教学设计案例
8.1二元一次方程组
一、内容和内容解析
1.内容
二元一次方程、二元一次方程组；二元一次方程的解、二元一次方程组的解。
2.内容解析
方程思想是重要的数学模型之一，实际生活中涉及多个未知数的应用广泛存在，而二元一次方程组是解决含有两个未知数的问题的有效方法，在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位.本节内容是在学生学习了方程、方程的解、一元一次方程、一元一次方程的解这些概念的基础上，对二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程的解、二元一次方程组的解的概念进行探究.同时，对二元一次方程组的认识为学习三元一次方程组和函数特别是一次函数提供运算工具，如用待定系数法求一次函数解析式，在平面直角坐标系中求两条直线的交点坐标等.本章的内容是在前面的基础上进一步发展，即由”一元”向”多元”发展，为学习后续知识奠定基础.
本节教学重点：让学生通过观察、比较、分析、归纳二元一次方程、二元一次方程的解、二元一次方程组、、二元一次方程组的解的概念，经历和感受这些概念的形成过程.
二、目标和目标解析
1.目标
(1) 知识目标：让学生经历和感受二元一次方程(组)、二元一次方程（组）的解这四个概念的形成过程，能判断一个方程组是不是二元一次方程（组），一对数值是不是二元一次方程（组）的解.
(2) 技能目标： 让学生通过观察、比较、分析、归纳二元一次方程（组）、二元一次方程（组）的解的概念，培养学生分析问题、解决问题和归纳概括的能力.
(3) 情感与态度目标： 培养学生探究问题的兴趣与合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探索出知识的成就感.
2.目标解析
达成目标（1）的标志：学生理解二元一次方程的定义，可以区分与一元一次方程的联系与区别，能判断方程是不是二元一次方程及二元一次方程组；能判断某一对数值是不是二元一次方程的解及是不是二元一次方程组的解。
达成目标（2）的标志： 学生能够根据实际问题情境，列出简单的二元一次方程（组），并能尝试的找出简单问题的解。
达成目标（3）的标志：让学生经历探索二元一次方程（组）及其解的形成和应用的过程，合作探究，进一步体验数学解决实际问题的实效性。
三、教学问题诊断分析
1．学生过去已遇到二元问题，但只设一个未知数，再表示出另一个未知数,用一元一次方程解决． 现在为什么要设两个未知数，列两个方程？这样做是不是把简单问题复杂化？这需要结合实际问题进行分析。通过对一些实际问题的解决，回答学生心中的疑惑，体现列二元一次方程组的优越性，从而引导学生由一元一次方程向二元一次方程过渡。
2．由于方程组的两个方程中同一个未知数表示的是同一数量，通过观察对照，可以发现一元一次方程向二元一次方程组转化的思路；结合一元一次方程的解向二元一次方程, 二元一次方程组的解转化,学习知识的迁移．
本节教学难点：
1．把一元向二元的转化，设两个未知数．结合实际问题进行分析,列二元一次方程, 二元一次方程组．
2.二元一次方程的解和二元一次方程组的解的探究方法.
四、教学过程设计
1.知识回顾
师生活动：教师提问，学生回答以下问题：
(1)、什么叫一元一次方程？
(2)、你能不能举一个一元一次方程？
(3)、什么叫一元一次方程的解？
设计意图:复习已学过的一元一次方程及其解的知识，为接下来的学习二元一次方程及其解的知识做好铺垫。
2.创设情境，提出问题：
思考:
篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
师生活动：
问题1：你能用学过的一元一次方程知识解决此问题？
学生回答：能。
设胜x场，负(10-x)场‘根据题意，得
解得：x=6,
则胜6场，负4场
3.探究新知
师生活动：
问题2：你能根据两个问题中的等量关系设两个未知数列出二个反映题意的方程吗?
学生回答：能。设胜x场，负y场。
根据题意，得:
追问：与前面列出的一元一次方程比较这两个方程有什么特点？
学生回答：它们都含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1.
教师归纳：像这样，每个方程都含有两个未知数（x和y）并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
（教师板书：二元一次方程的概念）
设计意图: 对于实际问题，从列方程更容易的角度出发，引导学生设两个未知数，列两个方程，培养学生发现问题、解决问题的能力；让学生对所列方程和一元一次方程的异同点进行比较，感受所列方程的特征，激发学生对新概念的求知欲；再通过一组方程让学生观察，并与所列方程比较，形成二元一次方程的概念，让学生经历、感受概念的发生、发展及形成过程；
巩固练习 1
1.根据定义判断下列方程是不是二元一次方程?并说出判断的依据？
（只有（6）是二元一次方程）
设计意图：考查学生二元一次方程定义的掌握情况．
问题3：使方程x+y=10两边的值相等，且符合问题的实际意义的x,y值有哪些？
把它们填入表中
学生合作探究可以得到：
教师归纳：像 、 …… 使方程x+y=10两边的值相等的一对数值，叫做二元一次方程x+y=10的解.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
（教师板书：二元一次方程的解的概念）
设计意图：通过让学生自主探究出符合条件的的值，让学生经历、感受二元一次方程的解的特征；通过让学生类比方程的解的概念，自行概括出二元一次方程的解的概念，培养学生类比的数学思想和归纳、概括的能力
追问：方程x+y=10的解除了列出来的还有没有？还有几个？
学生回答：有无数个。
追问：你是否能从这些解中找出问题1的解？
学生回答：不能。
教师引导学生结合列出的第二个方程去寻找问题1的答案。
把两个方程 和 写成，就组成了方程组。
教师归纳：像这样，方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
（教师板书：二元一次方程组的概念）
设计意图：从解决思考问题的实际出发，引出二元一次方程组的定义，复合学生的认知过程。
巩固练习2
2.根据定义判断下列方程组是不是二元一次方程组?并说出判断的依据？
教师强调：1.二元一次方程组是两个一次方程的组合
2.只要方程组中总共含有两个未知数即可,不一定每个方程中都要含有两个未知数.
设计意图：考查学生二元一次方程组定义的掌握情况．
问题4：下表中的每一对x，y的值是方程①的解，它们是否也是方程②的解？
学生小组合作完成，可以得到：
同时也是②的解
即是方程①与方程②的公共解.
教师归纳：一般地，组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
（教师板书：二元一次方程组的解的概念）
所以的解是
从而得到思考问题的解：
即，这个队在10场比赛中胜6场、负4场
设计意图：结合探索解决思考问题，引出二元一次方程组的解定义，让学生体验知识的形成和应用过程，从而形成自己对本节课难点知识的理解，达到重难点的突破。
巩固练习 3
3.判断下列各组未知数的值是不是二元一次方程组 的解：
（答案：（1）（2）不是，（3）是）
设计意图：考查学生二元一次方程组的解的掌握情况．
4.当堂练习，挑战自己
（1）.如果有一组数是一个关于、的二元一次方程的一个解，
则该二元一次方程可以是：
（2）.如果关于、的二元一次方程的一个解，
则=
（3）.若方程 是关于x,y的二元一次方程,则m= ，n=
设计意图：为学生提供一个展现自我，体验成功的平台，从而巩固所学知识，内化能力。
4．归纳总结
师生活动：共同回顾本节课的学习过程，并回答以下问题
(1)、我们学习了那些知识点？
(2)、二元一次方程与一元一次方程的区别？
(3)、二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？
(4)、用自己的话描述你理解的公共解
设计意图：使学生理清本节知识的脉络，对所学知识、技能和情感态度有一个全面、系统的认识.培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价.
5.布置作业
必做题：教科书 习题8.1 第1、2、3题
选做题：教科书 习题8.1 第4题
设计意图：作业分层处理，既照顾到学习困难学生，又为学有余力的学生提供更为广阔的探求空间，符合因材施教，掌握知识与发展智力相统一的原则。
课件17张PPT。
8.1 二元一次方程组知识回顾1、什么叫一元一次方程？2、你能不能举一个一元一次方程？3、什么叫一元一次方程的解？ 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少？1、请用学过的知识解决此问题。思考答：这个队胜6场，负4场。解：设该队胜了 x场，则负了y场，列方程可得：2x+(10-x)=16解得：x=6则：10-x=42、你能根据问题中的两个等量关系，设两个未知数列出二个反映题意的方程吗? 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少？ 解：假设胜x场，负y场,x＋y=102x＋y=16 由题中等量关系可得：2x+(10-x)=16x＋y=10二元一次方程一元一次方程1、二元一次方程定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 1.根据定义判断下列方程是不是二元一次方程?并说出判断的依据？(3)(1) 3+2x =2不是不是不是不是不是是巩固练习 1 解：假设胜x场，负y场，由题中等量关系可得：x＋y=100109182736455探究:使方程x+y=10两边的值相等，且符合问题的实际意义的x,y值有哪些？像 、 …… 使方程x+y=10两边的值相等的一对数值，叫做二元一次方程x+y=10的解.y=10y=9x=0x=1 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.把它们填入下表6210 10 98743 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少？x+y=10方程组2x+y=16 方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 二元一次方程组的定义：二元一次方程组解：假设胜x场，负y场，则由题意可列出方程： 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少？2x-y=3(不是)(不是)(是)(1)(2)x+y=12x-y=3xy=12.根据定义判断下列方程组是不是二元一次方程组?并说出判断的依据？注意：1.两个一次方程的组合2.只要方程组中总共含有两个未知数即可,不一定每个方程中都要含有两个未知数.巩固练习2 (是)x+y=102x+y=16解：假设胜x场，负y场，则由题意可列出方程组：①② 探究：上表中的每一对x，y的值是方程①的解， 同时还是方程②的解．即 这对数是方程①与方程②的公共解. 它们是否也是方程②的解？ 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？010918273645562101098743 一般地，组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 问题的解是: 这个队在10场比赛中胜6场、负4场解：假设胜x场，负y场，则由题意可列出方程组：该二元一次方程组的解是： 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少？3 判断下列各组未知数的值是不是二元一
次方程组 的解：巩固练习 3不是不是是1.2.a=73.若方程 是关于x,y的
二元一次方程,则m= ，n=0-2 提示：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 课堂小结： 1、我们学习了那些知识点？3、二元一次方程的解与一元一次方程
的解有什么区别？4、用自己的话描述你理解的公共解2、二元一次方程与一元一次方程的区别？作业： 必做题：教科书 习题8.1 第1、2、3题选做题：教科书 习题8.1 第4题再见！
