21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数与一元二次方程
【经典例题】
知识点一 二次函数与一元二次方程的联系
【例1】若函数的图象与x轴有两个交点，则b的取值范围是（ ）
A．b≤1 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
【分析】已知函数的图象与x轴有两个交点得出△＞0，求出不等式的解集
【解答】∵函数的图象与x轴有两个交点
∴方程有两个不相等的实数根，
即
解得：b＜1， 故选：D
【例2】已知关于x的二次函数与x轴有2个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若与x轴交点的横坐标为x1，x2，且它们的倒数之和是，求k的值
【分析】（1）根据二次函数时，有两个不相等的实数根，从而可知△＞0，解不等式即可得出答案；
（2）由根与系数关系得出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两交点，
∴当y＝0时，有两个不相等的实数根．
∴
解得
（2）当y＝0时，
则
∵
解得：k＝－1或（舍去） ∴k＝－1
知识点二 用图象法求一元二次方程的近似解
【例3】下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程的一个近似根是x≈（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2，
故选：C．
【例4】小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝－3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（－3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝－1，
∴另一个交点坐标为：（1.4，0），
则方程的另一个近似根为1.4，
故选：D．
知识点三 二次函数与一元二次不等式的关系
【例5】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0？
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围
【分析】（1）观察图形可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），即可解题；
（2）根据抛物线，求得y＞0或y＜0的x取值范围即可解题；
（3）图中可以看出抛物线对称轴，即可解题；
【解答】解：（1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），
∴方程的两个根为x＝1或x＝3；
（2）不等式时，通过图中可以看出：
当1＜x＜3时，y的值＞0，
当x＜1或x＞3时，y＜0．
（3）图中可以看出对称轴为x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小；
知识点四 抛物线的图象与a、b、c及的符号之间的联系
【例6】已知二次函数（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②；③3a＋c＞0；④
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；
③分别比较当x＝－2时、x＝1时，y的取值，然后解不等式组可得6a＋3c＜0，即2a＋c＜0；又因为a＜0，所以3a＋c＜0．故错误；
④将x＝1代入抛物线解析式得到a＋b＋c＜0，再将x＝－1代入抛物线解析式得到a－b＋c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到
【解答】解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；
②由抛物线与x轴有两个交点，可得，故②正确；
③当x＝－2时，y＜0，即4a－2b＋c＜0 （1）
当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0 （2）
（1）＋（2）×2得：6a＋3c＜0，
即2a＋c＜0
又∵a＜0，
∴a＋(2a＋c)＝3a＋c＜0．
故③错误；
④∵x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，x＝－1时，y＝a－b+c＞0，
∴(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即
∴
故④正确．
综上所述，正确的结论有2个． 故选：B
【知识巩固】
1. 二次函数与x轴交点的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
3. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．图象的顶点坐标为（－2，－7）
C．当x＝2时，y有最大值－3 D．图象与x轴有两个交点
4. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（ ）
A．－0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
5. 若关于x的一元二次方程的两个根分别为，那么抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C． D.
【培优特训】
6. 已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
7. 函数（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
8. 二次函数的图象与x轴有________个交点
9. 已知二次函数
（1）求证：不论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当二次函数的图象经过点（3，6）时，确定m的值，并写出此二次函数与坐标轴的交点坐标。
10. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，求使得PA＋PC的值最小的点P的坐标．
【中考链接】
11. 已知抛物线与x轴的公共点是（－4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线____________
12. 如图，二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜－2 B．x＞4 C．－2＜x＜4 D．x＞0
13. 若二次函数的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数与一元二次方程
【经典例题】
知识点一 二次函数与一元二次方程的联系
【例1】若函数的图象与x轴有两个交点，则b的取值范围是（ ）
A．b≤1 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
【分析】已知函数的图象与x轴有两个交点得出△＞0，求出不等式的解集
【解答】∵函数的图象与x轴有两个交点
∴方程有两个不相等的实数根，
即
解得：b＜1， 故选：D
【例2】已知关于x的二次函数与x轴有2个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若与x轴交点的横坐标为x1，x2，且它们的倒数之和是，求k的值
【分析】（1）根据二次函数时，有两个不相等的实数根，从而可知△＞0，解不等式即可得出答案；
（2）由根与系数关系得出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两交点，
∴当y＝0时，有两个不相等的实数根．
∴
解得
（2）当y＝0时，
则
∵
解得：k＝－1或（舍去） ∴k＝－1
知识点二 用图象法求一元二次方程的近似解
【例3】下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程的一个近似根是x≈（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2，
故选：C．
【例4】小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝－3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（－3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝－1，
∴另一个交点坐标为：（1.4，0），
则方程的另一个近似根为1.4，
故选：D．
知识点三 二次函数与一元二次不等式的关系
【例5】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0？
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围
【分析】（1）观察图形可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），即可解题；
（2）根据抛物线，求得y＞0或y＜0的x取值范围即可解题；
（3）图中可以看出抛物线对称轴，即可解题；
【解答】解：（1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），
∴方程的两个根为x＝1或x＝3；
（2）不等式时，通过图中可以看出：
当1＜x＜3时，y的值＞0，
当x＜1或x＞3时，y＜0．
（3）图中可以看出对称轴为x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小；
知识点四 抛物线的图象与a、b、c及的符号之间的联系
【例6】已知二次函数（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②；③3a＋c＞0；④
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；
③分别比较当x＝－2时、x＝1时，y的取值，然后解不等式组可得6a＋3c＜0，即2a＋c＜0；又因为a＜0，所以3a＋c＜0．故错误；
④将x＝1代入抛物线解析式得到a＋b＋c＜0，再将x＝－1代入抛物线解析式得到a－b＋c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到
【解答】解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；
②由抛物线与x轴有两个交点，可得，故②正确；
③当x＝－2时，y＜0，即4a－2b＋c＜0 （1）
当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0 （2）
（1）＋（2）×2得：6a＋3c＜0，
即2a＋c＜0
又∵a＜0，
∴a＋(2a＋c)＝3a＋c＜0．
故③错误；
④∵x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，x＝－1时，y＝a－b+c＞0，
∴(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即
∴
故④正确．
综上所述，正确的结论有2个． 故选：B
【知识巩固】
1. 二次函数与x轴交点的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】∵
∴二次函数的图象与x轴有2个交点．故选：B．
2. 已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
【解答】当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；
当k≠3，函数是二次函数，
当
k≤4
即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．
综上k的取值范围是k≤4． 故选：D．
3. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．图象的顶点坐标为（－2，－7）
C．当x＝2时，y有最大值－3 D．图象与x轴有两个交点
【解答】A、
当x＜2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
B、顶点坐标为（2，－3），故本选项不符合题意；
C、当x＝2时，y有最大值是－3，故本选项符合题意；
D、∵顶点坐标为（2，－3），函数图象开口向下，
∴图象和x轴没有交点，故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（ ）
A．－0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【解答】由表格中的数据看出－0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．
5. 若关于x的一元二次方程的两个根分别为，那么抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C． D.
【解答】∵方程方程的两个根分别为
∴抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐标为（1，0）、（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线
故选：C
【培优特训】
6. 已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
【解答】①当x＝1时，结合图象y＝a＋b＋c＜0，故此选项正确；
②当x＝－1时，图象与x轴交点负半轴明显小于－1，∴y＝a－b＋c＞0，故本选项错误；
③由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴为
∴2a＞－b，
即2a＋b＞0，
故本选项错误；
④对称轴为
∴a、b异号，即b＜0，
图象与坐标相交于y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故本选项正确；
∴正确结论的序号为①④． 故选：C．
7. 函数（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【解答】函数的对称轴为直线
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（－4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜－4或x＞2时，y＜0． 故选：A．
8. 二次函数的图象与x轴有________个交点
【解答】
∵
∴
∴二次函数的图象与x轴有2个交点
9. 已知二次函数
（1）求证：不论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当二次函数的图象经过点（3，6）时，确定m的值，并写出此二次函数与坐标轴的交点坐标。
【解答】（1）证明：
∵
∴
∴无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
（2）解：∵二次函数的图象经过点（3，6），
∴6＝9－3m＋m－2，
∴ ∴
当x＝0时，，即该函数图象与y轴交于点
当y＝0时，
解得
则该函数图象与x轴的交点坐标是：（－1，0）、（，0）
综上所述，m的值是，该函数图象与y轴交于点），与x轴的交点坐标是：（－1，0）、（，0）
10. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，求使得PA＋PC的值最小的点P的坐标．
【解答】（1）当y＝0时，有
解得
∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（－4，0）；
当x＝0时，
∴点C的坐标为（0，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，连接PA，则此时PA＋PC取最小值，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B（－4，0）、C（0，4）代入y＝kx＋b，
，解得
∴直线BC的解析式为y＝x＋4
∵
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴当x＝－1时，y＝x＋4＝3，
∴点P的坐标为（－1，3）．
【中考链接】
11. 已知抛物线与x轴的公共点是（－4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线____________
【解答】∵抛物线与x轴的交点为（－4，0），（2，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线，即x＝－1
12. 如图，二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜－2 B．x＞4 C．－2＜x＜4 D．x＞0
【解答】∵二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和（4，0）两点
函数开口向下，
∴函数值y＞0时，自变量x的取值范围是－2＜x＜4，
故选：C．
13. 若二次函数的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【解答】∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，
∴
解得：b＝－4，
解方程
解得
故选：D
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
