24.4 第1课时 弧长和扇形面积
知识点 1 弧长公式及其应用
1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长l＝________，n°的圆心角所对的弧长l＝________．
2．(1)2016·岳阳在半径为6 cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________cm.
(2)有一条弧的长为2π cm，半径为2 cm，则这条弧所对的圆心角的度数是________；
(3)一条长度为10π cm的弧所对的圆心角为60°，则这条弧所在的圆的半径是________．
3．若半径为5 cm的一段弧的弧长等于半径为2 cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为( )
A．18° B．36° C．72° D．144°
4．2017·咸宁如图24－4－1，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为( )
图24－4－1
A．π B.π
C．2π D．3π
5．如图24－4－2所示，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧的长．
图24－4－2
知识点 2 扇形的面积公式及其应用
6．2016·宜宾半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( )
A．3π B．6π C．9π D．12π
7．2017·天门一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是( )
A．300° B．150° C．120° D．75°
8．2017·泰州扇形的半径为3 cm，弧长为2π cm，则该扇形的面积为________cm2.
9．(1)在半径为6 cm的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是________；
(2)已知扇形的半径为2 cm，面积为2π cm2，则扇形的圆心角是________；
(3)若扇形的弧长为10π cm，面积为20π cm2，则扇形的半径为________．
10．2016·怀化已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于________．
11．如图24－4－3，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接BC，OC.
(1)求证：∠BCD＝∠COB；
(2)若OC＝10，∠BCD＝15°，求阴影部分的面积．
图24－4－3
12．2016·青岛如图24－4－4，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB的长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为( )
图24－4－4
A．175π cm2 B．350π cm2
C.π cm2 D．150π cm2
13．2016·山西如图24－4－5，在?ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为( )
图24－4－5
A. B. C．π D．2π
14．2016·昆明如图24－4－6，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB垂直于弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A＝30°，连接AD，OC，BC，则下列结论不正确的是( )
图24－4－6
A．EF∥CD
B．△COB是等边三角形
C．CG＝DG
D.的长为π
15．2017·舟山如图24－4－7，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm的⊙O，＝90°，弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为________．
图24－4－7
16．2016·福州如图24－4－8，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求的长．
图24－4－8
17．2017·枣庄如图24－4－9，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，与AC，AB分别交于点E，F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD＝2 ，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
图24－4－9
18．如图24－4－10所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF.
(1)求证：OF∥BC；
(2)求证：△AFO≌△CEB；
(3)若EB＝5 cm，CD＝10 cm，设OE＝x cm，求x的值及阴影部分的面积．
图24－4－10
教师详解详析
1.
2．(1)4π (2)180° (3)30 cm
3．D [解析] 设这段弧所对的圆心角为n°，则有π·5＝2π·2，解得n＝144.
4．C [解析] ∵∠BAD＝∠BOD＝∠BCD，∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠BOD＝120°.
又∵⊙O的半径为3，
∴的长为＝2π.故选C.
5．解：连接OB，OC.
∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OB.
∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°－∠A＝60°.
∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴劣弧的长为＝2π(cm).
6．D [解析] S＝＝12π.
7．B [解析] 根据S扇形＝l弧长r，求得半径r＝12 cm，由弧长公式l＝，得10π＝，解得n＝150.即此扇形的圆心角的度数是150°.
8．3π [解析] 根据扇形面积公式，得S＝lr＝×2π×3＝3π(cm2)．
9．(1)6π cm2 (2)180° (3)4 cm
10. cm [解析] 设扇形的弧长为l cm.∵扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，∴l×6＝10π，解得l＝.
11．解：(1)证明：∵AB⊥CD，∴＝.
如图，连接BD，则∠BCD＝∠BDC.
∵∠COB＝2∠BDC(圆周角定理)，
∴∠COB＝2∠BCD，即∠BCD＝∠COB.
(2)∵∠BCD＝15°，∴∠COB＝30°，
∴∠AOC＝150°.
又∵OC＝10，
∴S阴影＝＝π.
12．B [解析] ∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×(－)＝350π(cm2)．
13．C [解析] 如图，连接OE，OF.∵∠1＝∠C＝60°，OA＝OF，∴∠2＝60°.∵CD与⊙O相切，∴∠4＝90°，∴∠3＝90°，∴∠EOF＝180°－∠2－∠3＝180°－60°－90°＝30°.∵r＝12÷2＝6，∴的长＝＝＝π.
14．D [解析] ∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴AB⊥EF.
又∵AB⊥CD，
∴EF∥CD，故A正确；
∵AB⊥CD，∴＝，
∴∠COB＝2∠A＝60°.
又∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，故B正确；
∵AB⊥CD，
∴CG＝DG.故C正确；
的长为＝π，故D不正确．
故选D.
15．(48π＋32)cm2 [解析] 连接AO，OB，作OD⊥AB于点D.因为＝90°，所以∠AOB＝90°，所以胶皮面积S＝S扇形ACB＋S△OAB＝×π×82＋×8×8＝(48π＋32)cm2.
16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∴＝.
∵M为的中点，∴＝，
∴＋＝＋，即＝，
∴BM＝CM.
(2)∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π.
∵＝＝＝，
∴＝＋＝，
∴的长＝××4π＝π.
17．解：(1)BC与⊙O相切．
理由：连接OD.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，
根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2＋(2 )2，
解得x＝2，即OD＝OF＝2，
∴OB＝2＋2＝4.
∵在Rt△ODB中，OD＝OB，
∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，
∴S扇形DOF＝＝，
则阴影部分的面积为S△ODB－S扇形DOF＝×2×2 －π＝2 －π.
18．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
又∵OF⊥AC于点F，∴∠AFO＝90°，
∴∠ACB＝∠AFO，
∴OF∥BC.
(2)证明：由(1)知∠CAB＋∠ABC＝90°.
由AB⊥CD于点E，可得 ∠CEB＝90°，∴∠ABC＋∠BCE＝90°，∴∠CAB＝∠BCE.
又∵∠AFO＝∠CEB＝90°，OF＝BE，
∴△AFO≌△CEB.
(3)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，∴∠OEC＝90°，CE＝CD＝×10 ＝5 (cm)．
在Rt△OCE中，OE＝x cm，OB＝OC＝(5＋x)cm，
由勾股定理，得OC2＝CE2＋OE2，
即(5＋x)2＝＋x2，
解得x＝5，
∴OE＝5 cm，OC＝10 cm.
在Rt△OCE中，OC＝2OE，故∠OCE＝30°，
∴∠COE＝60°.
由圆的轴对称性可知阴影部分的面积
S阴影＝2(S扇形BOC－S△OCE)
＝2×
＝cm2.
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
知识点 圆锥的侧面积以及全面积
1．若设圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，那么圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长是________，圆锥的侧面积S侧＝________，圆锥的全面积S全＝________．
2．2016·宁波如图24－4－11，圆锥的底面圆半径r为6 cm，高h为8 cm，则圆锥的侧面积为( )
图24－4－11
A．30π cm2 B．48π cm2
C．60π cm2 D．80π cm2
3．已知圆锥底面圆的半径为3，母线长为5，则它的全面积为( )
A．9π B．15π C．24π D．39π
4．2016·贺州已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．2017·宿迁若将半径为12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
6．有一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝处忽略不计)，若圆锥的底面圆的直径是80 cm，则这块扇形铁皮的半径是( )
A．24 cm B．48 cm
C．96 cm D．192 cm
7．2017·泰安工人师傅用一张半径为24 cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为________．
8．2017·自贡圆锥的底面圆周长为6π cm，高为4 cm，则该圆锥的全面积是________，侧面展开扇形的圆心角是________．
9．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.
10．如图24－4－12，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h的长．
图24－4－12
11．如果圆锥的底面圆的周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积．
12．2017·齐齐哈尔一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )
A．120° B．180° C．240° D．300°
13．如图24－4－13所示，圆锥的底面圆半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )
图24－4－13
A．8 B．10
C．15 D．20
14．2016·十堰如图24－4－14，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪下一个最大的扇形OCD，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( )
图24－4－14
A．10 cm B．15 cm
C．10 cm D．20 cm
15．如图24－4－15，将半径为3 cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为( )
图24－4－15
A．2 cm B. cm
C. cm D. cm
16．如图24－4－16，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高是( )
图24－4－16
A．4 m B．5 m
C. m D．2 m
17．2017·南充如图24－4－17，在Rt△ABC中，AC＝5 cm，BC＝12 cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( )
图24－4－17
A．60π cm2 B．65π cm2
C．120π cm2 D．130π cm2
18．2017·苏州如图24－4－18，AB是⊙Ο的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形AOC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是________．
图24－4－18
19．如图24－4－19，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，若把Rt△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)
图24－4－19
20．已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.
(1)求扇形的弧长；
(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面(轴截面是指以底面圆的直径为底，圆锥的高为高的三角形)的面积为多少？
21．如图24－4－20所示，一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆．
求：(1)圆锥的母线长与底面圆的半径之比；
(2)∠BAC的度数；
(3)圆锥的侧面积(结果保留π)．
图24－4－20
教师详解详析
1．4π 8π 12π
2．C [解析] 因为圆锥的母线长为＝10(cm)，圆锥的底面圆周长为2×π×6＝12π(cm)，所以圆锥的侧面积为×10×12π＝60π(cm2)．
3．C [解析] 圆锥底面圆的周长是2×3π＝6π，
所以侧面积是×6π×5＝15π.又因为圆锥底面积是π×32＝9π，所以它的全面积是15π＋9π＝24π.故选C.
4．D [解析] 设圆锥的底面圆半径为r.已知圆锥的侧面展开图的半径为12，
又∵它的侧面展开图的圆心角是120°，∴弧长＝＝8π，即圆锥底面圆的周长是8π，
∴8π＝2πr，解得r＝4，∴底面圆的直径为8.
5．D [解析] 根据圆锥底面圆周长＝扇形弧长，得12π＝2πr，所以r＝6(cm)．
6．B [解析] ∵用扇形铁皮围成圆锥后，扇形的弧长与圆锥的底面圆的周长相等，∴弧长l＝80π.又l＝·300，∴r＝＝＝48(cm)．故选B.
7．2 cm [解析] 由题意可得圆锥的母线长为24 cm，设圆锥的底面圆的半径为r cm，则2πr＝，解得r＝10，所以圆锥的高为＝2 (cm)．
8．24π cm2 216° [解析] ∵圆锥的底面圆周长为6π cm，∴底面圆半径为r＝6π÷2π＝3(cm)，根据勾股定理，得圆锥的母线R＝＝＝5(cm)，侧面展开扇形的弧长l＝2πr＝6π cm，∴侧面展开扇形的面积S侧＝lR＝×6π×5＝15π(cm2)，圆锥底面积S＝πr2＝9π(cm2)，∴该圆锥的全面积S全＝15π＋9π＝24π(cm2)；设侧面展开扇形的圆心角为n°，则＝l，即＝6π，解得n＝216，∴侧面展开扇形的圆心角为216°.
9．180 [解析] 设母线长为R，底面圆半径为r，则底面圆周长＝2πr，底面积＝πr2，侧面积＝·2πr·R＝πrR.
∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2＝πrR，∴R＝2r.设侧面展开图的圆心角为n°，则＝2πr＝πR，∴n＝180.
10．解：由题意，得2πr＝，而r＝2 cm，
∴l＝6 cm，
∴由勾股定理，得
h＝＝＝4 (cm)，
即该圆锥的高h的长为4 cm.
11．[全品导学号：82642186]解：设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则有2πr＝20π，＝20π，解得r＝10，l＝30.
∴该圆锥的侧面积为×20π·30＝300π，
圆锥的全面积为300π＋π·102＝400π.
12．A [解析] 设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为n°，底面圆半径为r，由题意得
3πr2＝πrl，∴l＝3r.
又∵3πr2＝πl2＝π(3r)2，
∴n＝120.故圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是120°.
13 D [解析] 圆锥的侧面展开扇形的弧长为2π×5＝10π.设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式得10π＝，解得n＝90.所以蜘蛛从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程为＝20 .故选D.
14．D [解析] 过点O作OE⊥AB于点E.
∵OA＝OB＝60 cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，∴OE＝OA＝30 cm，
∴的长＝＝20π.
设圆锥的底面圆的半径为r cm，则2πr＝20π，解得r＝10，
∴圆锥的高＝＝20 (cm)．
15．A [解析] 如图，过点O作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C.由折叠的性质可知，OD＝OC＝OA＝ cm，由此可得，在Rt△AOD中，∠OAD＝30°.同理可得∠OBD＝30°.
在△AOB中，由三角形内角和定理，得∠AOB＝180°－∠OAD－∠OBD＝120°，∴的长为＝2π(cm)．设围成的圆锥的底面圆的半径为r cm，则2πr＝2π，∴r＝1，∴圆锥的高为＝2 (cm)．故选A.
16．C [解析] 依题意，线段BC是圆的直径．利用勾股定理可得AB＝4 m，
∴l＝＝2 π(m)，
∴圆锥的底面圆的半径＝2 π÷2π＝(m)．又圆锥的母线长为4 m，∴圆锥的高为＝(m)．故选C.
17．B [解析] 由勾股定理，得AB＝＝＝13(cm)．由题意知得到的这个几何体是圆锥，圆锥的底面圆半径AC＝5 cm，母线AB＝13 cm，所以圆锥的侧面积＝πAC·AB＝π×5×13＝65π(cm2)．故选B.
18. [解析] 根据“圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长”求解．∵∠BOC＝2∠AOC，∠BOC＋∠AOC＝180°，∴∠AOC＝60°，∴OA＝3.设围成的圆锥的底面圆的半径是r，则＝2πr，解得r＝.
19．8 π [解析] 过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，利用勾股定理可得AB＝AC＝4，CD＝2.
以CD为半径的圆的周长是4π，
故绕直线AB旋转一周所得几何体的表面积是2××4π×2 ＝8 π.
20．[解析] (1)由S扇形＝求出R，再代入l＝求弧长．
(2)若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求得底面圆的半径，其轴截面是一个以底面直径为底，圆锥母线为腰的等腰三角形．
解：(1)设扇形的半径为R cm.
由题意，得300π＝，
解得R＝30，
∴弧长l＝＝20π(cm)．
因此，扇形的弧长为20π cm.
(2)如图所示．
∵20π＝2πr，∴r＝10.
又∵R＝30，
∴AD＝＝20 (cm)，
∴S轴截面＝BC·AD＝×20×20＝200 (cm2)．
因此，这个圆锥的轴截面的面积为200 cm2.
21．解：(1)设此圆锥的底面圆的半径为r cm，母线长AC＝l cm.∵2πr＝πl，∴＝2.
即圆锥的母线长与底面圆的半径之比为2∶1.
(2)∵＝2，
∴圆锥的高与母线的夹角为30°，则∠BAC＝60°.
(3)由图可知l2＝OA2＋r2，OA＝3 cm，
∴(2r)2＝(3 )2＋r2，即4r2＝27＋r2，
解得r＝3.∴l＝2r＝6.
∴圆锥的侧面积为＝18π cm2.
