9.1 探索规律问题
一、数字猜想型
在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
解题方法：分析比较 发现数量关系 猜想 计算 解决问题．
二、数式规律型
通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
解题方法：观察 分析 归纳 验证 得出结论．
三、图形规律型
图形规律问题主要是观察图形的组成、分解等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合．
解题方法：观察 图形的组成与分解利用数形结合归纳解决问题．
四、数形结合猜想型
首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系．
解题方法：观察图形变化规律利用数形结合思想猜想并验证得出结论．
五、动态规律型
要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．
解题方法：观察图形体会变化确定发生变化的与没有发生变化的量逐步发现规律．
一、填空题
1. （2015·贵州）按一定规律排列的一列数：1，3，6，10，…，则第n个数的排列规律是________．
2.（2017·嘉兴）如图，把 个边长为1的正方形拼接成一排，求得 ， ， ，计算 ________，……按此规律，写出 ________（用含 的代数式表示）．
3.（2017?乐山）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1= + + +…+ +…． 图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC1⊥AB于点C1 ， 再过点C1作C1C2⊥BC于点C2 ， 又过点C2作C2C3⊥AB于点C3 ， 如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是________．
二、选择题
4.（2017?河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（?? ）
A.?1.4???????????????????????????????????????B.?1.1???????????????????????????????????????C.?0.8???????????????????????????????????????D.?0.5
5.（2017?烟台）用棋子摆出下列一组图形： 按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（?? ）
A.?3n?????????????????????????????????????B.?6n?????????????????????????????????????C.?3n+6?????????????????????????????????????D.?3n+3
6.（2017?温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 ， ， ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2 ， P2P3 ， P3P4 ， …得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（?? ）
A.?（﹣6，24）???????????????????B.?（﹣6，25）???????????????????C.?（﹣5，24）???????????????????D.?（﹣5，25）
7.（2017?贺州）将一组数 ，2， ，2 ， ，…，2 ，按下列方式进行排列： ，2， ，2 ， ； 2 ， ，4，3 ，2 ； … 若2的位置记为（1，2），2 的位置记为（2，1），则 这个数的位置记为（?? ）
A.?（5，4）???????????????????????????B.?（4，4）???????????????????????????C.?（4，5）???????????????????????????D.?（3，5）
8.（2017?重庆）下列图象都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗 ，第②个图形中一共有11颗 ，第③个图形中一共有21颗 ，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中 的颗数为（?? ）
A.?116??????????????????????????????????????B.?144??????????????????????????????????????C.?145??????????????????????????????????????D.?150
三、填空题
9.（2017?盘锦）如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y= x于点B1 ， B2 ， 过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2 ， 过点A2作x轴的平行线交直线y= x于点B3 ， …，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为________．
10.（2017?佳木斯）如图，四条直线l1：y1= x，l2：y2= x，l3：y3=﹣ x，l4：y4=﹣ x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2 ， 再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3 ， 再过点A3作A3A4⊥l2交y轴于点A4…，则点A2017坐标为________．
11.（2017?徐州）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为________．
12.（2017?淄博）设△ABC的面积为1． 如图1，分别将AC，BC边2等分，D1 ， E1是其分点，连接AE1 ， BD1交于点F1 ， 得到四边形CD1F1E1 ， 其面积S1= ． 如图2，分别将AC，BC边3等分，D1 ， D2 ， E1 ， E2是其分点，连接AE2 ， BD2交于点F2 ， 得到四边形CD2F2E2 ， 其面积S2= ； 如图3，分别将AC，BC边4等分，D1 ， D2 ， D3 ， E1 ， E2 ， E3是其分点，连接AE3 ， BD3交于点F3 ， 得到四边形CD3F3E3 ， 其面积S3= ； … 按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnFnEn ， 其面积Sn=________．
13.（2017?潍坊）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．
14.（2017?郴州）已知a1=﹣ ，a2= ，a3=﹣ ，a4= ，a5=﹣ ，…，则a8=________．
15.（2017?巴中）观察下列各式： …请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来________．
16.（2017?黄石）观察下列格式： =1﹣ = + =1﹣ + ﹣ = + + =1﹣ + ﹣ + ﹣ = … 请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数）________．（写出最简计算结果即可）
17.（2017?黔南州）杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： 按照前面的规律，则（a+b）5=________．
四、解答题
18.（2017?无锡）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．
（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为 ；若点M经过T变换后得到点N（6，﹣ ），则点M的坐标为 ．
（2）A是函数y= x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B． ①求经过点O，点B的直线的函数表达式； ②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．
19.（2017?福建）小明在某次作业中得到如下结果： sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945， sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018， sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873， sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000， sin245°+sin245°≈（ ）2+（ ）2=1． 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1． （Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立； （Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
20.（2017?安徽）阅读理解 我们知道，1+2+3+…+n= ，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12 ， 第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22 ， …；第n行n个圆圈中数的和为 ，即n2 ， 这样，该三角形数阵中共有 个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2 ．
（1）将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=________，因此，12+22+32+…+n2=________．
（2）根据以上发现，计算： 的结果为________．
一、选择题
1.（）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣ x+ 与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?1
2. （）农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为（?? ）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?16
3. （）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1 ， A3B3C3C2 ， …按如图所示放置，点A1 ， A2 ， A3 ， 和点C1 ， C2 ， C3 ， …，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1 ， B2 ， B3 ， B4的坐标分别为（1，1）（3，2），（7，4），（15，8），则Bn的坐标是（?? ）
A.?（2n﹣1，2n﹣1）????????B.?（2n ， 2n﹣1）????????C.?（2n﹣1 ， 2n）????????D.?（2n﹣1﹣1，2n﹣1）
4. （）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
5. （）如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律，（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注“？”的圆圈中的数应是（?? ）
A.?119??????????????????????????????????????B.?120??????????????????????????????????????C.?121??????????????????????????????????????D.?122
6. （）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（?? ）
A.?71?????????????????????????????????????????B.?78?????????????????????????????????????????C.?85?????????????????????????????????????????D.?89
7. （）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y=﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y= 的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2017，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足为M、N，连结PQ，则四边形PMNQ的面积为（?? ）
A.?72?????????????????????????????????????????B.?36?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?9
二、填空题
8. （）小明在他家里的时钟上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在n点钟响起后，下一次则在（3n﹣1）小时后响起，例如钟声第一次在3点钟响起，那么第2次在（3×3﹣1=8）小时后，也就是11点响起，第3次在（3×11﹣1=32）小时后，即7点响起，以此类推…；现在第1次钟声响起时为2点钟，那么第3次响起时为________点，第2017次响起时为________点（如图钟表，时间为12小时制）．
9. （）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y= x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y= x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（ ，1），则点A8的横坐标是________．
10. （）找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为________．
11. （）如图，将顶点为P（1，﹣2），且过原点的抛物线y的一部分沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y1 ， 其顶点为P1 ， 然后将抛物线y1沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y2 ， 其顶点为P2；…，如此进行下去，直至得到抛物线y2016 ， 则点P2016坐标为________．
12. （）有这样一组数据a1 ， a2 ， a3 ， …an ， 满足以下规律： a1= ，a2= ，a3= ，…，an= （n≥2且n为正整数），则a2017的值为________（结果用数字表示）
13. （）如图，正方形ABCB1中，AB=1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1 ， 作正方形A1B1C1B2 ， 延长C1B2交直线l于点A2 ， 作正方形A2B2C2B3 ， 延长C2B3交直线l于点A3 ， 作正方形A3B3C3B4 ， …，依此规律，则A2016A2017=________．
14. （）如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2 ， 以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2 ， 使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3 ， 以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3 ， 使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是________．
15. （）如图，边长为1的正△ABO的顶点O在原点，点B在x轴负半轴上，正方形OEDC边长为2，点C在y轴正半轴上，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着△ABO的边按逆时针方向运动，动点Q从D点出发，以每秒1个单位的速度沿着正方形OEDC的边也按逆时针方向运动，点Q比点P迟1秒出发，则点P运动2016秒后，则PQ2的值是________．
16. （）定义：式子1﹣ （a≠0）叫做a的影子数．如：3的影子数是1﹣ = ，已知a1=﹣ ，a2是a1的影子数，a3是a2的影子数，…，依此类推，则a2017的值是________．
17. （）如图，是用大小相同的圆柱形油桶摆放成的一组有规律的图案，图案（1）需要2只油桶，图案（2）需要5只油桶，图案（3）需要10只油桶，图案（4）需要17只油桶，…，按此规律摆下去，第n个图案需要油桶________只（用含n的代数式表示）
18. （）在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①， 然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②， ②﹣①得，3S﹣S=39﹣1，即2S=39﹣1， 所以S= ． 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正确答案是________．
三、解答题
19. （）如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…
（1）观察图形并完成表格：
图形名称
基本图形的个数
菱形的个数
图①
1
1
图②
2
3
图③
3
7
图④
4
________
…
…
…
猜想：在图n中，菱形的个数为________?[用含有n（n≥3）的代数式表示]；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（x1 ， 1），则x1=________；第2017个基本图形的中心O2017的坐标为________
20. （）问题的提出：n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？ 问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题： n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…
（1）请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
（2）根据递推规律用n的代数式填空：n条直线最多可以把平面分割成________个部分． 问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？ 首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到1+1=2个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分； 空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分； 空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分； 空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到1+1+2+4+7=15个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分； 空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11=26个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；…
（3）请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个部分？”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
（4）根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成________个部分；
（5）设n个平面最多可以把空间分割成Sn个部分，设n﹣1个平面最多可以把空间分割成Sn﹣1个部分，前面的递推规律可以用Sn﹣1和n的代数式表示Sn；这个等式是Sn=________．
9.1 探索规律问题
一、数字猜想型
在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
解题方法：分析比较 发现数量关系 猜想 计算 解决问题．
二、数式规律型
通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
解题方法：观察 分析 归纳 验证 得出结论．
三、图形规律型
图形规律问题主要是观察图形的组成、分解等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合．
解题方法：观察 图形的组成与分解利用数形结合归纳解决问题．
四、数形结合猜想型
首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系．
解题方法：观察图形变化规律利用数形结合思想猜想并验证得出结论．
五、动态规律型
要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．
解题方法：观察图形体会变化确定发生变化的与没有发生变化的量逐步发现规律．
一、填空题
1. （2015·贵州）按一定规律排列的一列数：1，3，6，10，…，则第n个数的排列规律是________．
【答案】
【解析】解，1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…， ∴第n个数的排列规律是：1+2+3+4+…+n= ． 故答案为： ． 【点评】根据给出的4个数，可得：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…，据此判断出第n个数的排列规律即可．
2.（2017·嘉兴）如图，把 个边长为1的正方形拼接成一排，求得 ， ， ，计算 ________，……按此规律，写出 ________（用含 的代数式表示）．
【答案】；
【解析】解：如图，过点C作CE⊥A4B于E，易得∠A4BC=∠BA4A1 ， 故tan∠A4BC=tan∠BA4A1=, 在Rt△BCE中，由tan∠A4BC=,得BE=4CE，而BC=1， 则BE= ， CE= ， 而A4B=, 所以A4E=A4B-BE= ， 在Rt△A4EC中，tan∠BA4C=。 根据前面的规律，不能得出tan∠ BA1C=,tan∠ BA2C=,tan∠ BA3C=,tan∠ BA4C= 则可得规律tan∠ BAnC==。 故答案为; 【点评】过C作CE⊥A4B于E，即构造直角三角形，求出CE，A4即可.
3.（2017?乐山）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1= + + +…+ +…． 图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC1⊥AB于点C1 ， 再过点C1作C1C2⊥BC于点C2 ， 又过点C2作C2C3⊥AB于点C3 ， 如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是________．
【答案】2 =
【解析】如图2，
∵AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB， ∴Rt△ACC1中，∠ACC1=30°，且BC=2 ， ∴AC1= AC=1，CC1= AC1= ， ∴S△ACC1= ?AC1?CC1= ×1× = ； ∵C1C2⊥BC， ∴∠CC1C2=∠ACC1=30°， ∴CC2= CC1= ，C1C2= CC2= ， ∴ = ?CC2?C1C2= × × = × ， 同理可得， = ×（ ）2 ， = ×（ ）3 ， … ∴ = ×（ ）n﹣1 ， 又∵S△ABC= AC×BC= ×2×2 =2 ， ∴2 = + × + ×（ ）2+ ×（ ）3+…+ ×（ ）n﹣1+… ∴2 = ． 故答案为：2 = ． 【点评】先根据AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，求得S△ACC1=；进而得到S△CC1C2=×；S△C1C2C3=×；S△C2C3C4=×；根据规律可知S△Cn-2Cn-1Cn=×；再根据S△ABC=×AC×BC=×2×2=2.即可得到等式.
二、选择题
4.（2017?河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（?? ）
A.?1.4???????????????????????????????????????B.?1.1???????????????????????????????????????C.?0.8???????????????????????????????????????D.?0.5
【答案】C
【解析】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线， 观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1， 故选C． 【点评】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，由此即可判断．
5.（2017?烟台）用棋子摆出下列一组图形： 按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（?? ）
A.?3n?????????????????????????????????????B.?6n?????????????????????????????????????C.?3n+6?????????????????????????????????????D.?3n+3
【答案】D
【解析】解：∵第一个图需棋子3+3=6； 第二个图需棋子3×2+3=9； 第三个图需棋子3×3+3=12； … ∴第n个图需棋子3n+3枚． 故选：D． 【点评】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
6.（2017?温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 ， ， ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2 ， P2P3 ， P3P4 ， …得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（?? ）
A.?（﹣6，24）???????????????????B.?（﹣6，25）???????????????????C.?（﹣5，24）???????????????????D.?（﹣5，25）
【答案】B
【解析】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26， 所以P9的坐标为（﹣6，25）， 故选B． 【点评】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．
7.（2017?贺州）将一组数 ，2， ，2 ， ，…，2 ，按下列方式进行排列： ，2， ，2 ， ； 2 ， ，4，3 ，2 ； … 若2的位置记为（1，2），2 的位置记为（2，1），则 这个数的位置记为（?? ）
A.?（5，4）???????????????????????????B.?（4，4）???????????????????????????C.?（4，5）???????????????????????????D.?（3，5）
【答案】B
【解析】解：这组数据可表示为： 、 、 、 、 ； 、 、 、 、 ； … ∵19×2=38， ∴ 为第4行，第4个数字． 故答案为：B． 【点评】本题主要考查的是数字的变化规律，先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可得结论．
8.（2017?重庆）下列图象都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗 ，第②个图形中一共有11颗 ，第③个图形中一共有21颗 ，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中 的颗数为（?? ）
A.?116??????????????????????????????????????B.?144??????????????????????????????????????C.?145??????????????????????????????????????D.?150
【答案】B
【解析】解：∵4=1×2+2， 11=2×3+2+3 21=3×4+2+3+4 第4个图形为：4×5+2+3+4+5， ∴第⑨个图形中 的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144． 故选：B． 【点评】根据题意图形得出小星星的个数变化规律，即可的得出答案．
三、填空题
9.（2017?盘锦）如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y= x于点B1 ， B2 ， 过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2 ， 过点A2作x轴的平行线交直线y= x于点B3 ， …，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为________．
【答案】
【解析】解：∵AnBn+1∥x轴， ∴tan∠AnBn+1Bn= ． 当x=1时，y= x= ， ∴点B1的坐标为（1， ）， ∴A1B1=1﹣ ，A1B2= = ﹣1． ∵1+A1B2= ， ∴点A2的坐标为（ ， ），点B2的坐标为（ ，1）， ∴A2B2= ﹣1，A2B3= = ﹣ ， ∴点A3的坐标为（ ， ），点B3的坐标为（ ， ）． 同理，可得：点An的坐标为（ ， ）． 故答案为： ． 【点评】根据两直线与坐标点的特点由三角函数值求出点B1的坐标，从而求出A1B1的值，根据解直角三角形求出A2B2的值，探索规律求出An的坐标；此题规律性较强，计算复杂需仔细认真.
10.（2017?佳木斯）如图，四条直线l1：y1= x，l2：y2= x，l3：y3=﹣ x，l4：y4=﹣ x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2 ， 再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3 ， 再过点A3作A3A4⊥l2交y轴于点A4…，则点A2017坐标为________．
【答案】（（ ）2016 ， 0）
【解析】解：∵y1= x，l2：y2= x，l3：y3=﹣ x，l4：y4=﹣ x， ∴x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角， ∵2017=168×12+1， ∴点A2016在x轴的正半轴上， ∵OA2= = ， OA3=（ ）2 ， OA4=（ ）3 ， … OA2016=（ ）2015 ， ∴点A2017坐标为（（ ）2016 ， 0）． 故答案为（（ ）2016 ， 0）． 【点评】先计算几个特殊例子观察规律，每相邻两数的比为,指数比序号少1，12个点一循环，再用2017除以12，余1，就是这个循环的第一个.
11.（2017?徐州）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为________．
【答案】
【解析】解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB=1， ∴AA1=OA=1，OA1= OB= ； ∵△OA1A2为等腰直角三角形， ∴A1A2=OA1= ，OA2= OA1=2； ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴A2A3=OA2=2，OA3= OA2=2 ； ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴A3A4=OA3=2 ，OA4= OA3=4． ∵△OA4A5为等腰直角三角形， ∴A4A5=OA4=4，OA5= OA4=4 ， ∵△OA5A6为等腰直角三角形， ∴A5A6=OA5=4 ，OA6= OA5=8． ∴OAn的长度为 ． 故答案为： 【点评】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
12.（2017?淄博）设△ABC的面积为1． 如图1，分别将AC，BC边2等分，D1 ， E1是其分点，连接AE1 ， BD1交于点F1 ， 得到四边形CD1F1E1 ， 其面积S1= ． 如图2，分别将AC，BC边3等分，D1 ， D2 ， E1 ， E2是其分点，连接AE2 ， BD2交于点F2 ， 得到四边形CD2F2E2 ， 其面积S2= ； 如图3，分别将AC，BC边4等分，D1 ， D2 ， D3 ， E1 ， E2 ， E3是其分点，连接AE3 ， BD3交于点F3 ， 得到四边形CD3F3E3 ， 其面积S3= ； … 按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnFnEn ， 其面积Sn=________．
【答案】
【解析】解：如图所示，连接D1E1 ， D2E2 ， D3E3 ， ∵图1中，D1 ， E1是△ABC两边的中点， ∴D1E1∥AB，D1E1= AB， ∴△CD1E1∽△CBA，且 = = ， ∴S△CD1E1= S△ABC= ， ∵E1是BC的中点， ∴S△BD1E1=S△CD1E1= ， ∴S△D1E1F1= S△BD1E1= × = ， ∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1= + = ， 同理可得： 图2中，S2=S△CD2E2+S△D2E2F2= + = ， 图3中，S3=S△CD3E3+S△D3E3F3= + = ， 以此类推，将AC，BC边（n+1）等分，得到四边形CDnEnFn ， 其面积Sn= + ×n× = ， 故答案为： ． 【点评】根据三角形中位线定理得出相似三角形的面积比，从而得出S1、S2、S3…的面积，从数据中探索出规律得出结论.
13.（2017?潍坊）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．
【答案】9n+3
【解析】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3； ∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3； ∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3， …， ∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3． 故答案为：9n+3． 【点评】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．
14.（2017?郴州）已知a1=﹣ ，a2= ，a3=﹣ ，a4= ，a5=﹣ ，…，则a8=________．
【答案】
【解析】解：由题意给出的5个数可知：an= 当n=8时，a8= 故答案为： 【点评】根据已给出的5个数即可求出a8的值；
15.（2017?巴中）观察下列各式： …请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来________．
【答案】 =（n+1） （n≥1）
【解析】∵ =（1+1） ； =（2+1） ； ∴ =（n+1） （n≥1）． 故答案为： =（n+1） （n≥1）． 【分析观察分析可得：=（1+1）；=（2+1）……则将此题规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来即可.
16.（2017?黄石）观察下列格式： =1﹣ = + =1﹣ + ﹣ = + + =1﹣ + ﹣ + ﹣ = … 请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数）________．（写出最简计算结果即可）
【答案】
【解析】解：n=1时，结果为： = ； n=2时，结果为： = ； n=3时，结果为： 所以第n个式子的结果为： 故答案为： 【点评】根据上述各式的规律即可求出第n个式子的计算结果．
17.（2017?黔南州）杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： 按照前面的规律，则（a+b）5=________．
【答案】1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
【解析】解：观察图形，可知：（a+b）5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 ． 故答案为：1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 ． 【点评】本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系即解此题.．
四、解答题
18.（2017?无锡）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．
（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为 ；若点M经过T变换后得到点N（6，﹣ ），则点M的坐标为 ．
（2）A是函数y= x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B． ①求经过点O，点B的直线的函数表达式； ②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．
【答案】答案见解析
【解析】
（1）如图1，连接CQ，过Q作QD⊥PC于点D， 由旋转的性质可得PC=PQ，且∠CPQ=60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∵P（a，b）， ∴OC=a，PC=b， ∴CD= PC= b，DQ= PQ= b， ∴Q（a+ b， b）； 设M（x，y），则N点坐标为（x+ y， y）， ∵N（6，﹣ ）， ∴ ，解得 ， ∴M（9，﹣2 ）； 故答案为：（a+ b， b）；（9，﹣2 ） （2）①∵A是函数y= x图象上异于原点O的任意一点， ∴可取A（2， ）， ∴2+ × = ， × = ， ∴B（ ， ）， 设直线OB的函数表达式为y=kx，则 k= ，解得k= ， ∴直线OB的函数表达式为y= x； ②设直线AB解析式为y=k′x+b， 把A、B坐标代入可得 ，解得 ， ∴直线AB解析式为y=﹣ x+ ， ∴D（0， ），且A（2， ），B（ ， ）， ∴AB= = ，AD= = ， ∴ = = =
【点评】（1）连接CQ可知△PCQ为等边三角形，过Q作QD⊥PC，利用等边三角形的性质可求得CD和QD的长，则可求得Q点坐标；设出M点的坐标，利用P、Q坐标之间的关系可得到点M的方程，可求得M点的坐标；（2）①可取A（2， ），利用T变换可求得B点坐标，利用待定系数示可求得直线OB的函数表达式；②由待定系数示可求得直线AB的解析式，可求得D点坐标，则可求得AB、AD的长，可求得△OAB的面积与△OAD的面积之比．
19.（2017?福建）小明在某次作业中得到如下结果： sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945， sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018， sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873， sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000， sin245°+sin245°≈（ ）2+（ ）2=1． 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1． （Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立； （Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【答案】答案见解析
【解析】解：（Ⅰ）当α=30°时， sin2α+sin2（90°﹣α） =sin230°+sin260° =（ ）2+（ ）2 = + =1； （Ⅱ）小明的猜想成立，证明如下： 如图，在△ABC中，∠C=90°， 设∠A=α，则∠B=90°﹣α， ∴sin2α+sin2（90°﹣α） =（ ）2+（ ）2 = = =1．
【点评】（1）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；（2）设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
20.（2017?安徽）阅读理解 我们知道，1+2+3+…+n= ，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12 ， 第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22 ， …；第n行n个圆圈中数的和为 ，即n2 ， 这样，该三角形数阵中共有 个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2 ．
（1）将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=________，因此，12+22+32+…+n2=________．
（2）根据以上发现，计算： 的结果为________．
【答案】（1）2n+1；；（2）12345
【解析】（1）解：由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n=2n+1， 由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： 3（12+22+32+…+n2）=（2n+1）×（1+2+3+…+n）=（2n+1）× ， 因此，12+22+32+…+n2= ； 故答案为：2n+1， ， ； ⑵原式= = ×（2017×2+1）=1345， 故答案为：1345． 【点评】（1）将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的 ，从而得出答案； ⑵运用以上结论，将原式变形为 ，化简计算即可得．
一、选择题
1.（）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣ x+ 与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?1
【答案】C
【解析】解：令y=x2﹣ x+ =0， 即x2﹣ x+ =0， 解得x= 或x= ， 故抛物线y=x2﹣ x+ 与x轴的交点为（ ，0），（ ，0）， 由题意得AnBn= ﹣ ， 则A1B1+A2B2+…+A2017B2017=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ， 故选C． 【点评】首先求出抛物线与x轴两个交点坐标，然后由题意得到AnBn= ﹣ ，进而求出A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值．
2. （）农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为（?? ）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?16
【答案】B
【解析】解：第1个图形中苹果树的棵树是1，针叶树的棵树是8， 第2个图形中苹果树的棵树是4=22 ， 针叶树的棵树是16=8×2， 第3个图形中苹果树的棵树是9=32 ， 针叶树的棵树是24=8×3， 第4个图形中苹果树的棵树是16=42 ， 针叶树的棵树是32=8×4， …， 所以，第n个图形中苹果树的棵树是n2 ， 针叶树的棵树是8n， ∵苹果树的棵数与针叶树的棵数相等， ∴n2=8n， 解得n1=0（舍去），n2=8． 故选B． 【点评】观察图形不难发现，苹果树的棵树为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，并找出规律写出第n个图形中的棵树的表达式，然后列出方程求解即可．
3. （）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1 ， A3B3C3C2 ， …按如图所示放置，点A1 ， A2 ， A3 ， 和点C1 ， C2 ， C3 ， …，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1 ， B2 ， B3 ， B4的坐标分别为（1，1）（3，2），（7，4），（15，8），则Bn的坐标是（?? ）
A.?（2n﹣1，2n﹣1）????????B.?（2n ， 2n﹣1）????????C.?（2n﹣1 ， 2n）????????D.?（2n﹣1﹣1，2n﹣1）
【答案】A
【解析】解：设Bn的坐标为（xn ， yn）， ∵y1=1，y2=2，y3=4，y4=8， ∴yn=2n﹣1； ∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，7=2×4﹣1，15=2×8﹣1， ∴xn=2yn﹣1=2n﹣1． ∴Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）． 故选A． 【点评】设Bn的坐标为（xn ， yn），根据点B1 ， B2 ， B3 ， B4坐标的变化找出变化规律“Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）”，此题得解．
4. （）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【解析】解：连接OE1 ， OD1 ， OD2 ， 如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形， ∴∠E1OD1=60°， ∴△E1OD1为等边三角形， ∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切， ∴OD2⊥E1D1 ， ∴OD2= E1D1= ×2， ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长= ×2， 同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（ ）2×2， 则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（ ）9×2= ． 故选D． 【点评】连接OE1 ， OD1 ， OD2 ， 如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1 ， 于是可得OD2= E1D1= ×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长= ×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（ ）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（ ）9×2，然后化简即可．
5. （）如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律，（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注“？”的圆圈中的数应是（?? ）
A.?119??????????????????????????????????????B.?120??????????????????????????????????????C.?121??????????????????????????????????????D.?122
【答案】D
【解析】解：根据题意得： ， 解得a=2，b=6，则本题的转换规律为2n+6． 当n=26时，2n+6=2×26+6=58； 当n=58时，2n+6=2×58+6=122； 所以图中标注问号的圆圈中的数是122． 故D符合题意. 故答案为：D． 【点评】根据题意可得到关于a、b的方程组，从而求出a、b的值，从而可得到转换规律为2n+6．进而求得图中标注问号的圆圈中的数.
6. （）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（?? ）
A.?71?????????????????????????????????????????B.?78?????????????????????????????????????????C.?85?????????????????????????????????????????D.?89
【答案】D
【解析】解：第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1； 第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2； 第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3； …； 则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n， 所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89． 故答案为：D． 【点评】这是两个规律题汇总——（n+1）的平方数列+自然数列.可以直接记住规律，也可以按照解答步骤一点点总结规律.
7. （）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y=﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y= 的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2017，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足为M、N，连结PQ，则四边形PMNQ的面积为（?? ）
A.?72?????????????????????????????????????????B.?36?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?9
【答案】B
【解析】解：如图所示，A，C之间的距离为6， 2017÷6=336…1，故点P离x轴的距离与点P'离x轴的距离相同， 在y=﹣x2+4x+2中，当x=1时，y=5，即点P'离x轴的距离为5， ∴P'M'=5， 2025﹣2017=8，故点Q与点P的水平距离为8， 即M'N'=MN=8，点Q离x轴的距离与点Q'离x轴的距离相同， 由题可得，抛物线的顶点B的坐标为（2，6），故A，B之间的水平距离为6，且k=12， ∵点D与点Q'的水平距离为1+8﹣6﹣2=1，点C与点Q'的水平距离为1+2=3， ∴在y= 中，当x=3时，y=4，即点Q'离x轴的距离为4， ∴Q'N'=4， ∵四边形P'M'N'Q'的面积为 =36， ∴四边形PMNQ的面积为36， 故选：B． 【点评】A，C之间的距离为6，点Q与点P的水平距离为8，抛物线的顶点B的坐标为（2，6），进而得到A，B之间的水平距离为6，且k=12，根据四边形P'M'N'Q'的面积为 =36，即可得到四边形PMNQ的面积为36．
二、填空题
8. （）小明在他家里的时钟上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在n点钟响起后，下一次则在（3n﹣1）小时后响起，例如钟声第一次在3点钟响起，那么第2次在（3×3﹣1=8）小时后，也就是11点响起，第3次在（3×11﹣1=32）小时后，即7点响起，以此类推…；现在第1次钟声响起时为2点钟，那么第3次响起时为________点，第2017次响起时为________点（如图钟表，时间为12小时制）．
【答案】3；11
【解析】解：∵第一次在2点钟响起， 第二次在3×2﹣1=5小时后响起，即7点响起； 第三次在3×7﹣1=20小时后响起，即3点响起； 第四次在3×3﹣1=8小时后响起，即11点响起； 第五次在3×11﹣1=32小时后响起，即7点响起； … ∴除了第一次之外，接下来每三次为一个周期循环， ∵（2017﹣1）÷3=607， ∴第2017次响起的时间与第四次时间一致，为11点， 故答案为：3，11． 【点评】根据题意分别列出第1、2、3、4、5次响起的时间发现：除了第一次之外，接下来每三次为一个周期循环，据此解答可得．
9. （）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y= x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y= x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（ ，1），则点A8的横坐标是________．
【答案】6 +6
【解析】解：由题意A2的横坐标 （ +1）， 点A4的横坐标3（ +1）， 点A6的横坐标 （ +1）， 点A8的横坐标6（ +1）． 故答案为6 +6． 【点评】根据已知点A、B的坐标易得到∠AOB=30°，然后分别求出点A2、点A4、的坐标，探究规律即可解决问题。
10. （）找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为________．
【答案】226
【解析】根据题意得出规律：14+a=15×16， 解得：a=226． 故答案为：226． 【点评】由题中图形可得出规律14+a=15×16，解之即可得出a的值.
11. （）如图，将顶点为P（1，﹣2），且过原点的抛物线y的一部分沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y1 ， 其顶点为P1 ， 然后将抛物线y1沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y2 ， 其顶点为P2；…，如此进行下去，直至得到抛物线y2016 ， 则点P2016坐标为________．
【答案】（4033，﹣2）
【解析】解：第一次变换平移点的坐标是（3，2）， 第二次变换平移点的坐标是（5，﹣2）， 第三次变换平移点的坐标是（7，2，） 第n次平移变换点的横坐标是2n+1，偶数次变换平移点的纵坐标是﹣2，奇数次变换平移点的坐标是2， 点P2016坐标为（4033，﹣2）， 故答案为：（4033，﹣2）． 【点评】根据图形的变换，可得规律：第n次平移变换点的横坐标是2n+1，偶数次变换平移点的纵坐标是﹣2，奇数次变换平移点的坐标是2，可得答案．
12. （）有这样一组数据a1 ， a2 ， a3 ， …an ， 满足以下规律： a1= ，a2= ，a3= ，…，an= （n≥2且n为正整数），则a2017的值为________（结果用数字表示）
【答案】
【解析】解：∵a1= ， a2= = =2， a3= = =﹣1， a4= = = ， … ∴这列数每3个数为一周期循环， ∵2017÷3=672…1， ∴a2017=a1= ， 故答案为： ． 【点评】先求出前几个数易发现，每三个数位一个循环组依次循环，用20173,余数是1，即可确定答案。
13. （）如图，正方形ABCB1中，AB=1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1 ， 作正方形A1B1C1B2 ， 延长C1B2交直线l于点A2 ， 作正方形A2B2C2B3 ， 延长C2B3交直线l于点A3 ， 作正方形A3B3C3B4 ， …，依此规律，则A2016A2017=________．
【答案】2×31008
【解析】解：∵四边形ABCB1是正方形， ∴AB=AB1 ， AB∥CB1 ， ∴AB∥A1C， ∴∠CA1A=30°， ∴A1B1= ，AA1=2， ∴A1B2=A1B1= ， ∴A1A2=2 ， 同理：A2A3=2（ ）2 ， A3A4=2（ ）3 ， … ∴AnAn+1=2（ ）n ， ∴A2016A2017=2（ ）2016=2×31008 ． 故答案为：2×31008 ． 【点评】本题考查勾股定理，难度较大，由图知四边形ABCB1是正方形，∴AB=AB1 ， AB∥CB1 ， 于是得到AB∥A1C，根据平行线的性质得到∠CA1A=30°，解直角三角形得到A1B1= ，AA1=2，同理：A2A3=2（ ）2 ， A3A4=2（ ）3 ， …找出规律AnAn+1=2（ ）n ， 答案即可求出，
14. （）如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2 ， 以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2 ， 使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3 ， 以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3 ， 使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是________．
【答案】
【解析】解：第1个菱形的边长是1，易得第2个菱形的边长是 ； 第3个菱形的边长是（ ）2；… 每作一次，其边长为上一次边长的 ； 故第n个菱形的边长是（ ）n﹣1 ． 故答案为：（ ）n﹣1 ． 【点评】本题要找出规律方能解答．第一个菱形边长为1，∠B1=60°，可求出AD2 ， 即第二个菱形的边长…按照此规律解答即可第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长．
15. （）如图，边长为1的正△ABO的顶点O在原点，点B在x轴负半轴上，正方形OEDC边长为2，点C在y轴正半轴上，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着△ABO的边按逆时针方向运动，动点Q从D点出发，以每秒1个单位的速度沿着正方形OEDC的边也按逆时针方向运动，点Q比点P迟1秒出发，则点P运动2016秒后，则PQ2的值是________．
【答案】8﹣
【解析】解：如图，作AH⊥DE于H，AN⊥BO于N，连接AM． ∵2016÷3=672，2016÷4=504，∵点Q比点P迟1秒出发， ∴运动2016秒后，点P在点A处，点Q在点M处（DM=ME=1）， ∴PQ2=AM2=AH2+HM2 ∵△ABC是等边三角形，AB=1， ∴AN= ，NO= ， ∵∠ANE=∠NEM=∠AME=90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∴AH=NE， ∴AH= ，HM=1﹣ ∴PQ2=（ ）2+（1﹣ ）2=8﹣ 故答案为：8﹣ 【点评】解答此题的关键是判断出运动2016秒后点P在A处，点Q在M处，利用矩形的性质和等边三角形的性质求出AH和HM的值，然后根据勾股定理得PQ2=AM2=AH2+HM2 ， 计算求解.
16. （）定义：式子1﹣ （a≠0）叫做a的影子数．如：3的影子数是1﹣ = ，已知a1=﹣ ，a2是a1的影子数，a3是a2的影子数，…，依此类推，则a2017的值是________．
【答案】﹣
【解析】解：∵a1=﹣ ，a2是a1的影子数， ∴a2=1﹣ =3， ∵a3是a2的影子数， ∴a3=1﹣ = ， ∴a4=1﹣ =﹣ …，依此类推，每3个数据一循环， 2017÷3=672…1， 则a2017的值是：﹣ ． 故答案为：﹣ ． 【点评】根据新定义知，求出a1、a2、a3、a4 ， 的值，依此类推，得到每3个数据一循环，求出a2017的值即可.
17. （）如图，是用大小相同的圆柱形油桶摆放成的一组有规律的图案，图案（1）需要2只油桶，图案（2）需要5只油桶，图案（3）需要10只油桶，图案（4）需要17只油桶，…，按此规律摆下去，第n个图案需要油桶________只（用含n的代数式表示）
【答案】n2+1
【解析】解：∵第1个图，2=12+1； 第2个图，5=22+1； 第3个图，10=32+1； 第4个图，17=42+1； …第n个图案需要油桶n2+1只． 故答案为：n2+1． 【点评】根据图形发现，第1个图由2个油桶2=12+1；第2个图由5个油桶5=22+1；第3个图由10个油桶10=32+1；第4个图由17个油桶17=42+1；…第n个图案需要油桶n2+1只．
18. （）在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①， 然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②， ②﹣①得，3S﹣S=39﹣1，即2S=39﹣1， 所以S= ． 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正确答案是________．
【答案】 （m≠0且m≠1）
【解析】解：设S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016（m≠0且m≠1）①， 将①×m得：mS=m+m2+m3+m4+…+m2017②， 由②﹣①得：mS﹣S=m2017﹣1，即S= ， ∴1+m+m2+m3+m4+…+m2016= （m≠0且m≠1）． 故答案为： （m≠0且m≠1）． 【点评】仿照例子，将3换成m，设S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016（m≠0且m≠1），则有mS=m+m2+m3+m4+…+m2017 ， 二者做差后两边同时除以m﹣1，即可得出结论．
三、解答题
19. （）如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…
（1）观察图形并完成表格：
图形名称
基本图形的个数
菱形的个数
图①
1
1
图②
2
3
图③
3
7
图④
4
________
…
…
…
猜想：在图n中，菱形的个数为________?[用含有n（n≥3）的代数式表示]；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（x1 ， 1），则x1=________；第2017个基本图形的中心O2017的坐标为________
【答案】（1）11；4n﹣5（2）；（2017 ，1）
【解析】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3﹣2）， 图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）=11， ∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形， ∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）=4n﹣5， 故答案为：11，4n﹣5； ⑵过点O1作O1A⊥y轴，O1B⊥x轴，则OA=1， 由菱形的性质知∠BAO1=30°， ∴AO1= = = ， 即x1= ， 中心O2的坐标为（2 ，1）、O3的坐标为（3 ，1）…，O2017的坐标为（2017 ，1）， 故答案为： ，（2017 ，1）． 【点评】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3﹣2），图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）=11，当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，得到规律，菱形的个数为3+4（n﹣2）=4n﹣5；（2）根据菱形的性质得出O1的坐标，依次得到O2、O3……的坐标，得出结论.
20. （）问题的提出：n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？ 问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题： n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…
（1）请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
（2）根据递推规律用n的代数式填空：n条直线最多可以把平面分割成________个部分． 问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？ 首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到1+1=2个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分； 空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分； 空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分； 空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到1+1+2+4+7=15个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分； 空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11=26个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；…
（3）请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个部分？”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
（4）根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成________个部分；
（5）设n个平面最多可以把空间分割成Sn个部分，设n﹣1个平面最多可以把空间分割成Sn﹣1个部分，前面的递推规律可以用Sn﹣1和n的代数式表示Sn；这个等式是Sn=________．
【答案】（1）解：根据规律得，平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分，所以，5条直线最多可以把平面分割成16个部分 （2）1+ （3）解：根据规律得，空间中有6个平面时，新增的一个平面与已知的5个平面最多有5条交线，这5条交线会把新增的这个平面最多分成16部分，而从多出16个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11+16=42个部分，所以，6个平面最多可以把空间分割成42个部分 （4）176 （5）Sn﹣1+[1+ ]
【解析】解：（2）根据规律得，n条直线最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+n=1+ ， 故答案为1+ ； ⑷根据规律得，空间中有10个平面时，新增的一个平面与已知的9个平面最多有9条交线，这9条交线会把新增的这个平面最多分成37部分，而从多出37个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11+16+…+37=176个部分，所以，10个平面最多可以把空间分割成176个部分； 故答案为：176； ⑸根据规律得，空间中有n个平面时，新增的一个平面与已知的（n﹣1）个平面最多有（n﹣1）条交线，这（n﹣1）条交线会把新增的这个平面最多分成[1+ ]部分， ∴Sn=Sn﹣1+[1+ ] 故答案为：Sn﹣1+[1+ ]． 【点评】①寻找规律，即可得出结论； ②寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论； ③同①的方法寻找出规律即可得出结论； ④同③的方法寻找出规律即可得出结论． ⑤同③的方法寻找出规律即可得出结论．
