24.2.1 点和圆的位置关系
知识点 1 点与圆的位置关系
1．已知⊙O的半径是3，当OP＝2时，点P在⊙O________；当OP＝3时，点P在⊙O________；当OP＝5时，点P在⊙O________．
2．在同一平面内，⊙O 外一点P到⊙O 上的点的最大距离为6 cm，最小距离为2 cm，则⊙O 的半径为________ cm.
3．如图24－2－1所示，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在圆内，点________在圆上，点________在圆外．
图24－2－1
4．已知⊙O的直径为10 cm，点P不在⊙O外，则OP的长( )
A．小于5 cm B．不大于5 cm
C．小于10 cm D．不大于10 cm
5．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为(2，1)，点Q的坐标为(0，6)，则点Q与⊙P的位置关系是( )
A．点Q在⊙P外 B．点Q在⊙P上
C．点Q在⊙P内 D．不能确定
6．在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图24－2－2所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以点O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( )
图24－2－2
A．E，F，G B．F，G，H
C．G，H，E D．H，E，F
7．如图24－2－3，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r在什么取值范围内时，点A，B在⊙C外？
(2)当r在什么取值范围内时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
图24－2－3
知识点 2 过已知点作圆
8．过一点可以作________个圆；过两点可以作________个圆，这些圆的圆心在两点连线的____________上；过不在同一直线上的三点可以作________个圆．
9．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( )
A．三个点一定能确定一个圆
B．以已知线段为半径能确定一个圆
C．以已知线段为直径能确定一个圆
D．菱形的四个顶点能确定一个圆
10．2017·永州小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图24－2－4所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是( )
图24－2－4
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的平分线的交点
知识点 3 三角形的外接圆与外心
11．三角形的外心是三角形____________________的交点，其中直角三角形的外心是________的中点，锐角三角形的外心在三角形的________，钝角三角形的外心在三角形的________．
12．下列图形不一定有外接圆的是( )
A．三角形 B．正方形
C．平行四边形 D．矩形
13．如果点O为△ABC的外心，∠BOC＝70°，那么∠BAC等于( )
A．35° B．110°
C．145° D．35°或145°
14．在△ABC中，点O是它的外心，BC＝24 cm，点O到BC的距离是5 cm，则△ABC的外接圆的半径为________．
知识点 4 反证法
15．如图24－2－5，已知E为直线l外一点，求证：过点E只有一条直线垂直于直线l.用反证法证明这个命题的步骤如下：
①在△EFG中，∠1＋∠2＋∠3>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾；
②假设过点E有两条直线EF，EG分别垂直于直线l于F，G两点；
③则∠2＝90°，∠3＝90°；
④故过点E只有一条直线垂直于直线l.
图24－2－5
证明步骤的正确顺序是( )
A．①②③④ B．①③②④
C．②③①④ D．②③④①
16．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.
17．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆直径为( )
A．5 B．10
C．5或4 D．10或8
18．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，当点B在⊙A内时，实数a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
图24－2－6
19．如图24－2－7，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，经画图操作，可知△ABC的外心的坐标应是( )
图24－2－7
A．(0，0) B．(1，0)
C．(－2，－1) D．(2，0)
20.如图24－2－8，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是________．
图24－2－8
21．如图24－2－9，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O为△ABC的外心，△OCP为等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA.
(1)求∠OAC的度数；
(2)求∠AOP的度数．
图24－2－9
22．已知：如图24－2－10①，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．
图24－2－10
教师详解详析
1．内 上 外
2．2 [解析] ∵在同一平面内，⊙O 外一点P到⊙O上的点的最大距离为6 cm，最小距离为2 cm，∴⊙O的直径为6－2＝4(cm)，∴⊙O的半径为2 cm.
3. O B，D C [解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD.
设OA＝OB＝x.
由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，
即x2＋x2＝12，解得x＝(负值已舍去)，
∴OA＝＜1，AC＝＞1.
∴点O在圆内，点B，D在圆上，点C在圆外．
4．B [解析] ∵⊙O的直径为10 cm，
∴⊙O的半径为5 cm.
∵点P不在⊙O外，∴点P在圆上或圆内，
∴OP≤5 cm.
5．A [解析] ∵PQ＝＝＞5，∴点Q在⊙P外．
6．A [解析] ∵OA＝＝，OE＝2＜OA，∴点E在⊙O内；∵OF＝2＜OA，∴点F在⊙O内；∵OG＝1＜OA，∴点G在⊙O内；∵OH＝＝2 ＞OA，∴点H在⊙O外．
7．解：(1)当0(2)当38．无数 无数 垂直平分线 一
9．C [解析] 选项A中，在同一直线上的三点不能确定一个圆，故A错误．选项B中，以已知线段为半径能确定两个圆，即分别以线段的两个端点为圆心，故B错误．选项C中，以已知线段为直径能确定一个圆，此时圆心为线段的中点，半径为线段长度的一半，故C正确．选项D中，菱形的四个顶点不一定能确定一个圆，故D错误．故选C.
10．B [解析] 本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边的垂直平分线的交点．故选B.
11．三条边的垂直平分线 斜边 内部 外部
12．C [解析] 任意三角形都有一个外接圆；正方形有一个外接圆，圆心是对角线的交点；矩形有一个外接圆，圆心是对角线的交点；在一般的平行四边形内部找不到一个点到四个顶点的距离相等，所以一般的平行四边形没有外接圆．故选C.
13．D [解析] ①当点O在三角形的内部时，则∠BAC＝∠BOC＝35°；
②当点O在三角形的外部时，则∠BAC＝(360°－70°)＝145°.
14．13 cm [解析] 当点O在△ABC内部时，如图．
∵点O为△ABC的外心，OD⊥BC，
∴BD＝BC＝12 cm.又∵OD＝5 cm，∴由勾股定理，得OB＝＝＝13 (cm)，
∴△ABC的外接圆的半径是13 cm.
(注：点O在△ABC外部的情况类似，求出的△ABC的外接圆的半径也是13 cm)
15．C
16．证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°，则有∠A＋∠B＋∠C>180°，
这与三角形内角和为180°相矛盾，
因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.
17．D [解析] 直角三角形外接圆的直径是斜边，应分两种情况：当BC是斜边时，这个三角形的外接圆直径为8；当AC是斜边时，AC＝＝＝10，则这个三角形的外接圆直径为10.故选D.
18．D [解析] 由于圆心A在数轴上所表示的实数为3，圆的半径为2，∴⊙A与数轴交于1，5所表示的两点，故当a取1，5时，点B在⊙A上；当d＜r，即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r，即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．故选D.
19．C [解析] 如图，∵△ABC的外心即为三角形三边垂直平分线的交点，
∴AB边的垂直平分线MN与BC边的垂直平分线EF的交点O′即为△ABC的外心，∴△ABC的外心的坐标是(－2，－1)．故选C.
20．3＜r＜5
[解析] 如图，连接BD，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝AB＝4，在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，∴AD＜CD＜BD.若点A一定在圆内，则r＞3；若点B一定在圆外，则r＜5，故r的取值范围为3＜r＜5.
21．解：(1)∵O为△ABC的外心，∠BAC＝70°，AB＝AC，
∴∠OAC＝35°(AO垂直平分BC，等腰三角形的三线合一)．
(2)∵O为△ABC的外心，
∴AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA＝35°，
∴∠AOC＝110°.
∵△OCP为等边三角形，
∴∠POC＝60°，
∴∠AOP＝∠AOC－∠POC＝50°.
22．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC＋∠CBD＝∠DBE＋∠CBD，即∠ABD＝∠CBE.
又∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)．
(2)四边形BECD是菱形．
证明：同(1)可证△ABD≌△CBE，
∴CE＝AD.
∵点D是△ABC的外接圆圆心，
∴AD＝BD＝CD.
又∵BD＝BE，
∴BD＝BE＝CE＝CD，
∴四边形BECD是菱形．
24.2.2 第1课时 直线和圆的位置关系
知识点 1 直线与圆的位置关系的判定
1．如图24－2－11，直线l与⊙O有三种位置关系：
图24－2－11
(1)图①中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；
(2)图②中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；
(3)图③中直线l与⊙O________，________公共点．
2．2016·梧州已知半径为5的圆，其圆心到一条直线的距离是3，则此直线和圆的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
3．如图24－2－12，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线，记为l，则下列说法正确的是( )
图24－2－12
A．当BC＝0.5时，l与⊙O相离
B．当BC＝2时，l与⊙O相切
C．当BC＝1时，l与⊙O相交
D．当BC≠1时，l与⊙O不相切
4．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定( )
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相交
5．如图24－2－13，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是________．
图24－2－13
6．在Rt△ABC中，∠A＝30°，直角边AC＝6 cm，以点C为圆心，3 cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是________．
知识点 2 直线与圆的位置关系的应用
7．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( )
A．r＜6 B．r＝6 C．r＞6 D．r≥6
8．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．
9．如图24－2－14所示，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？
(2)分别以点C为圆心，2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
图24－2－14
10．已知⊙O的半径为7 cm，圆心O到直线l的距离为6.5 cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．无法确定
11．如图24－2－15，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )
图24－2－15
A．1 B．1或5 C．3 D．5
12．如图24－2－16，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是( )
图24－2－16
A．1 cm B．2 cm
C．8 cm D．2 cm或8 cm
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，若以点C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是______________________________．
14．如图24－2－17，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2－1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为______________．
图24－2－17
15．如图24－2－18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，若AO＝x cm，⊙O的半径为1 cm，当x在什么范围内取值时，直线AC与⊙O相离、相切、相交？
图24－2－18
16．如图24－2－19所示，P为正比例函数y＝x的图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．
(1)求当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标；
(2)请直接写出当⊙P与直线x＝2相交、相离时，x的取值范围．
图24－2－19
17．如图24－2－20，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿公路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．已知重型运输卡车P沿公路ON方向行驶的速度为18千米/时．
(1)求对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
图24－2－20
教师详解详析
1．(1)相交 两 割线 (2)相切 一 切线
(3)相离 没有
2．C
3．D [解析] 若BC≠1，则OC＝OB＋BC≠2.
∵∠AOB＝60°，
∴∠ACO＝30°，∴点O到直线l的距离＝OC≠1，
∴l与⊙O不相切，故D正确．
4．C 5.相离
6．相切 [解析] 如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵∠A＝30°，AC＝6 cm，∴CD＝3 cm.
∵CD＝3 cm＝r，∴⊙C与AB相切．
7．C [解析] ∵直线l与⊙O相交，∴圆心O到直线l的距离d＜r，即r＞d＝6.故选C.
8．4 [解析] ∵R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，且直线l与⊙O相切，∴d＝R，∴方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝16－4m＝0，解得m＝4.故答案为4.
9．解：(1)如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ABC中，BC＝＝4 (cm)，
所以CD＝＝2 (cm)．
因此，当半径为2 cm时，直线AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到直线AB的距离d＝2 cm，所以
当r＝2 cm时，d＞r，⊙C与直线AB相离；
当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与直线AB相交．
10．C [解析] ∵⊙O的半径为7 cm，圆心O到直线l的距离为6.5 cm，7 cm＞6.5 cm，∴直线l与⊙O相交，∴直线l与⊙O有两个交点．
故选C.
11．B [解析] 根据题意和图形可判断出⊙P与x轴的两个交点坐标，如图所示．
∵点P的坐标为(－3，0)，⊙P的半径为2，∴点A的坐标为(－5，0)，点C的坐标为(－1，0)．当圆心到y轴的距离为2时，⊙P与y轴相切，也就是当点A或点C与点O重合时，⊙P与y轴相切．当点C与点O重合时，点P的坐标为(－2，0)，此时点P沿x轴正方向平移了1个单位长度；当点A与点O重合时，点P的坐标为(2，0)，此时点P沿x轴正方向平移了5个单位长度．故选B.
12．D [解析] 连接OB.∵AB⊥OC，∴AH＝BH，∴BH＝AB＝×8＝4(cm)．
在Rt△BOH中，OB＝OC＝5 cm，∴OH＝＝＝3(cm)．
∵直线l通过平移与⊙O相切，∴直线l垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点，∴当直线l向下平移时，平移的距离＝5－3＝2(cm)；当直线l向上平移时，平移的距离＝5＋3＝8(cm)．
13．5＜r≤12或r＝ [解析] 根据勾股定理求得直角三角形的斜边长＝＝13.当圆和斜边相切时，半径即为斜边上的高，等于；
当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而不大于长直角边，即5＜r≤12.
14．(，2)或(－，2) [解析] 依题意，可设P(x，2)或P(x，－2)．
①当点P的坐标是(x，2)时，将其代入y＝x2－1，得2＝x2－1，解得x＝±，
此时P(，2)或(－，2)；
②当点P的坐标是(x，－2)时，将其代入y＝x2－1，得－2＝x2－1，即－1＝x2，
此时方程无实数根．
综上所述，符合条件的点P的坐标是(，2)或(－，2)．
15．解：作OD⊥AC于点D.∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°.
∵AO＝x cm，∴OD＝x cm.
(1)若⊙O与直线AC相离，则有OD>r，即
x＞1，解得x＞2；
(2)若⊙O与直线AC相切，则有OD＝r，即
x＝1，解得x＝2；
(3)若⊙O与直线AC相交，则有ODx＜1，解得x＜2，∴0综上可知：当x＞2时，直线AC与⊙O相离；当x＝2时，直线AC与⊙O相切；当0＜x＜2时，直线AC与⊙O相交．
16．解：(1)过点P作直线x＝2的垂线，垂足为A.
当点P在直线x＝2的右侧时，AP＝x－2＝3，∴x＝5，此时y＝×5＝，∴P；
当点P在直线x＝2的左侧时，AP＝2－x＝3，
∴x＝－1，此时y＝×(－1)＝－，
∴P.
综上所述，当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为或.
(2)当－1＜x＜5时，⊙P与直线x＝2相交；当x＜－1或x＞5时，⊙P与直线x＝2相离．
17．解：(1)过点A作ON的垂线段，交ON于点P，如图①.
在Rt△AOP中，∠APO＝90°，∠POA＝30°，OA＝80米，
所以AP＝OA＝80×＝40(米)，即对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离是40米．
(2)以点A为圆心，50米长为半径画弧，交ON于点D，E，连接AD，AE，如图②.
在Rt△ADP中，∠APD＝90°，AP＝40米，AD＝50米，所以DP＝＝＝30(米)．同理可得EP＝30米，所以DE＝60米．
又因为18千米/时＝5米/秒，＝12(秒)，
所以卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．
第2课时 切线的判定和性质
知识点 1 切线的判定
1．下列说法中正确的是( )
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
2．如图24－2－21所示，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________．
图24－2－21
3．如图24－2－22，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝________°时，AC才能成为⊙O的切线．
图24－2－22
4．2017·宜宾如图24－2－23，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为E.求证：直线CE是⊙O的切线．
图24－2－23
知识点 2 切线的性质
5．如图24－2－24，AB，AC是⊙O的两条弦，∠BAC＝25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为( )
图24－2－24
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．2016·邵阳如图24－2－25所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )
图24－2－25
A．15° B．30° C．60° D．75°
7．2017·连云港如图24－2－26，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径为________．
图24－2－26
8．如图24－2－27，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝________．
图24－2－27
9．2016·济南如图24－2－28，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，若∠OPA＝40°，求∠ABC的度数．
图24－2－28
10．如图24－2－29，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面三个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是( )
图24－2－29
A．3 B．2 C．1 D．0
11．如图24－2－30，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分的面积是________．(结果保留π)
图24－2－30
12．2016·呼和浩特在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．
13．2017·益阳如图24－2－31，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
图24－2－31
14．2017·南充如图24－2－32，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O的直径的长．
图24－2－32
15．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
(1)如图24－2－33①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF是⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：________或者________；
(2)如图24－2－33②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．
图24－2－33
教师详解详析
1．B
2．答案不唯一，如∠ABC＝90°
3．60 [解析] ∵在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30°，∴当∠CAB＝60°时，OA⊥AC，此时AC为⊙O的切线．
4．证明：连接OD，
∵OA＝OD，∴∠2＝∠3.
∵AD平分∠CAE，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，
∴AE∥OD，∴∠E＝∠ODC.
∵AE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CE.
又∵OD是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
5．D
6．D [解析] 连接OD.∵CA，CD是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC＝∠ODC＝90°.∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝360°－∠C－∠OAC－∠ODC＝150°.∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB＝∠AOD＝75°.
7．5 [解析] 连接OB，根据切线的性质可知OB⊥AB.设圆的半径为r，根据勾股定理可得r2＋AB2＝(r＋AC)2，即r2＋122＝(r＋8)2，解得r＝5.
8．8 [解析] ∵CA与⊙O相切，∴AB⊥AC.
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，∴BC＝2AB＝8.故答案为8.
9．解：∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∴∠BAP＝90°.∵∠OPA＝40°，
∴∠AOP＝180°－90°－40°＝50°.
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠BCO.
又∵∠AOP＝∠ABC＋∠BCO，
∴∠ABC＝∠AOP＝×50°＝25°.
10．A [解析] 连接OD，根据切线的性质定理可得OD⊥CD.由于AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角等于90°”，可得∠ADB＝90°，结合已知条件“∠A＝30°”可以说明①②的正确性；在Rt△ADB中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得AB＝2BD，从而AB＝2BC.
11．16π [解析] 如图， 设AB与小圆切于点C，连接OC，OB.
∵AB与小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4.
∵在Rt△OBC中，OB2＝OC2＋BC2，
∴圆环(阴影)的面积＝π·OB2－π·OC2＝π(OB2－OC2)＝π·BC2＝16π.
故答案是16π.
12．24 [解析] 如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E.
∵2πR＝26π，∴R＝13，∴OF＝OD＝13.
∵AB是⊙O的切线，∴OF⊥AB.
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，即OE⊥CD，∴CE＝ED.
∵EF＝18，OF＝13，∴OE＝5.
在Rt△OED中，∵∠OED＝90°，OD＝13，OE＝5，∴ED＝＝＝12，∴CD＝2ED＝24.
13．解：(1)证明：如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO＋∠OCB＝90°.
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，
∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD.
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)由(1)及已知得∠OCD＝90°，OB＝OC＝3，CD＝4，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD＝5，
∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.
14．解：(1)证明：如图，连接OD，CD.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°.
又∵E为BC的中点，
∴DE＝BC＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，根据勾股定理，得OD2＋DF2＝OF2，
即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.
∴⊙O的直径的长为6.
15．解：(1)答案不唯一，如①∠BAE＝90°，②∠EAC＝∠ABC.
理由：①∵∠BAE＝90°，∴AE⊥AB.
又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．
②∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝∠BAC＋∠ABC＝90°，
即AE⊥AB.
又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．
(2)EF是⊙O的切线．
证明：如图，作直径AM，连接CM，
则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，
∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°.
∵∠CAE＝∠B，∴∠CAE＋∠CAM＝90°，
即AE⊥AM.
∵AM是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识点 1 切线长定理
1．如图24－2－34，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )
图24－2－34
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1
2．如图24－2－35所示，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
图24－2－35
A．4 B．8 C．4 D．8
3．如图24－2－36，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )
图24－2－36
A．50° B．65° C．100° D．130°
4．如图24－2－37，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．
图24－2－37
知识点 2 三角形的内切圆
5．2017·广州如图24－2－38，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
图24－2－38
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
6．如图24－2－39，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为( )
图24－2－39
A．130° B．120° C．100° D．90°
7．如图24－2－40，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．
图24－2－40
8．如图24－2－41所示，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( )
图24－2－41
A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF
C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
9．2016·孝感《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
10．如图24－2－42，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．
图24－2－42
11．如图24－2－43，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．
图24－2－43
12．如图24－2－44，已知在△ABC中，∠A＝90°.
(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．
图24－2－44
13．如图24－2－45所示，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.
求：(1)PA的长；
(2)∠COD的度数．
图24－2－45
14．如图24－2－46所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积．
图24－2－46
15．如图24－2－47所示，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，PO交⊙O于点E，交AB于点F.
(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由．
(2)若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．
图24－2－47
教师详解详析
1．D
2．B [解析] 根据切线长定理，得PA＝PB.
又∵∠APB＝60°，∴△ABP为等边三角形，
∴AB＝PA＝8.故选B.
3．A [解析] ∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.
∵∠AOB＝2∠C＝130°，∴∠P＝360°－(90°＋90°＋130°)＝50°.故选A.
4．1 [解析] ∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠APO＝∠BPO＝∠APB，∠PAO＝90°.
∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°.
∵PO＝2，∴AO＝1.
5．B
6．A [解析] ∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A＝90°＋40°＝130°.
7．解：根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.
设AF＝AE＝x cm，则CE＝CD＝(26－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm.
∵BC＝28 cm，∴BD＋CD＝28 cm，
即(18－x)＋(26－x)＝28，解得x＝8，
则18－x＝10，26－x＝18，
∴AF的长为8 cm，BD的长为10 cm，CE的长为18 cm.
8．C [解析] 如图，连接OA，OB，则OA，OB分别是∠CAB与∠CBA的平分线，∴∠EAO＝∠OAB.
∵EF∥AB，∴∠EOA＝∠OAB，
∴∠EOA ＝∠EAO，∴AE＝EO.
同理可得：FO＝BF，∴EF＝AE＋BF.故选C.
9．6 [解析] 根据勾股定理，得斜边长为＝17，
则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r＝＝3(步)，即直径为6步．
10． [解析] 连接OE，OF，ON，OG，如图．
设MN＝x，DN＝y，根据切线长定理可得GM＝MN＝x，ED＝DN＝y，AE＝AF＝5－y，FB＝BG＝y－1，CM＝6－(x＋y)．在Rt△DMC中，DM2＝CM2＋CD2，即(x＋y)2＝[6－(x＋y)]2＋42，解得x＋y＝，即DM＝.
11．解：(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，
∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，
即∠PAO＝∠PBO.
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°，即OB⊥PB.
又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)如图，连接OP.∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA＝OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分线段AB.
又∵BC⊥AB，
∴PO∥BC，∴∠AOP＝∠ACB＝60°，
∴∠APO＝30°，∴OP＝2OA.
∵PA＝，
根据勾股定理，得AO＝1，
∴⊙O的半径为1.
12．解：(1)如图所示，则⊙P为所求作的圆．
(2)∵∠ABC＝60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝30°，∴BP＝2AP.
设AP＝x，则BP＝2x.
由勾股定理，得AB＝＝＝x.
∵AB＝3，∴x＝3，解得x＝.
∴AP＝，∴S⊙P＝3π.
13．解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线，
∴CA＝CE.同理DE＝DB，PA＝PB，
∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋BD＋PC＋CA＝PB＋PA＝2PA＝12，∴PA＝6，
即PA的长为6.
(2)∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°，
∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°.
∵CA，CE，DB，DE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD.
∠ODE＝∠ODB＝∠CDB，
∴∠OCE＋∠ODE＝(∠ACD＋∠CDB)＝120°，
∴∠COD＝180°－120°＝60°.
14．解：设DE＝x cm，则CE＝(4－x)cm.
∵CD，AE，AB均为⊙O的切线，
∴EF＝CE＝(4－x)cm，AF＝AB＝4 cm，
∴AE＝AF＋EF＝(8－x)cm.
在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，
即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3.
∴S△ADE＝AD·DE＝×4×3＝6(cm2)．
15．解：(1)∠APB＝2∠BAC.
理由：∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB.
在等腰三角形APB中，由“三线合一”，得PF⊥AB，
∴∠PFA＝∠PFB＝90°，
∴∠APO＋∠PAB＝90°.
∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥OA，∴∠BAC＋∠PAB＝90°，
∴∠APO＝∠BAC，
∴∠APB＝2∠BAC.
(2)存在．当四边形PAOB是正方形时，
PA＝AO＝OB＝PB＝4，PO⊥AB且PO＝AB，
∴PO·AB＝PA·PB，
即PO2＝PA2，PO2＝16，∴PO＝4 .
这样的点P有无数个，它们到圆心O的距离等于4 .
