八年级上册1.3勾股定理的应用 同步梯度训练（含答案）

1.3八年级上册《勾股定理的应用》同步梯度训练
知识梳理
寻找或构造直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
例题讲解
.如图，一个实心圆柱高8cm，底面周长为30cm，一只蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少？
解：如图所示：沿过A点和B点的母线剪开，展成平面，连接AB

在Rt△ABC中，∵AC=×30=15cm，∠C=90°，BC=8cm，
∴
∴AB=17.
如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？
解：将点A和点B所在的两个面展开，
则矩形的长和宽分别为6和8，
故对角线,AB=10
基础训练
如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　）
A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm

如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为 尺。
已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 千米。
如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？
提升训练
某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）元
450a B.225a C. 150a D. 300a
如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）dm．
A．20 B．25 C．30 D．35
为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？


如图，圆柱形玻璃容器高19cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底1.5cm处的点B处有一只苍蠅，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度．
综合训练
下列说法正确的是（ ）
在Rt△ABC中，a2+b2=c2
在Rt△ABC中，a=3，b=4，那么c=5
直角三角形两直角边都是5，那么斜边长是10
直角三角形中，斜边最长
如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ）
1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（ ）
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（ ）
A.6秒 B.5秒 C.4秒 D.3秒
已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以AC、BC、AB为直径作半圆，如图所示，则阴影部分的面积是

《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D，BC=6，AC=8，求AB,CD的长。
如图是一种盛饮料的圆柱形杯，测得其内部底面半径为2.5cm、高为12cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，问吸管至少要多长？
参考答案
基础训练
D 2.A 3. B 4. 5
解：（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7，
∴
∴AC=2.4米
（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，
∴A′C=AC-A′A=2.4-0.9=1.5（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2+B′C2=A′B′2，
即1.52+B′C2=2.52，
∴B′C=2（m），
∴BB′=CB′-BC=2-0.7=1.3（m），
答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．
提升训练
C
B解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得：x=25（dm）．
3.解：由题意可得：设AE=xkm，则EB=（2.5-x）km，
∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，
∴AC2+AE2=BE2+DB2，
∴1.52+x2=（2.5-x）2+12，
解得：x=1．
答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等．
4.解：如图，将圆柱侧门展开成矩形MNQP，过点B作BC⊥MN于点C，连接AB，
则线段AB的长度即为最短距离．
在Rt△ACB中，AC=MN-AN-CM=16cm，BC是上底面的半圆周的长，即BC=30cm．
由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=162+302=1156=342，
所以AB=34cm．
故蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm．
综合训练
D 2.B 3.C 4.C
5.解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵BC=4，AC=3，
∴,AB=5
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB的半圆的面积
=
解：x2+32=（10-x）2
解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，
由勾股定理得：,AB=10
∵S△ABC=
∴
8.解：如图；杯内的吸管部分长为AC，杯高AB=12cm，杯底直径BC=5cm；
Rt△ABC中，AB=12cm，BC=5cm；
由勾股定理得：
故吸管的长度最少要：13+4.6=17.6cm．