9.2 方案设计问题
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景及信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还要求判断最优方案．此类题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．此类题的解题策略有三种：一是利用方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数；二是择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性；三是操作型问题：可运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合，并遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．
一、选择题
1.（2017?河北）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（?? ）
A.????????????????????B.????????????????????
C.????????????????????D.?
二、解答题
2.（2017?天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点 ，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；
（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
（3）当∠BPA'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
3.（2017?山西）综合与实践 背景阅读? 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或3 ，4 ，5 的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．
（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．
（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；
（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．
4.（2017?盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1 ， 当点B1与原点重合时，解答下列问题：
（1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上；
（2）求出边A1C1所在直线的解析式；
（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．
5.（2017?抚顺）学校准备购进一批篮球和足球，买1个篮球和2个足球共需170元，买2个篮球和1个足球共需190元．
（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？
（2）学校欲购进篮球和足球共100个，且足球数量不多于篮球数量的2倍，求出最多购买足球多少个？
6.（2017?吉林）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．
（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
7.（2017?佳木斯）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．
（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．
（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？
（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的 在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？
8.（2017?宁夏）某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量（件）
购进所需费用（元）
A
B
第一次
30
40
3800
第二次
40
30
3200
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
9.（2017?天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
10.（2017?陕西）在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，另外2个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”． 最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：
品种 项目
产量（斤/每棚）
销售价（元/每斤）
成本（元/每棚）
香瓜
?2000
?12
?8000
甜瓜
?4500
?3
?5000
现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为y元． 根据以上提供的信息，请你解答下列问题：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于10万元．
11.（2017?绵阳）江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
12.（2017?郴州）某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；
（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．
一、选择题
1. () 图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（??? ）
A.?①?????????????????????????????????????????B.?②?????????????????????????????????????????C.?③?????????????????????????????????????????D.?④
二、填空题
2. () 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上．
（1）计算AB边的长等于________；
（2）在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使矩形的面积等于△ABC的面积，并简要说明画图的方法（不要求证明）．
三、解答题
3. () 为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图所示：
（1）分别求出通话费y1 ， y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜．
4. () A、B两城相距600千米，一辆客车从A城开往B城，车速为每小时80千米，同时一辆出租车从B城开往A城，车速为毎小时100千米，设客车出时间为t．
（1）【探究】? 若客车、出租车距B城的距离分别为y1、y2 ， 写出y1、y2关于t的函数关系式，并计算当y1=200千米时y2的値．
（2）【发现】? 设点C是A城与B城的中点， （Ⅰ）哪个车会先到达C？该车到达C后再经过多少小时，另一个车会到达C？ （Ⅱ）若两车扣相距100千米时，求时间t．
（3）【决策】? 己知客车和出租车正好在A，B之间的服务站D处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B城的方案： 方案一：继续乘坐出租车，到达A城后立刻返回B城（设出租车调头时间忽略不计）； 方案二：乘坐客车返回城． 试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？
5. () 某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费． ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
6. () 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
7. () 【操作发现】 如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；
（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=________．
（3）【问题解决】 如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积． 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系； 想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系． 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）
（4）【灵活运用】 如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
8. () 某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元，若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元
（1）求A、B两种跳绳的单价各是多少？
（2）若该商店准备同时购进这两种跳绳共100根，且A种跳绳的数量不少于跳绳总数量的 ．若每根A种跳绳的售价为26元，每根B种跳绳的售价为30元，问：该商店应如何进货才可获取最大利润，并求出最大利润．
9. () 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
10. () 某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．
（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；
（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．
11. () 中国移动公司有神州行和大众卡两种业务?神州行免月租，打市内电话0.39元/分；大众卡月租16元，打市内通话0.15元/分，用户可以任选其一：
（1）请你分别写出两种业务中用户每月应支付的费用y（元）与打市内电话时间x（分）之间的函数关系式；
（2）若某用户估计一个月内打市内电话的时间为70分钟，你认为选择哪种业务较为合算？
12. () “低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
9.2 方案设计问题
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景及信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还要求判断最优方案．此类题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．此类题的解题策略有三种：一是利用方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数；二是择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性；三是操作型问题：可运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合，并遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．
一、选择题
1.（2017?河北）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（?? ）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
【答案】A
【解析】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10，所以对角线=10 ≈14， 因为15＞14，所以这个图形不可能存在． 故选A． 【点评】利用勾股定理求出正方形的对角线为10 ≈14，由此即可判定A不正确．
二、解答题
2.（2017?天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点 ，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；
（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
（3）当∠BPA'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：∵点 ，点B（0，1）， ∴OA= ，OB=1， 由折叠的性质得：OA'=OA= ， ∵A'B⊥OB， ∴∠A'BO=90°， 在Rt△A'OB中，A'B= = ， ∴点A'的坐标为（ ，1）； （2）解：在Rt△ABO中，OA= ，OB=1， ∴AB= =2， ∵P是AB的中点， ∴AP=BP=1，OP= AB=1， ∴OB=OP=BP ∴△BOP是等边三角形， ∴∠BOP=∠BPO=60°， ∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°， 由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1， ∴∠BOP+∠OPA'=180°， ∴OB∥PA'， 又∵OB=PA'=1， ∴四边形OPA'B是平行四边形， ∴A'B=OP=1； （3）解：设P（x，y），分两种情况： ①如图③所示：点A'在y轴上， 在△OPA'和△OPA中， ， ∴△OPA'≌△OPA（SSS）， ∴∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°， ∴点P在∠AOB的平分线上， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把点 ，点B（0，1）代入得： ， 解得： ， ∴直线AB的解析式为y=﹣ x+1， ∵P（x，y）， ∴x=﹣ x+1， 解得：x= ， ∴P（ ， ）； ②如图④所示： 由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA， ∵∠BPA'=30°， ∴∠A'=∠A=∠BPA'， ∴OA'∥AP，PA'∥OA， ∴四边形OAPA'是菱形， ∴PA=OA= ，作PM⊥OA于M，如图④所示： ∵∠A=30°， ∴PM= PA= ， 把y= 代入y=﹣ x+1得： =﹣ x+1， 解得：x= ， ∴P（ ， ）； 综上所述：当∠BPA'=30°时，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点评】（1）由点A和B的坐标得出OA= ，OB=1，由折叠的性质得：OA'=OA= ，由勾股定理求出A'B= = ，即可得出点A'的坐标为（ ，1）；（2）由勾股定理求出AB= =2，证出OB=OP=BP，得出△BOP是等边三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，证出OB∥PA'，得出四边形OPA'B是平行四边形，即可得出A'B=OP=1；（3）分两种情况：①点A'在y轴上，由SSS证明△OPA'≌△OPA，得出∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°，得出点P在∠AOB的平分线上，由待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣ x+1，即可得出点P的坐标；②由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四边形OAPA'是菱形，得出PA=OA= ，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性质求出PM= PA= ，把y= 代入y=﹣ x+1求出点P的纵坐标即可．
3.（2017?山西）综合与实践 背景阅读? 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或3 ，4 ，5 的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．
（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．
（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；
（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．
【答案】答案见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠DAE=90°， 由折叠的性质得，AE=AD，∠AEF=∠D=90°， ∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°， ∴四边形AEFD是矩形， ∵AE=AD， ∴矩形AEFD是正方形 （2）解：NF=ND′， 理由：连接HN， 由折叠得，∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′， ∵四边形AEFD是正方形， ∴∠EFD=90°， ∵∠AD′H=90°， ∴∠HD′N=90°， 在Rt△HNF与Rt△HND′中， ， ∴Rt△HNF≌Rt△HND′， ∴NF=ND′ （3）解：∵四边形AEFD是正方形， ∴AE=EF=AD=8cm， 由折叠得，AD′=AD=8cm， 设NF=xcm，则ND′=xcm， 在Rt△AEN中， ∵AN2=AE2+EN2 ， ∴（8+x）2=82+（8﹣x）2 ， 解得：x=2， ∴AN=8+x=10cm，EN=6cm， ∴EN：AE：AN=3：4：5， ∴△AEN是（3，4，5）型三角形 （4）解：图4中还有△MFN，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形， ∵CF∥AE， ∴△CFN∽△AEN， ∵EN：AE：AN=3：4：5， ∴FN：CF：CN=3：4：5， ∴△MFN是（3，4，5）型三角形； 同理，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．
【点评】（1）根据矩形的性质得到∠D=∠DAE=90°，由折叠的性质得得到AE=AD，∠AEF=∠D=90°，求得∠D=∠DAE=∠AEF=90°，得到四边形AEFD是矩形，由于AE=AD，于是得到结论；（2）连接HN，由折叠的性质得到∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，根据正方形的想知道的∠HD′N=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）根据正方形的性质得到AE=EF=AD=8cm，由折叠得，AD′=AD=8cm，设NF=xcm，则ND′=xcm，根据勾股定理列方程得到x=2，于是得到结论；（4）根据（3，4，5）型三角形的定义即可得到结论．
4.（2017?盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1 ， 当点B1与原点重合时，解答下列问题：
（1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上；
（2）求出边A1C1所在直线的解析式；
（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：如图作A1H⊥x轴于H．
在Rt△A1OH中，∵A1H=3，∠A1OH=60°， ∴OH=A1H?tan30°= ， ∴A1（ ，3）， ∵x= 时，y=﹣ × +4=3， ∴A1在直线y=﹣ x+4上 （2）解：∵A1（ ，3），C1（2 ，0）， 设直线A1C1的解析式为y=kx+b，则有 ， 解得 ， ∴直线A1C1的解析式为y=﹣ x+6 （3）解：∵M（4 ，0），A1（ ，3），C1（2 ，0）， 由图象可知，当以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形时，P1（3 ，3），P2（5 ，﹣3），P3（﹣ ，3）
【点评】①由等边三角形ABC沿着x轴的正方向平移的性质，求出A1（? ，3），再判断是否在直线y上；②由A1（? ，3），C1（2? ，0）求出直线A1C1的解析式，③由平行四边形的性质确定P点的坐标.
5.（2017?抚顺）学校准备购进一批篮球和足球，买1个篮球和2个足球共需170元，买2个篮球和1个足球共需190元．
（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？
（2）学校欲购进篮球和足球共100个，且足球数量不多于篮球数量的2倍，求出最多购买足球多少个？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设一个篮球和一个足球的售价各是x元、y元， ，得 ， 答：一个篮球和一个足球的售价各是70元、50元 （2）解：设购进足球a个， a≤2（100﹣a）， 解得，a≤ ， ∴最多购买足球66个， 答：最多购买足球66个
【点评】（1）列方程组解决问题；（2）由“足球数量不多于篮球数量的2倍”可抽象出不等式a≤2（100﹣a）可解决问题.
6.（2017?吉林）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．
（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求； （2）解：如图③所示，?ABCD即为所求．
【点评】（1）运用圆规以所已知的线段为等腰三角形的底、腰分别画出格点三角形；（2）运用三角板，采用平移的方法，平移线段AB，当平移后的线段端点都为格点时即可.
7.（2017?佳木斯）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．
（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．
（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？
（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的 在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：由题意y=x+1.5×2x+2（100﹣3x）=﹣2x+200 （2）解：由题意﹣2x+200≥180， 解得x≤10， ∵x≥8， ∴8≤x≤10． ∵x为整数， ∴x=8，9，10． ∴有3种种植方案， 方案一：种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷． 方案二：种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷． 方案三：种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷 （3）解：∵y=﹣2x+200， ﹣2＜0， ∴x=8时，利润最大，最大利润为184万元． 设投资A种类型的大棚a个，B种类型的大棚b个， 由题意5a+8b≤ ×184， ∴5a+8b≤23， ∴a=1，b=1或2， a=2，b=1， a=3，b=1， ∴可以投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚1个， 或投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚2个， 或投资A种类型的大棚2个，B种类型的大棚1个， 或投资A种类型的大棚3个，B种类型的大棚1个
【点评】（1）总利润=三种蔬菜利润的总和，用x 的代数式分别表示三种利润即可；（2）由“总利润不低于180万元“可列不等式﹣2x+200≥180，取正整数解三个，就有三种方案;（3）由y=﹣2x+200(8≤x≤10)，-2<0,y随x的增大而减小，故x=8时y最大=184万元，由题意列出不等式5a+8b≤?×184,取整数解即可.
8.（2017?宁夏）某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量（件）
购进所需费用（元）
A
B
第一次
30
40
3800
第二次
40
30
3200
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元， 根据题意得： ，解得： ． 答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元 （2）解：设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件， 根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+10000． ∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍， ∴1000﹣m≥4m， 解得：m≤200． ∵在w=10m+10000中，k=10＞0， ∴w的值随m的增大而增大， ∴当m=200时，w取最大值，最大值为10×200+10000=12000， ∴当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．
【解析】可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
9.（2017?天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得 ， 解得 ， 答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元 （2）解：设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得 ， 解得： ≤a≤ ， 因为a是整数， 所以a=6，7，8； 则（10﹣a）=4，3，2； 三种方案： ①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元； ②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元； ③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元； 购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元
【解析】车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
10.（2017?陕西）在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，另外2个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”． 最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：
品种 项目
产量（斤/每棚）
销售价（元/每斤）
成本（元/每棚）
香瓜
?2000
?12
?8000
甜瓜
?4500
?3
?5000
现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为y元． 根据以上提供的信息，请你解答下列问题：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于10万元．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：由题意得， y=（2000×12﹣8000）x+（4500×3﹣5000）（8﹣x） =7500x+68000 （2）解：由题意得，7500x+6800≥100000， ∴x≥4 ， ∵x为整数， ∴李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植5个大棚.
【点评】（1）假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个，由已知条件得出y与x的函数关系式. （2）结合（1）中的解析式由题意列出关于x的一元一次不等式，且x为整数，解之即可.
11.（2017?绵阳）江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷， 根据题意得： ， 解得： ． 答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷． （2）解：设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台， 根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000． ∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元， ∴ ， 解得：5≤m≤7， ∴有三种不同方案． ∵w=200m+4000中，200＞0， ∴w值随m值的增大而增大， ∴当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元． 答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．
【点评】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据总费用=大型收割机的费用+小型收割机的费用，即可得出w与m之间的函数关系式，由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，依此可找出各方案，再结合一次函数的性质即可解决最值问题．
12.（2017?郴州）某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；
（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：根据题意得： ， 解得18≤x≤20， ∵x是正整数， ∴x=18、19、20， 共有三种方案： 方案一：A产品18件，B产品12件， 方案二：A产品19件，B产品11件， 方案三：A产品20件，B产品10件； （2）解：根据题意得：y=700x+900（30﹣x）=﹣200x+27000， ∵﹣200＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴x=18时，y有最大值， y最大=﹣200×18+27000=23400元． 答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．
【点评】（1）根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可；（2）根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最大利润即可．
一、选择题
1. () 图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（??? ）
A.?①?????????????????????????????????????????B.?②?????????????????????????????????????????C.?③?????????????????????????????????????????D.?④
【答案】A
【解析】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，故选：A． 【点评】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
二、填空题
2. () 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上．
（1）计算AB边的长等于________；
（2）在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使矩形的面积等于△ABC的面积，并简要说明画图的方法（不要求证明）．
【答案】（1） （2）解：①取格点E，F，连接AF，BE， 使得∠FAB=∠ABE=90°． ②过格点O、G作直线交AF于M，交BE于N， 四边形AMNB即为矩形，面积等于△ABC的面积．
【解析】解：（1）AB= = ． 故答案为 ． 【点评】（1）利用勾股定理可求出；（2）利用矩形面积公式和三角形面积公式可得出画法.
三、解答题
3. () 为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图所示：
（1）分别求出通话费y1 ， y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设y1=kx+b，将（0，29），（30，35）代入， 解得k= ，b=29，∴ ， 又24×60×30=43200（min） ∴ （0≤x≤43200）， 同样求得 ； （2）解：当y1=y2时， ； 当y1＜y2时， ． 所以，当通话时间等于96 min时，两种卡的收费相等， 当通话时间小于 mim时，“如意卡便宜”， 当通话时间大于 min时，“便民卡”便宜
【点评】（1）设y1=kx+b，将（0，29），（30，35）代入，得出方程组求解就可以求出通话费y1与通话时间x之间的函数关系式；同理求出通话费y2与通话时间x之间的函数关系式；（2）分三种情况讨论当y1=y2时得方程组求解即可，当y1＜y2时的不等式组求解即可，当y1y2时得不等式组求解即可；最后写出结论。
4. () A、B两城相距600千米，一辆客车从A城开往B城，车速为每小时80千米，同时一辆出租车从B城开往A城，车速为毎小时100千米，设客车出时间为t．
（1）【探究】? 若客车、出租车距B城的距离分别为y1、y2 ， 写出y1、y2关于t的函数关系式，并计算当y1=200千米时y2的値．
（2）【发现】? 设点C是A城与B城的中点， （Ⅰ）哪个车会先到达C？该车到达C后再经过多少小时，另一个车会到达C？ （Ⅱ）若两车扣相距100千米时，求时间t．
（3）【决策】? 己知客车和出租车正好在A，B之间的服务站D处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B城的方案： 方案一：继续乘坐出租车，到达A城后立刻返回B城（设出租车调头时间忽略不计）； 方案二：乘坐客车返回城． 试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：由已知，得y1=﹣80t+600， 令y1=0，即﹣80t+600=0，解得t= ， 故y1=﹣80t+600（0≤t≤ ）． y2=100t， 令y2=600，即100t=600，解得t=6， 故y2=100t（0≤t≤6）． 当y1=200时，即200=﹣80t+600，解得t=5， 当t=5时，y2=100×5=500． 故当y1=200千米时y2的値为500． （2）解：（Ⅰ）∵100＞60， ∴出租车先到达C． 客车到达C点需要的时间：600﹣80t1= ，解得t1= ； 出租车到达C点需要的时间：100t2= ，解得t2=3． ﹣3= （小时）． 所以出租车到达C后再经过 小时，客车会到达C． （Ⅱ）两车相距100千米，分两种情况： ①y1﹣y2=100，即600﹣80t﹣100t=100， 解得：t= ； ②y2﹣y1=100，即100t﹣（600﹣80t）=100， 解得：t= ． 综上可知：两车相距100千米时，时间t为 或 小时． （3）解：两车相遇，即80t+100t=600，解得t= ， 此时AD=80× = （千米），BD=600﹣ = （千米）． 方案一：t1=（ +600）÷100= （小时）； 方案二：t2= ÷80= （小时）． ∵t1＞t2 ， ∴方案二更快
【点评】探究：根据路程=速度×时间，即可得出y1、y2关于t的函数关系式，根据关系式算出y1=200千米时的时间t，将t代入y2的解析式中即可得出结论；发现：（Ⅰ）根据出租车的速度大于客车的速度可得出出租车先到达C点，套用（1）中的函数关系式，令y=300即可分别算出时间t1和t2 ， 二者做差即可得出结论；（2）两车相距100千米，分两种情况考虑，解关于t的一元一次方程即可得出结论；决策：根据时间=路程÷速度和，算出到达点D的时间，再根据路程=速度×时间算出AD、BD的长度，结合时间=路程÷速度，即可求出两种方案各需的时间，两者进行比较即可得出结论．
5. () 某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费． ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x （2）解：由题意可得：当10x+150=20x， 解得：x=15，则y=300， 故B（15，300）， 当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150）， 当y=10x+150=600， 解得：x=45，则y=600， 故C（45，600） （3）解：如图所示：由A，B，C的坐标可得： 当0＜x＜15时，普通消费更划算； 当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当15＜x＜45时，银卡消费更划算； 当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当x＞45时，金卡消费更划算．
【点评】（1）根据已知银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用y与x的函数关系式即可。 （2）利用函数图像交点坐标得求法即可求出A、B、C三点坐标。 （3）利用（2）的交点坐标，及结合函数图像观察即可得出结论。
6. () 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元， 依题意得： ，解得： ， 答：甲种商品每件的进价为30元，乙种商品每件的进价为70元 （2）解：设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件， 由已知得：m≥4(100-m) 解得：m≥80． 设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w， 则w=（40﹣30）m+（90﹣70）=﹣10m+2000， ∴当m=80时，w取最大值，最大利润为1200元． 故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件、乙商品购进20件，最大利润为1200元．
【点评】(1)用二元一次方程组即可列出两个等量关系式，并求出甲、乙的单价； (2)因为甲乙共100件，设甲为m件，所以乙应购进（100-m）,根据题意可列出不等量关系，求出m的取值范围；总利润为甲的利润加上乙的利润，所以甲的单件利润乘以件数即为甲的利润，同理可求出乙的利润；当m 越小时，总利润越大，所以当m=80时，总利润最大.
7. () 【操作发现】 如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；
（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=________．
（3）【问题解决】 如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积． 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系； 想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系． 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）
（4）【灵活运用】 如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
【答案】（1）解：如图所示，△AB′C′即为所求； ? （2）45°?? （3）解：如图②， ∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′， ∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°， ∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°， ∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°， ∴PP′= PC，即AP= PC， ∵∠APC=90°， ∴AP2+PC2=AC2 ， 即（ PC）2+PC2=72 ， ∴PC=2 ， ∴AP= ， ∴S△APC= AP?PC=7 （4）解：如图③中，∵AE⊥BC，BE=EC， ∴AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG， ∵∠BAD=∠CAG， ∴∠BAC=∠DAG， ∵AB=AC，AD=AG， ∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD， ∴△ABC∽△ADG， ∵AD=kAB， ∴DG=kBC=4k， ∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC， ∴∠ADG+∠ADC=90°， ∴∠GDC=90°， ∴CG= = ?． ∴BD=CG= ．
【解析】【操作发现】（2）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°， ∴AB=AB′，∠B′AB=90°， ∴∠AB′B=45°， 故答案为：45°； 【点评】（1）根据方格纸的特点及旋转的性质，分别将B,C两点绕点A顺时针旋转90°，得到其对应点B′，C′，再顺次连接即可； （2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质即可得出答案； （3）根据旋转的性质△APP′是等边三角形，根据周角的定义得出∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°，根据等边三角形的性质得出PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，根据角的和差得出∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出PP′=PC,即AP=PC,在Rt三角形APC中利用勾股规定里列出方程得出PC的长，进而得出AP的长，根据三角形的面积公式得出答案； （4）根据线段的中垂线定理得出AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据等式的性质由∠BAD=∠CAG，得出∠BAC=∠DAG，根据等边对等角及等腰三角形的顶角相等则底角也相等得出∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，从而判断出△ABC∽△ADG，根据相似三角形对应边的比相等由AD=kAB，得出DG=kBC=4k，根据直角三角形两锐角互余及等量代换得出∠ADG+∠ADC=90°，即∠GDC=90°，在Rt三角形CDG中根据勾股定理得出CG的长，从而得出答案。
8. () 某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元，若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元
（1）求A、B两种跳绳的单价各是多少？
（2）若该商店准备同时购进这两种跳绳共100根，且A种跳绳的数量不少于跳绳总数量的 ．若每根A种跳绳的售价为26元，每根B种跳绳的售价为30元，问：该商店应如何进货才可获取最大利润，并求出最大利润．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元， 根据题意，得 ，解得 ， 答：A种跳绳的单价为22元，B种跳绳的单价为25元 （2）解：设购进A种跳绳a根，则B种跳绳（100－a）根，该商店的利润为w元， 则w=（26－22）a＋（30－25）（100－a）＝－a＋500， ∵－1< 0 ，∴a取最小值时，w取最大值， 又∵a ≥100× ＝40，且a为整数， ∴当a ＝40时，w最大＝－40＋500＝460（元）， 此时，100－40＝60， 所以该商店购进A种跳绳40根，B种跳绳60根时可获得最大利润，最大利润为460元
【点评】（1）此题的等量关系是：购进A种跳绳10根的费用+B种跳绳7根的费用=395；若购进A种跳绳5根的费用+B种跳绳3根的费用=185，设未知数列方程组求解即可。 （2）根据W=A跳绳的数量×每根A跳绳利润+B跳绳的数量×每根B跳绳利润，列出W与a之间的函数关系式，再根据题意求出a的取值范围，利用一次函数的性质即可求解。
9. () 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b. 把(22，36)与(24，32)代入，得 ? 解得 ? ∴y＝－2x＋80. （2）解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得 (x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150. 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元 （3）解：由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200. ∵售价不低于20元且不高于28元， 当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．?? 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元
【点评】（1）将实际问题转化为数学问题，此题是一次函数的应用，可得出两点坐标(22，36)与(24，32)，利用待定系数法求出函数解析式即可。 （2）根据利润=每件的利润×销售量，建立方程求解，再根据每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，即可求解。 （3）根据利润=每件的利润×销售量，建立二次函数，求出其顶点坐标，再根据售价不低于20元且不高于28元及二次函数的增减性，求出最大利润即可。
10. () 某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．
（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；
（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元， 根据题意得： ， 解得： ， 答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元 （2）解：设购进篮球m个，排球（100﹣m）个， 根据题意得： ， 解得： ≤m≤35， ∴m=34或m=35， ∴购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案
【点评】（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，根据题意得到方程组；即可解得结果；（2）设购进篮球m个，排球（100﹣m）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
11. () 中国移动公司有神州行和大众卡两种业务?神州行免月租，打市内电话0.39元/分；大众卡月租16元，打市内通话0.15元/分，用户可以任选其一：
（1）请你分别写出两种业务中用户每月应支付的费用y（元）与打市内电话时间x（分）之间的函数关系式；
（2）若某用户估计一个月内打市内电话的时间为70分钟，你认为选择哪种业务较为合算？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：神州行每月需支付费用y=0.39x； 大众卡每月需支付费用y=16+0.15x； （2）解：当x=70时， 神州行每月需支付费用y=0.39x=27.3； 大众卡每月需支付费用y=16+0.15x=26.5； 27.3＞26.5， ∴应选择大众卡消费比较合适．
【点评】（1）神州行每月需支付费用=0.39×通话时间； 大众卡每月需支付费用=月租费+0.15×通话时间；（2）把x=70代入（1）中得到的两个关系式中，比较得到的结果即可．
12. () “低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设平均增长率为x，根据题意得： 640=1000; 解得：x=0.25=25%或x=-2.25(舍去）； ∴四月份的销量为：1000（1+25%）=1250（辆）； 答：新投放的共享单车1250辆。 （2）解：设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得： 500y+1000(100-y)≤70000; 解得：y≥60; ∴利润W=（700-500）y+(1300-1000)(100-y) ?????????? =200y+300(100-y) ?????????? =-100y+30000 ∵-100＜0, ∴W随着x的增大而减小； ∴当y=60时，利润最大=-100×60+30000=2400（元）； 答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车。
【点评】（1）根据1月和3月的销售量求得月平均增长率，然后求出4月份的销量即可。（2）设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆;根据题意可得：500y+1000(100-y)≤70000;求出答案即可。
