人教版初中数学二年级上册13.4 最短路径问题
文档属性
| 名称 | 人教版初中数学二年级上册13.4 最短路径问题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 221.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-07-11 17:26:14 | ||
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文档简介
课件27张PPT。课题学习 最短路径问题 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 两点之间,线段最短温故知新 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？ 垂线段最短张村河流泵站 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线
段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段
中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问
题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节
将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求ABlP为什么？ 问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访
海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短？探索新知 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和； 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？ 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小（如图）． 如何将B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ 作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
则点C 即为所求． 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小． 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 轴对称 （造桥选址问题）如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） A我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？abAMNB由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。这样问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小。怎样通过图形的变化，把这个问题
转化为前面求距离和最短的情况？作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AB交河对岸于点N,
则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 AM∥A'N 且AM=A'N, MN=M'N',
所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=A'N+MN+NB=A'B+MN,
若桥的位置建在N'处，过N'作N'M'⊥a,垂足为M',连接AM'.A'N'.BN',
则AB两地的距离为：
AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B,
在△A'N'B中，∵A'N'+N'B＞A'B,
∴A'N'+N'B+MN＞A'B+MN,
即AM'+M'N'+N'B ＞AM+MN+BN
所以在点N的位置建桥MN，AB两地的路径AMNB最短。abAMNBA'M'N'将AM沿与河岸方向垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A'，则AA'=MN,AM+NB=A'N+NB,这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？abAMNBA'∟ 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 平移勇攀高峰 练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返
回P 处，请画出旅游船的最短路径． 基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR 的和最
小”． ABCPQ山河岸大桥 小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．利用轴对称和平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
AMONBC当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小
段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段
中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问
题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节
将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求ABlP为什么？ 问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访
海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短？探索新知 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和； 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？ 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小（如图）． 如何将B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ 作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
则点C 即为所求． 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小． 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 轴对称 （造桥选址问题）如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） A我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？abAMNB由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。这样问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小。怎样通过图形的变化，把这个问题
转化为前面求距离和最短的情况？作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AB交河对岸于点N,
则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 AM∥A'N 且AM=A'N, MN=M'N',
所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=A'N+MN+NB=A'B+MN,
若桥的位置建在N'处，过N'作N'M'⊥a,垂足为M',连接AM'.A'N'.BN',
则AB两地的距离为：
AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B,
在△A'N'B中，∵A'N'+N'B＞A'B,
∴A'N'+N'B+MN＞A'B+MN,
即AM'+M'N'+N'B ＞AM+MN+BN
所以在点N的位置建桥MN，AB两地的路径AMNB最短。abAMNBA'M'N'将AM沿与河岸方向垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A'，则AA'=MN,AM+NB=A'N+NB,这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？abAMNBA'∟ 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 平移勇攀高峰 练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返
回P 处，请画出旅游船的最短路径． 基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR 的和最
小”． ABCPQ山河岸大桥 小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．利用轴对称和平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
AMONBC当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小