5.2 1. 平行线
一、选择题
1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
2．下列表示方法正确的是( )
A．a∥A B．AB∥cd C．A∥B D．a∥b
3．P，Q都是直线l外的点，下列说法正确的是( )
A．连结PQ，则PQ一定与直线l垂直
B．连结PQ，则PQ一定与直线l平行
C．连结PQ，则PQ一定与直线l相交
D．过点P只能画一条直线与直线l平行
4．如图K－49－1所示，将一张长方形纸片对折三次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是( )
图K－49－1
A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．无法确定
5．已知直线m及一点P，若过点P 作一直线与m平行，那么这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．不存在或只有一条
6．小明与小刚就作直线的垂线与平行线讨论时有如下对话：
小明：过一点A，有且只有一条直线与已知直线m平行；小刚：过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直．你认为他们的说法谁是正确的？( )
A．小明 B．小刚 C．都正确 D．都不正确
7．在同一平面内，下列判断：①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线有且只有一个公共点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．在同一平面内，与已知直线a平行的直线有_______________________条，而经过直线a外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有________条．
9．同一平面内有三条直线，如果其中只有两条直线平行，那么它们有________个交点．
10．如图K－49－2，在4×6的网格中，点A，B，C，D，E，F都在格点上，连结C，D，E，F中任意两点得到的所有线段中，与线段AB平行的线段是________．
图K－49－2
11．同一平面内的三条直线最多可将平面划分成________个部分，最少可将平面划分成________个部分．
12．如图K－49－3所示是一个长方体，用平行或垂直符号表示下列两棱的位置关系：AB________A1B1，AD______BC，AA1______A1B1，CC1________C1D1.
图K－49－3
13．如图K－49－4，图中不相交的线都是平行的，则此图中共有________组平行线段．
图K－49－4
三、解答题
14．在如图K－49－5所示的图形中，过点M作PQ∥AB.
图K－49－5
15．如图K－49－6，直线l1∥l2，l3与l1，l2都相交，分别按下列要求画直线l4，并回答相应的问题(在横线上填上答案即可)．
图K－49－6
(1)在图①中画直线l4，使l4∥l1，且图中增加1个交点，则图中的同位角有________对；
(2)在图②中画直线l4，使l4∥l3，且图中增加2个交点，则图中的内错角有________对；
(3)在图③中画直线l4，使l4与l1，l3都不平行，且图中增加3个交点，则图中的同旁内角有________对．
16．按要求画图．
(1)点A，B在直线a上，点C在直线a外，画直线AC，再过点B画直线BD，使BD∥AC；
(2)画∠AOB的平分线OC，在OC上取一点P，过点P画PE∥OA，交OB于点E，过点P画PF∥OB，交OA于点F；
(3)画直线l1∥l2，直线l3⊥l1于点M，交l2于点N.
17．在“武广高铁”的修建中，铁路路基要通过一平地上的点E，如图K－49－7，AB，CD是一河流的两岸，并且AB∥CD，E为直线AB外一点，现在要使铁路路基过点E且与岸CD平行．建筑工人在修建时过点E，修建路基EF，使EF∥AB，请说明这种作法的理由.
图K－49－7
1．C
2．D
3．D ．
4．C
5．D
6．B
7． B
8．无数 一
9．2 10.DF
11．7 4
12．∥ ∥ ⊥ ⊥
13． 9
14．解：如图所示．
15．解：(1)l4如图①.12
(2)l4如图②.8
(3)l4如图③.16
16．略
17．解：因为EF∥AB，AB∥CD，所以EF∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
5.2 2. 平行线的判定
一、选择题
1．2017·山西 如图K－50－1，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是( )
图K－50－1
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180° C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
2．如图K－50－2，下列说法正确的是( )
图K－50－2
A．因为∠2＝∠4，所以AD∥BC
B．因为∠BAD＋∠D＝180°，所以AD∥BC
C．因为∠1＝∠3，所以AD∥BC
D．因为∠BAD＋∠B＝180°，所以AB∥CD
3．如图K－50－3，能判定EB∥AC的条件是( )
图K－50－3
A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBA
C．∠C＋∠ABC＝180° D．∠A＋∠DBA＝180°
4．如图K－50－4，下列能判定AB∥CD的条件有( )
(1)∠B＋∠BCD＝180°；(2)∠1＝∠2；(3)∠3＝∠4；(4)∠B＝∠5.
图K－50－4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图K－50－5，∠A＝70°，O是AB上一点，∠BOD＝82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转( )
图K－50－5
A．8° B．10° C．12° D．18°
6．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定两条边a，b互相平行的是( )
图K－50－6
A．如图①，展开后测得∠1＝∠2
B．如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图③，测得∠1＝∠2
D．如图④，展开后测得∠1＋∠2＝180°
二、填空题
7．把含30°角的三角尺按图K－50－7所示放置，要使AC∥BD，则∠DBC＝______°.
图K－50－7
8．如图K－50－8，如果∠1＝65°，∠C＝65°，∠D＝120°，那么平行的直线是______________(用平行符号表示)．
图K－50－8
9．如图K－50－9，小明利用两块相同的三角尺分别沿三角尺的边缘画两平行直线AB和CD，这是根据____________，两直线平行．
图K－50－9
10．如图K－50－10所示，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线是否平行．______(填“是”或“否”).
图K－50－10
11．如图K－50－11，要判定DE∥BC，
图K－50－11
(1)有三条截线可以考虑，它们分别是AB，________和________；
(2)当考虑截线AB时，只需同位角∠ADE与________相等，或同旁内角________与∠B互补，就能判定DE∥BC.
三、解答题
12．如图K－50－12，已知∠1＝∠A，∠2＝∠B，试说明MN∥EF.请完善解答过程，并在括号内填上相应依据．
图K－50－12
解：∵∠1＝∠A(已知)，
∴______∥______()．
∵∠2＝∠B(已知)，
∴______∥______()，
∴MN∥EF()．
13．如图K－50－13是一个“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．
图K－50－13
14．如图K－50－14，直线AB过点C，∠2＝80°，∠D＝50°，∠1＝∠3，AB∥DE吗？为什么？
图K－50－14
15．如图K－50－15所示，已知EF⊥PQ，GM⊥PQ，垂足分别为E，G，∠1＝35°，∠2＝35°，EF与GM平行吗？AB与CD平行吗？为什么？
图K－50－15
1．D
2．C
3．B
4．C
5．C
6． C
7．60 .
8．AB∥CD 9.内错角相等
10．是
11． (1)AC DC
(2)∠B ∠BDE
12．MN AB 内错角相等，两直线平行
EF AB 同位角相等，两直线平行
平行于同一条直线的两直线平行
13．解：OA∥BC，OB∥AC.
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，∴OB∥AC.
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2＋∠3＝180°，∴OA∥BC.
14．解：AB∥DE.理由如下：
∵∠2＝80°，∠1＝∠3(已知)，
∠1＋∠2＋∠3＝180°(平角的定义)，
∴∠1＝∠3＝50°.
又∵∠D＝50°(已知)，
∴∠1＝∠D(等量代换)，
∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)．
15．解：EF∥GM，AB∥CD.理由：
∵EF⊥PQ，GM⊥PQ，
∴∠FEP＝∠MGE＝90°，
∴EF∥GM.
又∵∠1＝∠2，
∴∠FEP－∠1＝∠MGE－∠2，
即∠AEP＝∠CGE，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
5.2 3. 平行线的性质
一、选择题
1．2017·海南 如图K－51－1，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠1的度数为( )
图K－51－1
A．45° B．60° C．90° D．120°
2．如图K－51－2，已知∠1＝60°，CD∥BE，那么∠B的度数为( )
图K－51－2
A．70° B．100° C．110° D．120°
3．如图K－51－3，把一块含有30°角的三角尺的两个顶点放在一把直尺的对边上．如果∠1＝25°，那么∠2的度数为( )
图K－51－3
A．25° B．35° C．45° D．55°
4．如图K－51－4，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D.若∠CDE＝150°，则∠C的度数为( )
图K－51－4
A．150° B．130° C．120° D．100°
5．如图K－51－5，AB∥CD，BC平分∠ABD，已知∠C＝50°，则∠D的度数为( )
图K－51－5
A．85° B．80° C．65° D．60°
6．如图K－51－6，把长方形纸片ABCD沿EF对折后使两部分重合．若∠1＝50°，则∠AEF的度数为( )
图K－51－6
A．110° B．115° C．120° D．130°
7．如图K－51－7，AB∥EF，CD⊥EF于点D.若∠ABC＝40°，则∠BCD等于( )
图K－51－7
A．140° B．130° C．120° D．110°
二、填空题
8．如图K－51－8，直线CD∥EF，直线AB与CD，EF分别相交于点M，N.若∠1＝30°，则∠2＝________°.
图K－51－8
9．如图K－51－9，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E.若∠1＝64°，则∠2＝________°.
图K－51－9
10. 如图K－51－10所示，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AM⊥b，垂足为M.若∠1＝58°，则∠2＝ ________°.
图K－51－10
11．把一张宽度相等的纸条按如图K－51－11所示的方式折叠，则∠1＝________°.
图K－51－11
12．如图K－51－12，在△ABC中，∠C＝90°.若BD∥AE，∠DBC＝22°，则∠CAE的度数是________．
图K－51－12
三、解答题
13．如图K－51－13，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，试说明：∠C＝∠D.请补充说明过程，并在括号内填上相应理由．
图K－51－13
解：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(____________)，
∴∠2＝∠3(__________)，
∴BD∥________(____________________________)，
∴∠FEM＝∠D(________________________)．
∵∠A＝∠F(已知)，
∴AC∥________(______________________)，
∴∠C＝∠FEM(___________________________________)．
又∵∠FEM＝∠D(已证)，
∴∠C＝∠D(等量代换)．
14．如图K－51－14，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．
图K－51－14
15．如图K－51－15，已知AB∥CE，∠A＝∠E.试说明：∠CGD＝∠FHB.
图K－51－15
16．如图K－51－16所示，在△ABC中，∠1∶∠2∶∠3＝2∶3∶4，DE∥AB.若∠C＝40°，求∠A和∠B的度数．
图K－51－16
17．在三角形中，每两边所组成的角叫三角形的内角，如图K－51－17，在三角形ABC中，∠A，∠B和∠C是它的三个内角．在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法说明“三角形的内角和等于180°”．
已知三角形ABC，试说明∠A＋∠B＋∠C＝180°.
图K－51－17
1．C
2．D
3．B .
4．C .
5．B .
6．B
7． B .
8．30
9．122 .
10．32
11．65 12．68°
13．对顶角相等 等量代换 CE 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 DF 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
14．解：因为∠1＝∠2，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，所以∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等)，所以∠4＝75°.
15．解：∵AB∥CE，
∴∠E＝∠BFH.
∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠BFH，
∴AD∥EF，
∴∠CGD＝∠EHC.
又∵∠FHB＝∠EHC，
∴∠CGD＝∠FHB.
16．解：因为∠1∶∠2∶∠3＝2∶3∶4，
且∠1＋∠2＋∠3＝180°，
所以∠1＝180°×＝40°，∠2＝180°×＝60°，∠3＝180°×＝80°.
又因为∠C＝40°，
所以∠1＝∠C，
所以EF∥BC(同位角相等，两直线平行)，
所以∠2＝∠EDC(两直线平行，内错角相等)，
所以∠EDC＝60°.
因为DE∥AB，所以∠A＝∠3＝80°，
∠B＝∠EDC＝60°(两直线平行，同位角相等)．
17．作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，如图所示．
因为CE∥AB(已作)，所以∠A＝∠ACE(两直线平行，内错角相等)，∠B＝∠ECD(两直线平行，同位角相等)．又因为∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°(平角的定义)，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
