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二次函数y＝ax2的图象和性质
【经典例题】
考点一 二次函数（a≠0）的图象
【例1】画出下列函数的图象
（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】根据描点法，可得函数图象，观察图象即可得出二次项系数a对抛物线的形状有什么影响．
【解答】列表
x －2 －1 0 1 2
4 1 0 1 4
8 2 0 2 8
－4 －1 0 －1 －4
－8 －2 0 －2 －8
描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出，
连线：用平滑的线连接，如图所示：
由图象可知：a的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；|a|越大，开口越小．
考点二 二次函数（a≠0）的性质
【例2】对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值，y的值总是正的
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数解析式为
∴二次函数图象开口向上，当x＜0时y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负．故选：C．
【例3】函数（a≠0）与直线y＝x－3交于点（1，b）
（1）求a，b的值；
（2）x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
【分析】（1）把已知点代入直线解析式可求得b，再代入抛物线解析式可求得a的值；
（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，则可求得答案．
【解答】解：（1）把（1，b）代入y＝x－3可得：b＝1－3＝－2，
∴点的坐标为（1，－2），
把（1，－2）代入可得－2＝a，即a＝－2，
∴a＝－2，b＝－2；
（2）由（1）可得
∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
【例4】抛物线，当－1≤x≤3时，y的取值范围是（ ）
A．－1≤y≤9 B．0≤y≤9 C．1≤y≤9 D．－1≤y≤3
【分析】由抛物线开口方向、对称轴及增减性求得其最大和最小值即可求得答案．
【解答】解：∵
抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当－1≤x≤0时，y随x的增大而减小，故当x＝－1时，y有最大值1，当x＝0时，y有最小值0；
当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，故当x＝3时，y有阳大值9，当x＝0时，y有最小值0；
∴当－1≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤9，
故选：B．
【知识巩固】
1. 下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点（0，0），其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 下列说法中错误的是（ ）
A．在函数中，当x＝0时y有最大值0
B．在函数中，当x＞0时y随x的增大而增大
C．抛物线，，中，抛物线的开口最小，抛物线 的开口最大
D．不论a是正数还是负数，抛物线的顶点都是坐标原点
2. 当ab＞0时，与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
4. 若二次函数的图象过点P（－2，4），则该图象必经过点
A.（2，4） B.（－2，－4） C.（－4，2） D.（4，－2）
5. 如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
【培优特训】
6. 已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
7. 若是二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）
A．3 B．－1 C．±3 D．4
8. 若函数与直线y＝kx＋3的交点为（2，b），则k＝_________，b＝__________
9. 二次函数与直线y＝2x－1的图象交于点P（1，m）
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？
（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
10. 已知一次函数y＝ax＋b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3、－1，若二次函数的图象经过A、B两点．
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．
【中考链接】
11. 已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而__________（填“增大”或“减小”）
12. 函数y＝ax－2（a≠0）与（a≠0）在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ）
13. 抛物线共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
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二次函数y＝ax2的图象和性质
【经典例题】
考点一 二次函数（a≠0）的图象
【例1】画出下列函数的图象
（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】根据描点法，可得函数图象，观察图象即可得出二次项系数a对抛物线的形状有什么影响．
【解答】列表
x －2 －1 0 1 2
4 1 0 1 4
8 2 0 2 8
－4 －1 0 －1 －4
－8 －2 0 －2 －8
描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出，
连线：用平滑的线连接，如图所示：
由图象可知：a的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；|a|越大，开口越小．
考点二 二次函数（a≠0）的性质
【例2】对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值，y的值总是正的
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数解析式为
∴二次函数图象开口向上，当x＜0时y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负．故选：C．
【例3】函数（a≠0）与直线y＝x－3交于点（1，b）
（1）求a，b的值；
（2）x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
【分析】（1）把已知点代入直线解析式可求得b，再代入抛物线解析式可求得a的值；
（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，则可求得答案．
【解答】解：（1）把（1，b）代入y＝x－3可得：b＝1－3＝－2，
∴点的坐标为（1，－2），
把（1，－2）代入可得－2＝a，即a＝－2，
∴a＝－2，b＝－2；
（2）由（1）可得
∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
【例4】抛物线，当－1≤x≤3时，y的取值范围是（ ）
A．－1≤y≤9 B．0≤y≤9 C．1≤y≤9 D．－1≤y≤3
【分析】由抛物线开口方向、对称轴及增减性求得其最大和最小值即可求得答案．
【解答】解：∵
抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当－1≤x≤0时，y随x的增大而减小，故当x＝－1时，y有最大值1，当x＝0时，y有最小值0；
当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，故当x＝3时，y有阳大值9，当x＝0时，y有最小值0；
∴当－1≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤9，
故选：B．
【知识巩固】
1. 下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点（0，0），其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】①二次函数的图象是抛物线，正确；
②因为，抛物线开口向下，正确；
③因为b＝0，对称轴是y轴，正确；
④顶点（0，0）也正确．
故选：D．
2. 下列说法中错误的是（ ）
A．在函数中，当x＝0时y有最大值0
B．在函数中，当x＞0时y随x的增大而增大
C．抛物线，，中，抛物线的开口最小，抛物线 的开口最大
D．不论a是正数还是负数，抛物线的顶点都是坐标原点
【解答】A．在函数中，当x＝0时y有最大值0，正确
B．在函数中，当x＞0时y随x的增大而增大，正确
C．抛物线，，中，抛物线的开口最小，抛物线的开口最大，原选项错误
D．不论a是正数还是负数，抛物线的顶点都是坐标原点，正确
故选C
2. 当ab＞0时，与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
【解答】根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，开口向上，过原点，y＝ax＋b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，开口向下，过原点，y＝ax＋b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
4. 若二次函数的图象过点P（－2，4），则该图象必经过点
A.（2，4） B.（－2，－4） C.（－4，2） D.（4，－2）
【解答】∵二次函数的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（－2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
5. 如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
【解答】因为抛物线的开口向上，
所以m－1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．
故选：A．
【培优特训】
6. 已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【解答】∵当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，
∴m－3＜0，
∴m＜3． 故选：D．
7. 若是二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）
A．3 B．－1 C．±3 D．4
【解答】根据题意，得
解得
∵开口向上，
∴2－m＞0，
解得m＜2，
∴m＝－1．
故选：B．
8. 若函数与直线y＝kx＋3的交点为（2，b），则k＝_________，b＝__________
【解答】根据题意，把（2，b）代入，得b＝12；
再把交点（2，12）代入y＝kx＋3中，得k＝4.5．
9. 二次函数与直线y＝2x－1的图象交于点P（1，m）
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？
（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
【解答】（1）点P（1，m）在y＝2x－1的图象上
∴m＝2×1－1＝1代入
∴a＝1
（2）∵点P在图象上，
∴得a＝1
∴此函数次函数表达式：
∵函数的开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
10. 已知一次函数y＝ax＋b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3、－1，若二次函数的图象经过A、B两点．
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．
【解答】（1）当x＝3时，
∴点A的坐标为（3，3）；
当x＝－1时，
∴点B的坐标为（－1，）．
将A（3，3）、B（－1，）代入y＝ax＋b，
∴一次函数的表达式为
（2）∵二次函数表达式为
∴点C的坐标为（0，0）．
设一次函数与x轴的交点为D，则点D的坐标为（0，1），
∴CD＝1，
∴
【中考链接】
11. 已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而__________（填“增大”或“减小”）
【解答】∵二次函数，开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
12. 函数y＝ax－2（a≠0）与（a≠0）在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ）
【解答】∵在y＝ax－2，
∴b＝－2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
13. 抛物线共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
【解答】（1）开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；
（2）开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；
（3）开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．
故选：B．
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