1.3八年级上册《勾股定理的应用》同步梯度训练
知识梳理
寻找或构造直角三角形,利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
例题讲解
.如图,一个实心圆柱高8cm,底面周长为30cm,一只蚂蚁在圆柱表面爬行,从点A爬到点B的最短路程是多少?
解:如图所示:沿过A点和B点的母线剪开,展成平面,连接AB
在Rt△ABC中,∵AC=×30=15cm,∠C=90°,BC=8cm,
∴
∴AB=17.
如图,一只蚂蚁从长宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是多少?
解:将点A和点B所在的两个面展开,
则矩形的长和宽分别为6和8,
故对角线,AB=10
基础训练
如图,小明将一张长为20cm,宽为15cm的长方形纸(AE>DE)剪去了一角,量得AB=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为( )
A.5cm B.12cm C.16cm D.20cm
如图,长为8cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm至D点,则橡皮筋被拉长了( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
“今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何?”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题,它的题意可以由图获得,则井深为 尺。
已知甲、乙两人在同一地点出发,甲往东走4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相距 千米。
如图,一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上,∠C=90°,此时,梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m.
(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC;
(2)如果梯子的顶端A下滑了0.9m,那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远?
提升训练
某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( )元
450a B.225a C. 150a D. 300a
如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为( )dm.
A.20 B.25 C.30 D.35
为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B.已知AB=2.5km,CA=1.5km,DB=1.0km,试问:图书室E应该建在距点A多少km处,才能使它到两所学校的距离相等?
如图,圆柱形玻璃容器高19cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛,距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底1.5cm处的点B处有一只苍蠅,蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥,请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度.
综合训练
下列说法正确的是( )
在Rt△ABC中,a2+b2=c2
在Rt△ABC中,a=3,b=4,那么c=5
直角三角形两直角边都是5,那么斜边长是10
直角三角形中,斜边最长
如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的( )
1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为( )
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒,如果将直角三角形的边长扩大1倍,那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需( )
A.6秒 B.5秒 C.4秒 D.3秒
已知在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,分别以AC、BC、AB为直径作半圆,如图所示,则阴影部分的面积是
《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,BC=6,AC=8,求AB,CD的长。
如图是一种盛饮料的圆柱形杯,测得其内部底面半径为2.5cm、高为12cm,吸管放进杯里后,外面至少要露出4.6cm,问吸管至少要多长?
参考答案
基础训练
D 2.A 3. B 4. 5
解:(1)∵∠C=90°,AB=2.5,BC=0.7,
∴
∴AC=2.4米
(2)∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′,
∴A′C=AC-A′A=2.4-0.9=1.5(m),
在Rt△A′CB′中,由勾股定理得:A′C2+B′C2=A′B′2,
即1.52+B′C2=2.52,
∴B′C=2(m),
∴BB′=CB′-BC=2-0.7=1.3(m),
答:梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m.
提升训练
C
B解:三级台阶平面展开图为长方形,长为20dm,宽为(2+3)×3dm,
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm,
由勾股定理得:x2=202+[(2+3)×3]2=252,
解得:x=25(dm).
3.解:由题意可得:设AE=xkm,则EB=(2.5-x)km,
∵AC2+AE2=EC2,BE2+DB2=ED2,EC=DE,
∴AC2+AE2=BE2+DB2,
∴1.52+x2=(2.5-x)2+12,
解得:x=1.
答:图书室E应该建在距点A1km处,才能使它到两所学校的距离相等.
4.解:如图,将圆柱侧门展开成矩形MNQP,过点B作BC⊥MN于点C,连接AB,
则线段AB的长度即为最短距离.
在Rt△ACB中,AC=MN-AN-CM=16cm,BC是上底面的半圆周的长,即BC=30cm.
由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=162+302=1156=342,
所以AB=34cm.
故蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm.
综合训练
D 2.B 3.C 4.C
5.解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2,
∵BC=4,AC=3,
∴,AB=5
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB的半圆的面积
=
解:x2+32=(10-x)2
解:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,BC=6,AC=8,
由勾股定理得:,AB=10
∵S△ABC=
∴
8.解:如图;杯内的吸管部分长为AC,杯高AB=12cm,杯底直径BC=5cm;
Rt△ABC中,AB=12cm,BC=5cm;
由勾股定理得:
故吸管的长度最少要:13+4.6=17.6cm.