21.2.2 一元二次方程解法—公式法一点就通（知识回顾+夯实基础+提优特训+中考链接+答案）

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21.2.2解一元二次方程——公式法
【知识回顾】
1、式子________叫做一元二次方程ax2+bx+c = 0(a≠0)根据的判别式,通常用希腊字母____表示,即________.
2、（1）当△>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有______根;
（2）当△=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有______根;
（3）当______时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
3、对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2 -4ac≥0,那么方程的两个根为________________,这个公式叫做一元二次方程的_________，我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值，直接求得方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做______________.
4、公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程化为__________________形式，并写出a,b,c的值；
（2）求出_________的值；
（3）若________________,将a,b,c的值代入求根公式；
（4）写出方程的根
【夯实基础】
1、用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x=
C．x= D．x=
2、方程x2+4x+6=0的根是（ ）．
A．x1=，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2= D．x1=x2=-
3、若关于x的方程＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
4、用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣2=0 （2）y2﹣3y+1=0 （3）x2+3=2x
5、已知m是方程x2+x－1＝0的根，求m-的值
【提优特训】
1、（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
2、已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0
3、若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4、若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
5、已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）
（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．
（2）小华补充说，其中一个根与k无关．请你说说其中的道理．
6、已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．
7、某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
8、某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
【中考链接】
1、（重庆中考）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数 D．无实数根
2、（温州中考）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
3、（凉山州中考）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
4、（株洲中考）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
5、（泰州中考）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
【参考答案】
【夯实基础答案】
1、D
2、D
3、B
【提优特训答案】
1、C
2、A
解：x2﹣x﹣3=0，
b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13，
x=，
方程的最小值是，
∵3＜＜4，
∴﹣3＞﹣＞﹣4，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣1＞＞﹣
3、B
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤且a≠1，
∴整数a的最大值为0．
4、-3
5、解：（1）∵△=4（k﹣1）2﹣4k（k﹣2）=4＞0，
∴一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）总有两个不相等的实数根；
（2）当x=1时，k﹣2（k﹣1）+k﹣2=0，
即一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）有一根为1，
x=1是一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）的根，与k无关．
6、解：（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x1、x2是原方程的两根，
∴x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=8，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）=8，
∴m1=1，m2=﹣3．
7、分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
解：（1）存在．根据题意，得：+1=2
=1∴m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为-x-1=0
∴a=2，b=-1，c=-1
∴-4ac=-4×2×（-1）=1+8=9
∴x=
=1，
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根=1，
（2）存在．根据题意，得：①+1=1，=0，m=0
∵当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
∴m=0满足题意．
②当+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
∴m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．
8、（1）超过部分电费=（90-A）· HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 =-A2+A
（2）依题意，得：（80-A）· HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 =15，A1=30（舍去），A2=50
【中考链接答案】
1、A
2、B
3、D
解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
4、D
解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
5、解：（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1，
∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+m2﹣1=0，
解得，m=﹣4或m=﹣2．
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