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一元二次方程的根与系数的关系
【经典例题】
【例1】下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用判别式的意义对A、C进行判断；根据根与系数的关系对B、D进行判断．
【解答】A、方程没有实数解，所以A选项错误；
B、两个实数根之和为－1，所以B选项错误；
C、方程没有实数解，所以C选项错误；
D、两个实数根之和为1，所以D选项正确．
故选：D．
【例2】若方程的两根为，则的值为____________
【分析】由方程的两根为，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得，又由，代入求解即可求得答案．
【解答】∵方程的两根为
∴
∴
【例3】已知：是关于x的方程的两个实数根且，求a的值．
【分析】根据两根之和等于，两根之积等于，把问题转化为方程即可解决问题。
【解答】∵是的两个实数根
∴
∵
∴
∴
即
解得a＝－1，或a＝5
又∵
∴
∴a＝5不合题意，舍去．
∴a＝－1
【例4】关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由方程根的性质，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）利用k可表示出方程的两根，结合k的取值范围可判断出两根的符号，利用根与系数的关系，结合已知条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．
【解答】（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根
∴，得4k－11＞0，
∴
（2）由一元二次方程的求根公式得：
∵
∴
∴
又∵
∴
当
即
∴4k－11=3
∴
∴存在实数，使得
【知识巩固】
1. 下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ）
A．－4 B．－2 C．4 D．2
3. 设x1，x2是方程的两根，则
4. 若m，n是方程的两个实数根，则mn的值为_________
5. 设x1，x2是一元二次方程的两根，则
【培优特训】
6. 若x1，x2是方程的两个根，且，则m的值为( )
A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1
7. 已知α、β是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（ ）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3或1
8. 已知矩形的长和宽分别是关于x的方程（m≥8）的两根，则矩形的面积是__________
9. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2。
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，求a的值
10. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根a、b；
（1）求实数m的取值范围；
（2）当时，求m的值
【中考链接】
11. 关于x的方程的一个根为－2，则另一个根是（ ）
A．－6 B．－3 C．3 D．6
12. 方程的两个根为，则的值等于__________
13. 已知α，β是方程的两个实数根，则的值为__________
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一元二次方程的根与系数的关系
【经典例题】
【例1】下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用判别式的意义对A、C进行判断；根据根与系数的关系对B、D进行判断．
【解答】A、方程没有实数解，所以A选项错误；
B、两个实数根之和为－1，所以B选项错误；
C、方程没有实数解，所以C选项错误；
D、两个实数根之和为1，所以D选项正确．
故选：D．
【例2】若方程的两根为，则的值为____________
【分析】由方程的两根为，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得，又由，代入求解即可求得答案．
【解答】∵方程的两根为
∴
∴
【例3】已知：是关于x的方程的两个实数根且，求a的值．
【分析】根据两根之和等于，两根之积等于，把问题转化为方程即可解决问题。
【解答】∵是的两个实数根
∴
∵
∴
∴
即
解得a＝－1，或a＝5
又∵
∴
∴a＝5不合题意，舍去．
∴a＝－1
【例4】关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由方程根的性质，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）利用k可表示出方程的两根，结合k的取值范围可判断出两根的符号，利用根与系数的关系，结合已知条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．
【解答】（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根
∴，得4k－11＞0，
∴
（2）由一元二次方程的求根公式得：
∵
∴
∴
又∵
∴
当
即
∴4k－11=3
∴
∴存在实数，使得
【知识巩固】
1. 下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（ ）
A. B. C. D.
【解答】A、方程没有实数解，所以A选项错误；
B、两个实数根之和为-1，所以B选项错误；
C、方程没有实数解，所以C选项错误；
D、两个实数根之和为1，所以D选项正确．
故选：D．
2. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ）
A．－4 B．－2 C．4 D．2
【解答】设方程的另一个根为x1，根据题意得：2＋x1＝4，解得：x1＝2。故选：D．
3. 设x1，x2是方程的两根，则
【解答】根据题意得x1＋x2＝4．
4. 若m，n是方程的两个实数根，则mn的值为_________
【解答】∵m，n是方程的两个实数根，∴mn＝－1
5. 设x1，x2是一元二次方程的两根，则
【解答】∵x1，x2是一元二次方程的两根
∴
则原式＝
【培优特训】
6. 若x1，x2是方程的两个根，且，则m的值为( )
A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1
【解答】∵x1，x2是方程的两个根
∴
∵
∴，即
解得
∵方程有实数根
∴
解得：m≥－1．
∴m＝1．
故选：D．
7. 已知α、β是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（ ）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3或1
【解答】∵α、β是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根
∴
∴
解得：m＝－1或m＝3，
经检验，m＝－1或m＝3均为原分式方程的解．
∵α、β是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根
∴
∴
∴m＝3．故选：A
8. 已知矩形的长和宽分别是关于x的方程（m≥8）的两根，则矩形的面积是__________
【解答】不妨设矩形的长和宽分别为a、b，
∵矩形的长和宽分别是关于x的方程（m≥8）的两根
∴，即矩形的面积是4
9. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2。
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，求a的值
【解答】（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即，解得a≤3
（2）由题意可得
∵
∴
解得a＝5或a＝－1，
∵a≤3， ∴a＝－1
10. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根a、b；
（1）求实数m的取值范围；
（2）当时，求m的值
【解答】（1）∵关于x的一元二次方程两个实数根a、b；
∴
∴m≥0
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴，∴
【中考链接】
11. 关于x的方程的一个根为－2，则另一个根是（ ）
A．－6 B．－3 C．3 D．6
【解答】设方程的另一个根为n，
则有－2+n＝－5，
解得：n＝－3．
故选：B．
12. 方程的两个根为，则的值等于__________
【解答】根据题意得
∴
13. 已知α，β是方程的两个实数根，则的值为__________
【解答】根据题意得α＋β＝3，αβ＝－4，
所以原式＝α(α＋β)－3α
＝3α－3α
＝0．
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