21.2.4 一元二次方程根与系数的关系一点就通（知识回顾+夯实基础+提优特训+中考链接+答案）

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21.2.4一元二次方程根与系数的关系
【知识回顾】
1、若一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+x2=________,x1x2=__________.
2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根，即△______0.
【夯实基础】
1、设是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．5 B．－5 C．1 D．－1
2、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2
3、已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是______.
4、已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn=_______，m+n=_________
5、已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
6、已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．
7、已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0
（1）当m取何值时，方程有两个实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求m的值．
【提优特训】
1、一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1
2、关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（ ）
A．无解 B．有两正根
C．有两负根 D．有一正根及一负根
3、方程，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当m=_____时，两根互为倒数。
4、如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=___________．
5、已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根
（1）求（m+5﹣）﹣的值
（2）求+的值．
6、已知是方程的两个实数根，且。
求（1）求及a的值；
（2）求的值。
7、已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：x1+x2=2（k﹣1），；
（3）求（x1﹣1） （x2﹣1）的最小值．
【中考链接】
1、（江苏南通中考）已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是
A.－2 B.2 C.5 D.6
2.（广西中考）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0
3、（南充中考）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
【参考答案】
【夯实基础答案】
1、B
【解析】由已知得x1+x2＝－3，x1×x2＝－3，则
原式＝＝＝－5．
2、A
解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
3、答案为：1．
解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴12+a+b=0，
∴a+b=﹣1，
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1．
7、解：（1）根据题意，得△=4（m+1）2﹣4（m2﹣3）≥0，
解得m≥﹣2；
（2）当m≥﹣2时，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3．
则（x1﹣x2）2﹣x1x2=（x1+x2）2﹣5x1x2=[2（m+1）]2﹣5（m2﹣3）=26，
即m2﹣8m+7=0，
解得m1=1＞﹣2，m2=7＞﹣2，
所以m1=1，m2=7．
【提优特训答案】
1、选C．
解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，
又x1=﹣2x2，
∴x2=±1，
当x2=1时，x1=﹣2，p=1；
当x2=﹣1时，x1=2，p=﹣1．
2、D
3、-1、 +1
4、答案为：2026．
解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，
又n2=n+3，
则2n2﹣mn+2m+2015
=2（n+3）﹣mn+2m+2015
=2n+6﹣mn+2m+2015
=2（m+n）﹣mn+2021
=2×1﹣（﹣3）+2021
=2+3+2021
=2026．
5、解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m=，n=，
∴m＜n＜0，
原式= ﹣
=﹣
=﹣6﹣2m﹣
=
∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m2+3m+1=0，
∴原式=0；
（2）∵m＜0，n＜0，
∴+=﹣m﹣n=+=（），
∵m+n=﹣3，mn=1，
∴原式=9﹣2=7．
6、解：（1）∵、
∴则：
∴a==
（2）原方程为的根为
∴，
∴====
7、（1）解：依题意得△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，
解得k≤；
（2）证明：∵△=4﹣8k，
∴x=，
∴x1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣
∴x1+x2=k﹣1++k﹣1﹣=2（k﹣1）；
x1 x2=（k﹣1+）（k﹣1﹣）=（k﹣1）2﹣（）2=k2；
（3）解：（x1﹣1） （x2﹣1）=x1 x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1=（k﹣1）2+2，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+2≥2，
∴（x1﹣1） （x2﹣1）的最小值为2．
【中考链接答案】
1、B
2、A
3、解；（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有整数解，
∴x1 x2=4﹣p2为整数即可，
∴当p=0，±1时，方程有整数解．
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