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一元二次方程的解法——公式法
【经典例题】
知识点一 用公式法解一元二次方程
【例1】用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A. a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝－3，b＝2，c＝3
C. a＝3，b＝2，c＝－3 D．a＝3，b＝－2，c＝3
【分析】首先找出a、b、c的值，进一步比较得出答案即可．
【解答】a＝3，b＝－2，c＝3。故选：D．
【例2】用公式法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
【分析】 解一元二次方程的方法，公式法适用于任何一元二次方程。方程 （a≠0，且a，b，c都是常数）的解为
【解答】
知识点二 一元二次方程根的判别式
【例3】关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了
【解答】∵a＝1，b＝3，c＝－1，
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A
【例4】关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥－1 B．m＞－1 C．m≤－1 D．m＜－1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4＋4m≥0，解之即可得出结论．
【解答】∵关于x的一元二次方程有实数根
∴
解得m≥－1
故选：A
【例5】已知方程有实数根，求m的取值范围。
【解答】当，即m＝0，方程变为：x＋1＝0，有解；
当，即m≠0，原方程要有实数根，则△≥0，
即
解得
则m的范围是且m≠0
∴m的取值范围为
【知识巩固】
1. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D. 无法确定
【解答】∵一元二次方程
∴
∴方程有两不相等实数根，
故选：C
2. 下列一元二次方程有两个不等的实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【解答】A、所以A选项错误；
B、△＝0－4×1×1＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；
D、，，方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
3. 关于x的方程x(x+6)＝16解为（ ）
A．x1＝2，x2＝2 B．x1＝8，x2＝－4
C．x1＝－8，x2＝2 D．x1＝8，x2＝－2
【解答】原方程变形为：
a＝1，b＝6，c＝－16，
∴
故选：C
4. 已知方程有两个相等的实数根，则k＝_________
【解答】∵有两个相等的实数根，∴，∴
5. 解方程
（1） （2）
【培优特训】
6. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则常数c的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．3
【解答】∵关于x的方程有两个相等的实数根
∴
解得：c＝3． 故选：D
7. 若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜9且m≠0 B．m＞9 C．0＜m＜9 D．m＜9
【解答】∵方程有两个不相等的实数根
∴m≠0且△＞0，即
解得m＜9，
∴m的取值范围为m＜9且m≠0． 故选：A
8. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的最小整数是________
【解答】方程整理为
根据题意得k－4≠0且
解得
∴ k的最小整数为5
9. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最大数值时，解此一元二次方程．
【解答】（1）∵关于x的一元二次方程有实数根
∴△≥0且a－2≠0，即
解得a≤6且a≠2；
（2）由（1）可知a的最大数值为6，
此时方程为
解得
10. 已知关于x的方程
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值和这个等腰三角形的周长
【解答】（1）∵
∵
∴△≥0
∴无论k取任何实数，方程总有实数根
（2）解方程
得
①当腰长为1时，则k＝8，
1＋1＝2＜8，不能构成三角形；
②当底边为1时，
∴x1＝x2，
∴k＝8，
∴周长＝8＋8＋1＝17．
【中考链接】
11. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】根据题意
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
12. x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
【解答】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
解得：q＜16．
故选：A
13. 已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值
【解答】（1）证明：
＝
＝
而
∴方程总有两个实数根
（2）解：(x－1)(mx－2)＝0，
∴x－1＝0或mx－2＝0，
∴
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
（2）a＝2，b＝－5，c＝－1
∴
∴
∴
（1）a＝1，b＝－1，c＝－3
∴
∴
（3）
∴
∴
（4）方程整理得：
a＝1，b＝4，c＝1
∴
∴
∴
解：
a＝2，b＝5，c＝－3
∴
解：a＝1，b＝－5，c＝－1
∴
∴
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一元二次方程的解法——公式法
【经典例题】
知识点一 用公式法解一元二次方程
【例1】用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A. a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝－3，b＝2，c＝3
C. a＝3，b＝2，c＝－3 D．a＝3，b＝－2，c＝3
【分析】首先找出a、b、c的值，进一步比较得出答案即可．
【解答】a＝3，b＝－2，c＝3。故选：D．
【例2】用公式法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
【分析】 解一元二次方程的方法，公式法适用于任何一元二次方程。方程 （a≠0，且a，b，c都是常数）的解为
【解答】
知识点二 一元二次方程根的判别式
【例3】关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了
【解答】∵a＝1，b＝3，c＝－1，
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A
【例4】关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥－1 B．m＞－1 C．m≤－1 D．m＜－1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4＋4m≥0，解之即可得出结论．
【解答】∵关于x的一元二次方程有实数根
∴
解得m≥－1
故选：A
【例5】已知方程有实数根，求m的取值范围。
【解答】当，即m＝0，方程变为：x＋1＝0，有解；
当，即m≠0，原方程要有实数根，则△≥0，
即
解得
则m的范围是且m≠0
∴m的取值范围为
【知识巩固】
1. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D. 无法确定
2. 下列一元二次方程有两个不等的实数根的是（ ）
A. B. C. D.
3. 关于x的方程x(x+6)＝16解为（ ）
A．x1＝2，x2＝2 B．x1＝8，x2＝－4
C．x1＝－8，x2＝2 D．x1＝8，x2＝－2
4. 已知方程有两个相等的实数根，则k＝_________
5. 解方程
（1） （2）
【培优特训】
6. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则常数c的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．3
7. 若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜9且m≠0 B．m＞9 C．0＜m＜9 D．m＜9
8. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的最小整数是________
9. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最大数值时，解此一元二次方程．
10. 已知关于x的方程
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值和这个等腰三角形的周长
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11. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
12. x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
13. 已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值
（2）a＝2，b＝－5，c＝－1
∴
∴
∴
（1）a＝1，b＝－1，c＝－3
∴
∴
（4）方程整理得：
a＝1，b＝4，c＝1
∴
∴
∴
（3）
∴
∴
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