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实际问题与一元二次方程
【经典例题】
类型一 平均增长率（降低率）问题
【例1】某超市一月份的营业额为100万元，三月份的营业额为144万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【分析】可设增长率为x，那么三月份的营业额可表示为，已知三月份营业额为144万元，即可列出方程，从而求解．
【解答】解：设增长率为x，根据题意得
解得x＝－2.2（不合题意舍去），x＝0.2．
所以每月的增长率应为20%．
故选：C．
【例2】一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数＋经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．
【解答】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1＋x＋x(x＋1)＝81，
整理，得：
解得（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
类型二 数字问题
【例3】已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是_________
【分析】设出两个连续的奇数，根据两个连续奇数的积是15这一等量关系，列出方程
【解答】解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x＋2），
由题意得，x(x＋2)＝15，
解得，x＝3或x＝－5，
所以这两个数为3和5或－3和－5．
【例4】一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为多少？
【分析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x－3），则这个两位数为[10(x－3)＋x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【解答】解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x－3），根据题意得
∴
当x＝5时，x－3＝2，两位数为25；
当x＝6时，x－3＝3，两位数为36
答：这个两位数为25或36
类型三 面积问题
【例5】在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，则道路的宽为（ ）
A．50m B．5m C．2m D．1m
【分析】把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(32－x)和(20－x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【解答】解：设道路的宽为x米．依题意得：
(32－x)(20－x)＝135×4，
解得（不合题意舍去） 故选：C．
【例6】如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD。求该矩形草坪BC边的长。
【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
【解答】解：设BC边的长为x米，则AB＝CD＝米
根据题意得：
解得：
∵20＞16，
∴x2＝20不合题意，舍去，
答：矩形草坪BC边的长为12米
类型四 销售利润问题
【例7】某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）原来一天可获利润＝(原售价－原进价)×一天的销售量；
（2）降价后的单件利润×销售量＝总利润，列方程解答．
【解答】（1）(100－80)×100＝2000（元），
答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元；
（2）依题意得：
(100－80－x)(100＋10x)＝2160，
即x2-10x+16=0，
解得：，
因为让顾客得到实惠，所以应该降价8元．
答：商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价8元。
【知识巩固】
1. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片．如果全班各有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x(x－1)＝2070 B． x(x－1)＝2070×2
C. x(x＋1)＝2070 D．2x(x＋1)＝2070
【解答】∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x－1)＝2070． 故选：A．
2. 某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达60.5亿，设平均每月增长率为（ ）
A．20% B．15% C．10% D．5%
【解答】设平均每月增长率为x，
由题意得，
解得（不合题意，舍去）．
故选：C．
3. 某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（ ）
A．15% B．20% C．5% D．25%
【解答】如果设平均每月降低率为x，根据题意可得
∴（不合题意，舍去）．
故选：B．
4. 从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（ ）
A．100cm2 B．121cm2 C．144cm2 D．169cm2
【解答】设正方形边长为x cm，依题意得
解方程得（舍去）
所以正方形的边长是10cm，面积是100cm2 故选：A
5. 一个数的平方与这个数的3倍相等，则这个数为（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D.
【解答】设这个数是x，则，解得x＝0或x＝3。故选C
【培优特训】
6. 已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形的长是__________
【解答】设新矩形的长为x，则新矩形的宽为（10－x），
根据题意得：x(10－x)＝2×3×2
整理，得
解得：
∵x≥10－x，
∴x≥5，
∴
7. 一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，比赛组织者应邀请________个队参赛。
【解答】设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意得：
解得（舍去），
答：比赛组织者应邀请6个队参赛．
8. 一筐苹果分成两堆，其中一堆苹果数是总数的八分之一的平方，另一堆苹果数为12，则这两堆苹果总数为_________
【解答】设这两堆苹果总数为x，则
整理，得
解得
故答案是：16或48．
9. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元。
（1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是___________千克（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利200元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？
【解答】（1）依题意得：200＋400x．
（2）设应将每千克小型西瓜的售价降低x元，根据题意，得
可化为：
解得：
为使每天的销量较大，应降价0.3元，即定价3－0.3＝2.7元/千克．
答：应将每千克小型西瓜的售价定为2.7元/千克
10. 如图，在长方形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以3厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么：
（1）如图1，用含t的代数式表示AP＝__________，AQ＝__________，并求出当t为何值时线段AP＝AQ．
（2）如图2，在不考虑点P的情况下，连接QB，问：当t为何值时△QAB的面积等于长方形面积的。
【解答】（1）由题意得：AP＝3t，DQ＝2t，则AQ＝6－2t，
当AP＝AQ时，3t＝6－2t，
∴ t＝1.2；
（2）
∴
得：t＝1
【中考链接】
11. 某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ）
A．10% B．19% C．9.5% D．20%
【解答】设平均每次降价x，根据题意得
解得x＝0.1或1.9
x＝1.9不符合题意，舍去
平均每次降价10%． 故选：A
12. 一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积是54cm2，则原来这块钢板的面积是____________cm2
【解答】设正方形的边长为x，根据题意得：
解得x＝9或－6（不合题意，舍去）．
故这块钢板的面积是9×9＝81cm2
13. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【解答】（1）由题意，得
60×(360－280)＝4800元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得
(360－x－280)(5x＋60)＝7200
解得：
∵有利于减少库存，
∴x＝60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
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实际问题与一元二次方程
【经典例题】
类型一 平均增长率（降低率）问题
【例1】某超市一月份的营业额为100万元，三月份的营业额为144万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【分析】可设增长率为x，那么三月份的营业额可表示为，已知三月份营业额为144万元，即可列出方程，从而求解．
【解答】解：设增长率为x，根据题意得
解得x＝－2.2（不合题意舍去），x＝0.2．
所以每月的增长率应为20%．
故选：C．
【例2】一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数＋经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．
【解答】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1＋x＋x(x＋1)＝81，
整理，得：
解得（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
类型二 数字问题
【例3】已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是_________
【分析】设出两个连续的奇数，根据两个连续奇数的积是15这一等量关系，列出方程
【解答】解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x＋2），
由题意得，x(x＋2)＝15，
解得，x＝3或x＝－5，
所以这两个数为3和5或－3和－5．
【例4】一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为多少？
【分析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x－3），则这个两位数为[10(x－3)＋x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【解答】解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x－3），根据题意得
∴
当x＝5时，x－3＝2，两位数为25；
当x＝6时，x－3＝3，两位数为36
答：这个两位数为25或36
类型三 面积问题
【例5】在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，则道路的宽为（ ）
A．50m B．5m C．2m D．1m
【分析】把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(32－x)和(20－x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【解答】解：设道路的宽为x米．依题意得：
(32－x)(20－x)＝135×4，
解得（不合题意舍去） 故选：C．
【例6】如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD。求该矩形草坪BC边的长。
【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
【解答】解：设BC边的长为x米，则AB＝CD＝米
根据题意得：
解得：
∵20＞16，
∴x2＝20不合题意，舍去，
答：矩形草坪BC边的长为12米
类型四 销售利润问题
【例7】某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）原来一天可获利润＝(原售价－原进价)×一天的销售量；
（2）降价后的单件利润×销售量＝总利润，列方程解答．
【解答】（1）(100－80)×100＝2000（元），
答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元；
（2）依题意得：
(100－80－x)(100＋10x)＝2160，
即x2-10x+16=0，
解得：，
因为让顾客得到实惠，所以应该降价8元．
答：商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价8元。
【知识巩固】
1. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片．如果全班各有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x(x－1)＝2070 B． x(x－1)＝2070×2
C. x(x＋1)＝2070 D．2x(x＋1)＝2070
2. 某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达60.5亿，设平均每月增长率为（ ）
A．20% B．15% C．10% D．5%
3. 某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（ ）
A．15% B．20% C．5% D．25%
4. 从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（ ）
A．100cm2 B．121cm2 C．144cm2 D．169cm2
5. 一个数的平方与这个数的3倍相等，则这个数为（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D.
【培优特训】
6. 已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形的长是__________
7. 一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，比赛组织者应邀请________个队参赛。
8. 一筐苹果分成两堆，其中一堆苹果数是总数的八分之一的平方，另一堆苹果数为12，则这两堆苹果总数为_________
9. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元。
（1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是___________千克（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利200元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？
10. 如图，在长方形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以3厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么：
（1）如图1，用含t的代数式表示AP＝__________，AQ＝__________，并求出当t为何值时线段AP＝AQ．
（2）如图2，在不考虑点P的情况下，连接QB，问：当t为何值时△QAB的面积等于长方形面积的。
【中考链接】
11. 某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ）
A．10% B．19% C．9.5% D．20%
12. 一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积是54cm2，则原来这块钢板的面积是____________cm2
13. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
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