9.4 动点综合问题
动点综合问题是以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的函数等其他关系；;或变量在一定条件为定值时，进行相关的计算和综合解答。解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解。在中考数学中，主要涉及三类问题，一是动点问题中的特殊图形问题；二是动点问题中的计算问题；三是动点问题中函数问题。其解决的方法是与几何相关的问题，不仅包含众多的知识点，更需要通过添加辅助线来解决，还需要进行转化，即把复杂图形转化成基本图形来解决；而与函数有关的问题，要利用函数的图象和性质进行求解或证明，必要时可添加辅助线加以解决。
一、选择题
1.（2017?佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（?? ） ①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2 ﹣2．
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
二、填空题
2.（2017?兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，?ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．动点P在直线y= x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与?ABCO的边相切时，P点的坐标为________．
3.（2017?河南）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC= +1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．
三、解答题
4.（2017?北京）如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．已知AB=6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0） 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
2.0
2.3
2.1
________
0.9
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为________cm．
5.（2017?宁夏）直线y=kx+b与反比例函数y= （x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
6.（2011?贵港）如图，已知直线y=﹣ x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．
（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7.（2017·丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设 =n.
（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.
8.（2017?天津）已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'． ①当点P'落在该抛物线上时，求m的值； ②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
9.（2017?乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E． ①当PE=2ED时，求P点坐标； ②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10.（2017?天水）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
11.（2017?云南）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP= AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．
12.（2017?南充）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF= AB．
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB ， 求△PAB周长的最小值．
13.（2017?海南）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE= 时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．
14.（2017?广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2 ，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为________；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证： = ； ②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
15.（2017?东营）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
16.（2017?常德）如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1， ）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为 时的点P的坐标．
一、填空题
1. () 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A点出发，以1cm/s的速度，沿A﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t=________秒时，△PCQ的面积等于8cm2 ．
二、解答题
2. () 如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．
3. () 如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB，BC分别交于D，E，且BD=2AD
（1）求k的值和点E的坐标；
（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
4. () 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．
5. () 二次函数y=（x﹣1）2+k分别与x轴、y轴交于A、B、C三点，点A在点B的左侧，直线y=﹣ x+2经过点B，且与y轴交于点D．
（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，在第一象限的抛物线上有一动点P，连接AP，过P作PE⊥x轴于点E，过E作EF⊥AP于点F，过点D作平行于x轴的直线分别与直线FE、PE交于点G、H，设点P的横坐标为t，线段GH的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点G作平行于y轴的直线分别交AP、x轴和抛物线于点M、T和N，tan∠MEA= ，点K为第四象限抛物线上一点，且在对称轴左侧，连接KA，在射线KA上取一点R，连接RM，过点K作KQ⊥AK交PE的延长线于Q，连接AQ、HK，若∠RAE﹣∠RMA=45°，△AKQ与△HKQ的面积相等，求点R的坐标．
6. () 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．
7. () 如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（n，6），点B的坐标为（12，1） ．
（1）分别求m、k、b的值．
（2）点C为y轴上一动点，若S△ABC=15，求点C的坐标．
8. () 如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=25，BC=40，动点P从B出发沿BC向C运动，速度为10单位/秒．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为5单位/秒，当一个点到达终点的时候两个点同时停止运动，点P′是点P关于直线AC的对称点，连接P′P和P′Q，设运动时间为t秒．
（1）若当t的值为m时，PP′恰好经过点A，求m的值．
（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（m＜t≤4）
（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分角∠P′PC？存在，求相应的t值，不存在，请说明理由．
9. () 如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
10. () 在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．
（1）如图1，当BE=2时，求FC的长；
（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P． ①依题意将图2补全； ②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法： 想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP． 想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，需证△EHP为等腰三角形． 想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形． 请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）
11. () 如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当CM=MN，且∠CMN=90°时，求此时△CMN的面积．
12. () 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2x+m（m＞0）的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，抛物线的图象与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）点E是直线AC上一动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形，直接写出点F的坐标．
13. () 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2 ，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设AE=x，四边形DEFG的面积为S，求出S与x的函数关系式．
14. () 如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G分别是AB、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；
（3）求四边形EFGH面积的最小值．
15. () 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
9.4 动点综合问题
动点综合问题是以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的函数等其他关系；;或变量在一定条件为定值时，进行相关的计算和综合解答。解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解。在中考数学中，主要涉及三类问题，一是动点问题中的特殊图形问题；二是动点问题中的计算问题；三是动点问题中函数问题。其解决的方法是与几何相关的问题，不仅包含众多的知识点，更需要通过添加辅助线来解决，还需要进行转化，即把复杂图形转化成基本图形来解决；而与函数有关的问题，要利用函数的图象和性质进行求解或证明，必要时可添加辅助线加以解决。
一、选择题
1.（2017?佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（?? ） ①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2 ﹣2．
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠ABE=∠DCF， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG=∠DCF， ∴∠ABE=∠DAG， ∵∠DAG+∠BAH=90°， ∴∠BAE+∠BAH=90°， ∴∠AHB=90°， ∴AG⊥BE，故③正确， 同法可证：△AGB≌△CGB， ∵DF∥CB， ∴△CBG∽△FDG， ∴△ABG∽△FDG，故①正确， ∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD， 又∵∠DAG=∠FCD， ∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG，故④正确 取AB的中点O，连接OD、OH，
∵正方形的边长为4， ∴AO=OH= ×4=2， 由勾股定理得，OD= =2 ， 由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小， DH最小=2 ﹣2． 无法证明DH平分∠EHG，故②错误， 故①③④⑤正确， 故答案为：C． 【点评】由AE=FD可得ABE≌△DCF，还可证△AGB≌△CGB，得∠BAG=∠BCG=∠DFG，再由∠ABG=∠FDG=45°，可得△ABG∽△FDG，故①正确；由△ADG≌△CDG可证得∠DAG=∠DCF，∠ABE=∠DAG，由∠DAG+∠BAH=90°可得∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确；把S△HDG：S△HBG转化为DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确；由∠AHB=90°，点H的运动轨迹为以AB为直径的半圆，圆外一点D和圆周上一点的连线段DH长度，当O、D、H三点共线时，DH最小.
二、填空题
2.（2017?兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，?ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．动点P在直线y= x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与?ABCO的边相切时，P点的坐标为________．
【答案】（0，0）或（ ，1）或（3﹣ ， ）
【解析】解：①当⊙P与BC相切时，∵动点P在直线y= x上， ∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB， ∴P（0，0）． ②如图1中，当⊙P与OC相切时，则OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y轴于E，则EB=EO，易知P的纵坐标为1，可得P（ ，1）． ③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离线段，可得 = x， 解得x=3+ 或3﹣ ， ∵x=3+ ＞OA， ∴P不会与OA相切， ∴x=3+ 不合题意， ∴p（3﹣ ， ）． ④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB=PG， ∵OP⊥AB， ∴∠BGP=∠PBG=90°不成立， ∴此种情形，不存在P． 综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（ ，1）或（3﹣ ， ）． 【点评】设P（x， x），⊙P的半径为r，由题意BC⊥y轴，直线OP的解析式y= x，直线OC的解析式为y=﹣ x，可知OP⊥OC，分分四种情形讨论即可．
3.（2017?河南）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC= +1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．
【答案】 + 或1
【解析】解：①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点， ∴BM= BC= + ； ②如图2， 当∠MB′C=90°， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°， ∴△CMB′是等腰直角三角形， ∴CM= MB′， ∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′， ∴BM=B′M， ∴CM= BM， ∵BC= +1， ∴CM+BM= BM+BM= +1， ∴BM=1， 综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 + 或1， 故答案为： + 或1． 【点评】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM= MB′，列方程即可得到结论．
三、解答题
4.（2017?北京）如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．已知AB=6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0） 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
2.0
2.3
2.1
________
0.9
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为________cm．
【答案】（1）1.6 （2）解：利用描点法，图象如图所示．
（3）2.2
【解析】解：（1）通过取点、画图、测量可得x﹣4时，y=1.6cm，故答案为1.6．（3）当△PAN为等腰三角形时，x=y，作出直线y=x与图象的交点坐标为（2.2，2.2）， ∴△PAN为等腰三角形时，PA=2.2cm． 故答案为2.2． 【点评】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线y=x与图象的交点，交点的横坐标即可AP的长．
5.（2017?宁夏）直线y=kx+b与反比例函数y= （x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵y=kx+b与反比例函数y= （x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n）， ∴m=2，n=1， ∴A（2，3），B（6，1）， 则有 ，解得 ， ∴直线AB的解析式为y=﹣ x+4 （2）解：如图①当PA⊥OD时，∵PA∥OC， ∴△ADP∽△CDO， 此时p（2，0）． ②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO， ∵直线AB的解析式为y=﹣ x+4， ∴直线P′A的解析式为y=2x﹣1， 令y=0，解得x= ， ∴P′（ ，0）， 综上所述，满足条件的点P坐标为（2，0）或（ ，0）．
【点评】（1）首先确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）分两种情形讨论求解即可．
6.（2011?贵港）如图，已知直线y=﹣ x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．
（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：A的坐标是（0，2），抛物线的解析式是y= （x+2）2 ． 联立直线与抛物线解析式可得B点坐标为（﹣5， ） （2）解：如图，P为线段AB上任意一点，连接PM， 过点P作PD⊥x轴于点D， 设P的坐标是（x，﹣ x+2），则在Rt△PDM中， PM2=DM2+PD2 即l2=（﹣2﹣x）2+（﹣ x+2）2= x2+2x+8， P为线段AB上一个动点，故自变量x的取值范围为：﹣5＜x＜0， 答：l2与x之间的函数关系是l2= x2+2x+8，自变量x的取值范围是﹣5＜x＜0． （3）解：存在满足条件的点P， 连接AM， 由题意得，AM= =2 ， ①当PM=PA时， x2+2x+8=x2+（﹣ x+2﹣2）2 ， 解得：x=﹣4， 此时y=﹣ ×（﹣4）+2=4， ∴点P1（﹣4，4）； ②当PM=AM时， x2+2x+8=（2 ）2 ， 解得：x1=﹣ ??? x2=0（舍去）， 此时y=﹣ ×（﹣ ）+2= ， ∴点P2（﹣ ， ）， ③当PA=AM时，x2+（﹣ x+2﹣2）2=（2 ）2 ， 解得：x1=﹣ ? x2= （舍去）， 此时y=﹣ ×（﹣ ）+2= ， ∴点P3（﹣ ， ）， 综上所述，满足条件的点为： P1（﹣4，4）、P2（﹣ ， ）、P3（﹣ ， ）， 答：存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标是（﹣4，4）或（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．
【点评】（1）把x=0代入求出A的坐标，求出直线与抛物线的交点坐标即可；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，设P的坐标是（x，﹣ x+2），根据勾股定理求出x即可；（3）连接AM，求出AM，①当PM=PA时，根据勾股定理得到 x2+2x+8=x2+（﹣ x+2﹣2）2 ， 求出方程的解即可；同理②当PM=AM时，求出P的坐标；③当PA=AM时，求出P的坐标．
7.（2017·丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设 =n.
（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.
【答案】见解析
【解析】（1）证明：由对称得AE=FE，∴∠EAF=∠EFA， ∵GF⊥AE，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°， ∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF. ∴AE=EG. （2）解：设AE=a，则AD=na， 当点F落在AC上时（如图1）， 由对称得BE⊥AF， ∴∠ABE+∠BAC=90°， ∵∠DAC+∠BAC=90°， ∴∠ABE=∠DAC， 又∵∠BAE=∠D=90°， ∴△ABE~△DAC , ∴ ∵AB=DC，∴AB2=AD·AE=na·a=na2, ∵AB>0，∴AB= . ∴ . （3）解：设AE=a，则AD=na，由AD=4AB，则AB= . 当点F落在线段BC上时（如图2），EF=AE=AB=a， 此时 ，∴n=4. ∴当点F落在矩形外部时，n>4. ∵点F落在矩形的内部，点G在AD上， ∴∠FCG<∠BCD，∴∠FCG<90°， 若∠CFG=90°，则点F落在AC上，由（2）得 ，∴n=16. 若∠CGF=90°（如图3），则∠CGD+∠AGF=90°， ∵∠FAG+∠AGF=90°， ∴∠CGD=∠FAG=∠ABE， ∵∠BAE=∠D=90°， ∴△ABE~△DGC， ∴ ， ∴AB·DC=DG·AE，即（ ）2=（n-2）a·a. 解得 或 （不合题意，舍去）， ∴当n=16或 时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形.
【点评】（1）因为GF⊥AF，由对称易得AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E是AG的中点；（2）可设AE=a，则AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可证明△ABE~△DAC , 则 ，因为AB=DC，且DA，AE已知表示出来了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形时的n，需要分类讨论，一般分三个，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答.
8.（2017?天津）已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'． ①当点P'落在该抛物线上时，求m的值； ②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）， ∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2， ∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3， ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）； （2）解：①由P（m，t）在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3， ∵点P′与P关于原点对称， ∴P′（﹣m，﹣t）， ∵点P′落在抛物线上， ∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3， ∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m= 或m=﹣ ； ②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限， ∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0， ∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴﹣4≤t＜0， ∵P在抛物线上， ∴t=m2﹣2m﹣3， ∴m2﹣2m=t+3， ∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t）， ∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+ ）2+ ； ∴当t=﹣ 时，P′A2有最小值， ∴﹣ =m2﹣2m﹣3，解得m= 或m= ， ∵m＞0， ∴m= 不合题意，舍去， ∴m的值为 ．
【点评】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2 ， 再由点P′在抛物线上，可用消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．
9.（2017?乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E． ①当PE=2ED时，求P点坐标； ②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵点B（4，m）在直线y=x+1上， ∴m=4+1=5， ∴B（4，5）， 把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5 （2）解：①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0）， 则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|， ∵PE=2ED， ∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|， 当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去， ∴P（2，9）； 当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去， ∴P（6，﹣7）； 综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）； ②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0）， ∴BE= = |x﹣4|，CE= = ，BC= = ， 当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况， 当BE=CE时，则 |x﹣4|= ，解得x= ，此时P点坐标为（ ， ）； 当BE=BC时，则 |x﹣4|= ，解得x=4+ 或x=4﹣ ，此时P点坐标为（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）； 当CE=BC时，则 = ，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）； 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（ ， ）或（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）或（0，5）
【点评】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．
10.（2017?天水）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0， 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 对称轴为直线x= =1 （2）解：∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0）， ∴0=﹣k+b， 即k=b， ∴直线l：y=kx+k， ∵抛物线与直线l交于点A，D， ∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k， 即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0， ∵CD=4AC， ∴点D的横坐标为4， ∴﹣3﹣ =﹣1×4， ∴k=a， ∴直线l的函数表达式为y=ax+a （3）解：过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a）， 则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a， ∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF= （ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣ （ax2﹣3ax﹣4a）x= （ax2﹣3ax﹣4a）= a（x﹣ ）2﹣ a， ∴△ACE的面积的最大值=﹣ a， ∵△ACE的面积的最大值为 ， ∴﹣ a= ， 解得a=﹣ ； （4）解：以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形， 令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0， 解得：x1=1，x2=4， ∴D（4，5a）， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 设P（1，m）， ①若AD是矩形ADPQ的一条边， 则易得Q（﹣4，21a）， m=21a+5a=26a，则P（1，26a）， ∵四边形ADPQ是矩形， ∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2 ， ∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2 ， 即a2= ， ∵a＜0， ∴a=﹣ ， ∴P（1，﹣ ）； ②若AD是矩形APDQ的对角线， 则易得Q（2，﹣3a）， m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a）， ∵四边形APDQ是矩形， ∴∠APD=90°， ∴AP2+PD2=AD2 ， ∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2 ， 即a2= ， ∵a＜0， ∴a=﹣ ， ∴P（1，﹣4）， 综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣ ）或（1，﹣4）．
【点评】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
11.（2017?云南）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP= AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA， ∵AC∥OP， ∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP， ∴∠COP=∠BOP， ∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴∠OBP=90°， 在△POC与△POB中， ， ∴△COP≌△BOP， ∴∠OCP=∠OBP=90°， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：过O作OD⊥AC于D， ∴∠ODC=∠OCP=90°，CD= AC， ∵∠DCO=∠COP， ∴△ODC∽△PCO， ∴ ， ∴CD?OP=OC2 ， ∵OP= AC， ∴AC= OP， ∴CD= OP， ∴ OP?OP=OC2 ∴ = ， ∴sin∠CPO= = ； （3）解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC， ∵AC=9，AB=15， ∴BC= =12， 当CM⊥AB时， d=AM，f=BM， ∴d+f=AM+BM=15， 当M与B重合时， d=9，f=0， ∴d+f=9， ∴d+f的取值范围是：9≤d+f≤15．
【点评】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠A=∠OCA；再根据AC∥OP，得出∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，等量代换得出∠COP=∠BOP， 再由PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，得出∠OBP=90°，根据条件得到△COP≌△BOP，由全等三角形性质得出∠OCP=∠OBP=90°，? 从而得出PC是⊙O的切线； （2）过O作OD⊥AC于D，从而得出∠ODC=∠OCP=90°，CD= AC，由已知条件得出△ODC∽△PCO，再由相似三角形的性质得出 ，再由已知条件得出 = ，从而得出sin∠CPO= = ； （3）连接BC，由AB是⊙O的直径得出AC⊥BC，再由已知条件根据勾股定理得出BC= =12，之后分情况讨论①当CM⊥AB时，d=AM， f=BM，从而得出d+f=AM+BM=15；②当M与B重合时，d=9，f=0，从而得出d+f=9；得出d+f的取值范围是：9≤d+f≤15．
12.（2017?南充）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF= AB．
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB ， 求△PAB周长的最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°， ∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF= AB． ∴ = ， = ， ∴ ， ∴△AEF∽△BAG， ∴∠AEF=∠BAG， ∵∠BAG+∠EAO=90°， ∴∠AEF+∠EAO=90°， ∴∠AOE=90°， ∴EF⊥AG； （2）解：成立；理由如下： 根据题意得： = ， ∵ = ， ∴ ， 又∵∠EAF=∠ABG， ∴△AEF∽△BAG， ∴∠AEF=∠BAG， ∵∠BAG+∠EAO=90°， ∴∠AEF+∠EAO=90°， ∴∠AOE=90°， ∴EF⊥AG （3）解：过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如图所示： 则MN⊥AD，MN=AB=4， ∵P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB ， ∴点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小， 此时PA=PB，PM= MN=2， 连接EG、PA、PB，则EG∥AB，EG=AB=4， ∴△AOF∽△GOE， ∴ = ， ∵MN∥AB， ∴ = ， ∴AM= AE= ×2= ， 由勾股定理得：PA= = ， ∴△PAB周长的最小值=2PA+AB= +4．
【点评】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，证出 ，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性质得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE=90°即可；（2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；（3）过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，则MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB，PM= MN=2，连接EG，则EG∥AB，EG=AB=4，证明△AOF∽△GOE，得出 = ，证出 = ，得出AM= AE= ，由勾股定理求出PA，即可得出答案．
13.（2017?海南）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE= 时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°， ∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°， ∵CF⊥CE， ∴∠ECF=90°， ∴∠3+∠2=∠ECF=90°， ∴∠1=∠3， 在△CDE和△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF （2）解：在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴△GBF∽△EAF， ∴ ， 由（1）知，△CDE≌△CBF， ∴BF=DE= ， ∵正方形的边长为1， ∴AF=AB+BF= ，AE=AD﹣DE= ， ∴ ， ∴BG= ， ∴CG=BC﹣BG= （3）解：不能， 理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG， ∴AD﹣AE=BC﹣CG， ∴DE=BG， 由（1）知，△CDE≌△ECF， ∴DE=BF，CE=CF， ∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形， ∴∠GFB=45°，∠CFE=45°， ∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°， 此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符， ∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．
【点评】（1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．
14.（2017?广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2 ，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为________；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证： = ； ②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
【答案】（1）（2 ，2） （2）解：存在．理由如下： 连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC． ∵∠BDE=∠BCE=90°， ∴KD=KB=KE=KC， ∴B、D、E、C四点共圆， ∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC， ∵tan∠ACO= = ， ∴∠ACO=30°，∠ACB=60° ①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC， ∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°， ∴∠DBC=∠BCD=60°， ∴△DBC是等边三角形， ∴DC=BC=2， 在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2， ∴AC=2AO=4， ∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2． ∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形． ②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°， ∴∠ABD=∠ADB=75°， ∴AB=AD=2 ， 综上所述，满足条件的AD的值为2或2 （3）解：①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆， ∴∠DBC=∠DCE=30°， ∴tan∠DBE= ， ∴ = ． ②如图2中，作DH⊥AB于H． 在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°， ∴DH= AD= x，AH= = x， ∴BH=2 ﹣ x， 在Rt△BDH中，BD= = ， ∴DE= BD= ? ， ∴矩形BDEF的面积为y= [ ]2= （x2﹣6x+12）， 即y= x2﹣2 x+4 ， ∴y= （x﹣3）2+ ， ∵ ＞0， ∴x=3时，y有最小值 ．
【解析】解：（1）∵四边形AOCB是矩形， ∴BC=OA=2，OC=AB=2 ，∠BCO=∠BAO=90°， ∴B（2 ，2）． 故答案为（2 ，2）． 【点评】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO= = ，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；
15.（2017?东营）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°， ∴∠ABD=∠ACB=30°， ∴∠ABD=∠ADE=30°， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB， ∴∠EDC=∠DAB， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°， 过A作AF⊥BC于F， ∴∠AFB=90°， ∵AB=2，∠ABF=30°， ∴AF= AB=1， ∴BF= ， ∴BC=2BF=2 ， ∵BD=x，AE=y 则DC=2 ﹣x，EC=2﹣y， ∵△ABD∽△DCE， ∴ ， ∴ ， 化简得：y= x+2（0＜x＜2 ）； （3）解：当AD=DE时，如图2， 由（1）可知：此时△ABD∽△DCE， 则AB=CD，即2=2 ﹣x， x=2 ﹣2，代入y= x+2， 解得：y=4﹣2 ，即AE=4﹣2 ， 当AE=ED时，如图3， ∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°， ∴∠DEC=60°，∠EDC=90°， 则ED= EC，即y= （2﹣y）， 解得：y= ，即AE= ， 当AD=AE时， ∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°， 此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在， ∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2 或 ．
【点评】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2 ﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED= EC，即y= （2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°， 此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．
16.（2017?常德）如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1， ）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为 时的点P的坐标．
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+c， ∵点（2，2），（1， ）在抛物线上， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为y= x2+1， ∴N点坐标为（0，1） （2）证明：设P（t， t2+1），则C（0， t2+1），PA= t2+1， ∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N（0，1）， ∴M（0，2）， ∵OC= t2+1，ON=1， ∴DM=CN= t2+1﹣1= t2 ， ∴OD= t2﹣1， ∴D（0，﹣ t2+1）， ∴DM=2﹣（﹣ t2+1）= t2+1=PA，且PM∥DM， ∴四边形PMDA为平行四边形 （3）解：同（2）设P（t， t2+1），则C（0， t2+1），PA= t2+1，PC=|t|， ∵M（0，2）， ∴CM= t2+1﹣2= t2﹣1， 在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM= = = = t2+1=PA，且四边形PMDA为平行四边形， ∴四边形PMDA为菱形， ∴∠APM=∠ADM=2∠PDM， ∵PE⊥y轴，且抛物线对称轴为y轴， ∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM， ∴∠PDE=∠APM，且 = ， ∴△DPE∽△PAM； ∵OA=|t|，OM=2， ∴AM= ，且PE=2PC=2|t|， 当相似比为 时，则 = ，即 = ，解得t=2 或t=﹣2 ， ∴P点坐标为（2 ，4）或（﹣2 ，4）
【点评】（1）由已知点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，可求得其顶点N的坐标；（2）设P点横坐标为t，则可表示出C、D、M、A的坐标，从而可表示出PA和DM的长，由PA=DM可证得结论；（3）设P点横坐标为t，在Rt△PCM中，可表示出PM，可求得PM=PA，可知四边形PMDA为菱形，由菱形的性质和抛物线的对称性可得∠PDE=∠APM，可证得结论，在Rt△AOM中，用t表示出AM的长，再表示出PE的长，由相似比为 可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得P点坐标．
一、填空题
1. () 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A点出发，以1cm/s的速度，沿A﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t=________秒时，△PCQ的面积等于8cm2 ．
【答案】2或4或
【解析】解：①设经过x秒，使△PCQ的面积等于8cm2 ， 点P在线段AC上，点Q在线段CB上（0＜x≤4）， 依题意有 （6﹣x）?2x=8， 解得x1=2，x2=4， 经检验，x1 ， x2均符合题意． 故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2； ②点P在线段AC上，点Q在线段BA上（4＜m＜6）如图1， 设经过m秒，使△PCQ的面积等于8cm2 ， 则BQ=2m﹣8，AQ=18﹣2m， 过Q作QH⊥AC于H，则QH∥BC， ∴ = ， ∴ = ， ∴QH= ， ∴依题意有 （6﹣m）? =8， 解得：m= （不合题意）； ③点P在线段BC上，点Q在线段AB上（6＜x＜9），如图2， 设经过n秒，使△PCQ的面积等于8cm2 ， 则PC=n﹣6BQ=2n﹣8， 过Q作QD⊥BC于D，则QD∥AC， ∴ = ， ∴ = ， ∴QD= ， ∴依题意有 （n﹣6）? =8， 解得：n= ，n= （不合题意）； 综上所述，当t=2或4或 秒时，△PCQ的面积等于8cm2 ． 故答案为：2或4或 ． 【点评】此题是双动点问题，要用到数学中的分类讨论的思想方法。分三种情况：①点P在线段AC上，点Q在线段CB上（0＜x≤4）；②点P在线段AC上，点Q在线段BA上（4＜m＜6）；③点P在线段BC上，点Q在线段AB上（6＜x＜9），根据等量关系：△PCQ的面积=8，列出方程，求解即可。
二、解答题
2. () 如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：CF=BD，且CF⊥BD，证明如下： ∵∠FAD=∠CAB=90°， ∴∠FAC=∠DAB． 在△ACF和△ABD中， ， ∴△ACF≌△ABD ∴CF=BD，∠FCA=∠DBA， ∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°， ∴FC⊥CB， 故CF=BD，且CF⊥BD （2）解：（1）的结论仍然成立，如图2，∵∠CAB=∠DAF=90°， ∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD， 即∠CAF=∠BAD， 在△ACF和△ABD中， ， ∴△ACF≌△ABD（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°， ∴CF⊥BD； ∴CF=BD，且CF⊥BD．
【点评】（1）根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD；（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；
3. () 如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB，BC分别交于D，E，且BD=2AD
（1）求k的值和点E的坐标；
（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：∵AB=4，BD=2AD， ∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4， ∴AD= ， 又∵OA=3， ∴D（ ，3）， ∵点D在双曲线y= 上， ∴k= ×3=4； ∵四边形OABC为矩形， ∴AB=OC=4， ∴点E的横坐标为4． 把x=4代入y= 中，得y=1， ∴E（4，1） （2）解：假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m． ∵∠APE=90°， ∴∠APO+∠EPC=90°， 又∵∠APO+∠OAP=90°， ∴∠EPC=∠OAP， 又∵∠AOP=∠PCE=90°， ∴△AOP∽△PCE， ∴ ， ∴ ， 解得：m=1或m=3， ∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．
【点评】（1）根据矩形的性质求出AD的值，和D点的坐标，由点D在双曲线上，求出k的值，得到E点的坐标；（2）由∠APE=90°，得到∠EPC=∠OAP，由两角对应相等两三角形相似，得到△AOP∽△PCE，得到比例，求出点P的坐标.
4. () 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则 ， 解得 ． 故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3 （2）解：依题意：设M点坐标为（0，t）， ①当MA=MB时： 解得t=0， 故M（0，0）； ②当AB=AM时： 解得t=3（舍去）或t=﹣3， 故M（0，﹣3）； ③当AB=BM时， 解得t=3±3 ， 故M（0，3+3 ）或M（0，3﹣3 ）． 所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3 ）、（0，3﹣3 ） （3）解：平移后的三角形记为△PEF． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则 ， 解得 ． 则直线AB的解析式为y=﹣x+3． △AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF， 易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m． 设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则 ， 解得 ． 则直线AC的解析式为y=﹣2x+6． 连结BE，直线BE交AC于G，则G（ ，3）． 在△AOB沿x轴向右平移的过程中． ①当0＜m≤ 时，如图1所示． 设PE交AB于K，EF交AC于M． 则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m， 联立 ， 解得 ， 即点M（3﹣m，2m）． 故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM = PE2﹣ PK2﹣ AF?h = ﹣ （3﹣m）2﹣ m?2m =﹣ m2+3m． ②当 ＜m＜3时，如图2所示． 设PE交AB于K，交AC于H． 因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m， 又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6， 所以当x=m时，得y=6﹣2m， 所以点H（m，6﹣2m）． 故S=S△PAH﹣S△PAK = PA?PH﹣ PA2 =﹣ （3﹣m）?（6﹣2m）﹣ （3﹣m）2 = m2﹣3m+ ． 综上所述，当0＜m≤ 时，S=﹣ m2+3m；当 ＜m＜3时，S= m2﹣3m+ ．
【点评】（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得AB平移m个单位所得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（ ，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．根据图象，易知重叠部分面积有两种情况：①当0＜m≤ 时；②当 ＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．
5. () 二次函数y=（x﹣1）2+k分别与x轴、y轴交于A、B、C三点，点A在点B的左侧，直线y=﹣ x+2经过点B，且与y轴交于点D．
（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，在第一象限的抛物线上有一动点P，连接AP，过P作PE⊥x轴于点E，过E作EF⊥AP于点F，过点D作平行于x轴的直线分别与直线FE、PE交于点G、H，设点P的横坐标为t，线段GH的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点G作平行于y轴的直线分别交AP、x轴和抛物线于点M、T和N，tan∠MEA= ，点K为第四象限抛物线上一点，且在对称轴左侧，连接KA，在射线KA上取一点R，连接RM，过点K作KQ⊥AK交PE的延长线于Q，连接AQ、HK，若∠RAE﹣∠RMA=45°，△AKQ与△HKQ的面积相等，求点R的坐标．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：在一次函数y=﹣ x+2中，令y=0，得：0=﹣ x+2， 解得x=3， ∴B（3，0）． 令x=0得y=2， ∴D（0，2）． 将B（3，0），代入y=（x﹣1）2+k得：4+k=0， ∴k=﹣4． （2）解：如答图1所示： ∵PE⊥x轴，EF⊥AP， ∴∠PEA=∠EFA=90° ∵∠PEF+∠FEA=90°，∠PAE+∠FEA=90° ∴∠PEF=∠PAE． ∵DH∥x轴?? HE⊥x轴 ∴∠HDO=∠DOE=∠PEO=90° ∴四边形DOEH为矩形． ∴HE=2． ∴ = ， ∴ = ． ∴d=2t﹣6．（t＞3）． （3）解：∵∠TGH=∠GTE=∠TEH=90°， ∴GHET为矩形． ∴GH=d=ET=2t﹣6． ∵tan∠MEB= ， ∴ = ， ∴MT=3t﹣9． ∵ = ． ∴ = ， 解得t=4． ∴P（4，5）． ∴AT=AE﹣ET=t+1﹣（2t﹣6）=7﹣t=3． ∴M（2，3） 把x=2代入y=x2﹣2x﹣3中，得N（2，﹣3） ∴MT=TN=AT，∠MAT=90°． ∵∠RAE﹣∠RMA=45°， ∴∠RAE﹣45°=∠RMA， ∴∠RAM=∠RMA， ∵S△AKQ=S△HKQ ， 作HW⊥KQ． ∴AK∥HW，AK=HW， ∴四边形AKWH是矩形， ∴∠RAH=∠HAK=90°， ∴∠RAM=∠HAN． ∵A（﹣1，0），H（4，2），N（2，﹣3）， ∴AH=HN= ， ∴∠HAN=∠HNA=∠RAM=∠RMA． ?又∵AM=AN， ∴△RAM≌△HAN， ∴AR=AH． 过R作RL⊥x轴， ∴∠RLA=∠AEH=90°， ∵∠RAL+∠HAE=90，∠HAE+∠AHE=90， ∴∠RAL=∠AHE， ∴△ARL≌△AHE． ∴RL=AE=5，AL=HE=3 ∴R（﹣3，5）． 由∠RAM﹣∠RMA=45°可知∠RAV=∠RVA，∠RMT=∠HAE，tan∠RMT=tan∠HAE= ，V（ ，0）， 直线MR的解析式为y= x﹣2，直线AK的解析式为y=﹣ x﹣ ， 交点R（﹣ ， ）．
【点评】?（1）先求出一次函数与两坐标轴的交点B、D的坐标，再将点B的坐标代入二次函数解析式即可求得k的值。 （2）根据已知PE⊥x轴，EF⊥AP，得出∠PEA=∠EFA=90°，再根据同角的余角相等，证得∠PEF=∠PAE．根据矩形的性质得出HE=2．然后利用三角形函数的定义得出线段成比例，建立方程，可求出d与t的函数关系式及x的取值范围。 （3）利用（2）中求得的函数关系式，根据矩形的性质及三角函数的定义先求出点P和点M的坐标，由MN平行y轴，因此将x=2代入二次函数解析式，即可求得点N的坐标，即可得出MT=TN=AT，添加辅助线作HS⊥KQ．去证明四边形AKSH是矩形，推出∠RAM=∠HAN，再证明△RAM≌△HAN，得出AR=AH．过R作RL⊥x轴，易正明△ARL≌△AHE．得出RL=AE=5，AL=HE=3，可得到点R的坐标，再求出直线MR的解析式和直线AK的解析式，即可求出两直线的交点R的坐标。
6. () 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：当点N落在BD上时，如图1． ∵四边形PQMN是正方形， ∴PN∥QM，PN=PQ=t． ∴△DPN∽△DQB． ∴ ． ∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4， ∴ ． ∴t= ． ∴当t= 时，点N落在BD上 （2）解：①如图2， 则有QM=QP=t，MB=4﹣t． ∵四边形PQMN是正方形， ∴MN∥DQ． ∵点O是DB的中点， ∴QM=BM． ∴t=4﹣t． ∴t=2． ②如图3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°． ∵AB=4，AD=3， ∴DB=5． ∵点O是DB的中点， ∴DO= ． ∴1×t=AD+DO=3+ ． ∴t= ． ∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜ （3）解：①当0＜t≤ 时，如图4． S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2 ． ②当 ＜t≤3时，如图5， ∵tan∠ADB= = ， ∴ = ． ∴PG=4﹣ t． ∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣ t）= ﹣4． ∵tan∠NFG=tan∠ADB= ， ∴ ． ∴NF= GN= （ ﹣4）= t﹣3． ∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF =t2﹣ ×（ ﹣4）×（ t﹣3） =﹣ t2+7t﹣6． ③当3＜t≤ 时，如图6， ∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形． ∴∠PQM=∠DAB=90°． ∴PQ∥AD． ∴△BQP∽△BAD． ∴ = = ． ∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3， ∴ ． ∴BQ= ，PQ= ． ∴QM=PQ= ． ∴BM=BQ﹣QM= ． ∵tan∠ABD= ， ∴FM= BM= ． ∴S=S梯形PQMF= （PQ+FM）?QM = [ + ]? = （8﹣t）2 = t2﹣ t+ ． 综上所述：当0＜t≤ 时，S=t2 ． 当 ＜t≤3时，S=﹣ t2+7t﹣6． 当3＜t≤ 时，S= t2﹣ t+ （4）解：设直线DN与BC交于点E， ∵直线DN平分△BCD面积， ∴BE=CE= ． ①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7， 则有△DPN∽△DHE． ∴ ． ∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE= ，EH=AB=4， ∴ ． 解得；t= ． ②点P在DO上，连接OE，如图8， 则有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN． ∴△DPN∽△DOE． ∴ ． ∵DP=t﹣3，DO= ，OE=2， ∴PN= （t﹣3）． ∵PQ= （8﹣t），PN=PQ， ∴ （t﹣3）= （8﹣t）． 解得：t= ． ③点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，如图9， 则有OE=2，OE∥DC． ∴△DSC∽△ESO． ∴ ． ∴SC=2SO． ∵OC= ， ∴SO= = ． ∵PN∥AB∥DC∥OE， ∴△SPN∽△SOE． ∴ ． ∵SP=3+ + ﹣t= ，SO= ，OE=2， ∴PN= ． ∵PR∥MN∥BC， ∴△ORP∽△OEC． ∴ ． ∵OP=t﹣ ，OC= ，EC= ， ∴PR= ． ∵QR=BE= ， ∴PQ=PR+QR= ． ∵PN=PQ， ∴ = ． 解得：t= ． 综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为 、 、 ．
【点评】此题是几何动态问题，（1）根据题意可证明△DPN∽△DQB，得出对应边成比例，建立方程，即可求出t的值。 （2）要求t的取值范围，最关键是需考虑两个临界位置：MN经过点O即点P与点O重合和点P与点O不重合，就可以求得点O在正方形PQMN内部时t的取值范围。 （3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，由于正方形PQMN与△ABD重叠部分的形状不同，因此有三种情况，然后运用相似三角形、锐角三角函数、正方形等相关知识求出s与t的函数关系式。 （4）由题意可知点P在折线AD﹣DO﹣OC上运动，因此可分三种情况考虑，①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，易证△DPN∽△DHE．建立方程，即可求解；②点P在DO上，连接OE，可得出OE∥DC∥AB∥PN，得到△△DPN∽△DOE，即可得出结论；③点P在OC上，运用三角形相似等知识就可以求出当直线DN平分△BCD面积时t的值。
7. () 如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（n，6），点B的坐标为（12，1） ．
（1）分别求m、k、b的值．
（2）点C为y轴上一动点，若S△ABC=15，求点C的坐标．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：把点B的坐标（12，1）代入y= ，得m=12， 把点A的坐标（n，6）代入y= ，得n=2， ∴点A的坐标为（2，6）， 由直线y=kx+b过点A，点B，得 ， 解得 ． （2）解：如图，连接AC，BC， 直线AB与y轴的交点为D（0，7）， 设点C的坐标为（0，c）， ∴DC=|c﹣7|． ∵S△ABC=S△BCD﹣S△ACD=15， ∴ ×|c﹣7|×（12﹣2）=15， ∴|c﹣7|=3， ∴c1=4，c2=10． ∴点C的坐标为（0，4）或（0，10）．
【点评】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，即可求出点A的坐标，再将点A、点B两点坐标代入一次函数解析式即可k的值。 （2）求出直线AB与y轴的交点坐标，根据设出点C的坐标，就可以表示出DC的长，根据S△ABC=15建立方程，解方程即可求得点C的坐标。注意：点C可能在点D的上方也可能在点D的下方。
8. () 如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=25，BC=40，动点P从B出发沿BC向C运动，速度为10单位/秒．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为5单位/秒，当一个点到达终点的时候两个点同时停止运动，点P′是点P关于直线AC的对称点，连接P′P和P′Q，设运动时间为t秒．
（1）若当t的值为m时，PP′恰好经过点A，求m的值．
（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（m＜t≤4）
（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分角∠P′PC？存在，求相应的t值，不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：如图1中，作AM⊥BC于M． ∵AB=AC=25，AM⊥BC， ∴BM=MC=20， 在Rt△ABM中，AM= = =15， 当PP′恰好经过点A，∵cos∠C= = ， ∴ = ， ∴t= ． ∴m= s （2）解：如图2中，设PP′交AC于N． 当 ＜t≤4时，由△PCN∽△ACM，可得PC=40﹣10t，PN=P′N=24﹣6t，CN=32﹣8t， ∵CQ=5t， ∴NQ=CN﹣CQ=32﹣13t， ∴y= ?PP′?NQ= （48﹣12t）?（32﹣13t）=78t2﹣504t+768（ ＜t≤4） （3）解：存在．理由如下： 如图3中，作QE⊥BC于E． ∵PQ平分∠CPP′，QE⊥PC，QN⊥PP′， ∴QN=QE， ∵sin∠C= = ， ∴t=2， ∴t=2时，PQ平分角∠P′PC
【点评】（1）由∠C的余弦定义既在Rt△APC，又可在Rt△ACM中列出比例式，二者相等，构建方程，求出m;（2）由△PCN∽△ACM,可表示出PC=40﹣10t，PN=P′N=24﹣6t,CN=32﹣8t，代入面积公式，即可得y=? ?PP′?NQ=78t2﹣504t+768;（3）利用∠C的正弦有两种表示的比例式，二者相等，可列出方程,求出t.
9. () 如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx得 ，解得 ， ∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x； （2）解：过P点作PD⊥BH交BH于点D，如图1，
设点P（m，﹣m2+4m）， BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1， ∵S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD ， ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m）=6， 整理得3m2﹣15m=0，解得m1=0（舍去），m2=5， ∴点P坐标为（5，﹣5）； （3）解：∵抛物线的对称性为直线x=2， 而点C、B关于抛物线的对称轴对称， ∴C（3，3）， 以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： ①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，
CM=MN，∠CMN=90°，易证得△CBM≌△MHN， ∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1， ∴MC= = ， ∴S△CMN= × × = ； ②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，
过点M作DE⊥y轴，作NE⊥DE于E，CD⊥DE于D，作辅助线，易得Rt△NEM≌Rt△MDC， ∴MD=NE=BC=2，EM=CD=BM=3+2=5， ∴CM= = ， ∴S△CMN= × × = ； ③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，
CN=MN，∠MNC=90°，易得Rt△NEM≌Rt△CDN， ∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD+BC=EM+BC=5， ∴CN= = ， ∴S△CMN= × × =17； ④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图5，
易得Rt△NEM≌Rt△CDN， ∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD﹣BC=EM﹣BC=1， ∴CN= = ， ∴S△CMN= × × =5； ⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上所述：△CMN的面积为： 或 或17或5．
【点评】本题是二次函数与几何的综合题目.此题目综合性比较强，解答此题的关键是结合图形做出辅助线. （1）利用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）过P作PD⊥BH交BH于点D，设P点的坐标为 ， 则BH=AH=3，HD=m2-4m，PD=m-1，根据S△ABP+S四边形HAPD-S△BPD得到关于m的方程，解方程可得P的坐标； （3）先利用抛物线的对称性得到C（3，3），下面分五种情况讨论：①以点M在直角顶点且M在x轴上方时；②以点M在直角顶点且M在x轴下方时；③以点N在直角顶点且N在y轴左侧时；④以点N在直角顶点且N在y轴右侧时；⑤以点C在直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形.
10. () 在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．
（1）如图1，当BE=2时，求FC的长；
（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P． ①依题意将图2补全； ②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法： 想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP． 想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，需证△EHP为等腰三角形． 想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形． 请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）
【答案】见解析
【解析】
（1）解∵正方形ABCD的边长为5，BE=2， ∴EC=3． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵AE⊥EF， ∴∠FEC+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF． ∴△ABE∽△ECF， ∴ ，即 ， ∴FC= （2）解：①依题意补全图形： ②证明：在AB上截取AG=EC，连接EG． ∵AB=BC， ∴GB=EB． ∵∠B=90°， ∴∠BGE=45°， ∴∠AGE=135°． ∵∠DCB=90°，CP是正方形ABCD外角平分线， ∴∠ECP=135°． ∴∠AGE=∠ECP． 在△AGE和△ECP中， ， ∴△AGE≌△ECP． ∴AE=PE．
【点评】（1）根据正方形的性质求出EC，证明△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）①根据题意画图；②在AB上截取AG=EC，连接EG，证明△AGE≌△ECP，根据全等三角形的性质证明．
11. () 如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当CM=MN，且∠CMN=90°时，求此时△CMN的面积．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得 解得： ， ∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x （2）解：抛物线对称轴为x=﹣ =2． ∵点C，B关于抛物线的对称轴对称，点B的坐标为（1，3）， ∴点C的坐标为（3，3）． ∴BC=2， ∴S△ABC= ×2×3=3 （3）解：过P点作PD⊥BH交BH于点D． 设点P（m，﹣m2+4m）， 根据题意得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1， ∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD ， 即6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m）． 整理得：3m2﹣15m=0， 解得：m1=0（舍去），m2=5， ∴点P坐标为（5，﹣5） （4）解：当CM=MN，且∠CMN=90°时，分情况讨论： ①当点M在x轴上方时，如图2所示： ∵∠CMN=90°， ∴∠BMC+∠NMH=90°． 又∵∠BMC+∠BCM=90°， ∴∠NMH=∠BCM． 在△BCM和△HMN中 ， ∴△CBM≌△MHN． ∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1， ∴M（1，2），N（2，0）， 由勾股定理得：MC= = ， ∴S△CMN= × × = ． ②当点M在x轴下方时，如图3所示：构造直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC ∵∠NMC=90°， ∴∠NME+∠CMD=90°． ∵∠ENM+∠EMN=90°， ∴∠CMD=∠ENM． 在Rt△NEM和Rt△MDC中 ∴Rt△NEM≌Rt△MDC． ∴EM=CD=5，MD=ME=2， 由勾股定理得：CM= = ， ∴S△CMN= × × = ； 综上所述：△CMN的面积为： 或
【点评】（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，求得a、b的值，从而得到抛物线的解析式；（2）先求得抛物线对称轴为x=2，由点B的坐标可得到点C的坐标，从而得到BC的长，然后依据三角形的面积公式求解即可（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D．设点P（m，﹣m2+4m），则BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，然后依据S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD ， 列出关于m的方程，从而可求得m的值于是可求得点P的坐标；（4）①当点M在x轴上方时，先证明三角形△CBM≌△MHN，从而可求得BC=MH=2，BM=1，于是可得到点M，N的坐标，然后依据勾股定理求得MC的长，最后依据三角形的面积公式求解即可；②如图3所示：当点M在x轴下方时，过点M作平行与x轴的直线，然后分别过点N和点C作x轴的垂线，从而可构造出直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC，接下来，再证明Rt△NEM≌Rt△MDC，依据全等三角形的性质可得到EM=CD=5，MD=ME=2，然后依据勾股定理可求得CM的长，最后依据三角形的面积公式求解即可．
12. () 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2x+m（m＞0）的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，抛物线的图象与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）点E是直线AC上一动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形，直接写出点F的坐标．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：由题意可知二次函数图象的对称轴是直线x=1，反比例函数解析式是y= ， 把x=1代入y= ，得y=5， ∴点A的坐标为（1，5）； （2）解：由题意可得点B的坐标为（1，0）， ∵OC=3OB， ∴OC=3， ∵m＞0， ∴m=3， 可设直线AC的表达式是y=kx+3， ∵点A在直线AC上， ∴k=2， ∴直线AC的表达式是y=2x+3； （3）解：当AB、BE为菱形的边时，如图1， 设E（x，2x+3），则BE= ， ∵四边形ABEF为菱形， ∴AB=BE=5， ∴ =5，解得x=1（E、A重合，舍去）或x=﹣3， 此时E（﹣3，﹣3）， ∵EF∥AB且EF=AB， ∴F（﹣3，2）， 当AB、AE为边时，则AE=AB=5， 同理可求得AE= ， ∴ =5，解得x=1﹣ （此时F点在第三象限，舍去）或x=1+ ， ∴E（1+ ，5+2 ）， ∵EF∥AB且EF=AB， ∴F（1+ ，2 ）； 当AB为对角线时，如图2， 则EF过AB的中点， ∵A（1，5），B（1，0）， ∴AB的中点为（1， ）， ∵EF⊥AB， ∴EF∥x轴， ∴E点纵坐标为 ，代入y=2x+3可得 =2x+3，解得x=﹣ ， ∴E（﹣ ， ）， ∴F（ ， ）； 综上可知F点的坐标为（﹣3，2）或（1+ ，2 ）或（ ， ）
【点评】（1）可求得抛物线对称轴方程和反比例函数解析式，则可求得A点坐标；（2）可求得B点坐标，再由OC=3OB可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的表达式；（3）当AB为菱形的边时，则BE=AB或AE=AB，设出E点坐标，可表示出BE的长，可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，由AB∥EF，则可求得F点的坐标；当AB为对角线时，则EF被AB垂直平分，则可求得E的纵坐标，从而可求得E点坐标，利用对称性可求得F点的坐标．
13. () 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2 ，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设AE=x，四边形DEFG的面积为S，求出S与x的函数关系式．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：如图，作EM⊥BC，EN⊥CD ∴∠MEN=90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM=EN， ∵∠DEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF， 在△DEM和△FEM中， ， ∴△DEM≌△FEM， ∴EF=DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； （2）解：CE+CG的值是定值，定值为4， ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE=DG，AD=DC， ∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠CDG=∠ADE， ∴△ADE≌△CDG， ∴AE=CG． ∴CE+CG=CE+AE=AC= AB= ×2 =4， （3）解：如图， ∵正方形ABCD中，AB=2 ， ∴AC=4， 过点E作EM⊥AD， ∴∠DAE=45°， ∵AE=x， ∴AM=EM= x， 在Rt△DME中，DM=AD﹣AM=2 ﹣ x，EM= x， 根据勾股定理得，DE2=DM2+EM2=（2 ﹣ x）2+（ x）2=x2﹣4x+8， ∵四边形DEFG为正方形， ∴S=S正方形DEFG=DE2=x2﹣4x+8．
【点评】（1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，则有DE=EF即可；（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4；（3）由正方形的性质得到∠DAE=45°，表示出AM=EM，再表示出DM，再用勾股定理求出DE2 ．
14. () 如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G分别是AB、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；
（3）求四边形EFGH面积的最小值．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=90°， AB=DA， ∵AE= DH， ∴BE= AH， ∴△AEH≌△BFE， ∴EH=FE，∠AHE=∠BEF， 同理：FE=GF=HG， ∴EH= FE=GF=HG， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠A=90°， ∴∠AHE＋∠AEH=90°， ∴∠BEF＋∠AEH=90°， ∴∠FEH=90°， ∴菱形EFGH是正方形； （2）解：直线EG经过正方形ABCD的中心， 理由如下：连接BD交EG于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥DC，AB=DC ∴∠EBD=∠GDB， ∵AE= CG， ∴BE= DG， ∵∠EOB=∠GOD， ∴△EOB≌△GOD， ∴BO=DO，即点O为BD的中点， ∴直线EG经过正方形ABCD的中心； （3）解：设AE= DH=x， 则AH=8－x， 在Rt△AEH中，EH2=AE2＋AH2=x2＋(8－x)2= 2x2－16x＋64=2(x－4)2＋32， ∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2.
【点评】（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（8-x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8-x）2=2（x-4）2+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值．
15. () 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：依题意得： ， 解之得： ， ∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3 ∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0）， ∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n， 得 ， 解之得： ， ∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3； （2）解：设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小． 把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2， ∴M（﹣1，2）， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）； （3）解：设P（﹣1，t）， 又∵B（﹣3，0），C（0，3）， ∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2 ， PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10， ①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2； ②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4， ③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1= ，t2= ； 综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1， ） 或（﹣1， ）．
【点评】（1）根据对称轴为直线x=﹣1抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，求出函数解析式，再求出抛物线与x轴的另一个交点坐标B，将B、C两点分别代入直线y=mx+n，即可求出此函数解析式。 （2）由于点A、B关于直线x=1对称，因此设直线BC与对称轴的交点为M，则此时MA+MC的值最小， 把x=﹣1代入直线y=x+3 ， 即可求得点M的坐标。 （3）P（﹣1，t），由点B、C的坐标分别求出BC2、PB2、PC2， 再分三种情况讨论：①若点B为直角顶点②若点C为直角顶点③若点P为直角顶点， 建立方程，求出符合题意的t的值，即可求出点P的坐标。
