课件16张PPT。第一章 三角形的证明 4 角平分线（2） 学习目标 1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一点到三条边的距离相等；
2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用知识回顾1.角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图,
∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点,
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E (已知)
∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
2.角平分线的判定定理
定理：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
2.角平分线的判定定理
定理：在一个角的内部, 且到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上.
这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.
观察这三条角平分线, 你发现了什么?
你想证明这个命题吗?
你能证明这个命题吗?
结论: 三角形三个角的平分线相交于一点.利用尺规作出三角形三个角的角平分线.
观察这三条角平分线, 你发现了什么?
结论: 三角形三个角的角平分线相交于一点.
你想证明这个命题吗?
你能证明这个命题吗?
探究新知
如何证三条直线交于一点？
命题: 三角形三个角的平分线相交于一点.
基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点, 只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,
AB的垂线,垂足分别E,F,D.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理, PE=PF.
思考分析∴点P在∠BAC的平分线上 (在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上)，并且PD=PE=PF.
∴△ABC的三条角平分线相交于一点P，并且P点到三条边的距离相等.
定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
如图, 在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF
(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做三角形的内心.
例3. 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E.
(1)如果CD=4cm, 求AC的长;
解（1）∵ AD是△ABC的角平线, DE⊥AB,
DC⊥AC,
∴DE=CD=4cm
∵AC=BC∴ ∠B=∠BAC(等边对等角)
∵ ∠C=90°∴ ∠B= 45°
∴ ∠BDE= 90°- 45°= 45°∴BE=DE
在等腰直角三角形BDE中
随堂练习 1. 如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
2. 已知: 如图, ∠C=90°,∠B=30 °,AD是Rt△ABC的角平分线.
求证: BD=2CD.
证明：
∵ ∠C=90°， ∠B= 30°
∴Rt△ABC中，AB=2AC, ∠BAC= 60°
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°, AD=BD
∴ Rt△ACD中，AD=2CD
∴ BD=2CD
3. 已知: 如图, △ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证: 点F在∠DAE的平分线上.
证明：
∵ BF是∠CBD的角平分线
∴ F到BC,AD的距离相等
∵ CF是∠BCE的角平分线
∴ F到BC,AE的距离相等
∴ F到AD,AE的距离相等
从而点F在∠DAE的平分线上.
4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA,
PD⊥OB,垂足分别是C, D.
求证: (1)OC=OD;
证明：(1) ∵P是∠AOB平分线上的一个点，
PC⊥OA, PD⊥OB
∴PC=PD
在 Rt△POC和 Rt△POD，OP=OP
∴ Rt△POC ≌ Rt△POD
∴OC=OD课堂小结1.定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
2.比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 习题1.10，第4题．作 业
1.4角平分线-----三角形三个内角的平分线
1．能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
2．能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．
【学习重点】
三角形三条角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等的性质的证明
【学习难点】
三角形三条角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等的性质的运用
【教学过程】
一、先学（15分钟）
1.导入课题，出示目标
（1）能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
（2）能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．
2.出示自学指导
请同学们认真看课本P30 --31的内容，思考并完成下列问题：
（1）回顾：角平分线的性质定理和角平分线的判定定理的内容；
（2）如何证三条直线交于一点？
（3）通过例2的证明，你能得到什么结论？
（ 5分钟后进行提问和检测，比比谁学得好。）
（学生自学，老师巡视监督学生自学，调整学习进度）
提问：1、角平分线性质定理：
学生回答，老师总结：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、角平分线判定定理：
学生回答，老师总结：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、如何证三条角平分线交于一点？
学生回答，老师总结：基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点； 要想证明三条角平分线相交于一点, 只要能证明两条的交点在第三条直线上即可。
通过例2的证明，你能得到什么结论？
学生回答，老师总结：定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
新知探究
例2、求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
已知：如图，△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作
AB 、 BC、AC的垂线，垂足分别为 D、E、 F。
求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PF=PF.
证明：∵BM 是∠ABC的平分线，点P在BM上
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
同理，PF=PE
∴PD=PE=PF
∴点P在A的平分线上 (在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)
即 ∠A的平分线经过点P，且PD=PF=PF.
新知归纳
三角形三条角平分线性质定理： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 这个交点一定在三角形的内部，叫做三角形的内心.
进行自学检测（合上课本，认真规范答题，时间8分钟）
(17·西安交大二附中期中)与三角形三边距离相等的点，是这个三角形的( )
A三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边的垂直平分线的交点
2.（益阳·中考）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）
A.P为∠A、∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AC、AB两边上的高的交点
D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
3．(2017·平顶山) P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C.若∠AOB＝30°，PD＝2 cm，则PC＝ 。
4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。(1)已知CD=4cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD。
二、后教（15分钟）
3互助纠错
（1）老师出示答案，学生交换批改。
（2）老师统计正确的学生。
4教师讲解
1 .B 2. B 3. 4cm
4.(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=CD=4cm
∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)
∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°．
∴∠BDE=90°-45°=45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm．
2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD
5、课时小结
1.你的收获是什么？（学生自我总结）
2 老师总结：三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理的比较
三边垂直平分线
三条角平分线
三角形
锐角三角形
交于三角形内一点
直角三角形
交于三角形一边
钝角三角形
交于三角形外一点
交于三角形内一点
交点的性质
到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三边的距离相等
三、训练达标（15分钟）
6.达标测试
（1）老师出示达标题，学生认真解答。
（2）老师出示答案，学生订正。
达标测试（认真规范答题，时间10分钟）
(2017·郑州中考)如图所示是一块三角形的草坪，要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，位置应选在( ) A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点
2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
3.(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A．一处 B．二处C．三处 D．四处
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
求证：点O在∠BAC的平分线上；
评测练习
（合上课本，认真规范答题，时间8分钟）
1．(2017·西安交大二附中期中)与三角形三边距离相等的点，是这个三角形的( ) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边的垂直平分线的交点
2.（益阳·中考）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）
A.P为∠A、∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AC、AB两边上的高的交点
D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
3．(2017·平顶山) P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C.若∠AOB＝30°，PD＝2 cm，则PC＝ 。
4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
(1)已知CD=4cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD。
达标测试（认真规范答题，时间10分钟）
(2017·郑州中考)如图所示是一块三角形的草坪，要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，位置应选在( ) A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点
2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
3.(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A．一处 B．二处C．三处 D．四处
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
求证：点O在∠BAC的平分线上；
