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【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§1.3《正方形的性质与判定》（原题卷）
一.选择题：（共25分）
1. 下列命题中，正确命题是（ ）
A. 两条对角线相等的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形
D. 两条对角线平分且相等的四边形是正方形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
3.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ ）
A. 135° B. 120° C. 112.5° D. 67.5°
4.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH= BC，③OD=BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二.填空题：（共25分）
6.要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是 ．（填一个正确的条件即可）
7.如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝________．
8.如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于________．
9.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是______．
10.如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC=_____．
三.解答题：（共50分）
11.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.
12.已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．
13.如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．
14.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．
15.如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：AE=AF；
（2）若∠AEB=75°，求∠CPD的度数．
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【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§1.3《正方形的性质与判定》（解析卷）
一.选择题：（共25分）
1. 下列命题中，正确命题是（ ）
A. 两条对角线相等的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形
D. 两条对角线平分且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误；
B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B错误；
C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故C正确；
D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D错误；
故选C．
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【解析】A.因为有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，所以A正确；
B.因为对角线相等的平行四边形是菱形，所以B正确；
C.因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以C正确；
D.对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，所以D错误.
故选D.
3.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ ）
A. 135° B. 120° C. 112.5° D. 67.5°
【答案】C
【解析】试题分析：因为正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交于P，所以∠DBC=∠BDC=45°，∠DBF=∠FBE=22．5°，所以∠BPD=∠PBC+∠BCP=90°+22．5°=112．5°．所以∠FPC=∠BPD=112．5°．
4.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
在Rt△ECH中，由勾股定理，得：，解得：x＝4，即CH=4
5.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH= BC，③OD=BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】分析：根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EN⊥BD于N，连接EF，由全等三角形的判定定理可得△DNE≌等腰直角△ECF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=CF，由GH＜BC，可得出结论；③由OH是△BFD的中位线，BE平分∠DBC，由三角形全等得出BD=BF,即可得出结论．④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论；
解析：作EN⊥BD于N，连接EF．①∵BE平分∠DBC∴EC=EN∴等腰直角△DNE≌等腰直角△ECF，DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE= 22.5°，∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°∵DH=HF∴OH是△DBF的中位线∴OH∥BF，故①正确；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=CF，由GH＜BC，故②错误；③由OH是△BFD的中位线，BE平分∠DBC，由三角形全等得出BD=BF,∵OD=BD,∴OD=BF；④∠HCF=90°-22.5°=67.5°HFC=45°+22.5°=67.5°，∠CHF=45°
故选B.
二.填空题：
6.要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是 _________ ．（填一个正确的条件即可）
【答案】∠A=90°或AC=BD．
【解析】要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是∠A=90°或AC=BD．
7.如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝________．
【答案】45°
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=45°，
由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，
∴∠CEM=90°，
∴∠CME=90°-45°=45°
8.如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于________．
【答案】5
【解析】试题分析：∵正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC，在△BOE和△COF中，∠OCB=∠OBE45°，OB=OC，∠EOB=∠FOC，∴△BOE≌△COF（ASA）∴BF=AE=4，同理BE=CF=3，在Rt△BEF中，BF=4，BE=3，∴EF=5．故答案为：5．
9.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是______．
【答案】45°．
【解析】试题分析：根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．
10.如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC=_____．
【答案】16．
【解析】如图，在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，对角线BE、CF相交于点O，
∴∠CBF=∠BOC=90°，
∴∠ABO=90°-∠AHB，∠OCG=90°-∠OHC，
又∵∠OHC=∠AHB，
∴∠ABO=∠OCG，
∵OB=OC，CG=AB
∴△OGC≌△OAB
∴OG=OA=，∠BOA=∠GOC
∵∠GOC+∠GOH=90°，
∴∠GOH+∠BOA=90°
即：∠AOG=90°
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴AG=，
∴AC=AG+CG=12+4=16．
故选B．
三.解答题：（共50分）
11.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.
【答案】证明见解析.
【解析】证明：在AB延长线上截取BG=BE，连接EG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°.
又BG=BE，∴AG=CE.
∵∠ABC=∠BCD=90°，BG=BE，CM为正方形外角平分线
∴∠AGE=∠ECF=45°
∵∠ABE =90°，∠AEF=90°
∴∠AEB+∠EAG=90°, ∠AEB+∠FEC=90°
∴∠EAG=∠FEC
又AG=CE，∠AGE=∠ECF
∴△EAG≌△FEC
∴AE=EF.
12.已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．
【答案】(1)详见解析；（2）详见解析.
【解析】试题分析：（1）先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；
（2）由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．
试题解析：
（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
又∵BD=CD，BF=CE，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴∠B=∠C．
故△ABC是等腰三角形；
（2）解：四边形AFDE是正方形．
证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴四边形AFDE是矩形，
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF=DE，
∴四边形AFDE是正方形．
13.如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：
（1）用ASA证明△BDE≌△CDF；
（2）由BC=2AD，得∠BAC=90°，从而四边形AEDF是矩形，再由AE=AF即可得证.
试题解析：
证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，∴BE=CF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CDF．
（2）∵△BDE≌△CDF，∴BD=DC，DE=DF，
∵BC=2AD，∴AD=BC，∴∠BAC=90°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，∴四边形AEDF是正方形．
14.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析：
先证明用SAS△ADF≌△CDE，得∠DAF=∠DCE，再用AAS证明△AGE≌△CGF即可.
试题解析：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．
∵AE=CF，∴DE=DF，
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠DAF=∠DCE，
在△AGE和△CGF中，，
∴△AGE≌△CGF（AAS），∴AG=CG．
15.如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：AE=AF；
（2）若∠AEB=75°，求∠CPD的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）105°.
【解析】试题分析：
（1）由已知条件证△ABE≌△ADF即可可得到AE=AF；
（2）试题解析：
（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD，
又∵BE=DF，
∵在△ABE和△ADF中， ，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；
（2）连结AP，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°，
又∵AE=AF，∴∠AEF=45°，
∵∠AEB=75°，∴∠CEF=180°﹣45°﹣75°=60°，
∴∠EFC=180°-90°-60°=30°，
∵∠ECF=90°，P为EF中点，∴CP=PF=EF，
∴∠EFC=∠PCF=30°，
∵P为EF中点，∠EAF=90°，
∴AP=EF，
∴AP=CP，
∵在△APD和△CPD中： ，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=45°，
∴∠CPD=180°﹣∠PCD﹣∠CDP=105°．
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