9.3 图形综合证明
图形与证明是空间与图形的核心内容之一，也是中考的热点内容之一，它要求能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质;能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征;能够在头脑里构建几何对象,进行几何图形的分解与组合,能够对某些图形进行简单的变换;能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。解决此类问题的方法可归结为三种：一是综合法即由因导果，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；二是分析法即执果索因，从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；三是两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的.
一、选择题
1.（2017?江西）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（?? ）
A.?当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形 B.?当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C.?当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D.?当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
2.（2017?东营）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（?? ）
A.?①②③④????????????????????????????????B.?②③????????????????????????????????C.?①②④????????????????????????????????D.?①③④
3.（2017?深圳）如图，正方形 的边长是3， ，连接 交于点 ，并分别与边 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确结论的个数是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、解答题
4.（2017?北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
5.（2017?营口）在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形． ①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系________； ②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．
6.（2017?天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点 ，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；
（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
（3）当∠BPA'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
7.（2017?河北）平面内，如图，在?ABCD中，AB=10，AD=15，tanA= ，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在?ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）
8.（2017?呼和浩特）如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧 的中点，AC与BD交于点E．
（1）求证：DC2=CE?AC；
（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．
9.（2017?抚顺）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF,ON于点B、点C，连接AB,PB．
（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设 =k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．
10.（2017?长春）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒 个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．
11.（2017?大庆）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．
（1）求证：AB=CD；
（2）求证：CD2=BE?BC；
（3）当CG= ，BE= 时，求CD的长．
12.（2017?黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD． 旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出） 若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
13.（2017?天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
14.（2017?陕西）综合题
（1）问题提出 如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为________；
（2）问题探究 如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
（3）问题解决 某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了． 如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交 于点E，又测得DE=8m． 请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
15.（2017?云南）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP= AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．
16.（2017?阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；
一、选择题
1. () 在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法： ①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形 ②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 ③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形 其中正确的有（?? ）
A.?3个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?1个???????????????????????????????????????D.?0个
2. () 如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边AC相交于点G．如果AE=EC，∠AEG=∠B，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是（?? ）
A.? = ?????????????????????B.? = ?????????????????????C.? = ?????????????????????D.? =
二、解答题
3. () 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF=CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=2 ，求平行四边形ABCD的周长．
4. () 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．
5. () 如图①，若点P是△ABC内或边上一点，且∠BPC=2∠A，则称点P是△ABC内∠A的二倍角点．请用直尺和圆规对图②、图③作出符合要求的点（保留作图痕迹，不写作法．）
（1）如图②，在△ABC内求作一点Q，使点Q是△ABC内∠A的一个二倍角点；
（2）如图③，在△ABC外求作一点M，使点A是△MBC内∠M的一个二倍角点．
6. () 已知△ABE中，∠BAE=90°，以AB为直径作⊙O，与BE边相交于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AE于点D．
（1）求证：D是AE的中点；
（2）求证：AE2=EC?EB．
7. () 已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．
（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=________．
（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？
（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）
8. () 如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
9. () 在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD．
（1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD；
（2）如图2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF=60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若 EF⊥CD，直接写出 的值．
10. () 在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC． ①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明； ②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．
11. () 如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
12. () 已知I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，连BD．
（1）在图1中，求证：DB=DI；
（2）如图2，若AB为直径，且OI⊥AD于I点，DE切圆于D点，求sin∠ADE的值．
13. () 如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB ， BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
14. () 已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=________；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．
15. () 阅读下面材料： 小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长． 小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）． 请回答：求∠ACE的度数，AC的长． 参考小腾思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
16. () 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
9.3 图形综合证明
图形与证明是空间与图形的核心内容之一，也是中考的热点内容之一，它要求能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质;能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征;能够在头脑里构建几何对象,进行几何图形的分解与组合,能够对某些图形进行简单的变换;能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。解决此类问题的方法可归结为三种：一是综合法即由因导果，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；二是分析法即执果索因，从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；三是两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的.
一、选择题
1.（2017?江西）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（?? ）
A.?当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形 B.?当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C.?当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D.?当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
【答案】D
【解析】解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确； B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确； C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确； D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误； 故选：D． 【点评】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．
2.（2017?东营）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（?? ）
A.?①②③④????????????????????????????????B.?②③????????????????????????????????C.?①②④????????????????????????????????D.?①③④
【答案】C
【解析】解：∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴BE=2AE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正确； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴ ， ∴DP2=PH?PC，故④正确； 故选C． 【点评】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
3.（2017?深圳）如图，正方形 的边长是3， ，连接 交于点 ，并分别与边 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确结论的个数是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】C
【解析】解：①∵正方形 ABCD 的边长是3， BP=CQ. ∴△DAP≌△ABQ. ∴∠P=∠Q. ∴∠P+∠QAB=∠Q+∠QAB=90°. ∴AQ⊥DP. 故①正确. ②在Rt△DAP中，AO⊥DP. ∴△AOD∽△POA ∴=. ∴OA2=PO.OD. ∵OD≠OE. 故②错误. ③∵正方形 ABCD 的边长是3， BP=CQ. ∴△QCF≌△PBE. ∴CF=BE. ∵BC=DC. ∴DF=CE. ∴△ADF≌△DEC. ∴S△ADF-S△DOF=S△DEC-S△DOF. ∴SΔAOD=S四边形OECF. 故③正确. ④∵BP=1时，AP=4. ∴△AOP∽△DAP. ∴==.BE= ∴QE= ∴△QOP∽△PAD. ∴===. 解得QO=,OE=,AO=5-QO= ∴tanOAE==. 故④正确. 故答案为C. 【点评】①由正方形 ABCD 的边长是3， BP=CQ易证△DAP≌△ABQ，可得∠P=∠Q，∠P+∠QAB=∠Q+∠QAB=90°；AQ⊥DP.故①正确. ②在Rt△DAP中，AO⊥DP可得△AOD∽△POA；根据相似三角形的性质可得OA2=PO.OD.OD≠OE;故②错误. ③由正方形 ABCD 的边长是3， BP=CQ易证△QCF≌△PBE；△ADF≌△DEC；所以S△ADF-S△DOF=S△DEC-S△DOF；即SΔAOD=S四边形OECF.故③正确. ④由题可证△AOP∽△DAP，求出BE= ， QE= ， 从而得到△QOP∽△PAD，利用相似三角形的性质易得QO=,OE=,AO=5-QO=；所以tanOAE==；故④正确.
二、解答题
4.（2017?北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵AO=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵BD是切线， ∴OB⊥BD， ∴∠OBD=90°， ∴∠OBE+∠EBD=90°， ∵EC⊥OA， ∴∠CAE+∠CEA=90°， ∵∠CEA=∠DEB， ∴∠EBD=∠BED， ∴DB=DE （2）作DF⊥AB于F，连接OE． ∵DB=DE，AE=EB=6， ∴EF= BE=3，OE⊥AB， 在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3， ∴DF= =4， ∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°， ∴∠AOE=∠DEF， ∴sin∠DEF=sin∠AOE= = ， ∵AE=6， ∴AO= ． ∴⊙O的半径为 ．
【点评】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE；（2）作DF⊥AB于F，连接OE．只要证明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE= = ，由此求出AE即可解决问题．
5.（2017?营口）在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形． ①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系________； ②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．
【答案】（1）①DF= AE ②解:理由如下： ∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置， ∴∠ABE=∠DBF， ∵ = ， = ， ∴ = ， ∴△ABE∽△DBF， ∴ = = ， 即DF= AE； （2）解：如图3， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=mAB， ∴BD= = AB， ∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD， ∴ = ， ∴ = = ， ∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'， ∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF， ∴ = = ， ∴△ABE′∽△DBF′， ∴ = = ， 即DF′= AE′．
【解析】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴BF= AB， ∵EF⊥AB， ∴△BEF为等腰直角三角形， BF= BE， ∴BD﹣BF= AB﹣ BE， 即DF= AE； 故答案为DF= AE； 【点评】（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BF= AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF= BE，所以BD﹣BF= AB﹣ BE，从而得到DF= AE；②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，加上 = = ，则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以 = = ；（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD= AB，再证明△BEF∽△BAD得到 = ，则 = = ，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以 = = ，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得 = = ．
6.（2017?天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点 ，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；
（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
（3）当∠BPA'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵点 ，点B（0，1）， ∴OA= ，OB=1， 由折叠的性质得：OA'=OA= ， ∵A'B⊥OB， ∴∠A'BO=90°， 在Rt△A'OB中，A'B= = ， ∴点A'的坐标为（ ，1）； （2）解：在Rt△ABO中，OA= ，OB=1， ∴AB= =2， ∵P是AB的中点， ∴AP=BP=1，OP= AB=1， ∴OB=OP=BP ∴△BOP是等边三角形， ∴∠BOP=∠BPO=60°， ∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°， 由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1， ∴∠BOP+∠OPA'=180°， ∴OB∥PA'， 又∵OB=PA'=1， ∴四边形OPA'B是平行四边形， ∴A'B=OP=1； （3）解：设P（x，y），分两种情况： ①如图③所示：点A'在y轴上， 在△OPA'和△OPA中， ， ∴△OPA'≌△OPA（SSS）， ∴∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°， ∴点P在∠AOB的平分线上， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把点 ，点B（0，1）代入得： ， 解得： ， ∴直线AB的解析式为y=﹣ x+1， ∵P（x，y）， ∴x=﹣ x+1， 解得：x= ， ∴P（ ， ）； ②如图④所示： 由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA， ∵∠BPA'=30°， ∴∠A'=∠A=∠BPA'， ∴OA'∥AP，PA'∥OA， ∴四边形OAPA'是菱形， ∴PA=OA= ，作PM⊥OA于M，如图④所示： ∵∠A=30°， ∴PM= PA= ， 把y= 代入y=﹣ x+1得： =﹣ x+1， 解得：x= ， ∴P（ ， ）； 综上所述：当∠BPA'=30°时，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点评】（1）由点A和B的坐标得出OA= ，OB=1，由折叠的性质得：OA'=OA= ，由勾股定理求出A'B= = ，即可得出点A'的坐标为（ ，1）；（2）由勾股定理求出AB= =2，证出OB=OP=BP，得出△BOP是等边三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，证出OB∥PA'，得出四边形OPA'B是平行四边形，即可得出A'B=OP=1；（3）分两种情况：①点A'在y轴上，由SSS证明△OPA'≌△OPA，得出∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°，得出点P在∠AOB的平分线上，由待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣ x+1，即可得出点P的坐标；②由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四边形OAPA'是菱形，得出PA=OA= ，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性质求出PM= PA= ，把y= 代入y=﹣ x+1求出点P的纵坐标即可．
7.（2017?河北）平面内，如图，在?ABCD中，AB=10，AD=15，tanA= ，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在?ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）
【答案】见解析
【解析】（1）解：如图1中， ①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°﹣10°=80°， ②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°﹣（∠QPB﹣∠QPD）=180°﹣（90°﹣10°）=100°， 综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100° （2）解：如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E． ∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA= ， ∴tan∠ABP=2， 在Rt△APE中，tanA= = ，设PE=4k，则AE=3k， 在Rt△PBE中，tan∠ABP= =2， ∴EB=2k， ∴AB=5k=10， ∴k=2， ∴PE=8，EB=4， ∴PB= =4 ， ∵△BPQ是等腰直角三角形， ∴BQ= PB=4 （3）解：①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形． 在Rt△AEB中，∵tanA= = ，∵AB=10， ∴BE=8，AE=6， ∴PF=BE=8， ∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ， ∴PF=BF=FQ=8， ∴PB=PQ=8 ， ∴PB旋转到PQ所扫过的面积= =32π． ②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE=x． 易证△PBE≌△QPF， ∴PE=QF=x，EB=PF=8， ∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1， ∵CD∥AB， ∴∠FDQ=∠A， ∴tan∠FDQ=tanA= = ， ∴ = ， ∴x=4， ∴PE=4， =4 ， 在Rt△PEB中，PB=， =4 ， ∴PB旋转到PQ所扫过的面积= =20π ③如图5中， 当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8， ∴PB旋转到PQ所扫过的面积= =16π， 综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π
【点评】（1）分两种情形①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，分别求解即可；（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．在Rt△APE中，tanA= = ，设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP= =2，推出EB=2k，推出AB=5k=10，可得k=2，由此即可解决问题；（3）分三种情形分别求解即可；
8.（2017?呼和浩特）如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧 的中点，AC与BD交于点E．
（1）求证：DC2=CE?AC；
（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵C是劣弧 的中点， ∴∠DAC=∠CDB， ∵∠ACD=∠DCE， ∴△ACD∽△DCE， ∴ = ， ∴DC2=CE?AC （2）证明：∵AE=2，EC=1， ∴AC=3， ∴DC2=CE?AC=1×3=3， ∴DC= ， 连接OC、OD，如图所示： ∵C是劣弧 的中点， ∴OC平分∠DOB，BC=DC= ， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AB= =2 ， ∴OB=OC=OD=DC=BC= ， ∴△OCD、△OBC是正三角形， ∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°， ∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°， ∵OA=OD， ∴△AOD是正三角形 （3）解：∵CH是⊙O的切线，∴OC⊥CH， ∵∠COH=60°， ∴∠H=30°， ∵∠BAC=90°﹣60°=30°， ∴∠H=∠BAC， ∴AC=CH=3， ∵AH=3 ，AH上的高为BC?sin60°= ， ∴△ACH的面积= ×3 × =
【点评】（1）由圆周角定理得出∠DAC=∠CDB，证明△ACD∽△DCE，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）求出DC= ，连接OC、OD，如图所示：证出BC=DC= ，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理得出AB= =2 ，得出OB=OC=OD=DC=BC= ，证出△OCD、△OBC是正三角形，得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠AOD=60°，即可得出结论；（3）由切线的性质得出OC⊥CH，求出∠H=30°，证出∠H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面积公式即可得出答案．
9.（2017?抚顺）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF,ON于点B、点C，连接AB,PB．
（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设 =k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：连接：AB=PB． 理由：如图1中，连接BQ． ∵BC垂直平分OQ， ∴BO=BQ， ∴∠BOQ=∠BQO， ∵OF平分∠MON， ∴∠AOB=∠BQO， ∵OA=PQ， ∴△AOB≌△PQB， ∴AB=PB． （2）解：存在， 理由：如图2中，连接BQ． ∵BC垂直平分OQ， ∴BO=BQ， ∴∠BOQ=∠BQO， ∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON， ∴∠AOF=∠FON=∠BQC， ∴∠BQP=∠AOB， ∵OA=PQ， ∴△AOB≌△PQB， ∴AB=PB． （3）解：连接BQ． 易证△ABO≌△PBQ， ∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB， ∵∠OPB+∠BPQ=180°， ∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°， ∵∠MON=60°， ∴∠ABP=120°， ∵BA=BP， ∴∠BAP=∠BPA=30°， ∵BO=BQ， ∴∠BOQ=∠BQO=30°， ∴△ABP∽△OBQ， ∴ = ， ∵∠AOB=30°， ∴当BA⊥OM时， 的值最小，最小值为0.5， ∴k=0.5．
【点评】（1）利用垂直平分线的性质须连结BQ，构造出全等三角形；（2）类比（1）的方法、辅助线做法，仍是构造全等三角形;（3）连结BQ，转化整个比例，通过相似，转化为,从而当垂直时比值最小，恰等于sin30°=0.5.
10.（2017?长春）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒 个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6， ∴AC= = =8， ∵CQ= t， ∴AQ=8﹣ t（0≤t≤4）． （2）解：①当PQ∥BC时， = ， ∴ = ， ∴t= s． ②当PQ∥AB时， = ， ∴ = ， ∴t=3， 综上所述，t= s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行． （3）解：①如图1中，a、当0≤t≤ 时，重叠部分是四边形PEQF． S=PE?EQ=3t?（8﹣4t﹣ t）=﹣16t2+24t． b、如图2中，当 ＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE． ??????????????????? S=S四边形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣ ? [5t﹣ （8﹣ t）]? [5t﹣ （8﹣ t）]= ． c、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ． S=S四边形PBQF﹣S△FNM= t?[6﹣3（t﹣2）]﹣ ?[ t﹣4（t﹣2）]? [ t﹣4（t﹣2）]=﹣ t2+32t﹣24． ②a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2． 则有（4﹣4t）：（4﹣ t）=1：2，解得t= s， b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2． ∴DE：DQ=NE：FQ=1：3， ∴（4t﹣4）：（4﹣ t）=1：3， 解得t= s， 综上所述，当t= s或 s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．
【点评】（1）由线段之差可表示出AQ=8﹣? t;（2）由于点Q在AC上，PQ不会与AC平行，因此分类讨论PQ∥BC与PQ∥AB两类；（2）以t=2和为分界点分为三段：0≤t≤?、?＜t≤2、2＜t≤3；（3）需分类为两种：左上：右下=1：2和左上：右下=2：1.
11.（2017?大庆）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．
（1）求证：AB=CD；
（2）求证：CD2=BE?BC；
（3）当CG= ，BE= 时，求CD的长．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD； （2）∵AE为⊙O的切线， ∴AE⊥AC， ∴∠EAB+∠BAC=90°， ∵∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠EAB=∠ACB， ∵∠ABC=90°， ∴△ABE∽△CBA， ∴ ， ∴AB2=BE?BC， 由（1）知：AB=CD， ∴CD2=BE?BC； （3）∵F是AC的三等分点， ∴AF=2FC， ∵FG∥BE， ∴△AFG∽△ACB， ∴ =2， 设BG=x，则AG=2x， ∴AB=3x， 在Rt△BCG中，CG= ， ∴BC2=（ ）2﹣x2 ， BC= ， 由（2）得：AB2=BE?BC， （3x）2= ， 4x4+x2﹣3=0， （x2+1）（4x2﹣3）=0， x=± ， ∵x＞0， ∴x= ， ∴CD=AB=3x= ．
【点评】（1）要证AB=CD,由直径的性质和已知条件可证四边形ABCD是矩形，进而得出结论；（2）等积式CD2=BE?BC由于无法构成三角形，因此须转化为AB2=BE?BC，变形为,须证△ABE∽△CBA，由已知和直径的性质、切线的性质易证结论；（3）利用（2）的结论建立方程，AB2=BE?BC 由已知三等分点AF=2FC，可推出AG=2BG，设出BG=x,得方程（3x）2= ，由（1）得CD=AB=3x=.
12.（2017?黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD． 旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出） 若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
【答案】见解析
【解析】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD， ∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′， ∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC， ∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′， 在△AOC′与△BOD′中， ， ∴△AOC′≌△BOD′， ∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′， ∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°， ∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°， ∴AC′⊥BD′； 图3结论：BD′= AC′，AC′⊥BD’ 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO， ∵∠ABC=60°， ∴∠ABO=30°， ∴OB= OA，OD= OC， ∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′， ∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC， ∴OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′， ∴ = ， ∴△AOC′∽△BOD′， ∴ = = ，∠OAC′=∠OBD′， ∴BD′= AC′， ∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°， ∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°， ∴AC′⊥BD′．
【点评】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论； 图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB= OA，OD= OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′= AC′，于是得到结论．
13.（2017?天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△BPE和△CQE中， ∵ ， ∴△BPE≌△CQE（SAS） （2）解：连接PQ， ∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， ∴ = ， ∵BP=2，CQ=9，BE=CE， ∴BE2=18， ∴BE=CE=3 ， ∴BC=6 ．
【点评】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，
14.（2017?陕西）综合题
（1）问题提出 如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为________；
（2）问题探究 如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
（3）问题解决 某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了． 如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交 于点E，又测得DE=8m． 请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
【答案】（1）4 （2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，
∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴CQ=AP=3， 过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12， 由勾股定理得：PQ= = =12 . （3）解：如图3，作射线ED交AM于点C ∵AD=DB，ED⊥AB， 是劣弧， ∴ 所在圆的圆心在射线DC上， 假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD= AB=12， 在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2 ， 解得：r=13， ∴OD=5， 过点M作MN⊥AB，垂足为N， ∵S△ABM=96，AB=24， ∴ AB?MN=96， ×24×MN=96， ∴MN=8，NB=6，AN=18， ∵CD∥MN， ∴△ADC∽△ANM， ∴ ， ∴ ， ∴DC= ， ∴OD＜CD， ∴点O在△AMB内部， ∴连接MO并延长交 于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离， ∵在 上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM， ∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG， 即MF＞MG， 过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3， ∴OM= = =3 ， ∴MF=OM+r=3 +13≈19.71（米）， 答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
【解析】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD= AC= ×12=6，
∵O是内心，△ABC是等边三角形， ∴∠OAD= ∠BAC= ×60°=30°， 在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°= ， ∴OA=6÷ =4 ， 故答案为：4 ； 【点评】（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，得出AD= AC=6， 由等边三角形的性质得出∠OAD= ∠BAC= ×60°=30°；在Rt△AOD中，利用锐角三角函数求出OA的值. （2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分， 由矩形性质得出CQ=AP=3；过P作PM⊥BC于点，求出P，MQ的值；再由勾股定理得PQ=12 . （3）如图3，作射线ED交AM于点C；在Rt△AOD中，由勾股定理列出式子：r2=122+（r﹣8）2 ， 求出r=13，OD=5；过点M作MN⊥AB，垂足为N， 由S△ABM=96，AB=24得出MN=8，NB=6，AN=18；由CD∥MN得出△ADC∽△ANM，根据相似三角形的性质得出 ，从而求出DC= ， 得出OD＜CD，点O在△AMB内部；过O作OH⊥MN，垂足为H，由勾股定理得出OM=3 ，从而求出MF.
15.（2017?云南）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP= AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA， ∵AC∥OP， ∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP， ∴∠COP=∠BOP， ∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴∠OBP=90°， 在△POC与△POB中， ， ∴△COP≌△BOP， ∴∠OCP=∠OBP=90°， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：过O作OD⊥AC于D， ∴∠ODC=∠OCP=90°，CD= AC， ∵∠DCO=∠COP， ∴△ODC∽△PCO， ∴ ， ∴CD?OP=OC2 ， ∵OP= AC， ∴AC= OP， ∴CD= OP， ∴ OP?OP=OC2 ∴ = ， ∴sin∠CPO= = ； （3）解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC， ∵AC=9，AB=15， ∴BC= =12， 当CM⊥AB时， d=AM，f=BM， ∴d+f=AM+BM=15， 当M与B重合时， d=9，f=0， ∴d+f=9， ∴d+f的取值范围是：9≤d+f≤15．
【点评】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠A=∠OCA；再根据AC∥OP，得出∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，等量代换得出∠COP=∠BOP， 再由PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，得出∠OBP=90°，根据条件得到△COP≌△BOP，由全等三角形性质得出∠OCP=∠OBP=90°，? 从而得出PC是⊙O的切线； （2）过O作OD⊥AC于D，从而得出∠ODC=∠OCP=90°，CD= AC，由已知条件得出△ODC∽△PCO，再由相似三角形的性质得出 ，再由已知条件得出 = ，从而得出sin∠CPO= = ； （3）连接BC，由AB是⊙O的直径得出AC⊥BC，再由已知条件根据勾股定理得出BC= =12，之后分情况讨论①当CM⊥AB时，d=AM， f=BM，从而得出d+f=AM+BM=15；②当M与B重合时，d=9，f=0，从而得出d+f=9；得出d+f的取值范围是：9≤d+f≤15．
16.（2017?阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE． ∴△ADB≌△AEC． ∴BD=CE． （2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1． ∵∠EAC=90°， ∴CE= = ． 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC． ∴ = ． ∴ = ． ∴PB= ． ②当点E在BA延长线上时，BE=3． ∵∠EAC=90°， ∴CE= = ． 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC． ∴ = ． ∴ = ． ∴PB= ． 综上所述，PB的长为 或
【点评】（1）由已知条件根据等腰直角三角形性质得出AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE；由全等三角形的判定得出△ADB≌△AEC；再根据全等三角形的性质得出BD=CE． （2）分情况讨论：①当点E在AB上时（如图1），BE=AB﹣AE=1．由勾股定理得出CE= ，再由（1）中全等三角形性质得出∠DBA=∠ECA；由相似三角形的判定得出△PEB∽△AEC；根据相似三角形的性质得出 = ；从而求出PB= . ②当点E在BA延长线上时（如图2），BE=3．由勾股定理得出CE= ，再由（1）中全等三角形性质得出∠DBA=∠ECA；由相似三角形的判定得出△PEB∽△AEC；根据相似三角形的性质得出 = ；从而求出PB= ．
一、选择题
1. () 在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法： ①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形 ②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 ③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形 其中正确的有（?? ）
A.?3个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?1个???????????????????????????????????????D.?0个
【答案】A
【解析】∵DE∥CA，DF∥BA， ∴四边形AEDF是平行四边形； ∵∠BAC=90°， ∴四边形AEDF是矩形； ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠FAD， ∴∠FAD=∠ADF， ∴AF=DF， ∴四边形AEDF是菱形； ∵AD⊥BC且AB=AC， ∴AD平分∠BAC， ∴四边形AEDF是菱形； 故①②③正确． 故答案为：A． 【点评】①由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AEDF是平行四边形；再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得四边形AEDF是矩形； ②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AEDF是平行四边形；由角平分线的定义得出∠EAD=∠FAD，再根据等量代换得出∠FAD=∠ADF，由等边对等角得出AF=DF，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形AEDF是菱形； ③由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AEDF是平行四边形；根据等腰三角形三线合一的性质得出AD平分∠BAC，由平行线的性质和等量代换得∠FAD=∠ADF，由等边对等角得出AF=DF，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形AEDF是菱形；
2. () 如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边AC相交于点G．如果AE=EC，∠AEG=∠B，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是（?? ）
A.? = ?????????????????????B.? = ?????????????????????C.? = ?????????????????????D.? =
【答案】C
【解析】解：当 = 时，则 = ，而∠B=∠AEG，所以△ABC∽△EDF； 当 = ，则 = ，而∠DEF=∠AEG，所以△DEF∽△AEG，又因为AE=EC，所以∠EAG=∠C，而∠AEG=∠B，所以△AEG∽△ABC，所以△ABC∽△EDF； 当 = ，则 = ，而∠DEF=∠AEG，所以△DEF∽△AEG，又因为AE=EC，所以∠EAG=∠C，而∠AEG=∠B，所以△AEG∽△ABC，所以△ABC∽△EDF． 故选C． 【点评】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可由 = 得到△ABC∽△EDF；利用 = 或 = 可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似先判断△DEF∽△AEG，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似判定△AEG∽△ABC，从而得到△ABC∽△EDF，于是可对各选项进行判断．
二、解答题
3. () 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF=CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=2 ，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】见解析
【解析】（1）解：证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，AD∥BC， ∴∠FAD=∠AFB， 又∵AF平分∠BAD， ∴∠FAD=∠FAB． ∴∠AFB=∠FAB． ∴AB=BF， ∴BF=CD （2）解：∵由（1）知：AB=BF， 又∵∠BFA=60°， ∴△ABF为等边三角形， ∴AF=BF=AB，∠ABE=60°， ∵BE⊥AF， ∴点E是AF的中点． ∵在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE= ， ∴EF=2，BF=4， ∴AB=BF=4， ∵四边形BACD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD， ∴∠DCF=∠ABC=60°=∠F， ∴CE=EF， ∴△ECF是等边三角形， ∴CE=EF=CF=2， ∴BC=4﹣2=2， ∴平行四边形ABCD的周长为2+2+4+4=12
【点评】（1.）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，求出∠FAD=∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD=∠FAB，求出∠AFB=∠FAB，即可得出答案； （2.）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF=BF=AB，∠ABE=60°，在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE= ，解直角三角形求出EF=2，BF=4，AB=BF=4，BC=AD=2，即可得出答案．
4. () 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．
【答案】
见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD， 又∵AC是折痕， ∴BC=CE=AD， AB=AE=CD， 在△ADE与△CED中， ， ∴△ADE≌△CED（SSS） （2）证明：∵△ADE≌△CED， ∴∠EDC=∠DEA， 又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称， ∴∠OAC=∠CAB， ∵∠OCA=∠CAB， ∴∠OAC=∠OCA， ∴2∠OAC=2∠DEA， ∴∠OAC=∠DEA， ∴DE∥AC
【点评】（1）根据矩形的性质得到对边相等，根据折叠的性质，得到对应边相等，得到△ADE≌△CED；（2）由（1）得到对应角∠EDC=∠DEA，根据折叠的性质，得到对应角相等，得到两直线平行.
5. () 如图①，若点P是△ABC内或边上一点，且∠BPC=2∠A，则称点P是△ABC内∠A的二倍角点．请用直尺和圆规对图②、图③作出符合要求的点（保留作图痕迹，不写作法．）
（1）如图②，在△ABC内求作一点Q，使点Q是△ABC内∠A的一个二倍角点；
（2）如图③，在△ABC外求作一点M，使点A是△MBC内∠M的一个二倍角点．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：如图②中，点Q是△ABC内∠A的一个二倍角点； （2）解：如图③，点A是△MBC内∠M的一个二倍角点；
【点评】（1）作△ABC的外接圆⊙Q，连接BQ，CQ，点Q即为所求. （2）延长BA到C′，使AC=AC′，作△BCC′的外接圆⊙O，在⊙O上取一点M，连接MB，MC，使点A在△BMC内，点M即为所求.
6. () 已知△ABE中，∠BAE=90°，以AB为直径作⊙O，与BE边相交于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AE于点D．
（1）求证：D是AE的中点；
（2）求证：AE2=EC?EB．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：∵∠BAE=90°，AB为直径， ∴AE为⊙O的切线， 又CD为⊙O的切线， ∴AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA， 又AB直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCE=90°，∠DAC+∠DEC=90°， ∴∠DCE=∠DEC， ∴DC=DE， ∴AD=DE， 即D是AE的中点 （2）解：∵∠BAE=90°， ∴∠BAC+∠CAE=90°， 又AB直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∴∠CAE=∠ABC， 又∠E=∠E， ∴△ACE∽△BAE， ∴ = ， ∴AE2=EC?EB．
【点评】（1）根据已知条件得到AE为⊙O的切线，根据切线的性质得到AD=CD，由等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA，由圆周角定理得到∠ACB=90°，根据余角的性质得到∠DCE=∠DEC，即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
7. () 已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．
（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=________．
（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？
（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）
【答案】（1）5 （2）解：如图2，过点P作PF∥AC交BC于F， ∴△FPB是等边三角形， ∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4，∠BPF=60°， ∵△PDE是等边三角形， ∴PD=PE，∠DPE=60°， ∴∠BPE=∠FPD， ∴△PBE≌△PFD， ∴BE=DF， ∴BD+BE=BD+DF=BF=4； （3）解：如图3， 过点P作PF∥AC交BC于F， ∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C， ∵AB=AC，∠BAC=70°， ∴∠ABC=∠C=55°， ∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°， ∴PF=PB=a， ∵∠BPF=∠DPE=70°， ∴∠DPF=∠EPB， ∵PD=PE， ∴△PBE≌△PFD， ∴BE=DF， 过点P作PG⊥BC于G， ∴BF=2BG， 在Rt△BPG中，∠PBD=55°， ∴BG=BP?cos∠PBD=a?cos55°， ∴BF=2BG=2a?cos55°， ∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2a?cos55°．
【解析】解：（1）∵△ABC和△PDE是等边三角形， ∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°， ∴∠BPE=∠CAD， ∴△PBE≌△ACD， ∴BE=CD， ∴BD+BE=BD+CD=BC=5， 故答案为5； 【点评】（1）先判断出∠BPE=∠CAD，进而判断出△PBE≌△ACD，即可得出BD+BE=BC=5；（2）先构造出等边三角形，再判断出∠BPE=∠FPD，进而判断出△PBE≌△PFD，即可得出BD+BE=BF=4；（3）类似于（2）的方法判断出△PBE≌△PFD得出BE=DF，再判断出BF=2BG，利用用锐角三角函数求出BG=a?cos55°，即可BD﹣BE=BF=2a?cos55°．
8. () 如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C． ∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB． ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠ABE= ∠ABD，∠CDF= ∠CDB． ∴∠ABE=∠CDF． ∵在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA） （2）证明：∵△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴DE∥BF，DE=BF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵AB=DB，BE平分∠ABD， ∴BE⊥AD，即∠DEB=90°． ∴平行四边形DFBE是矩形
【点评】（1）由“BE平分∠ABD，DF平分∠CDB”可得∠ABE=∠CDF，结合平行四边形的性质证出△ABE≌△CDF；（2）要证四边形DFBE是矩形四边形可先证DFBE是平行四边形，再由“AB=DB，BE平分∠ABD”，可得BE⊥AD，即∠DEB=90°，所以平行四边形DFBE是矩形.
9. () 在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD．
（1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD；
（2）如图2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF=60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若 EF⊥CD，直接写出 的值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：证明：如图1中，连接BD、AC． ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 即AC垂直平分线段BD． （2）解：如图2中，将△ABE绕点A逆时针旋转120得到△ADM．连接AC交BD于O． ∵B、D关于AC对称， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠BCD=60°， ∴∠BAD=120°， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAM=60°， ∴∠FAE=∠FAM， ∵∠ADM=∠ABE=90°=∠ADF， ∴F、D、M共线， ∵FA=FA，AE=AM， ∴△FAE≌△FAM， ∴∠AFE=∠AFM， ∵∠CAD=∠CAB=60°=∠EAF， ∴∠GAO=∠DAF， ∵∠AGO+∠GAO=90°，∠AFD+∠FAD=90°， ∴∠AGO=∠ADF， ∴∠AGH=∠AFE，∵∠GAH=∠FAE， ∴△AGH∽△AFE． （3）解：如图3中，连接AC交BD于O，作HM⊥AD于M． ∵EF⊥CD， ∴∠EFD=90°， 由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°， ∵∠ADF=90°， ∴AD=DF，设HM=AM=a，则DH=2a，DM= a， 在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=（1+ ）a， ∴CD=BD= AD=（3+ ）a， 在Rt△AHD中，∵∠ADH=30°，AD=（1+ ）a， ∴AO=OG= AD= a，OD= OA= a， ∴OH=OD﹣DH= a﹣2a= a， ∴GH=OG+OH= a， ∴ = = ．
【点评】（1）利用垂直平分线的判定定理及两点确定一条直线可证出；（2）通过旋转构造全等三角形，即△FAE≌△FAM，进而得出∠AFE=∠AFM，∠GAH=∠FAE，证出相似；（3）利用（2）的结论得出∠ADF=90°，AD=DF，设出参数HM=AM=a，运用三角函数定义，用a的代数式分别表示出BD，GH，可求出比值.
10. () 在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC． ①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明； ②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形， 如答图1所示，连接CD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2． 在△AND与△CMD中， ∴△AND≌△CMD（ASA）， ∴DN=DM． ∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3， ∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5， 在△NED与△DFM中， ∴△NED≌△DFM（ASA）， ∴NE=DF． ∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF （2）①答：AE=DF． 证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD ∴ ，即MF?EN=DE?DF． 同理△AEN∽△MFB， ∴ ，即MF?EN=AE?BF． ∴DE?DF=AE?BF， ∴（AD﹣AE）?DF=AE?（BD﹣DF）， ∴AD?DF=AE?BD，∴AE=DF． 证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． ∵D为AB中点， ∴DQ=PC=PB． 易证△DMF∽△NDE，∴ ， 易证△DMP∽△DNQ，∴ ， ∴ ； 易证△AEN∽△DPB，∴ ， ∴ ，∴AE=DF． ②答：DF=kAE． 证法一：由①同理可得：DE?DF=AE?BF， ∴（AE﹣AD）?DF=AE?（DF﹣BD） ∴AD?DF=AE?BD ∵BD=kAD ∴DF=kAE． 证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． 易证△AQD∽△DPB，得 ，即PB=kDQ． 由①同理可得： ， ∴ ； 又∵ ， ∴ ， ∴DF=kAE
【点评】（1）连接CD，首先证明△AND≌△CMD，依据全等三角形的性质可得到DN=DM，然后再证明△NED≌△DFM，从而可得到DF=NE，然后依据等腰三角形的性质可得到AE=NE=DF； （2）①若D为AB中点，则△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，然后依据相似三角形的性质列出比例式，接下来，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立；②若BD=kAD，证明思路与①类似.
11. () 如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：如图1， ∵EN∥AD， ∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM． ∵点M为DE的中点， ∴DM=EM． 在△ADM和△NEM中， ∴ ． ∴△ADM≌△NEM． ∴AM=MN． ∴M为AN的中点． （2）证明：如图2， ∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形， ∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°． ∵AD∥NE， ∴∠DAE+∠NEA=180°． ∵∠DAE=90°， ∴∠NEA=90°． ∴∠NEC=135°． ∵A，B，E三点在同一直线上， ∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°． ∴∠ABC=∠NEC． ∵△ADM≌△NEM（已证）， ∴AD=NE． ∵AD=AB， ∴AB=NE． 在△ABC和△NEC中， ∴△ABC≌△NEC． ∴AC=NC，∠ACB=∠NCE． ∴∠ACN=∠BCE=90°． ∴△ACN为等腰直角三角形． （3）△ACN仍为等腰直角三角形． 证明：如图3，延长AB交NE于点F， ∵AD∥NE，M为中点， ∴易得△ADM≌△NEM， ∴AD=NE． ∵AD=AB， ∴AB=NE． ∵AD∥NE， ∴AF⊥NE， 在四边形BCEF中， ∵∠BCE=∠BFE=90° ∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180° ∵∠FBC+∠ABC=180° ∴∠ABC=∠FEC 在△ABC和△NEC中， ∴△ABC≌△NEC． ∴AC=NC，∠ACB=∠NCE． ∴∠ACN=∠BCE=90°． ∴△ACN为等腰直角三角形．
【点评】（1）抓住已知条件EN∥AD和点M为DE的中点，易证得△ADM≌△NEM．即可得出结论。 （2）由△BAD和△BCE均为等腰直角三角形及AD∥NE，去证明∠NEC=∠ABC=135°，AB=NE．再证明△ABC≌△NEC．得出AC=NC，∠ACB=∠NCE．然后证明∠ACN是直角即可。 （3）延长AB交NE于点F，证法同（2）类似，即可得出△ACN为等腰直角三角形。
12. () 已知I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，连BD．
（1）在图1中，求证：DB=DI；
（2）如图2，若AB为直径，且OI⊥AD于I点，DE切圆于D点，求sin∠ADE的值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：连接BI， ∵I是△ABC的内心， ∴AD平分∠CAB，BI平分∠ABC， ∴∠CAD=∠BAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CAD=∠DBC， ∴∠DAB=∠CBD， ∵∠DBI=∠DBC+∠CBI， ∠DIB=∠DAB+∠IBA， ∴∠DIB=∠DBI， ∴BD=DI； （2）解：连接BD， ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∵OI⊥AD， ∴AD=2DI， ∵BD=DI， ∴AD=2BD， ∴AB= = BD， ∵DE切圆于D点， ∴∠ABD=∠ADE， ∴sin∠ADE=sin∠ABD= = ．
【点评】（1）连接BI，依据三角形的内心的定义可得到AD平分∠CAB，BI平分∠ABC，根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，∠ABI=∠CBI，得到结合圆周角定理可得到∠DAB=∠CBD，然后再依据三角形的外角的性质得到∠DIB=∠DBI，最后，依据等角对等边的性质可得到BD=DI； （2）连接BD，根据圆周角定理的推理可得到∠ADB=90°，然后再依据垂径定理得到AD=2DI，接下来，利用勾股定理求得AB的长，，根据弦切角定理得到∠ABD=∠ADE，接下来，依据锐角三角函数的定义求解即可.
13. () 如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB ， BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：四边形APQD为平行四边形； （2）解：OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°， ∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴OB=OQ， 在△AOB和△OPQ中， ∴△AOB≌△POQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠POQ， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP； （3）解：如图，过O作OE⊥BC于E． ①如图1，当P点在B点右侧时， 则BQ=x+2，OE= ， ∴y= × ?x，即y= （x+1）2﹣ ， 又∵0≤x≤2， ∴当x=2时，y有最大值为2； ②如图2，当P点在B点左侧时， 则BQ=2﹣x，OE= ， ∴y= × ?x，即y=﹣ （x﹣1）2+ ， 又∵0≤x≤2， ∴当x=1时，y有最大值为 ； 综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；
【点评】（1）根据平移的性质，可得PQ∥AD且PQ=AD，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）先证明△BOQ为等腰直角三角形，从而可得到∠OQP=∠ABO，由平移的性质和正方形的性质可得到PQ=AB，然后依据SAS可证明△AOB≌△POQ，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系； （3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式可得到y与x的二次函数关系式，最后，根据二次函数的性质求解即可.
14. () 已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=________；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）45° （2）解：如图2，以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE，连接CE． ∵△ACD是等边三角形， ∴AD=AC，∠DAC=60°． ∵∠BAE=60°， ∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC． 即∠EAC=∠BAD ∴△EAC≌△BAD． ∴EC=BD． ∵∠BAE=60°，AE=AB=3， ∴△AEB是等边三角形， ∴∠EBA=60°，EB=3， ∵∠ABC=30°， ∴∠EBC=90°． ∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4， ∴EC=5． ∴BD=5． （3）解：如图3中，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O． ∵∠ABC= ∠AOC=30°， ∴点B在⊙O上运动， 作OE⊥DA交DA的延长线于E． 在Rt△AOE中，OA=AC=2，∠EAO=30°， ∴OE= OA=1，AE= ， 在Rt△ODE中，DE=AE+AD=2+ ， ∴DO= = = + ， 当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD=2+ + ．
【解析】解：（1）解：（1）如图1中， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA．∠DAB+∠ABC=180°． ∵AC=BC， ∴∠ABC=∠BAC． ∵∠DAC=2∠ABC， ∴2∠ABC+2∠ABC=180°， ∴∠ABC=45° （2）如图2，以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE，连接CE． ∵△ACD是等边三角形， ∴AD=AC，∠DAC=60°． ∵∠BAE=60°， ∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC． 即∠EAC=∠BAD ∴△EAC≌△BAD． ∴EC=BD． ∵∠BAE=60°，AE=AB=3， ∴△AEB是等边三角形， ∴∠EBA=60°，EB=3， ∵∠ABC=30°， ∴∠EBC=90°． ∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4， ∴EC=5． ∴BD=5． （3）如图3中，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O． ∵∠ABC= ∠AOC=30°， ∴点B在⊙O上运动， 作OE⊥DA交DA的延长线于E． 在Rt△AOE中，OA=AC=2，∠EAO=30°， ∴OE= OA=1，AE= ， 在Rt△ODE中，DE=AE+AD=2+ ， ∴DO= = = + ， 当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD=2+ + ． 故答案为：（1）45；（2）5；（3）2++. 【点评】（1）依据等角对等边的性质可得到∠D=∠ACD，然后平行四边形的性质得∠D=∠ABC，接下来，在△ACD中，由内角和定理求解即可； （2）在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE； （3）在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．首先说明点B在⊙O上运动，当B、O、D共线时，BD的值最大，求出OD即可解决问题.
15. () 阅读下面材料： 小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长． 小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）． 请回答：求∠ACE的度数，AC的长． 参考小腾思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
【答案】见解析
【解析】解：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°， ∠E=75°，BD=2DC， ∴AD=2DE， AE=AD+DE=3， ∴AC=AE=3， ∠ACE=75°，AC的长为3． 过点D作DF⊥AC于点F． ∵∠BAC=90°=∠DFA， ∴AB∥DF， ∴△ABE∽△FDE， ∴ =2， ∴EF=1，AB=2DF． 在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°， ∴∠ACD=75°，AC=AD． ∵DF⊥AC， ∴∠AFD=90°， 在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°， ∴DF=AFtan30°= ，AD=2DF=2 ． ∴AC=AD=2 ，AB=2DF=2 ． ∴BC= =2 ．
【点评】根据相似的三角形的判定与性质，可得 =2，根据等腰三角形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．
16. () 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=DC， ∵M是AD的中点， ∴AM=DM， 在△ABM和△DCM中，
， ∴△ABM≌△DCM（SAS） （2）解：四边形MENF是菱形；理由如下： 由（1）得：△ABM≌△DCM， ∴BM=CM， ∵E、F分别是线段BM、CM的中点， ∴ME=BE= BM，MF=CF= CM， ∴ME=MF， 又∵N是BC的中点， ∴EN、FN是△BCM的中位线， ∴EN= CM，FN= BM， ∴EN=FN=ME=MF， ∴四边形MENF是菱形．
【点评】（1）由矩形的性质得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中点，根据SAS即可证明△ABM≌△DCM；（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知条件证出ME=MF，EN、FN是△BCM的中位线，即可证出EN=FN=ME=MF，得出四边形MENF是菱形．
