专题训练1全等三角形的基本模型
? 模型一 平移模型
常见的平移模型：
图3－ZT－1
1．如图3－ZT－2，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E.
图3－ZT－2
2．如图3－ZT－3，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF.
图3－ZT－3
? 模型二 轴对称模型
常见的轴对称模型：
图3－ZT－4
3．如图3－ZT－5，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由．
图3－ZT－5
4．如图3－ZT－6，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.
图3－ZT－6
5．如图3－ZT－7，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.求证：DE＝CF.
图3－ZT－7
6．如图3－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC.
图3－ZT－8
? 模型三 旋转模型
常见的旋转模型：
图3－ZT－9
7．如图3－ZT－10，已知AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE.
图3－ZT－10
? 模型四 一线三等角模型
图3－ZT－11
8．如图3－ZT－12，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.
(1)求证：BC＝DE；
(2)若∠A＝40°，求∠BCD的度数．
图3－ZT－12
? 模型五 综合模型
平移＋对称模型： 平移＋旋转模型：
图3－ZT－13
图3－ZT－14
9．如图3－ZT－15，点B，F，C，E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC＝DF.
图3－ZT－15
10．如图3－ZT－16，AB＝BC，BD＝CE，AB⊥BC，CE⊥BC.求证：AD⊥BE.
图3－ZT－16
详解详析
1．证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D.
在△ABC和△EDB中，
∵AB＝DE，∠ABC＝∠D，BC＝DB，
∴△ABC≌△EDB(S.A.S.)，
∴∠A＝∠E.
2．证明：∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD.
∵CE∥DF，∴∠D＝∠ACE.
∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，
即AC＝BD.
在△ACE和△BDF中，
∵∠A＝∠FBD，AC＝BD，∠D＝∠ACE，
∴△ACE≌△ABDF(A.S.A.)，
∴AE＝BF.
3．解：答案不唯一，如添加∠BAC＝∠DAC.
理由：在△ABC和△ADC，
∵∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(A.A.S.)．
4．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
在△ADB和△AEC中，
∵∠ADB＝∠AEC，AD＝AE，∠A＝∠A，
∴△ADB≌△AEC(A.S.A.)，
∴AB＝AC.
又AD＝AE，
∴AB－AE＝AC－AD，
即BE＝CD.
5．证明：∵AC＝BD，
∴AC＋CD＝BD＋CD，
即AD＝BC.
在△AED和△BFC中，
∵∠A＝∠B，
AD＝BC，
∠ADE＝∠BCF，
∴△AED≌△BFC(A.S.A.)，
∴DE＝CF.
6．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BEA＝∠CDA＝90°.
又∵∠A＝∠A，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴AB＝AC.
7．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∵∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.
8．解：(1)证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D.
∵∠ACD＝∠B，
∴∠D＝∠B.
在△ABC和△CDE中，
∵∠ACB＝∠E，∠B＝∠D，AC＝CE，
∴△ABC≌△CDE(A.A.S.)，
∴BC＝DE.
(2)∵△ABC≌△CDE，
∴∠A＝∠DCE＝40°，
∴∠BCD＝180°－40°＝140°.
9．证明：∵FB＝CE，
∴FB＋FC＝CE＋FC，∴BC＝EF.
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中，
∵∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴△ABC≌△DEF(A.S.A.)，
∴AC＝DF.
10．证明：设 AD，BE交于点F.
∵AB⊥BC，CE⊥BC，∴∠ABD＝∠C＝90°.
在△ABD和△BCE中，
∵AB＝BC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠A＝∠CBE.
∵∠CBE＋∠ABE＝90°，
∴∠A＋∠ABE＝90°，
则∠AFB＝90°，
∴AD⊥BE.
专题训练(2) 等腰三角形性质与判定的三种思想方法
? 类型一 分类讨论与等腰三角形
1．等腰三角形两边的长分别为5和6，则其周长为________．
2．等腰三角形两边的长分别为4和9，则其周长为________．
3．若等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角的度数为________．
4．若等腰三角形的一个角为100°，则其底角的度数为________．
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角的度数为________．
图4－ZT－1
6．如图4－ZT－1所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，那么点C的个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
? 类型二 方程思想
7．如图4－ZT－2，点K，B，C分别在GH，GA，KA上，且AB＝AC，BG＝BH，KA＝KG，求∠A的度数．
图4－ZT－2
8．如图4－ZT－3，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE.求∠A的度数．
图4－ZT－3
9．如图4－ZT－4，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，AD＝BC.
(1)求∠B的度数；
(2)若点E在BC的延长线上，且CE＝CD，连结AE，求∠CAE的度数．
图4－ZT－4
? 类型三 转化思想
一、运用“三线合一”进行转化
10．如图4－ZT－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
图4－ZT－5
11．如图4－ZT－6，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF.连结DE，DF.
求证：DE＝DF.
图4－ZT－6
12．如图4－ZT－7，△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF.
图4－ZT－7
二、用截长补短法构造等腰三角形进行转化
13．如图4－ZT－8，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．
图4－ZT－8
14．如图4－ZT－9，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB＝CD＋BC.
图4－ZT－9
15．已知△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AB上一点，且∠EDB＝∠B，现有下列两个结论：①AB＝AD＋CD；②AB＝AC＋CD.
(1)如图4－ZT－10①，若∠C＝90°，则结论________成立；(不证明)
(2)如图②，若∠C＝100°，则结论________成立，请证明．
图4－ZT－10
详解详析
1．16或17
2．22
3．40°或70°
4．40°
5．[答案] 45°或135° [解析] 腰上的高分在三角形内和三角形外两种情况．
6．[解析] A 分两种情况讨论：
①AB为等腰直角三角形的底边时，符合条件的点C有2个；②AB为等腰直角三角形的一腰时，符合条件的点C有4个．
7．解：设∠A＝x.
∵KA＝KG，BG＝BH，∴∠G＝∠H＝∠A＝x，
∴∠ABC＝∠HKC＝2x.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
又∠ACB＝∠KCH，
∴∠KCH＝2x.
∵∠H＋∠HKC＋∠KCH＝180°，
∴5x＝180°，∴x＝36°.
即∠A＝36°.
8．解：∵AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，
∴∠ABC＝∠C＝∠CDB，∠EBD＝∠EDB，∠A＝∠AED.
设∠EBD＝∠EDB＝x，
则∠A＝∠AED＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠CDB＝3x，
∴∠DBC＝∠ABC－∠EBD＝2x.
∵∠CDB＋∠DBC＋∠C＝180°，
∴3x＋2x＋3x＝180°，∴x＝22.5°，
∴∠A＝45°.
9．解：(1)连结BD，设∠BAC＝x.
由题意知AD＝BD.
又∵AD＝BC，∴AD＝BD＝BC，
∴∠BAC＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠BCD＝2x.
∵AB＝AC，∴∠BCD＝∠ABC＝2x.
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝x.
∵∠DBC＋∠BCD＋∠BDC＝180°，
∴5x＝180°，∴x＝36°，
∴∠BAC＝36°，∠ABC＝72°.
(2)连结DE.由(1)可得∠ACB＝72°.
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝36°＝∠DBC，
∴BD＝DE＝AD，
∴∠CAE＝∠CDE＝18°.
10．证明：连结AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD.
又∵AE＝AF，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD，
∴DE＝DF.
11．证明：连结AD，易得AD⊥BC.
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF.
又∵AE＝AF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴DE＝DF.
12．证明：连结DE，DF.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
又∵BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED≌△CDF，
∴ED＝DF.
∵G是EF的中点，
∴EG＝FG，
∴DG⊥EF.
13．解：方法一(截长法)：在CD上取点E，使DE＝BD，连结AE，易得CE＝AB＝AE，
∴∠CAE＝∠C，
∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.
∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE＝2(90°－∠AED)＋∠CAE＝2(90°－2∠C)＋∠C＝120°，
∴∠C＝20°.
方法二(补短法)：延长DB至点F，使BF＝AB，则∠F＝∠FAB，AB＋BD＝DF＝DC.
又∵AD⊥BC，∴AF＝AC，
∴∠C＝∠F＝∠FAB.
又∵∠F＋∠C＋∠FAB＋∠BAC＝180°，
∴∠C＝20°.
14．证明：方法一(截长法)：在AB上截取BE＝BC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD.
又∵BD＝BD，BE＝BC，
∴△BED≌△BCD，
∴ED＝CD，∠BED＝∠C.
∵∠C＝2∠A，∠BED＝∠A＋∠ADE，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝ED＝CD，
∴AB＝AE＋BE＝CD＋BC.
方法二(补短法)：延长BC至点F，使CF＝CD，连结DF，同方法一可证△BDA≌△BDF.又∵DC＝CF，则AB＝BF＝CD＋BC.
15．解：(1)②
(2)①
证明：方法一(截长法)：∵AC＝BC，∠C＝100°，
∴∠BAC＝∠B＝40°.
∵∠EDB＝∠B，
∴DE＝BE，∠DEA＝2∠B＝80°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝20°，
∴∠ADE＝180°－20°－80°＝80°＝∠DEA，
∴AD＝AE.
在AB上截取AM＝AC，连结MD.
易得△CAD≌△MAD.
∴CD＝MD，∠DMA＝∠C＝100°，
∴∠DME＝∠DEM＝80°，
∴DM＝DE，∴CD＝BE，
∴AB＝AE＋BE＝AD＋CD.
方法二(作垂线)：同方法一可得AD＝AE，BE＝ED.
过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，
则∠DGC＝∠DFE＝90°.
又∵AD＝AD，∠CAD＝∠BAD＝20°，
∴△DAG≌△DAF，
∴DG＝DF.
又∵易得∠DCG＝∠DEF＝80°，∠DGC＝∠DFE，
∴△DCG≌△DEF，
∴CD＝ED＝BE，
∴AB＝AE＋BE＝AD＋CD.
专题训3练三种特殊的等腰三角形的运用
有三种等腰三角形比较特殊：等腰直角三角形、等边三角形和含36°角的等腰三角形．下面分类进行训练，帮助同学们进一步掌握这些特殊的等腰三角形的性质和判定．
? 类型一 等腰直角三角形
定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．
性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是90°，底角是45°.
判定：利用定义．
1．如图5－ZT－1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE.
图5－ZT－1
2．如图5－ZT－2，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE的平分线交AD于点F.判断△DBF的形状，并证明你的结论．
图5－ZT－2
3．如图5－ZT－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角尺ADE按如图所示的方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
图5－ZT－3
? 类型二 等边三角形
定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．
性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是60°.
判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
图5－ZT－4
4．如图5－ZT－4，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．60° B．45°
C．40° D．30°
5．如图5－ZT－5，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，求BC的长．
图5－ZT－5
6．如图5－ZT－6，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形，求证：AC＝BE.
图5－ZT－6
7．如图5－ZT－7，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
求证：AE＝EF.
图5－ZT－7
? 类型三 有一角是36°的等腰三角形
有一角是36°的等腰三角形包括两种情况：(1)顶角是36°的等腰三角形，此时底角是72°；(2)底角是36°的等腰三角形，此时顶角是108°.这两类等腰三角形具有一些共性．
8．如图5－ZT－8，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为( )
A．30° B．36° C．38° D．45°
图5－ZT－8
图5－ZT－9
.如图5－ZT－9，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________°.
10．如图5－ZT－10，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为________．
图5－ZT－10
图5－ZT－11
11．如图5－ZT－11所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且AB＝BD，AD＝DC，则∠BAC＝________°.
12．如图5－ZT－12，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形的个数均不包括△ABC)
(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是________度和________度；
(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；
(3)继续按以上操作发现：在图③中画n条线段，使图中有2n个等腰三角形，其中有________个黄金等腰三角形．
图5－ZT－12
详解详析
1．证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC.
∵∠EAC＝90°＋∠CAD，∠DAB＝90°＋∠CAD，
∴∠DAB＝∠EAC.
在△ADB和△AEC中，
∵AD＝AE，∠DAB＝∠EAC，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC(S.A.S.)，
∴BD＝CE.
2．解：△DBF是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC.
∵BF平分∠ABE，AC⊥BE，
∴∠DFB＝∠DAB＋∠ABF＝(∠BAE＋∠ABE)＝(180°－∠AEB)＝45°，
∴∠DBF＝90°－∠DFB＝45°，
∴DB＝DF，
∴△DBF是等腰直角三角形．
3．解：数量关系：BE＝EC，位置关系：BE⊥EC.
证明：∵△AED是等腰直角三角形，
∴∠AED＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，AE＝DE.
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠EAD＋∠BAC＝45°＋90°＝135°，∠EDC＝180°－∠EDA＝180°－45°＝135°，
∴∠EAB＝∠EDC.
∵D是AC的中点，
∴AC＝2CD.
又∵AC＝2AB，
∴AB＝CD，
∴△EAB≌△EDC，
∴EB＝EC，且∠AEB＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝∠AED＝90°，即BE⊥EC.
4．C
5．解：延长AD交BC于点M，由AB＝AC，AD平分∠BAC可得AM⊥BC，BM＝MC＝BC.
延长ED交BC于点N，则△EBN是等边三角形，
故EN＝BN＝BE＝6，∴DN＝6－2＝4.
过点D作DF∥BE，则∠DFN＝∠EBC＝60°，∠FDN＝∠E＝60°，
∴△DFN为等边三角形，
∴MN＝FN＝DN＝2，
∴BM＝6－2＝4，
∴BC＝2BM＝8.
6．证明：∵△ABD和△DCE都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠CDE＝60°，AD＝BD，CD＝DE，
∴∠ADB＋∠BDC＝∠BDC＋∠CDE，
即∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△BDE，
∴AC＝BE.
7．证明：如图，在AB上截取AG＝CE，连结EG.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，则BG＝BE.
∴△BEG是等边三角形，
∴∠BGE＝60°，
∴∠AGE＝120°.
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF＝(180°－∠ACB)＝60°，
∴∠ECF＝120°，
∴∠AGE＝∠ECF.
∵∠AEC＝∠B＋∠GAE＝∠AEF＋∠CEF，且∠AEF＝∠B＝60°，
∴∠GAE＝∠CEF.
又∵AG＝EC，
∴△AGE≌△ECF(A.S.A.)，
∴AE＝EF.
8．B
9．18
10．72°
11．108
12．解：(1)如图①所示(画图不唯一)．空格处分别填108，36.
提示：当AE＝BE时，∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，∠EBC＝36°，
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108°和36°.故填108和36.
(2)答案不唯一，如图②所示：
(3)空格处填n.
提示：画1条线段可得到2个等腰三角形；
画2条线段可得到4个等腰三角形；
画3条线段可得到6个等腰三角形……
∴在△ABC中画n条线段，使图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．
