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二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
【经典例题】
知识点一 二次函数的图象与性质
【例1】如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是
【分析】直接利用平移的规律“左加右减，上加下减”，在原函数上加1可得新函数解析式
【解答】解：∵图象沿y轴向上平移1个单位，
∴
【例2】下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数y＝ax＋c的大致图象．正确的是（ ）
【分析】由b＝0可得出二次函数的对称轴为y轴，对照四个选项中图象即可得出结论．
【解答】解：∵b＝0，
∴二次函数的对称轴为y轴，
∴B符合题意．
故选：B．
知识点二 二次函数的图象与性质
【例3】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数的图象为（ ）
【分析】本题形数结合，一次函数y＝ax＋c，可判断a、c的符号；根据二次函数的图象位置，可得a，c．经历：图象位置-系数符号-图象位置．
【解答】A、函数y＝ax＋c中，a＞0，c＞0，中，a＜0，c＜0，故A错误；
B、函数y＝ax＋c中，a＜0，c＞0，中，a＞0，c＞0，故B正确；
C、函数y＝ax＋c中，a＞0，c＜0，中，a＞0，c＞0，故C错误；
D、函数y＝ax＋c中，a＜0，c＞0，中，a＞0，c＜0，故D错误．
故选：B．
【例4】在直角坐标系中作出，的图象
（1）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）试说明函数与二次函数的图象的关系；
（3）根据图象说明何时y有最大（小）值，是多少．
【分析】（1）根据图象即可求得开口方向、顶点坐标和对称轴．
（2）根据二次函数的图象的性质，结合函数图象即可求得；
（3）根据图象说明即可．
【解答】解：函数的图象如图所示：
（1）函数图象的开口方向向上、顶点坐标（3，0）和对称轴为x＝3；
（2）函数与二次函数的图象的关系：二次函数的图象箱左平移三个单位得到函数的图象；
（3）y有最小值，最小值为0．
知识点三 二次函数的图象与性质
【例5】关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（－1，2）
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的顶点坐标是（－1，2）
【分析】由二次函数解析式可求得其开口方向、顶点坐标、增减性，则可判断A、C、D，令x＝0可求得与y轴的交点，则可判断D，可求得答案．
【解答】解：∵
∴二次函数图象开口向下，顶点坐标为（－1，2），对称轴为x＝－1，故A错误、D正确；
当x＜－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小，故C错误；
在中，令x＝0可得y＝1，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，1），故B不正确；
故选：D．
【例6】如图，二次函数图象的顶点是P（2，－1），与x轴交于点A和点B（3，0）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q为第一象项的抛物线上一点，且AQ⊥PA．
①求的值；
②PQ交x轴于M，求的值。
【分析】（1）设二次函数顶点式解析式（a≠0），然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）①令y＝0求出点A的坐标，然后求出∠PAB＝45°，再求出∠BAQ＝45°，然后求出直线AQ的解析式，再与二次函数解析式联立求出点Q的坐标，再利用勾股定理列式求出AP、AQ的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
②根据等底的三角形的面积的比等于高的比求出S△APM：S△AMQ，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解即可．
【解答】（1）设二次函数顶点式解析式（a≠0）
将点B（3，0）代入得，，解得a＝1，
所以，函数解析式为，即
（2）①令y＝0，则
解得，
所以，点A的坐标为（1，0），
∵顶点P（2，－1），∴∠PAB＝45°，
∵AQ⊥PA，∴∠BAQ＝90°－45°＝45°，
∴直线AQ的解析式为y＝x－1，
联立 解得，
∴点Q的坐标为（4，3），
由勾股定理得，
∴
②∵点P（2，－1），Q（4，3），
∴S△APM：S△AMQ＝1：3，
∵点A到PQ的距离相等，
【知识巩固】
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A.（1，1） B.（－1，1） C.（－1，－1） D.（1，－1）
2. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当x＝－1时，取得最小值为y＝－8
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x＝－1
3. 二次函数的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
4. 若抛物线的开口向下，顶点是（1，3），y随x的增大而减小，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜0
5. 已知二次函数，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是____________
【培优特训】
6. 若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为___________
7. 已知二次函数（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
D．有最小值－1，无最大值
8. 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为__________
9. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与直线相交于B，C两点，连结A，C两点．
（1）写出直线BC的解析式；
（2）求△ABC的面积．
10. 某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式，二次函数的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为－16、20．
（1）试确定函数关系式
（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；
（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
【中考链接】
11. 二次函数的图象如图所示，则直线y＝－ax－c不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12. 设二次函数图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）
A.（1，0） B.（3，0） C.（－3，0） D.（0，－4）
13. 已知二次函数．下列说法：
①其图象的开口向下； ②其图象的对称轴为直线x＝－3；
③其图象顶点坐标为（3，－1）； ④当x＜3时，y随x的增大而减小．
则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D. 4个
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二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
【经典例题】
知识点一 二次函数的图象与性质
【例1】如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是
【分析】直接利用平移的规律“左加右减，上加下减”，在原函数上加1可得新函数解析式
【解答】解：∵图象沿y轴向上平移1个单位，
∴
【例2】下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数y＝ax＋c的大致图象．正确的是（ ）
【分析】由b＝0可得出二次函数的对称轴为y轴，对照四个选项中图象即可得出结论．
【解答】解：∵b＝0，
∴二次函数的对称轴为y轴，
∴B符合题意．
故选：B．
知识点二 二次函数的图象与性质
【例3】在同一直角坐标系，一次函数y＝ax＋c和二次函数的图象为（ ）
【分析】本题形数结合，一次函数y＝ax＋c，可判断a、c的符号；根据二次函数的图象位置，可得a，c．经历：图象位置-系数符号-图象位置．
【解答】A、函数y＝ax＋c中，a＞0，c＞0，中，a＜0，c＜0，故A错误；
B、函数y＝ax＋c中，a＜0，c＞0，中，a＞0，c＞0，故B正确；
C、函数y＝ax＋c中，a＞0，c＜0，中，a＞0，c＞0，故C错误；
D、函数y＝ax＋c中，a＜0，c＞0，中，a＞0，c＜0，故D错误．
故选：B．
【例4】在直角坐标系中作出，的图象
（1）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）试说明函数与二次函数的图象的关系；
（3）根据图象说明何时y有最大（小）值，是多少．
【分析】（1）根据图象即可求得开口方向、顶点坐标和对称轴．
（2）根据二次函数的图象和性质，结合函数图象即可求得；
（3）根据图象说明即可．
【解答】解：函数的图象如图所示：
（1）函数图象的开口方向向上、顶点坐标（3，0）和对称轴为x＝3；
（2）函数与二次函数的图象的关系：二次函数的图象箱左平移三个单位得到函数的图象；
（3）y有最小值，最小值为0．
知识点三 二次函数的图象与性质
【例5】关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（－1，2）
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的顶点坐标是（－1，2）
【分析】由二次函数解析式可求得其开口方向、顶点坐标、增减性，则可判断A、C、D，令x＝0可求得与y轴的交点，则可判断D，可求得答案．
【解答】解：∵
∴二次函数图象开口向下，顶点坐标为（－1，2），对称轴为x＝－1，故A错误、D正确；
当x＜－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小，故C错误；
在中，令x＝0可得y＝1，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，1），故B不正确；
故选：D．
【例6】如图，二次函数图象的顶点是P（2，－1），与x轴交于点A和点B（3，0）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q为第一象项的抛物线上一点，且AQ⊥PA．
①求的值；
②PQ交x轴于M，求的值。
【分析】（1）设二次函数顶点式解析式（a≠0），然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）①令y＝0求出点A的坐标，然后求出∠PAB＝45°，再求出∠BAQ＝45°，然后求出直线AQ的解析式，再与二次函数解析式联立求出点Q的坐标，再利用勾股定理列式求出AP、AQ的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
②根据等底的三角形的面积的比等于高的比求出S△APM：S△AMQ，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解即可．
【解答】（1）设二次函数顶点式解析式（a≠0）
将点B（3，0）代入得，，解得a＝1，
所以，函数解析式为，即
（2）①令y＝0，则
解得，
所以，点A的坐标为（1，0），
∵顶点P（2，－1），∴∠PAB＝45°，
∵AQ⊥PA，∴∠BAQ＝90°－45°＝45°，
∴直线AQ的解析式为y＝x－1，
联立 解得，
∴点Q的坐标为（4，3），
由勾股定理得，
∴
②∵点P（2，－1），Q（4，3），
∴S△APM：S△AMQ＝1：3，
∵点A到PQ的距离相等，
【知识巩固】
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A.（1，1） B.（－1，1） C.（－1，－1） D.（1，－1）
【解答】解：∵抛物线是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．
2. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当x＝－1时，取得最小值为y＝－8
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x＝－1
【解答】A、∵a＝2＞0，∴图象的开口向上，故本选项错误；
B、当x＝1时，取得最小值为y＝－8，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x＝1，开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误；
故选：C．
3. 二次函数的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴－m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y＝mx＋n的图象经过二、三、四象限，
故选：C．
4. 若抛物线的开口向下，顶点是（1，3），y随x的增大而减小，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜0
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴对称轴为x＝1，
又∵开口向下，函数y随自变量x的增大而减小，
∴x＞1． 故选：C．
5. 已知二次函数，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是____________
【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝1
∵－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，
∴a≤1．
∵－1＜x＜a
∴－1＜a≤1
【培优特训】
6. 若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为___________
【解答】∵抛物线
∴顶点坐标为（m，m＋1），
∵顶点在第一象限，
∴m＞0，m＋1＞0，
∴m的取值范围为m＞0
7. 已知二次函数（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
D．有最小值－1，无最大值
【解答】根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值3．
故选：C．
8. 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为__________
【解答】解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，
∴这两点一定关于对称轴对称，
∴对称轴是：
故答案为：直线x＝2
9. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与直线相交于B，C两点，连结A，C两点．
（1）写出直线BC的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【解答】（1）令y＝0，则
解得x＝±2，
所以，点B的坐标为（2，0），
代入得，
解得
所以，直线BC的解析式为
（2）联立
解得，
∴点C的坐标为（－1，）
∵AB＝2－(－2)＝2＋2＝4，
∴△ABC的面积＝
10. 某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式，二次函数的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为－16、20．
（1）试确定函数关系式
（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；
（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
【解答】（1）根据题意可设：
当x＝10时，y＝20，
所以，解得a＝1，
∴函数关系式为：
（2）当x＝9时，
∴前9个月公司累计获得的利润为9万元，
又由题意可知，当x＝10时，y＝20，而20－9＝11，
∴10月份一个月内所获得的利润11万元
（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元）
则有：
∵s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，
而n的最大值为12，
∴当n＝12时，s＝15，
∴第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元
【中考链接】
11. 二次函数的图象如图所示，则直线y＝－ax－c不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】由二次函数的图象可知：a＜0，
二次函数的顶点坐标为（1，c），
∴c＞0，
∴－a＞0，－c＜0，
所以，直线y＝－ax－c经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B．
12. 设二次函数图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）
A.（1，0） B.（3，0） C.（－3，0） D.（0，－4）
【解答】∵二次函数图象的对称轴为直线x＝3，
∴直线l上所有点的横坐标都是3，
∵点M在直线l上，
∴点M的横坐标为3，故选：B．
13. 已知二次函数．下列说法：
①其图象的开口向下； ②其图象的对称轴为直线x＝－3；
③其图象顶点坐标为（3，－1）； ④当x＜3时，y随x的增大而减小．
则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D. 4个
【解答】①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；
②图象的对称轴为直线x＝3，故本小题错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；
综上所述，说法正确的有④共1个．故选：A．
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