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二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
【经典例题】
知识点一 二次函数与之间的关系
【例1】分别根据配方法和顶点坐标公式确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标．
①（配方法）；②（公式法）
【分析】①根据配方法整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可；
②写出a、b、c，然后利用求根公式法求出顶点的横坐标与纵坐标
【解答】解：①
＝
＝
对称轴为：直线x＝1；顶点坐标为（1，－3）；
② a＝－3，b＝6，c＝－2
对称轴为：直线x＝1；顶点坐标为（1，1）．
知识点二 二次函数的图象与性质
【例2】已知抛物线
（1）求该抛物线的对称轴、顶点坐标以及y随x变化情况；
（2）在如图的直角坐标系内画出该抛物线的图象．
【分析】（1）根据对称轴是，顶点坐标是以及二次函数的增减性，可得答案；
（2）先列表，再描点连线，可得函数图象．
【解答】（1）∵
而对称轴是方程，顶点坐标是
∴对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，3）．
∵a＝－1＜0，开口向下，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大；x＞1时，y随x的增大而减小；
（2）列表如下：
【例3】已知一次函数，二次函数（其中m＞4）
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题：
①若m＝5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；
②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；
（2）①把m＝5代入y2，画图象，并求与x轴交点A、B、C三点的坐标，根据图象可得结论；
②根据题意结合图象可知x＝3，把x＝3代入，当x＝4时，，即可求得m的取值；
【解答】（1）∵
∴二次函数图象的顶点坐标为：
（2）①当m＝5时，，
如图，当y1＝0时，，x＝2，
∵A（2，0），
当y2＝0时，
解得：x＝1或4，
∴B（1，0），C（4，0），
因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜x≤4．
②当y1＞0时，自变量x的取值范围：x＞2，
∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，
∴x＝3，
当x＝3时，
解得
当x＝4时，y2＞0，即16－4m＋4＞0，m＜5，
∴m的取值范围是：
知识点三 求二次函数最值的方法
【例4】已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 2，有最小值－2.5
B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值－2.5
D．有最大值 2，无最小值
【分析】直接利用利用函数图象得出函数的最值．
【解答】∵二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，
∴x＝1时，有最大值 2，x＝4时，有最小值－2.5．
故选：A．
【例5】当－2≤x≤2时，求函数的最大值和最小值
【分析】由二次函数解析式可求得其对称轴为x＝1，再利用二次函数的增减性可分别求得当－2≤x≤1和1＜x≤2上的最大值，可求得答案．
【解答】解：∵
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当－2≤x≤1时，
当x＝－2时，y有最大值，
当x＝1时，y有最小值，y＝－4，
∴当1≤x≤2时，
当x＝2时，y有最大值，y＝－1，
当x＝1时，y有最小值，y＝－4，
∴当－2≤x≤2时，求函数的最大值为5，最小值为－4
知识点四 用待定系数法求二次函数解析式
【例6】已知抛物线经过点A（1，0），B（－1，0），C（0，－2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．
【分析】将各点代入抛物线解析式，利用待定系数法求出a，b，c的值即可．把函数的解析式化成顶点式即可求得．
【解答】解：把点A（1，0）、B（－1，0）、C（0，－2）的坐标
分别代入，得
解得
∴二次函数的解析式为，顶点坐标为（0，－2）
【例7】已知抛物线的顶点坐标是（1，－4），且经过点（0，－3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．
【分析】设顶点式，然后把（0，－3）代入求出a即可得到抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为
把（0，－3）代入得，解得a＝1，
所以二次函数表达式为
即
【例8】求经过A（4，0），B（－2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式
【分析】根据点A与B的坐标特点设出抛物线解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，再把C点坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，
把C（0，3）代入得：－8a＝3，即
则抛物线解析式为
故所求解析式为
【知识巩固】
1. 二次函数的图象上有两点（3，4）和（－5，4），则此拋物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【解答】∵抛物线上两点（3，4）和（－5，4），纵坐标相等，
∴对称轴为直线。故选A
2. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．c＜0
C．当－1＜x＜2时，y＞0
D．当x＜时，y随x的增大而减小
【解答】A、由图象可知函数有最小值，故正确；
B、由抛物线与y轴的交点在y的负半轴，可判断c＜0，故正确；
C、由抛物线可知当－1＜x＜2时，y＜0，故错误；
D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；
故选：C．
3. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A.（1，1） B.（2，2） C.（1，2） D.（1，3）
【解答】的顶点横坐标是，纵坐标是
∴的顶点坐标是（1，1）．
故选：A．
4. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为（－2，－7） D．图象与x轴有两个交点
【解答】∵二次函数可化为
又∵
∴当x＝2时，二次函数最大值为－3． 故选：B．
5. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A. B. C. D.
【解答】，即抛物线的顶点坐标为（3，－4），
把点（3，－4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，－2），
∴平移后得到的抛物线解析式为 故选：B
【培优特训】
6. 若抛物线的对称轴是直线x＝4，则m的值为__________
【解答】∵a＝1，b＝m，
根据对称轴公式得：
解得m＝－8
7. 二次函数的图象的顶点与原点的距离为5，则c＝_________
【解答】∵二次函数的图象的顶点坐标为（3，c－9），
∴
解得c＝13或c＝5
8. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，点A、B是二次函数图象上的两点，AB∥x轴且与y轴交于点C（点C在二次函数图象于y轴交点的下方），有下列结论：①ac＜0；②方程的两根是；③函数有最小值，最小值是a＋b＋c；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤BC＝3AC．其中正确的结论的序号是_______________
【解答】由抛物线的开口向下可得a＜0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
由抛物线的与x轴的交点的横坐标分别为－1和3可得，
y＝0即时，，故②正确；
由对称轴x＝1及a＜0可得，
当x＝1时，函数有最大值，最大值是a＋b＋c，故③错误；
结合图象可得：
当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，④错误．
当a＝－1，C（0，－5）时，抛物线的解析式为y＝－(x+1)(x－3)，
令y＝－5，得－(x+1)(x－3)＝－5，
整理得
解得
此时AC＝2，BC＝4，
可得BC＝2AC，故⑤错误．
综上所述：①、②正确
9. 一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
【解答】A．由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误
B. 由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C. 由函数y＝mx＋m的图象可知m＞0，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D. 由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象符合，故D选项正确；故选：D．
10. 已知函数，当x＝2时，函数y有最大值5，图象与x轴两交点之间的距离为2，求该函数的解析式。
【解答】∵二次函数（a≠0），当x＝2时函数y有最大值5，
∴二次函数（a≠0）的图象的顶点坐标为（2，5），
∴二次函数的对称轴是x＝2．
又∵该图象与x轴的两个交点之间的距离为2，
∴图象与x轴的两个交点的横坐标分别是：1＋2＝3，2－1=1．
故设该二次函数的解析式为y＝a(x－3)(x－1)．
∴当x＝2时，y＝5，即5＝a(2－3)(2－1)，
解得，a＝－5，
∴此二次函数的解析式为y＝－5(x－3)(x－1)，
故答案是：y＝－5(x－3)(x－1)．
11. 如图，抛物线与x轴的交点分别为A、B，与y轴的负半轴交于点C．已知抛物线的顶点坐标为（1，－4），点B的坐标（3，0）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在该函数图象上能否找到一点P，使PO＝PC？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，－4），
∴可设抛物线解析式为
∵抛物线过点B（3，0），
∴，解得a＝1，
∴抛物线解析式为，即
（2）存在，
∵PO＝PC，
∴点P在线段OC的垂直平分线上，
在，令x＝0可得y＝－3，
∴C（0，－3），
∴P点纵坐标为
在中，令可得
解得
∴P点坐标为或
【中考链接】
12. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（ ）
A．abc＞0
B．2a＋b＜0
C．3a＋c＜0
D. 有两个不相等的实数根
【解答】∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，
A、abc＜0，错误；
B、2a＋b＞0，错误；
C、3a＋c＜0，正确；
D、无实数根，错误；
故选：C．
13. 二次函数的最小值是_________
【解答】∵二次函数可化为
∴二次函数的最小值是3
14. 已知抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（－2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为__________
【解答】∵对称轴为直线x＝2的抛物线（a≠0）与x轴交于A、B两点
∴A、B两点关于直线x＝2对称，
∵点A的坐标为（－2，0），
∴点B的坐标为（6，0），
AB＝6－(－2)＝8．
故答案为：8．
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二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
【经典例题】
知识点一 二次函数与之间的关系
【例1】分别根据配方法和顶点坐标公式确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标．
①（配方法）；②（公式法）
【分析】①根据配方法整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可；
②写出a、b、c，然后利用求根公式法求出顶点的横坐标与纵坐标
【解答】解：①
＝
＝
对称轴为：直线x＝1；顶点坐标为（1，－3）；
② a＝－3，b＝6，c＝－2
对称轴为：直线x＝1；顶点坐标为（1，1）．
知识点二 二次函数的图象与性质
【例2】已知抛物线
（1）求该抛物线的对称轴、顶点坐标以及y随x变化情况；
（2）在如图的直角坐标系内画出该抛物线的图象．
【分析】（1）根据对称轴是，顶点坐标是以及二次函数的增减性，可得答案；
（2）先列表，再描点连线，可得函数图象．
【解答】（1）∵
而对称轴是方程，顶点坐标是
∴对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，3）．
∵a＝－1＜0，开口向下，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大；x＞1时，y随x的增大而减小；
（2）列表如下：
【例3】已知一次函数，二次函数（其中m＞4）
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题：
①若m＝5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；
②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；
（2）①把m＝5代入y2，画图象，并求与x轴交点A、B、C三点的坐标，根据图象可得结论；
②根据题意结合图象可知x＝3，把x＝3代入，当x＝4时，，即可求得m的取值；
【解答】（1）∵
∴二次函数图象的顶点坐标为：
（2）①当m＝5时，，
如图，当y1＝0时，，x＝2，
∵A（2，0），
当y2＝0时，
解得：x＝1或4，
∴B（1，0），C（4，0），
因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜x≤4．
②当y1＞0时，自变量x的取值范围：x＞2，
∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，
∴x＝3，
当x＝3时，
解得
当x＝4时，y2＞0，即16－4m＋4＞0，m＜5，
∴m的取值范围是：
知识点三 求二次函数最值的方法
【例4】已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 2，有最小值－2.5
B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值－2.5
D．有最大值 2，无最小值
【分析】直接利用利用函数图象得出函数的最值．
【解答】∵二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，
∴x＝1时，有最大值 2，x＝4时，有最小值－2.5．
故选：A．
【例5】当－2≤x≤2时，求函数的最大值和最小值
【分析】由二次函数解析式可求得其对称轴为x＝1，再利用二次函数的增减性可分别求得当－2≤x≤1和1＜x≤2上的最大值，可求得答案．
【解答】解：∵
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当－2≤x≤1时，
当x＝－2时，y有最大值，
当x＝1时，y有最小值，y＝－4，
∴当1≤x≤2时，
当x＝2时，y有最大值，y＝－1，
当x＝1时，y有最小值，y＝－4，
∴当－2≤x≤2时，求函数的最大值为5，最小值为－4
知识点四 用待定系数法求二次函数解析式
【例6】已知抛物线经过点A（1，0），B（－1，0），C（0，－2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．
【分析】将各点代入抛物线解析式，利用待定系数法求出a，b，c的值即可．把函数的解析式化成顶点式即可求得．
【解答】解：把点A（1，0）、B（－1，0）、C（0，－2）的坐标
分别代入，得
解得
∴二次函数的解析式为，顶点坐标为（0，－2）
【例7】已知抛物线的顶点坐标是（1，－4），且经过点（0，－3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．
【分析】设顶点式，然后把（0，－3）代入求出a即可得到抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为
把（0，－3）代入得，解得a＝1，
所以二次函数表达式为
即
【例8】求经过A（4，0），B（－2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式
【分析】根据点A与B的坐标特点设出抛物线解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，再把C点坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，
把C（0，3）代入得：－8a＝3，即
则抛物线解析式为
故所求解析式为
【知识巩固】
1. 二次函数的图象上有两点（3，4）和（－5，4），则此拋物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
2. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．c＜0
C．当－1＜x＜2时，y＞0
D．当x＜时，y随x的增大而减小
3. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A.（1，1） B.（2，2） C.（1，2） D.（1，3）
4. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为（－2，－7） D．图象与x轴有两个交点
5. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A. B. C. D.
【培优特训】
6. 若抛物线的对称轴是直线x＝4，则m的值为__________
7. 二次函数的图象的顶点与原点的距离为5，则c＝_________
8. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，点A、B是二次函数图象上的两点，AB∥x轴且与y轴交于点C（点C在二次函数图象于y轴交点的下方），有下列结论：①ac＜0；②方程的两根是；③函数有最小值，最小值是a＋b＋c；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤BC＝3AC．其中正确的结论的序号是_______________
9. 一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
10. 已知函数，当x＝2时，函数y有最大值5，图象与x轴两交点之间的距离为2，求该函数的解析式。
11. 如图，抛物线与x轴的交点分别为A、B，与y轴的负半轴交于点C．已知抛物线的顶点坐标为（1，－4），点B的坐标（3，0）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在该函数图象上能否找到一点P，使PO＝PC？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【中考链接】
12. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（ ）
A．abc＞0
B．2a＋b＜0
C．3a＋c＜0
D. 有两个不相等的实数根
13. 二次函数的最小值是_________
14. 已知抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（－2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为__________
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