11.2.1 无理数、实数同步作业
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11.2.1无理数、实数
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．下列各数中，能化为无限不循环小数的是( )
A. B. C. D.
2．下列各数是无理数的是（ ）
A. 1 B. ﹣0.6 C. ﹣6 D. π
3．下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4．下列命题中正确的是（ ）
A. 有理数是有限小数 B. 无限小数是无理数
C. 数轴上的点与有理数一一对应 D. 数轴上的点与实数一一对应
5．下列数中，不是分数的是( )
A. B. C. D.
6．小聪同学对所学的部分知识进行分类，其中分类有错误的是（ ）．
A. B. C. D.
7．下列结论中正确的个数为
开方开不尽的数是无理数．
数轴上的每一个点都表示一个实数；
无理数就是带根号的数；
负数没有立方根；
垂线段最短．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8．设面积为3的正方形的边长为．下列关于的四种说法：①是有理数；②是无理数；③可以用数轴上的一个点来表示；④ 1＜＜2．其中说法正确的是( )
A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题
9．在下列语句中:①实数不是有理数就是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④根号的数都是无理数；⑤两个无理数之和一定是无理数；⑥所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数.正确的是_______(填序号).
10．写出一个大于而小于3的无理数______ ．
11．试写出两个无理数 ______ 和 ______ ，使它们的和为-6．
12．下列各数中： 、、、、、，负有理数有________个.
13．给出下列关于的判断：①是无理数；②是实数；③是2的算术平方根；④1＜＜2．其中正确的是__________(请填序号).
14．最大的负整数是_________，最小的正整数是_________，绝对值最小的实数是_______，不超过的最大整数是__________.
三、解答题
15．一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
16．将下列各数填入相应的集合中：﹣7，0， ，﹣22，﹣2.55555…，3.01，+9，4.020020002…，+10%， ．
无理数集合： { …}；
负有理数集合：{ …}；
正分数集合： { …}；
非负整数集合：{ …}．
17．已知长方体的体积是1620，它的长、宽、高的比是5：4：3，问长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？
18．国涛同学家的客厅是面积为28平方米的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是有理数？如果误差要求小于0.01米，那么边长x的最大取值是多少（精确到0.001）？
19．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax＋b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a－2）＋b＋3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝______________；
（2）如果（2＋）a－（1－）b＝5，其中a、b为有理数，求a＋2b的值．
参考答案
1．D
【解析】A.属于无限循环小数；B. 属于有限小数；C. 属于无限循环小数；D.属于无限不循环小数.故选：D
2．D
【解析】分析：
详解：A、1是整数，为有理数；
B、﹣0.6是有限小数，即分数，属于有理数；
C、﹣6是整数，属于有理数；
D、π是无理数；
故选：D．
点睛：本题主要考查的是无理数的定义，熟练掌握无理数的三种常见类型是解题的关键．
3．C
【解析】分析：根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.
详解：是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，
所以无理数有2个，
故选C.
点睛：本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等.
4．D
【解析】分析：A、根据有理数的定义即可判定；
B、根据无理数的定义即可判定；
C、D、根据数轴与实数的对应关系即可判定．
详解：A、有限小数是有理数，故本选项错误；
B、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故本选项错误；
C、数轴上的点与实数一一对应，故本选项错误；
D、数轴上的点与实数一一对应，故本选项正确．
故选：D．
点睛：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、定理与性质．
5．A
【解析】选项A,是无理数，不是分数.
选项B,是分数.
选项C, =，是分数.
选项D, . 是分数.
所以选A.
6．A
【解析】整数分为正整数，0，负整数，
实数分为有理数和无理数，
整式分为单项式和多项式，
有理数分为整数，分数，
故选A．
7．C
【解析】分析：根据无理数的定义、实数的性质、立方根的定义，垂线的性质解答即可．
详解：根据无理数的定义，（1）正确，（3）不正确；
由实数与数轴上的点一一对应，（2）正确；
由立方根的性质，（4）不正确；
由垂线的性质，（5）正确；
故选C．
点睛：本试题考查无理数，实数，立方根的概念，及垂线的性质．只要正确理解概念和垂线的性质不难得到正确答案．
8．D
【解析】试题解析：∵面积为3的正方形的边长为a，.
∴a=，.
故①a是有理数，错误；.
②a是无理数，正确；.
③a可以用数轴上的一个点来表示，正确；.
④1＜a＜2，正确，.
则说法正确的是：②③④．.
故选D．
9．① ③
【解析】分析： 根据实数的相关概念一一判断即可.
详解：①实数不是有理数就是无理数；正确，②无限不循环小数是无理数，故错误，③无理数都是无限小数；正确，④开方开不尽的数都是无理数；故错误，⑤两个无理数之和不一定是无理数；故错误，⑥所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示实数,故错误.
故答案为：① ③.
点睛：考查实数的相关概念.根据有理数，无理数的相关概念判断即可.
10．
【解析】分析：根据无理数的定义即可得出结论．
详解：∵1＜＜2，∴是大于而小于3的无理数．
故答案为：．
点睛：本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
11． π-2 -π-4
【解析】由于无理数就是无限不循环小数，而两个无理数的和为有理数，所以此无理数应为有理数与无理数相加的形式，如π-2、 -π-4.
故答案是：π-2、 -π-4.
12．2
【解析】试题解析： 是负有理数.
故答案为：
点睛：整数和分数统称为有理数.
虽然是负数，但是是无理数.
13．①②③④
【解析】关于“”的上述四个判断中：①“ 是无理数”是正确的；②“是实数”是正确的；③“ 是2的算术平方根”是正确的；④“1＜＜2”是正确的；即四种说法都是正确的，故正确的是：① ② ③ ④ .
14． -1 1 0 -5
【解析】解：最大的负整数是－1，最小的正整数是1，绝对值最小的实数是0，
∵43=64，53=125，∴-5＜＜－4，∴不超过的最大整数是-5．
故答案为：-1，1， 0，-5．
15．（1）；（2）0，1，理由见解析；（3）3，9
【解析】分析：（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
详解：（1）当x=16时，取算术平方根=4，不是无理数，
继续取算术平方根=2，不是无理数，
继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为；
（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）x的值不唯一．x=3或x=9．
点睛：本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．
16．无理数集合：{4.020020002…，…}；负有理数集合：{﹣7，﹣22，﹣2.55555…，…}；正分数集合：{，3.01，+10% …}；非负整数集合：{0，+9，…}．
【解析】根据无理数的意义（有理数是指有限小数或无限循环小数）填上即可；根据无理数的意义（无理数是指无限不循环小数）判断即可；分数包括有限小数和无限循环小数和分数）判断即可．
无理数集合：{4.020020002…，…}；
负有理数集合：{﹣7，﹣22，﹣2.55555…，…}；
正分数集合：{，3.01，+10% …}；
非负整数集合：{0，+9，…}．
“点睛”本题考查了对实数，无理数，有理数，分数的应用，注意：有理数是指有限小数或无限循环小数，无理数是指无限不循环小数，分数包括有限小数和无限循环小数和分数．
17．长、宽、高分别为15，12，9，不是无理数．
【解析】试题分析：
首先根据题中条件求出长方体的长、空、高的值，然后再根据无理数的定义判断这些值是否是无理数即可.
试题解析：
该长方体的长、宽、高不是无理数，理由如下：
设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x．由题意可得：
60x3=1620，
解得x=3，
∴该长方体的长、宽、高分别为15，12，9，
∵15，12，9都是整数，属于有理数，不属于无理数，
∴该长方体的长、宽、高不是无理数.
18．5.291.
【解析】试题分析：
（1）根据正方形的面积是边长的平方，可得该正方形的边长为米，化简可知边长不是有理数；
（2）把化简并按指定“精确度”取近似值可得答案.
试题解析：
（1）由题意可得正方形边长为： ，这个正方形客厅的边长x不是有理数；
（2）由（1）可得这个正方形边长x的最大取值为： .
19．(1)a＝2，b＝－3
(2) －
【解析】试题分析：（1）a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．即可确定；
（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0即可求解．
试题解析：：（1）2，-3；
（2）整理，得（a+b）+（2a-b-5）=0．
∵a、b为有理数，
∴
解得
∴a+2b=-．
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11.2.1无理数、实数
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．下列各数中，能化为无限不循环小数的是( )
A. B. C. D.
2．下列各数是无理数的是（ ）
A. 1 B. ﹣0.6 C. ﹣6 D. π
3．下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4．下列命题中正确的是（ ）
A. 有理数是有限小数 B. 无限小数是无理数
C. 数轴上的点与有理数一一对应 D. 数轴上的点与实数一一对应
5．下列数中，不是分数的是( )
A. B. C. D.
6．小聪同学对所学的部分知识进行分类，其中分类有错误的是（ ）．
A. B. C. D.
7．下列结论中正确的个数为
开方开不尽的数是无理数．
数轴上的每一个点都表示一个实数；
无理数就是带根号的数；
负数没有立方根；
垂线段最短．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8．设面积为3的正方形的边长为．下列关于的四种说法：①是有理数；②是无理数；③可以用数轴上的一个点来表示；④ 1＜＜2．其中说法正确的是( )
A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题
9．在下列语句中:①实数不是有理数就是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④根号的数都是无理数；⑤两个无理数之和一定是无理数；⑥所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数.正确的是_______(填序号).
10．写出一个大于而小于3的无理数______ ．
11．试写出两个无理数 ______ 和 ______ ，使它们的和为-6．
12．下列各数中： 、、、、、，负有理数有________个.
13．给出下列关于的判断：①是无理数；②是实数；③是2的算术平方根；④1＜＜2．其中正确的是__________(请填序号).
14．最大的负整数是_________，最小的正整数是_________，绝对值最小的实数是_______，不超过的最大整数是__________.
三、解答题
15．一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
16．将下列各数填入相应的集合中：﹣7，0， ，﹣22，﹣2.55555…，3.01，+9，4.020020002…，+10%， ．
无理数集合： { …}；
负有理数集合：{ …}；
正分数集合： { …}；
非负整数集合：{ …}．
17．已知长方体的体积是1620，它的长、宽、高的比是5：4：3，问长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？
18．国涛同学家的客厅是面积为28平方米的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是有理数？如果误差要求小于0.01米，那么边长x的最大取值是多少（精确到0.001）？
19．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax＋b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a－2）＋b＋3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝______________；
（2）如果（2＋）a－（1－）b＝5，其中a、b为有理数，求a＋2b的值．
参考答案
1．D
【解析】A.属于无限循环小数；B. 属于有限小数；C. 属于无限循环小数；D.属于无限不循环小数.故选：D
2．D
【解析】分析：
详解：A、1是整数，为有理数；
B、﹣0.6是有限小数，即分数，属于有理数；
C、﹣6是整数，属于有理数；
D、π是无理数；
故选：D．
点睛：本题主要考查的是无理数的定义，熟练掌握无理数的三种常见类型是解题的关键．
3．C
【解析】分析：根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.
详解：是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，
所以无理数有2个，
故选C.
点睛：本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等.
4．D
【解析】分析：A、根据有理数的定义即可判定；
B、根据无理数的定义即可判定；
C、D、根据数轴与实数的对应关系即可判定．
详解：A、有限小数是有理数，故本选项错误；
B、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故本选项错误；
C、数轴上的点与实数一一对应，故本选项错误；
D、数轴上的点与实数一一对应，故本选项正确．
故选：D．
点睛：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、定理与性质．
5．A
【解析】选项A,是无理数，不是分数.
选项B,是分数.
选项C, =，是分数.
选项D, . 是分数.
所以选A.
6．A
【解析】整数分为正整数，0，负整数，
实数分为有理数和无理数，
整式分为单项式和多项式，
有理数分为整数，分数，
故选A．
7．C
【解析】分析：根据无理数的定义、实数的性质、立方根的定义，垂线的性质解答即可．
详解：根据无理数的定义，（1）正确，（3）不正确；
由实数与数轴上的点一一对应，（2）正确；
由立方根的性质，（4）不正确；
由垂线的性质，（5）正确；
故选C．
点睛：本试题考查无理数，实数，立方根的概念，及垂线的性质．只要正确理解概念和垂线的性质不难得到正确答案．
8．D
【解析】试题解析：∵面积为3的正方形的边长为a，.
∴a=，.
故①a是有理数，错误；.
②a是无理数，正确；.
③a可以用数轴上的一个点来表示，正确；.
④1＜a＜2，正确，.
则说法正确的是：②③④．.
故选D．
9．① ③
【解析】分析： 根据实数的相关概念一一判断即可.
详解：①实数不是有理数就是无理数；正确，②无限不循环小数是无理数，故错误，③无理数都是无限小数；正确，④开方开不尽的数都是无理数；故错误，⑤两个无理数之和不一定是无理数；故错误，⑥所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示实数,故错误.
故答案为：① ③.
点睛：考查实数的相关概念.根据有理数，无理数的相关概念判断即可.
10．
【解析】分析：根据无理数的定义即可得出结论．
详解：∵1＜＜2，∴是大于而小于3的无理数．
故答案为：．
点睛：本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
11． π-2 -π-4
【解析】由于无理数就是无限不循环小数，而两个无理数的和为有理数，所以此无理数应为有理数与无理数相加的形式，如π-2、 -π-4.
故答案是：π-2、 -π-4.
12．2
【解析】试题解析： 是负有理数.
故答案为：
点睛：整数和分数统称为有理数.
虽然是负数，但是是无理数.
13．①②③④
【解析】关于“”的上述四个判断中：①“ 是无理数”是正确的；②“是实数”是正确的；③“ 是2的算术平方根”是正确的；④“1＜＜2”是正确的；即四种说法都是正确的，故正确的是：① ② ③ ④ .
14． -1 1 0 -5
【解析】解：最大的负整数是－1，最小的正整数是1，绝对值最小的实数是0，
∵43=64，53=125，∴-5＜＜－4，∴不超过的最大整数是-5．
故答案为：-1，1， 0，-5．
15．（1）；（2）0，1，理由见解析；（3）3，9
【解析】分析：（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
详解：（1）当x=16时，取算术平方根=4，不是无理数，
继续取算术平方根=2，不是无理数，
继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为；
（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）x的值不唯一．x=3或x=9．
点睛：本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．
16．无理数集合：{4.020020002…，…}；负有理数集合：{﹣7，﹣22，﹣2.55555…，…}；正分数集合：{，3.01，+10% …}；非负整数集合：{0，+9，…}．
【解析】根据无理数的意义（有理数是指有限小数或无限循环小数）填上即可；根据无理数的意义（无理数是指无限不循环小数）判断即可；分数包括有限小数和无限循环小数和分数）判断即可．
无理数集合：{4.020020002…，…}；
负有理数集合：{﹣7，﹣22，﹣2.55555…，…}；
正分数集合：{，3.01，+10% …}；
非负整数集合：{0，+9，…}．
“点睛”本题考查了对实数，无理数，有理数，分数的应用，注意：有理数是指有限小数或无限循环小数，无理数是指无限不循环小数，分数包括有限小数和无限循环小数和分数．
17．长、宽、高分别为15，12，9，不是无理数．
【解析】试题分析：
首先根据题中条件求出长方体的长、空、高的值，然后再根据无理数的定义判断这些值是否是无理数即可.
试题解析：
该长方体的长、宽、高不是无理数，理由如下：
设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x．由题意可得：
60x3=1620，
解得x=3，
∴该长方体的长、宽、高分别为15，12，9，
∵15，12，9都是整数，属于有理数，不属于无理数，
∴该长方体的长、宽、高不是无理数.
18．5.291.
【解析】试题分析：
（1）根据正方形的面积是边长的平方，可得该正方形的边长为米，化简可知边长不是有理数；
（2）把化简并按指定“精确度”取近似值可得答案.
试题解析：
（1）由题意可得正方形边长为： ，这个正方形客厅的边长x不是有理数；
（2）由（1）可得这个正方形边长x的最大取值为： .
19．(1)a＝2，b＝－3
(2) －
【解析】试题分析：（1）a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．即可确定；
（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0即可求解．
试题解析：：（1）2，-3；
（2）整理，得（a+b）+（2a-b-5）=0．
∵a、b为有理数，
∴
解得
∴a+2b=-．
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