苏教版数学 六年级上册 长方体正方体体积（知识梳理+题型归纳）

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知识精讲——长方体和正方体的体积
【知识点1】 体积和容积
（1）体积：物体所占空间的大小（同一个物体，形状改变时体积可能保持不变）
（2）容积：容器所能容纳物体的体积
像这个长方体木箱的体积除了里面能容纳物体的体积外，还有做成木箱的木板的体积。
一个物体的体积要比它的容积大，因为体积还包括自身材料的厚度。
（厚度忽略不计时，体积等于容积）
例：
1、计量长方体的长、宽、高要用（ ）单位，计量它的底面积要用（ ）单位，计量它的体积要用（ ）单位。
2、一个木桶可装水28升，28升是说木桶的( )。
3、判断：一个长方体木箱，竖着放和横着放时所占的空间不一样大。（　　　）
一个长方体木箱从外面量长5分米，宽为4分米，高为2分米，那么这个木箱的容积应比40升少。 （ ）
4、棱长5dm的油箱容积和体积相比（ ）
A.一样大 B.容积大 C.体积大 D.无法确定
（3）单位换算、体积和容积的计量单位
例：
1、常用的体积单位有m3、dm3、cm3．相邻两个单位间的进率是（ ）。
2、相邻两个面积单位间的进率是（ ）。
3、体积是1立方分米的正方体可以分成（ ）个体积是1立方厘米的小正方体。
4、单位转换。
3.2立方分米＝（ ）立方厘米 3.6升＝（ ）毫升＝（ ）立方厘米
4800立方厘米＝（ ）立方米 2100毫升＝（ ）升＝（ ）立方分米
9立方米500立方分米＝（ ）立方米＝（ ）立方分米
5、填上合适的容积或体积单位。
一个苹果占据的空间约为400（ ）； 一瓶雪碧的容量是2.5（ ）；
29寸电视机大约占据0.75（ ）的空间；一瓶“农夫山泉”饮用天然水净含量550( )。
6、判断
瓶子里装了600毫升的水，瓶子的容积是600毫升。 （ ）
物体的体积越大，所占的空间就越大。 （ ）
7、把一个容积是500ml的量杯里先注入200ml的水，然后放入一个土豆，这时测量杯里的容量为350ml，这个土豆的体积是（ ）。
【知识点2】 长方体和正方体的体积
（1）长方体和正方体体积公式
长方体底面积=长×宽； 正方体的底面积=棱长×棱长；
它们的体积=底面积×高（适用于一般的柱体）
长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长
用字母表示：V＝abh V＝
例：
1、判断，
（1）两个表面积相等的长方体，体积也一定相等。 （ ）
（2）两个表面积相等的正方体，体积也一定相等。 （ ）
2、一个长方体的长是10厘米，宽是5厘米，高是3厘米，它的体积是多少立方分米？
3、用３６厘米长的铁丝做成一个正方体框架，这个正方体的体积是多少？
4、一个底面是正方形的长方体，所有棱长的和是１００厘米，它的高是７厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
5、一个长方体的木块，横截面积是8平方分米，长是0.7分米。10个这样的木块体积一共是多少？
6、施工队修筑一条长２６００米的路基，它的横截面是梯形，上底１４米，下底１６米，高０。８米，一共需要挖土石多少立方米？
7、一个长方体的底面长6厘米，长是宽的1.2倍，宽比高少0.5厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
8、（提优）一个边长为2厘米的正方体体积增加208立方厘米后，仍是正方体，则边长增加了多少厘米？
9、（提优）一个长方体的底面、左面和前面的面积分别是12平方厘米，8平方厘米和6平方厘米，那么它的体积是多少？
（2）利用体积的计算公式计算容积
分析：容积和体积的差异
注：容积和体积的大小关系
如果厚度忽略不计时，容积等于体积；在考虑容器厚度时，容积是比体积小的。
因此，容积≤体积。
例：
1、一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5分米、2.5分米、3分米，从里面量长宽高
分别为4.9分米、2.4分米、2.9分米，这个鱼缸的容积是（ ），体积是（ ）。
2、一个仓库能容纳150立方米的大米，这个仓库的（ ）是150立方米。
3、一个长方体水箱，从外面量长5分米，宽1.5分米，高1米，水箱厚度为5厘米，将水箱内装满水，水的体积是多少？水箱的容积是多少？
（3）已知长方体的体积反求长、宽、高或底面积。
例：
1、一个长方体的木箱，体积是240立方分米，它的长是8分米，宽是6分米。求木箱的高。
2、挖一个容积为48 m3的长方体土坑，占地面积为24 m2，这个土坑深多少m？
3、一个长方体的药水箱里装了60升的药水，已知药水箱里面长5分米，宽3分米，它的深是多少分米？
4、一个长方体水箱长80厘米，宽50厘米，高30厘米，若里面装有80升的水，水面离水箱上口多少厘米？
（4）利用体积计算公式找出长宽高与体积的倍数变化关系。
由于V＝abh，通过积的变化规律可知，
当a、b、h扩大或缩小几倍时，V也会扩大或缩小相应的倍数。
此类题型有两种解法：
①公式法：通过带字母的公式推算积的变化情况；
②代数法：假设一些具体的数据代入计算，对比两种结果的倍数关系。
注：扩大3倍＝增加2倍
一个正方体的棱长扩大几倍，那么表面积就扩大这个数的平方倍，体积就扩大这个数的立方倍。
例：
1、正方体的棱长扩大2倍，它的棱长和扩大（ ）倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩
大（ ）倍。
2、正方体的棱长缩小3倍，它的体积就缩小（ ）倍。
3、长方体的长扩大5倍，宽缩小5倍，高不变，则体积（ ）。
4、一个长方体的长宽高增加2倍，它的体积增加（ ）倍。
（4）通过切割、拼接、增加（减少）棱的长度改变表面积计算体积
运用特殊的体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为高）
注：长方体任意一个面的面积乘不在这个面上的一条棱都能计算体积
如：体积＝底面×高＝前面×宽＝右面×长
例：
1、将一个长3米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了0.36平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？
2、一根长方体形状的木料，把它截成两段后，正好是两个完全一样的立方体，表面积增加了32平方分米，这根长方体木料的体积是多少
3、把两个完全一样的长方体木块沿它们的长拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个小长方体的表面积之和减少了46平方厘米，如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
4、一个长方体木块，从上部和下部分分别截去高为4厘米和3厘米的长方体后（如下图），
使成为一个正方体，表面积减少了140平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？
5、一个长方体，如果长和宽不变，高增加3厘米，则体积增加108立方厘米；如果长和高不变，宽增加2厘米，体积就增加126立方厘米；如果宽和高不变，长增加4厘米，体积就增加112立方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？
【知识点3】 等积变形
等积变形就是指物体的形状发生的变化而体积是相等的，一般有两种情况：
①锻造或熔铸，例如把一个长方体锻造成一个正方体，那么长方体的体积就等于正方体的体积；
②水的变化，因为水本身是没有形状的，它的形状取决于装在什么样的容器里。例如将一个长方体水箱中的水倒入一个正方体水箱中，水的形状就改变了，但体积不变。
例：
1、把一个棱长6分米的正方体钢坯，锻造成一个宽3分米，高2分米的长方体钢件，这个钢件长多少分米？
2、把一块棱长是２分米的正方体钢坯，锻造成高和宽都是４厘米的长方体钢材。锻造成的长方体钢材的长是多少？（用方程和算术法两种方法解答）
3、有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截面积是20平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？
4、一个正方体钢坯棱长6分米，把它熔铸成横截面是边长3分米的正方形的长方体钢材，钢材长多少米？
5、有一块长方体钢材，棱长的和是16.8米，长是宽的2倍，宽是高的2倍。把它熔铸成一个正方体，求这个正方体的表面积。
6、在甲箱中装入水，深度为15厘米，若将这些水倒入乙箱，水深为几厘米？
7、有一个长50厘米，宽10厘米，高10厘米的全封闭的容器，里面装有8厘米高的水。如果将这个容器竖放，水面的高度是多少厘米？
8、一个密封的长方体玻璃钢长50厘米、宽30厘米、高20厘米，玻璃钢内有10厘米深的水。如果把玻璃钢向右竖立后，这时水深多少厘米？
9、有甲乙两个玻璃容器，甲容器长8分米，宽6分米，里面装满5分米高的水，乙容器的长是12分米，宽是5分米，高是10分米，将甲容器中的水倒入乙容器中，水面距离容器口多少分米？
10、（提优）有384立方厘米的水倒入甲、乙两个长方体玻璃容器中，已知甲长方体玻璃容器的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，乙容器的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，要使两个容器中的水面同样高，这个高是多少厘米？
【知识点4】 排水法
排水法的作用：①测量不规则物体的体积；②比较物体的体积大小
排水法的公式：
特殊的排水情况：
例：
1、计算图中梨的体积。
2、一个棱长为30厘米有水的正方体观赏鱼缸中，放入一根宽25厘米、高4厘米的长方体石条，使石条完全浸入水中，容器中的水面高度由65厘米上升到70厘米，放入鱼缸的长方体石条有多长？
3、在一只长25厘米，宽20厘米的玻璃缸中，有一块棱长10厘米的正方体铁块，这时水深15厘米，如果把这块铁块从缸中取出来，缸中的水深多少厘米？
4、一个长方体玻璃缸，最多可装水120升。已知玻璃缸里面长6分米，宽4分米，现有水深3分米。如果在玻璃缸里放入了体积为15立方分米的玻璃球，里面的水会不会溢出？为什么？
5、有一个正方形容器，边长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溢出多少立方厘米的水？
6、用一个底面是边长8厘米的正方形，高为16厘米的长方体容器，测量一个球形铁块的体积，容器中装的水距杯口还有2厘米。当铁块放入容器中，有部分水溢出，当把铁块取出后，水面下降5厘米，求球形铁块的体积。
7、有一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米，放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？
【知识点5】拼接、组合的立体图形
①用小正方体拼大长方体的个数问题
两种思路：（1）大体积÷小体积；（容易差生误差）
（2）先考虑拼接后每条棱的情况，将拼成的大长方体的长宽高先各自分解，再统一相乘。（余数舍掉）
例：
1、一个长6dm，宽4dm，高5dm的长方体盒子，最多能放（ ）棱长为2dm的正方体木块。
2、把一个长64厘米、宽24厘米、高24厘米的长方体木块锯成小的正方体（棱长是整厘米数），至少可以锯（ ）块。
②计算由多个小正方体拼接成的不规则立体图形的体积。
计算方法有两种：（1）通过“栋顶标数法”数出所有小正方体个数，再乘每个小正方体的体积；
（2）先补全成完整的大长方体，并计算出体积，
用大体积减去补上的所有小正方体的体积和。
例：
下面图形是用1立方厘米的正方体搭成的，请你求出它的表面积和体积。
【知识点6】特殊题型巩固
长方形纸剪切折叠成长方体后，计算体积。
例：
1、一个长方形的铁皮，长30厘米，宽25厘米，如果从四个角各切掉边长5厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的容积有多少毫升？
2、一个长方形的铁皮，从四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后通过折叠做成一个长方体铁盒，已知长方体铁盒的长是8分米，宽是6分米，高是3分米，这块长方形的面积是多少平方米？
3、（提优）有一个长方形铁皮，长40厘米，宽30厘米，在这块铁皮的左、右两角各剪下一个边长为10厘米的小正方形，然后焊接在下面，再通过折叠，焊接成一个无盖的长方体盒子。求这个盒子的容积是多少？
参考答案
【知识点一】
（2）1、长度、面积、体积；2、容积；3、×，√； 4、C
（3）1、1000；2、100；3、1000；4、3200,3600,3600,0.0048,2.1,2.1,9.5,9500
5、立方厘米，升，立方米，毫升；6、×，√；7、150立方厘米
【知识点二】
（1）1、×，√；2、0.15；3、27；4、567；5、5.；6、31200；7、165；8、4；9、24
（2）1、34.104立方分米；37.5立方分米；2、容积；3、3，2.85；
（3）1、50；2、2；3、4；4、10
（4）1、2,4,8；2、27；3、不变；4、26
【知识点三】
1、36；2、500；3、254000；4、24；5、8.64；6、7.5；7、40；8、25；9、6；10、3
【知识点四】
1、300立方厘米；2、45；3、13；4、不会溢出，因为15立方分米＜48立方分米；5、300；6、448；7、15
【知识点五】
（1）1、12；2、72；（2）表：22，体：6
【知识点六】
1、1500；2、132；3、2000
牢记水面上升是由于被放入物体的体积引起的。
一般情况下，
物体体积＝（现高－原高）×底面积
物体体积＝（现高－原高）×底面积
刚开始是满水的时候，
溢出的水的体积＝物体的体积
现高＝水的体积÷杠底被占后剩下的底面积
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