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第7讲 整式的基本概念
知识点一 用字母表示数的意义、列代数式表示数量关系
定义：用运算符号把数和字母连接起来的式子叫代数式，单个数字和字母都是代数式。
书写代数式时注意以下几点：
（1）数与字母相乘可省略乘号，如4×a写作4·a或4a的形式；
（2）带分数与字母相乘要写成假分数的形式与字母相乘，如写成；
（3）除法运算一般写成分数的形式，如1÷x通常写成（x≠0）。
【例1】用代数式填空：
（1）小明今年a岁，他爸爸比他大26岁，则他爸爸今年_____________岁；
（2）小明今年a岁，他爸爸的年龄是他的2倍还多2岁，则他爸爸今年___________岁；
（3）若一个长方形的长是a厘米，宽是b厘米，则它的周长是____________厘米；
（4）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则这两个数可表示为____________
【解答】（1）a＋26；（2）2a＋2；（3）2a＋2b；（4）10b＋a
知识点二 对单项式概念的理解
1. 数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；如－2a，xyz，0，，，π，1，－1，－x等都是单项式
2. 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；如－2a的系数是－2，次数是1；的系数是，次数是3；
3. 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a与－a这样的式子的系数是1或－1，不能误认为没有系数。一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式。单个数字是0次单项式。
【例2】下列式子中，是单项式的是（ ）
A. B. x＋y C. D.
【解答】单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式。故选A
【例3】分别写出下列单项式的系数和次数：
，系数：_______，次数：_______；，系数：_______，次数：_______；
2πr2，系数：________，次数_________；，系数：___________，次数：_______；
【解答】，系数是－5，次数是1；系数是，次数是6；
2πr2系数是2π，次数是2；系数是，次数是5
【例4】若是一个六次单项式，那么m的值是________
【解答】由题意得：2m＋m＝6，解得：m＝2，
知识点三 对多项式概念的理解
1. 几个单项式的和叫多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数。
例如：多项式的项是，15a，－7。其中－7是常数项。
2. 多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式叫b次a项式。
例如：由，，－7三个单项式组成，它的最高次项是，次数是4，所以这个多项式叫四次三项式。
判断一个式子是多项式的方法：①式子中含有运算符号“＋”号或“－”号；
②分母中不含有字母。
【例5】在多项式2ab＋5a－9中，它的次数是________，项数是________，常数项是______，最高次项是________，最高次项的系数是________。
【解答】2，3，＋5，2ab，2
【例6】多项式是（ ）
A．二次二项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．三次三项式
【解答】多项式的次数是3，项数是3，所以是三次三项式。故选D
【例7】写出一个只含字母x与y且次数为3的多项式_______________
【解答】（答案不唯一）
知识点四 整式的概念
1. 单项式与多项式统称为整式；判断是否为整式，要看它是否为单项式或多项式；
2. 整式中只含有数字与字母或字母与字母的加、减、乘三种运算，即分母中不含有字母。如是由两个单项式与组成的多项式，所以它是整式，而分母中含有字母，不是单项式，也不是多项式，所以更不是整式。
【例8】把下列各式子的序号填到相应的横线上。
（1）－a；（2）1－a；（3）abc；（4）－2x2；（5）2x－3y；（6）；（7）－1；
（8）；（9）y；（10）；（11）m2＋n2；（12）；（13）0；
（14）；（15）。
是整式的有：________________________________；
是单项式的有：_______________________________；
是多项式的有：_______________________________；
非整式的有：_________________________________。
【解答】是整式的有：(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(11)、(12)、(13)
是单项式的有：(1)、(3)、(4)、(6)、(7)、(9)、(13)
是多项式的有：(2)、(5)、(8)、(11)、(12)
非整式的有：(10)、(14)、(15)
【例9】下列说法：①0是单项式；②2x是多项式中的一项；③是三次二项式；④是整式．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】①正确；
②－2x是多项式的一项，2x不是。错误；
③是四次二项式，错误；
④分母中含有未知数，不是整式，错误．
故选：A．
第7讲 整式的基本概念（练习）
1. 下列各式中，次数为5的单项式是（ ）
A. 5ab B. C. D.
【解答】A、5ab是次数为2的单项式，故此选项错误；
B、是次数为6的单项式，故此选项错误；
C、是次数为5的多项式，故此选项错误；
D、是次数为5的单项式，故此选项正确．
故选：D．
2. 下列语句中错误的是（ ）
A．数字0也是单项式 B．单项式－a的系数与次数都是1
C．是二次单项式 D. 的系数是
【解答】A、单独的一个数字也是单项式，故A正确；
B、单项式－a的系数应是－1，次数是1，故B错误；
C、的次数是2，符合单项式的定义，故C正确；
D、的系数是，故D正确
故选B
3. 如果两个数的和是10，其中一个数用字母x表示，那么表示这两个数的积是（ ）
A. 10x B. x(10＋x) C. x(x－10) D. x(10－x)
【解答】∵两数之和为10，其中一个数用字母x表示，
∴另一个数为10－x，
∴两个数的积为：x(10－x)。 故选D
4. 多项式的次数及项数分别是（ ）
A．5，3 B．2，3 C．5，2 D．3，3
【解答】该多项式的次数为：3，项数为：3。故选：D．
5. 多项式是（ ）
A．二次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．三次四项式
【解答】D
6. 若为八次单项式，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D. 7
【解答】∵为八次单项式，∴2＋1＋m＝8，解得：m＝5．故选：C．
7. 每台a元的电脑降价12％后，售价是________元。
【解答】a×(1－12％)＝88％a
8. 多项式的项数是________，次数是________。
【解答】多项式的项数是四，次数是3
9. 请写出一个含有两个字母、系数为－2的二次单项式____________
【解答】－2xy（答案不唯一）
10. 多项式是________次______项式，每个项的系数分别是______、______
【解答】多项式是四次二项式，每个项的系数分别是 2，－5
11. 观察一列单项式：，，，7x，，，…，则第2013个单项式是______
【解答】系数依次为1，3，5，7，9，11，…，2n－1；
x的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，可见三个单项式一个循环，
故可得第2013个单项式的系数为4025；
∵2013÷3＝671，∴第2013个单项式指数为2，可得第2013个单项式是4025x2
12. 若多项式不含xy项，则k＝________
【解答】∵式不含xy项，∴2(k－1)＝0，∴k＝1
13. 对于多项式（其中m是大于－2的整数）．
（1）若n＝2，且该多项式是关于x的三次三项式，求m的值；
（2）若该多项式是关于x的二次单项式，求m，n的值；
【解答】（1）当n＝2，且该多项式是关于x的三次三项式，
故原式＝，解得：m＝1，
（2）若该多项式是关于x的二次单项式，
则m＋2＝1，n－1＝－2，
解得：m＝－1，n＝－1；
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第7讲 整式的基本概念
知识点一 用字母表示数的意义、列代数式表示数量关系
定义：用运算符号把数和字母连接起来的式子叫代数式，单个数字和字母都是代数式。
书写代数式时注意以下几点：
（1）数与字母相乘可省略乘号，如4×a写作4·a或4a的形式；
（2）带分数与自己母相乘要写成假分数的形式与字母相乘，如写成；
（3）除法运算一般写成分数的形式，如1÷x通常写成（x≠0）。
【例1】用代数式填空：
（1）小明今年a岁，他爸爸比他大26岁，则他爸爸今年_____________岁；
（2）小明今年a岁，他爸爸的年龄是他的2倍还多2岁，则他爸爸今年___________岁；
（3）若一个长方形的长是a厘米，宽是b厘米，则它的周长是____________厘米；
（4）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则这两个数可表示为____________
知识点二 对单项式概念的理解
1. 数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；如－2a，xyz，0，，，π，1，－1，－x等都是单项式
2. 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；如－2a的系数是－2，次数是1；的系数是，次数是3；
3. 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a与－a这样的式子的系数是1或－1，不能误认为没有系数。一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式。单个数字是0次单项式。
【例2】下列式子中，是单项式的是（ ）
A. B. x＋y C. D.
【例3】分别写出下列单项式的系数和次数：
，系数：_______，次数：_______；，系数：_______，次数：_______；
2πr2，系数：________，次数_________；，系数：___________，次数：_______；
【例4】若是一个六次单项式，那么m的值是________
知识点三 对多项式概念的理解
1. 几个单项式的和叫多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数。
例如：多项式的项是，15a，－7。其中－7是常数项。
2. 多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式叫b次a项式。
例如：由，，－7三个单项式组成，它的最高次项是，次数是4，所以这个多项式叫四次三项式。
判断一个式子是多项式的方法：①式子中含有运算符号“＋”号或“－”号；
②分母中不含有字母。
【例5】在多项式2ab＋5a－9中，它的次数是________，项数是________，常数项是______，最高次项是________，最高次项的系数是________。
【例6】多项式是（ ）
A．二次二项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．三次三项式
【例7】写出一个只含字母x与y且次数为3的多项式_______________
知识点四 整式的概念
1. 单项式与多项式统称为整式；判断是否为整式，要看它是否为单项式或多项式；
2. 整式中只含有数字与字母或字母与字母的加、减、乘三种运算，即分母中不含有字母。如是由两个单项式与组成的多项式，所以它是整式，而分母中含有字母，不是单项式，也不是多项式，所以更不是整式。
【例8】把下列各式子的序号填到相应的横线上。
（1）－a；（2）1－a；（3）abc；（4）－2x2；（5）2x－3y；（6）；（7）－1；
（8）；（9）y；（10）；（11）m2＋n2；（12）；（13）0；（14）；（15）。
是整式的有：__________________________；是单项式的有：________________________；
是多项式的有：_______________________；非整式的有：_________________________。
【例9】下列说法：①0是单项式；②2x是多项式中的一项；③是三次二项式；④是整式．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第7讲 整式的基本概念（练习）
1. 下列各式中，次数为5的单项式是（ ）
A. 5ab B. C. D.
2. 下列语句中错误的是（ ）
A．数字0也是单项式 B．单项式－a的系数与次数都是1
C．是二次单项式 D. 的系数是
3. 如果两个数的和是10，其中一个数用字母x表示，那么表示这两个数的积是（ ）
A. 10x B. x(10＋x) C. x(x－10) D. x(10－x)
4. 多项式的次数及项数分别是（ ）
A．5，3 B．2，3 C．5，2 D．3，3
5. 多项式是（ ）
A．二次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．三次四项式
6. 若为八次单项式，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D. 7
7. 每台a元的电脑降价12％后，售价是________元。
8. 多项式的项数是________，次数是________。
9. 请写出一个含有两个字母、系数为－2的二次单项式____________
10. 多项式是________次______项式，每个项的系数分别是______、______
11. 观察一列单项式：，，，7x，，，…，则第2013个单项式是______
12. 若多项式不含xy项，则k＝________
13. 对于多项式（其中m是大于－2的整数）．
（1）若n＝2，且该多项式是关于x的三次三项式，求m的值；
（2）若该多项式是关于x的二次单项式，求m，n的值；
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