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第12讲 角
知识点一 角的定义
定义 1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
定义2：角也可以看作一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形
角的表示方法：
①用三个大写字母来表示，并把表示顶点的字母写在中间；
②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母表示这个角
③用单独的一个数字表示角；
④用单独的一个希腊字母表示角。
【例1】如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是（ ）
【例2】下列关于角的说法正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．延长一个角的两边
C．角的两边是射线，所以角不可以度量
D．角的大小与这个角的两边长短无关
知识点二 角的计数
方法：平面内有n条具有公共端点的射线，OA、OB、OC…，对于其中任意一条都与除本身外的射线组成一个角，这样就有n(n－1)个角，但由于∠AOB与∠BOA是同一个角，所以每个角都重复一次，则实际共有个角。
【例3】如图，在∠AOB的内部引两条射线OC和OD，则图中共有角的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
知识点三 钟表中角度的计算方法
钟表上共有12个大格，把周角12等分，每大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°。
【例4】时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是（ ）
A．90° B．120° C．75° D．84°
知识点四 角的单位：度、分、秒之间的换算
角的度量单位：把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
角的相关计算：
1周角＝360° 1平角＝180° 1直角＝90° 1周角＝2平角
1平角＝2直角 1度＝60分(1°＝60′) 1分＝60秒(1′＝60″)
【例5】将21.54°用度、分、秒表示为（ ）
A．21°54′ B．21°50′24″ C．21°32′40″ D．21°32′24″
【例6】计算
（1）48°29′＋67°41′ （2）48°38′＋67°32′－21°17′×5
知识点五 对角平分线的理解
角平分线：从一个角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫这个角的平分线。
【例7】如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠AOB＝120°，则∠AOD的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．90°
【例8】如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝140°，那么∠BOC等于（ ）
A．20° B．30° C．50° D．40°
【例9】已知，∠AOD＝160°，OB、OM、ON 是∠AOD内的射线
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MON＝_________°
（2）如图2，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的大小；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠AOB＝2t°时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值
知识点六 余角、补角
余角：如果两个锐角的和是 90°，那么这两个角互为余角。简称互余。
补角：如果两个角的和是 180°，那么这两个角互为补角。简称互补。
性质：（1）同角（或等角）的补角相等；
（2）同角（或等角）的余角相等。
【例10】一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°，则∠2的度数为( )
A．20° B．50° C．70° D．30°
【例11】已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A＝50°，则∠C的度数是( )
A．40° B．50° C．130° D．140°
知识点七 方位角
方位角是表示方向的角，是确定物体位置的重要因素之一，具体表示时是南（或北）在先，再说偏东（或偏西），即是所成的方位角应是北（或南）方向为始边，向东（或西）旋转所得的角。
【例12】如图，点Q位于点O的（ ）方向上．
A．北偏东30° B．北偏东60°
C．南偏东30° D．南偏东60°
第12讲 角（练习）
1. 下列判断中，正确的是（ ）
①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角；
③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等； ④锐角和钝角互补．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
2. 如果一个角的补角是140°，那么这个角的度数是（ ）
A．20° B．40° C．70° D．130°
3. 在上午10：30的时候，时针和分针所夹（小于平角）的角度是（ ）
A．115° B．120° C．135° D．140°
4. 若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1与∠3的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．相等 D．∠1＝90°＋∠3
5. 把一副三角尺，按如图所示那样拼在一起，则图中∠ABC＝（ ）
A．70° B．90°
C．120° D．105°
6. 在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（ ）
A．70° B．110° C．120° D．141°
7. 已知∠α＝40°，则∠α的余角为__________
8. 计算89°15′－35°21′＝__________
9. 一个锐角的补角比它的余角的3倍少10°，则这个锐角的度数为__________
10. 从A处看B处的方向是北偏东21°，反过来，从B看A的方向是__________
11. 如图，点A、O、C在一条直线上，OM平分∠BOC，且∠BOM＝25°，则∠AOB＝______度。
12. 已知一条射线OA由点O引射线OB，OC，∠AOB＝72°，∠BOC＝36°，则∠AOC等于____________
13. 如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOE＝∠DOE．
（1）若∠AOC＝35°，求∠BOD的度数；
（2）若∠COE＝80°，求∠BOD的度数．
14. 一个角的余角比它的补角的大15°，求这个角的度数。
A
B
C
D
C
D
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第12讲 角
知识点一 角的定义
定义 1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
定义2：角也可以看作一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形
角的表示方法：
①用三个大写字母来表示，并把表示顶点的字母写在中间；
②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母表示这个角
③用单独的一个数字表示角；
④用单独的一个希腊字母表示角。
【例1】如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是（ ）
【解答】A、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项错误；
B、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项错误；
C、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项错误；
D、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项正确．
故选：D
【例2】下列关于角的说法正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．延长一个角的两边
C．角的两边是射线，所以角不可以度量
D．角的大小与这个角的两边长短无关
【解答】A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；
B、角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说延长，故错误；
C、角的大小只与它的度数有关，与角的两边长短无关，故错误；
D、角的大小与这个角的两边长短无关，故正确．
故选：D．
知识点二 角的计数
方法：平面内有n条具有公共端点的射线，OA、OB、OC…，对于其中任意一条都与除本身外的射线组成一个角，这样就有n(n－1)个角，但由于∠AOB与∠BOA是同一个角，所以每个角都重复一次，则实际共有个角。
【例3】如图，在∠AOB的内部引两条射线OC和OD，则图中共有角的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】共4条射线，所以，共有角4×3÷2＝6（个），故选D。
知识点三 钟表中角度的计算方法
钟表上共有12个大格，把周角12等分，每大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°。
【例4】时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是（ ）
A．90° B．120° C．75° D．84°
【解答】8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的中间，分针指向数字6，所以时针与分针所成的角等于2×30°＋×30°＝75°。故选：C．
知识点四 角的单位：度、分、秒之间的换算
角的度量单位：把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
角的相关计算：
1周角＝360° 1平角＝180° 1直角＝90° 1周角＝2平角
1平角＝2直角 1度＝60分(1°＝60′) 1分＝60秒(1′＝60″)
【例5】将21.54°用度、分、秒表示为（ ）
A．21°54′ B．21°50′24″ C．21°32′40″ D．21°32′24″
【解答】0.54°＝0.54×60′＝32.4′，0.4′＝0.4×60″＝24″，
∴21.54°＝21°32′24″
故选D
【例6】计算
（1）48°29′＋67°41′ （2）48°38′＋67°32′－21°17′×5
【解答】（1）原式＝(48°＋67°)＋(29′＋41′)＝115°70′＝116°10′
（2）原式＝115°70′－105°85′＝116°10′－106°25′＝9°45′。
知识点五 对角平分线的理解
角平分线：从一个角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫这个角的平分线。
【例7】如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠AOB＝120°，则∠AOD的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．90°
【解答】∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠COB＝∠AOC＝∠AOB＝60°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD＝∠COB＝30°，
∴∠AOD＝∠COD＋∠AOC＝90°，
故选：D．
【例8】如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝140°，那么∠BOC等于（ ）
A．20° B．30° C．50° D．40°
【解答】∵∠AOC＝80°，∠AOD＝140°，
∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝60°，
∵∠BOD＝80°，
∴∠BOC＝∠BOD－∠COD＝80°－60°＝20°．
故选：A．
【例9】已知，∠AOD＝160°，OB、OM、ON 是∠AOD内的射线
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MON＝_________°
（2）如图2，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的大小；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠AOB＝2t°时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值
【解答】（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝(∠AOB＋∠BOD)，
∵∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝160°，
∴∠MON＝×160°＝80°；
故答案为：80；
（2）设∠AOB＝x，则∠BOD＝160°－x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM＝∠AOC＝(x＋20°)，∠BON＝∠BOD＝(160°－x)
∴∠MON＝∠COM＋∠BON－∠BOC＝(x＋20°)＋(160°－x)＝70°
（3）由∠AOB＝2t°，∠BOC＝20°，
则∠AOC＝2t°＋20°，∠BOD＝160°－2t°，
∴∠AOM＝∠AOC＝t°＋10°，∠DON＝∠BOD＝80°－t°，
∵∠AOM：∠DON＝2：3，
∴
解得：t＝26
知识点六 余角、补角
余角：如果两个锐角的和是 90°，那么这两个角互为余角。简称互余。
补角：如果两个角的和是 180°，那么这两个角互为补角。简称互补。
性质：（1）同角（或等角）的补角相等；
（2）同角（或等角）的余角相等。
【例10】一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°，则∠2的度数为( )
A．20° B．50° C．70° D．30°
【解答】由图可知∠1＋∠2＝180°－90°＝90°，
所以∠2＝90°－∠1，
又因为∠1－∠2＝∠1－(90°－∠1)＝50°，
解得∠1＝70°． 故选：A．
【例11】已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A＝50°，则∠C的度数是( )
A．40° B．50° C．130° D．140°
【解答】∵∠A与∠B互余，∠A＝50°
∴∠B＝90°－50°＝40°
∵∠B与∠C互补
∴∠C＝180°－40°＝140°
故选：D．
知识点七 方位角
方位角是表示方向的角，是确定物体位置的重要因素之一，具体表示时是南（或北）在先，再说偏东（或偏西），即是所成的方位角应是北（或南）方向为始边，向东（或西）旋转所得的角。
【例12】如图，点Q位于点O的（ ）方向上．
A．北偏东30° B．北偏东60°
C．南偏东30° D．南偏东60°
【解答】∠AOQ＝∠AOB－∠QOB＝90°－30°＝60°，
∴点Q位于点O的北偏东60°方向上。故选B
第12讲 角（练习）
1. 下列判断中，正确的是（ ）
①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角；
③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等； ④锐角和钝角互补．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【解答】①锐角的补角一定是钝角，说法正确；
②一个角的补角一定大于这个角，说法错误例如90°角的补角；
③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，说法正确；
④锐角和钝角互补，说法错误，例如60°角和100°角，
正确的说法有2个，是①③， 故选：B．
2. 如果一个角的补角是140°，那么这个角的度数是（ ）
A．20° B．40° C．70° D．130°
【解答】根据定义一个角的补角是140°，则这个角是180°－140°＝40°，故选：B
3. 在上午10：30的时候，时针和分针所夹（小于平角）的角度是（ ）
A．115° B．120° C．135° D．140°
【解答】10：30时，时针与分针相距4.5份，4.5×30°＝135°，故选：C．
4. 若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1与∠3的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．相等 D．∠1＝90°＋∠3
【解答】∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3．故选：C．
5. 把一副三角尺，按如图所示那样拼在一起，则图中∠ABC＝（ ）
A．70° B．90°
C．120° D．105°
【解答】根据图形可知：∠ABC＝30°＋90°＝120°，故选：C．
6. 在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（ ）
A．70° B．110° C．120° D．141°
【解答】∵在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，
∴∠AOC＝54°，∴∠AOD＝90°－54°＝36°，
∵轮船B在南偏东15°的方向，
∴∠AOB＝36°＋90°＋15°＝141°，故选：D．
7. 已知∠α＝40°，则∠α的余角为__________
【解答】90°－40°＝50°
8. 计算89°15′－35°21′＝__________
【解答】89°15′－35°21′＝88°75′－35°21′＝53°54′．
9. 一个锐角的补角比它的余角的3倍少10°，则这个锐角的度数为__________
【解答】设这个角为α，则它的补角为180°－α，余角为90°－α，
根据题意得，180°－α＝3（90°－α）－10°，
解得α＝40°．
10. 从A处看B处的方向是北偏东21°，反过来，从B看A的方向是__________
【解答】A看B的方向是北偏东21°，那么从B看A的方向是南偏西21°．
11. 如图，点A、O、C在一条直线上，OM平分∠BOC，且∠BOM＝25°，则∠AOB＝______度。
【解答】∵∠AOB与∠BOC互补，
∴∠AOB＋∠BOC＝180°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOM＝50°，∴∠AOB＝130°
12. 已知一条射线OA由点O引射线OB，OC，∠AOB＝72°，∠BOC＝36°，则∠AOC等于____________
【解答】由题意可得，分两种情况，
第一种情况如图一所示，
∵∠AOB＝72°，∠BOC＝36°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝72°－36°＝36°；
第二种情况如图二所示，
∵∠AOB＝72°，∠BOC＝36°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝72°＋36°＝108°；
故答案为：36°或108°
13. 如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOE＝∠DOE．
（1）若∠AOC＝35°，求∠BOD的度数；
（2）若∠COE＝80°，求∠BOD的度数．
【解答】（1）∵OC平分∠AOD，∠AOC＝35°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠BOD＝180°－70°＝110°；
（2）设∠COD＝x，则∠AOD＝2x，
∵∠AOE＝∠DOE，
∴
解得：
∴∠BOD＝180°－2x＝
14. 一个角的余角比它的补角的大15°，求这个角的度数。
【解答】设这个角的度数为x，则它的余角为（90°－x），补角为（180°－x），
依题意，得：(90－x)－(180－x)＝15，
解得x＝40．
答：这个角是40°．
A
B
C
D
C
D
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