝－＝，
同理可证＝－＝，
∴＝－，∴，共线且有公共点A，
∴A，M，N三点共线。
技巧点拨：1. 用已知向量表示相关向量时，一般使用向量运算的三角形法则表示出相关向量，然后用相等向量、相反向量及数乘向量逐步替换为已知向量。
2. 解答本类问题除使用向量的线性运算外，还要灵活运用平面几何中的相关性质和结论。
向量的数量积
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
向量的数量积
1. 了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念；
2. 理解平面向量数量积的含义、几何意义及坐标表示；
3. 掌握坐标运算公式；
4. 解决长度和角度，平行与垂直的问题
填空
向量的数量积是向量的运算中最重要的一种运算，尤其是垂直、平行、求模求夹角等是考试的热点
二、重难点提示
重点：平面向量数量积的含义及其几何意义；用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系；
难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题；运用向量法与坐标法解决有关问题。
一、平面向量的数量积及性质
（1）两个向量的夹角：对于两个非零向量a和b，记作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角，其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，称向量a与b垂直，记作a⊥b。
（2）向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积（或内积）记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0。
【要点诠释】
两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆。
（3）向量的数量积的性质及作用
设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ。
① a⊥b等价于a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系。
② 当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线。
③ a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化。
④ cos θ＝，此性质可求a与b的夹角或直线的夹角，也可利用夹角取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围。
（4）向量的数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ。
① a·b＝b·a；
② （λa）·b＝a·（λb）＝λ（a·b）＝λa·b；
③ （a＋b）·c＝a·c＋b·c。
【要点诠释】
平面向量的数量积不满足结合律。
二、平面向量的数量积的坐标表示及长度、夹角、垂直的坐标表示
（1）则。
（2）长度、夹角、垂直的坐标表示
①向量的模：设a＝（x，y），则a2＝x2＋y2，即|a|＝。
②向量的夹角公式：设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它们的夹角为θ，则cos θ＝＝。
特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0，反之亦成立。
【要点诠释】
向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来。本节主要应用有：
①求两点间的距离（求向量的模）；
②求两向量的夹角；
③证明两向量垂直。
【规律总结】
利用数量积求两向量夹角的步骤
①利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积。
②利用|a|＝计算出这两个向量的模。
③由公式cos θ＝直接求出cos θ的值。
④在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ。
例题1 （求向量的模）
（1）已知平面向量a＝（2,4），b＝（－1,2），若c＝a－（a·b）·b，求|c|。
（2）已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|。
思路分析：（1）由已知条件求出c的坐标，再根据公式|c|＝求解。
（2）由|a＋b|＝4可求a·b的值，再利用公式|a|＝求解。
答案：（1）∵a＝（2,4），b＝（－1,2），
∴a·b＝2×（－1）＋4×2＝6，
∴c＝a－（a·b）·b＝（2,4）－6（－1,2）
＝（2,4）－（－6,12）
＝（2＋6,4－12）＝（8，－8），
∴|c|＝＝8。
（2）由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，
∴a2＋2a·b＋b2＝16，
∵|a|＝2，|b|＝3，
∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，
∴4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3，
又∵|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝。
技巧点拨：
求向量的模的常见思路及方法：
（1）求模问题一般要转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用，勿忘记开方；
（2）一些常见的等式应熟记，如（a±b）2＝a2±2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2等。
例题2 （向量的夹角和垂直问题）
已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角。
思路分析：解答本题可由已知条件中的两组垂直关系得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos θ＝可求得夹角。
答案：由已知得（a＋3b）·（7a－5b）＝0，
即7a2＋16a·b－15b2＝0①
（a－4b）·（7a－2b）＝0，
即7a2－30a·b＋8b2＝0，②
①②两式相减得2a·b＝b2，
∴a·b＝b2，
代入①②中任一式得a2＝b2，
设a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°。
【重要提示】
1. 求向量a，b夹角的流程图：
2. 由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解（或表示）未知量。
3. 利用向量的坐标运算求出两向量的数量积和模的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值。利用函数思想处理最值问题，是一种常用方法，需切实掌握。
对向量的夹角理解不正确致误
【满分训练】已知△ABC中，＝5，＝8，∠C＝60°，求·。
【错解】如图，因为＝5，＝8，∠C＝60°，
所以·＝·cos 60°＝5×8×cos 60°＝20。
【错因分析】错解中未正确理解向量夹角的含义，题干中两向量与的起始点不相同，所以它们的夹角并非∠C。如图所示，其夹角应该是∠C的补角，即〈，〉＝120°。
【防范措施】结合图形求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析两个向量的夹角是相应线段所成的角还是该角的补角。
【正解】因为＝5，＝8，〈，〉＝180°－∠C＝120°，
所以·＝·cos〈，〉＝5×8×cos 120°＝－20。
