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【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§1.2《矩形的性质与判定》（原题卷）
一.选择题：（每小题5分，共25分）
1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC
2. 矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则BC的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
4. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( )
A. (3，1) B. (3，) C. (3，) D. (3，2)
5. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=____．
二.填空题：（每小题5分，共25分）
6. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝________度．
8. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为_____．
10. 如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为_____．
三.解答题：（每小题10分，共50分）
11. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积
12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形
13. 如图，在矩形ABCD中．点E在边AB上，∠CDE=∠DCE．
求证：AE=BE．
14.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
15. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
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【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§1.2《矩形的性质与判定》（解析卷）
一.选择题：（每小题5分，共25分）
1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC
【答案】C
【解析】矩形的性质有①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等．
所以选项A，B，D正确，C错误.
故选C.
2. 矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则BC的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】试题分析：根据矩形的对角线的性质知OA=OC=OD=OB，根据∠AOB=60°，可知OA=2，因此BD=4，根据勾股定理可求AD==2.
故选C
3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】D
【解析】试题分析：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=CD=2.5，AC==13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故选：D．
4. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( )
A. (3，1) B. (3，) C. (3，) D. (3，2)
【答案】B
【解析】试题分析：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，根据D为（，0），A（3，0）可得H为（ ，0），可得直线CH的解析式为，把x=3代入即可求得y=，从而求得点E的坐标为（3，）.
故选：B.
5. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=____．
【答案】30°
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OB=OC，OB=OA，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=180° 90° 45°=45°，
∵∠1=15°，
∴∠OCB=∠AEB ∠EAC=45° 15°=30°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠AOB=30°+30°=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，
∵∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE，
∴OB=BE，
∴∠OEB=∠EOB，
∵∠OBE=30°,∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，
∴∠OEB=75°，
∵∠AEB=45°，
∴∠2=∠OEB ∠AEB=30°，
故答案为：30.
二.填空题：（共25分）
6. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
【答案】AC=BD．答案不唯一
【解析】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝________度．
【答案】22.5
【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
8. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________
【答案】①⑤
【解析】解：要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为_____．
【答案】
【解析】试题解析：由图可知， ， ，所以
，即 ，解得.
10. 如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为_____．
【答案】
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，
∴AB=DE，
∵DE⊥AM，
在△ABM和△DEA中,
∴AM=AD，
∵AE=2EM，
∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：
在和中,
∴EM=CM，
∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在中,由勾股定理得： 解得：x=，
∴BM=；
故答案为：.
三.解答题：（共50分）
11. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积
【答案】12.
【解析】试题分析：利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD BD=AD CD．
试题解析：解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．
在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．
在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD AD=CD AD=3×4=12．
12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析：欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角．
试题解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,∴∠DAF=∠F.
∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．
∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．
13. 如图，在矩形ABCD中．点E在边AB上，∠CDE=∠DCE．
求证：AE=BE．
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：
因为∠CDE=∠DCE，所以ED=EC，则可用HL证明Rt△DAE≌Rt△CBE，从而得AE=BE.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴AE=BE．
14.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)四边形ABCD是矩形．理由见解析.
【解析】试题分析：（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．
试题解析：（1）∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∵OD=AC，
∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形．
15. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）5；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见解析.
【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
试题解析：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，
∴EF==10，
∴OC=EF=5；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
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