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二次函数
【经典例题】
知识点一 二次函数的概念
【例1】下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y＝2x＋1 B. C. D.
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解答】A、是一次函数，故此选项错误；
B、整理后，二次项系数为0，不是二次函数，故此选项错误；
C、符合二次函数定义，故此选项正确，
D、不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【例2】已知函数
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】（1）依题意得，
∴
∴ m＝0
（2）依题意题
∴m≠0且m≠1
知识点二 求二次函数的解析式
【例3】某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
【分析】直接利用每千克利润×销量＝总利润，进而得出关系式．
【解答】设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，
则y与x的函数关系式为：y＝(x－40)[500－10(x－50)]．
故选：C．
【例4】用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？
【分析】直接利用长方形面积求法分析得出答案．
【解答】设宽为x cm，则长为：（400－x）cm，
故它的面积y与x之间的函数关系式为：
y＝(400－x)x＝－x2＋400x．
故y是x的二次函数．
【例5】某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．
（1）写出y与x的函数关系式________________
（2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）
【分析】（1）利用每天可卖出300个，每降价1元，每天可多卖出20个，进而得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每千克商品的利润=总利润，进而得出答案．
【解答】（1）设每个降价x（元），每天销售y（个），
y与x的函数关系式为：y＝300＋20x；
（2）由题意可得，W与x的函数关系式为：
W＝(300＋20x)(60－40－x)
＝－20x2＋100x＋6000．
【知识巩固】
1. 在下列函数中，其中y是x的二次函数的一个是（ ）
A. B. C. D.
【解答】A、是一次函数，故错误；
B、不是二次函数，故错误；
C、是二次函数，故正确；
D、当k＝1时，不是二次函数，故错误； 故选：C．
2. 已知函数：①y＝3x－1；②；③；④，其中是二次函数的有（ ）
A. 1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】①y＝3x－1是一次函数；
②；③；④是二次函数，故选C
3. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【解答】设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：
， 故选：A．
4. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公式第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A. B. C. D.
【解答】设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放单车辆
则 故选A
5. 若函数是二次函数，则有（ ）
A．m≠0 B．m≠1 C．x≠0 D．x≠1
【解答】∵函数是二次函数∴m－1≠0，∴m≠1，故选：B．
【培优特训】
6. 若函数是二次函数，则m的值为__________
【解答】∵是二次函数，∴，解得m＝±1
7. 若是二次函数，则m的值是_________
【解答】∵是二次函数
∴
解得：m＝－3或1，
又m－1≠0，m≠1，
∴m＝－3．
8. 正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为______________
【解答】由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x＋3），
则面积增加
故答案为
9. 已知函数
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【解答】（1）∵函数是一次函数
∴，m≠0，
解得：m＝－2；
（2）∵函数是二次函数
∴
解得：m≠－2且m≠0
10. 春节期间，物价局规定花生油的最低价格为4.1元/kg，最高价格为4.5元/kg，小王按4.1元/kg购入，若原价出售，则每天平均可卖出200kg，若价格每上涨0.1元，则每天少卖出20kg，若油价定为x元，每天获利W元，求W与x满足怎样的关系式？
【解答】定价为x元/kg，每千克获利（x－4.1）元，
则每天的销售量为：200－20(x－4.1)×10＝－200x＋1020，
每天获利W＝(－200x＋1020)(x－4.1)＝－200x2＋1840x－4182．
【中考链接】
11. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【解答】A、是一次函数，故A错误；
B、（a≠0）是二次函数，故B错误；
C、是二次函数，故C正确；
D、不是二次函数，故D错误；
故选：C．
12. 二次函数的二次项系数与常数项的和是（ ）
A．1 B．－1 C．7 D．－6
【解答】二次项系数为3，常数项为－4，两个数的和为3－4＝－1．故选B
13. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝_______
【解答】∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为a×(1＋x)，
∴三月份的研发资金为y＝a×(1＋x)×(1＋x)=a(1＋x)2．
故填空答案：a(1＋x)2．
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二次函数
【经典例题】
知识点一 二次函数的概念
【例1】下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y＝2x＋1 B. C. D.
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解答】A、是一次函数，故此选项错误；
B、整理后，二次项系数为0，不是二次函数，故此选项错误；
C、符合二次函数定义，故此选项正确，
D、不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【例2】已知函数
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】（1）依题意得，
∴
∴ m＝0
（2）依题意题
∴m≠0且m≠1
知识点二 求二次函数的解析式
【例3】某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
【分析】直接利用每千克利润×销量＝总利润，进而得出关系式．
【解答】设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，
则y与x的函数关系式为：y＝(x－40)[500－10(x－50)]．
故选：C．
【例4】用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？
【分析】直接利用长方形面积求法分析得出答案．
【解答】设宽为x cm，则长为：（400－x）cm，
故它的面积y与x之间的函数关系式为：
y＝(400－x)x＝－x2＋400x．
故y是x的二次函数．
【例5】某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．
（1）写出y与x的函数关系式________________
（2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）
【分析】（1）利用每天可卖出300个，每降价1元，每天可多卖出20个，进而得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每千克商品的利润=总利润，进而得出答案．
【解答】（1）设每个降价x（元），每天销售y（个），
y与x的函数关系式为：y＝300＋20x；
（2）由题意可得，W与x的函数关系式为：
W＝(300＋20x)(60－40－x)
＝－20x2＋100x＋6000．
【知识巩固】
1. 在下列函数中，其中y是x的二次函数的一个是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数：①y＝3x－1；②；③；④，其中是二次函数的有（ ）
A. 1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公式第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数是二次函数，则有（ ）
A．m≠0 B．m≠1 C．x≠0 D．x≠1
【培优特训】
6. 若函数是二次函数，则m的值为__________
7. 若是二次函数，则m的值是_________
8. 正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为______________
9. 已知函数
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
10. 春节期间，物价局规定花生油的最低价格为4.1元/kg，最高价格为4.5元/kg，小王按4.1元/kg购入，若原价出售，则每天平均可卖出200kg，若价格每上涨0.1元，则每天少卖出20kg，若油价定为x元，每天获利W元，求W与x满足怎样的关系式？
【中考链接】
11. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
12. 二次函数的二次项系数与常数项的和是（ ）
A．1 B．－1 C．7 D．－6
13. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝_______
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