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新湘教版 数学 九年级上 1.2 反比例函数的图象和性质（1）教学设计
课题 1.2 反比例函数的图象和性质（1） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 知识与技能：理解反比例函数的性质；能准确的判断画出反比例函数的图象；能够准确的描述出反比例函数的性质；过程与方法：经历求解反比例函数性质的过程，培养学生数学交流和归纳猜想的能力。情感态度与价值观：体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。
重点 理解反比例函数的性质；能准确的画出反比例函数的图象；能准确的说出反比例函数的性质。
难点 画出和总结出反比例函数的图象和性质。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾知识+导入新课 同学们，在上节课中我们已将学习了有关反比例函数的概念，今天我们将进一步走进反比例函数，学习是反比例函数的相关图象和性质。接下来，我们一起回顾下前面学习的知识：作函数图象的方法及步骤：1.方法：描点法2.步骤：反比例函数的图象是什么样子呢？具有怎样的性质？ 1. 在直角坐标系里画出反比例函数y=的图象： (1)列表：根据下表的x的取值，求出对应的y值，填入下表内.观察x值得取法，从中你能得到哪些经验？（2）描点：以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点.（3）连线：在第一象限内，按自变量从小到大顺序，将点用光滑曲线连接，再在第三象限内画出图象的另一个分支.我们可以得到这样的结论：图象位于第一、三象限；第一象限内：y随x的增大而减小；第三象限内：y随x的增大而减小.观察函数y=的图象，图象有什么组成？图象有没有与坐标轴相交？观察图象上的点，这些点有什么特点？结论：①图象是由两支曲线组成的；②图象均不与x轴、y轴相交；③图象上的点关于原点中心对称.3.画出反比例函数y=，y=的图象，观察图象，思考问题：（1）每个函数的图象分别位于哪几个象限？图象位于第一、三象限.（2）在每个象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？第一或三象限内：y随x的增大而减小. 学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识。学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。 回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课+例题讲解讲授新课+例题讲解 通过刚刚的问题，我们可以得到反比例函数的性质： 【例1】画反比例函数y=的图象.1.列表：计算x与y的对应值；2.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点.3.连线：用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到图象.【例2】如图所示的曲线是函数y=(m为常数)图象的一支．(1)求常数m的取值范围；(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的解析式．解：（1）由题意可得，m－5＞0，解得m＞5.（2）∵两个函数的交点为A(2，n)，
∴ ，解得 ∴ 点A的坐标为(2，4)；反比例函数为y＝ . 结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握成反比例函数的概念。老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。 讲授知识，让学生知道本节课的学习内容和重点。用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。
课堂练习+扩展提高课堂练习+扩展提高 1.反比例函数y=的图象大致是（ B ） 2.已知圆柱的侧面积是10πcm2，若圆柱底面半径为rcm，高为hcm，则h与r的函数图象大致是( C ) 3.已知反比例函数y=（k≠0）的图象过点(-2，-3)，函数图象上有两点A()，B(5，y2) ,则y1与y2的大小关系为( C ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 解析：由题可知反比例函数解析式为y= ，因为A、B两点均在函数图象上，并且都在第一象限内，根据xA>xB，得y1 < y2 ，故选C． 3.已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点B(-1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当-30， ∴当x<0时，y随x的增大而减小， ∴当-30)在同一坐标系内的图象大致是（ D ）k>0，反比例函数：图象在第一、三象限.一次函数：递减函数.D正确.【拓展提高】已知k>0，则函数 y1=kx+k与y2= 在同一坐标系中的图象大致是 ( C )k>0，反比例函数：图象在第一、三象限.一次函数：递减函数.C正确. 学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：反比例函数的图象与性质(1) 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。 帮助学生加强记忆知识。
板书 反比例函数的图形和性质（k>0） 借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业 教材7页练习. 教材12页练习1.2第1题.
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1.2.1 反比例函数y= （k＞0）的图形与性质
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．在下图中，反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．正比例函数y=2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
3．对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
4．如图，函数y1=x3与y2=在同一坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时（ ）
A．﹣1＜x＜l B．0＜x＜1或x＜﹣1
C．﹣1＜x＜I且x≠0 D．﹣1＜x＜0或x＞1
5．对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
二．填空题（共5小题，每题6分）
6．已知点P（a，b）在反比例函数y=的图象上，则ab= ．
7．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是 ．
8．如图是反比例函数y=的图象，那么k与0的大小关系是k 0．
9．已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可以是 ．（写出满足条件的一个k的值即可）
10．一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象如图所示，则a 0，b 0．
三．解答题（共2小题，每题20分）
11．（1）点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是 ．
（2）反比例函数关于y轴对称的函数的解析式为 ．
（3）求反比例函数（k≠0）关于x轴对称的函数的解析式．
12．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y 0 ﹣ ﹣1 ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．
试题解析
一．选择题
1．D
【分析】由于y=，比例系数2＞0，根据反比例函数的性质，可得图象在第一和第三象限．
【解答】解：∵k=2，可根据k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；
∴在每个象限内，y随x的增大而减小．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①k＜0，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；②k＞0，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
2．A
【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y=2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称．
【解答】解：∵正比例函数y=2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数．
3．C
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y=得﹣1=﹣1，故A选项正确；
B、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；
D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：
①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
4．B
【分析】根据题目中的函数解析式和图象可以得到当y1＜y2时的x的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵当x3=时，得x=1或x=﹣1，
∴当y1＜y2时，x＜﹣1或0＜x＜1，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答．
5．D
【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴1﹣m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出1﹣m＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，找出反比例函数系数k的正负是关键．
二．填空题
6．2
【分析】接把点P（a，b）代入反比例函数y=即可得出结论．
【解答】解：∵点P（a，b）在反比例函数y=的图象上，
∴b=，
∴ab=2．
故答案为：2
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．（﹣1，﹣3）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
8．＞
【分析】根据反比例函数图象所经过的象限判定系数k的符号．
【解答】解：因为反比例函数y=的图象经过第一象限，
所以k＞0．
故答案是：＞．
【点评】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
9．1
【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则可知2﹣k＞0，解得k的取值范围，写出一个符合题意的k即可．
【解答】解：由题意得，反比例函数y=的图象在第一、三象限内，
则2﹣k＞0，
故k＜2，满足条件的k可以为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，双曲线的两个分支在一，三象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支在二，四象限，y随x的增大而增大．
10．＜，＞
【分析】利用一次函数和反比例函数的性质求解．
【解答】解：∵反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴b＞0，
∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0．
故答案为＜，＞．
【点评】本题考查了反比例函数的图象：反比例函数y=的图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限；也考查了一次函数的图象．
三．解答题
【点评】本题考查了反比例函数的对称性，要求同学们熟练掌握．
12．【分析】（1）根据被开方数非负以及分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（2）将x=2代入函数解析式中求出m值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）观察函数图象，根据函数图象可寻找到函数具有单调性．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠0．
故答案为：x≥﹣2且x≠0．
（2）当x=2时，m==1．
（3）图象如图所示．
（4）观察函数图象发现：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．
故答案为：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．
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1.2.1 反比例函数的图象和性质
数学湘教版 九年级上
函数 正比例函数 反比例函数
表达式
图象形状
k>0 图象
增减性 k<0 图象
增减性 y=kx(k是常数，k≠0）
直线（经过原点）
第一、三象限
y随x的增大而增大
第二、四象限
y随x的增大而减小
=(k≠0 ，x ≠0）
？
回顾知识
函数
作函数图象的方法及步骤：
列
表
描
点
连
线
1.方法：描点法
回顾知识
2.步骤：
反比例函数的图象是什么样子呢？具有怎样的性质？
1. 在直角坐标系里画出反比例函数y=的图象：
(1)列表：根据下表的x的取值，求出对应的y值，填入下表内.观察x值得取法，从中你能得到哪些经验？
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y=
6
3
2
1.5
1.2
1
-6
-3
-1.5
-2
-1.2
-1
…
…
X关于原点对称取点
新课讲解
（2）描点：以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点.
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
新课讲解
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
（3）连线：在第一象限内，按自变量从小到大顺序，将点用光滑曲线连接，再在第三象限内画出图象的另一个分支.
新课讲解
结论：
图象位于第一、三象限；
第一象限内：y随x的增大而减小；
第三象限内：y随x的增大而减小.
观察函数y=的图象，图象有什么组成？图象有没有与坐标轴相交？观察图象上的点，这些点有什么特点？
结论：
①图象是由两支曲线组成的；
②图象均不与x轴、y轴相交；
③图象上的点关于原点中心对称.
新课讲解
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-5
5
6
x
-6
(3，2)
(-1，-6)
(-3，-2)
(1，6)
画出反比例函数y=，y=的图象，观察图象，思考问题：
（1）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（2）在每个象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
0
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
x
y
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
0
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
x
y
6
x
y =
3
x
y =
新课讲解
第一或三象限内：
y随x的增大而减小.
图象位于第一、三象限.
一般地，当k>0时，反比例函y= 的图象由分别在第一、三象限的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
反比例函数y= （k>0）的图象关于原点成中心对称.
新课讲解
反比例函数y= （k>0）的图象有以下特征：
从画反比例函数图象看,描点法还应注意什么
反比例函数图象画法步骤：
列
表
描
点
连
线
描点法
①列表：x与y的对应值表时，X的值不能为零，但仍可以零的基础，左右均匀、对称地取值.
②描点：描点时自左住右用光滑曲线顺次连结，切忌用折线.
③连线：两个分支合起来才是反比例函数图象.
新课讲解
2.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点.
3.连线：用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到图象.
x －4 －3 －2 －1 1 2 3 4
y= －1 －2 －4 －8 8 4 2 1
-
3
4
-
2
1
2
1
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-6
-2
-4
-6
x
y
【例1】画反比例函数y=的图象.
1.列表：计算x与y的对应值；
新课讲解
【例2】如图所示的曲线是函数y=(m为常数)图象的一支．
(1)求常数m的取值范围；
(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的解析式．
（2）∵两个函数的交点为A(2，n)，
∴ ，解得
∴ 点A的坐标为(2，4)；反比例函数的解析式为y＝ .
解：（1）由题意可得，m－5＞0，解得m＞5.
新课讲解
1.反比例函数y=的图象大致是（ ）
A.
x
y
o
y
B.
x
o
C.
x
y
o
D.
x
y
o
C
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课堂练习
2.已知圆柱的侧面积是10πcm2，若圆柱底面半径为rcm，高为hcm，则h与r的函数图象大致是( )
o
(A) (B) (C) (D)
r/cm
h/cm
o
r/cm
h/cm
o
r/cm
h/cm
o
r/cm
h/cm
C
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课堂练习
3.已知反比例函数y=（k≠0）的图象过点(-2，-3)，函数图象上有两点A()，B(5，y2) ,则y1与y2的大小关系为( )
A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定
C
解析：由题可知反比例函数解析式为y= ，因为A、B两点均在函数图象上，并且都在第一象限内，根据xA>xB，得y1 < y2 ，故选C．
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课堂练习
4.已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
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课堂练习
解：∵反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)，
∴把点A的坐标代入表达式，得3=，解得k=6，
∴这个函数的表达式为y= ．
4.已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．
(2)判断点B(-1，6)，C (3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3)当-3上21世纪教育网 下精品教学资源
课堂练习
解：(2)∵反比例函数的表达式为y=，∴6=xy.
分别把点B，C 坐标代入，得(－1)×6=－6≠6，则点B不在该函数图象上,
∵ 3×2=6，则点C 在该函数图象上．
(3)∵当x=-3时，y=-2；当x=-1时，y=-6，且k>0，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，
∴当-3如图，函数和y=－kx+1(k>0)在同一坐标系内的图象大致是（ ）
B.
A.
C.
D.
D
当k>0
反比例函数：图象在第一、三象限.
一次函数：递减函数.
D正确.
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拓展提高
(A)
x
y
0
x
y
0
(B)
(C)
(D)
x
y
0
x
y
0
已知k>0，则函数 y1=kx+k与y2= 在同一坐标系中的图象大致是 ( )
C
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拓展提高
当k>0
反比例函数：图象在第一、三象限.
一次函数：递增函数.
C正确.
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课堂总结
反 比 例函 数 图 象 图象的位置 图 象 的 对 称 性 在图像所在每一象限内，当x增大时y的变化规律
（k > 0）
x
y
0
两分支关于原点中心对称
第一、
三象限
k＞0，在每个象限y随x的增大而减小；
反比例函数的图象与性质(1)
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板书设计
反 比 例函 数 图 象 图象的位置 图 象 的 对 称 性 在图像所在每一象限内，当x增大时y的变化规律
（k > 0）
x
y
0
两分支关于原点中心对称
第一、
三象限
k＞0，在每个象限y随x的增大而减小；
反比例函数的图象与性质(1)
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作业布置
教材7页练习.
教材12页练习1.2第1题.
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