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实际问题与二次函数
【经典例题】
知识点一 利用二次函数求最大利润问题
【例1】名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx＋b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：
解得
所以y与x的函数解析式为y＝－x＋40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知， W＝(x－10)y
＝(x－10)(－x＋40)
＝
＝
∵a＝－1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
知识点二 建立坐标系求解实际问题
【例2】一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为 2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）一辆货车高4m，宽4m，能否从该隧道内通过，为什么？
【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令y＝4，解出x与2作比较．
【解答】（1）解：设抛物线的解析式为
∵顶点（4，6），
∴
∵它过点（0，2），
∴
解得
∴设抛物线的解析式为
（2）当x＝2时，y＝5＞4，
∴该货车能通过隧道．
知识点三 利用二次函数求图形面积的最值问题
【例3】某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得方程求解即可；
（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质求解即可。
【解答】（1）根据题意得：(30－2x)x＝72，
解得：x＝3或x＝12，
∵30－2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）设苗圃园的面积为y，
∴
∵a＝－2＜0，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∴当时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大＝112.5平方米；
∵6≤x≤11，
∴当x＝11时，y最小＝88平方米．
知识点四 利用二次函数求解跳水、投篮等实际问题
【例4】2017—2018赛季中国男子篮球职业联赛季后赛正如火如荼的进行．在浙江广厦队与深圳马可波罗对的一场比赛中，广厦队员福特森在距篮下4米处跳起投篮，篮球准确落入篮圈．已知篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2）已知福特森身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【分析】（1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得
【解答】解：（1）根据题意知抛物线的顶点坐标为（0，3.5），且过点（1.5，3.05），
设抛物线解析式为将（1.5，3.05）代入，得：a＝－0.2，
则抛物线解析式为
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
∵
而球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m
∴
∴h＝0.2．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
【知识巩固】
1. 某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（ ）
A．60元 B．70元 C．80元 D．90元
2. 如图，抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为( )
A. B. C. D.
3. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t－5t2，汽车刹车后停下来前进的距离是（ ）
A．10m B．20m C．30m D．40m
4. 如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（ ）
A．比开始高0.8m B．比开始高0.4m C．比开始低0.8m D．比开始低0.4m
5. 如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
【培优特训】
6. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m D．火箭升空的最大高度为145m
7. 一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（ ）
A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm
8. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律计算，每件商品降价__________元时，商场日盈利最多．
9. 某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
10. 座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是的形式．请根据所给的数据求出a，c的值．
（2）求支柱MN的长度．
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【中考链接】
11. 如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是( )
12. 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是_________m。
13. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
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实际问题与二次函数
【经典例题】
知识点一 利用二次函数求最大利润问题
【例1】名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx＋b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：
解得
所以y与x的函数解析式为y＝－x＋40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知， W＝(x－10)y
＝(x－10)(－x＋40)
＝
＝
∵a＝－1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
知识点二 建立坐标系求解实际问题
【例2】一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为 2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）一辆货车高4m，宽4m，能否从该隧道内通过，为什么？
【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令y＝4，解出x与2作比较．
【解答】（1）解：设抛物线的解析式为
∵顶点（4，6），
∴
∵它过点（0，2），
∴
解得
∴设抛物线的解析式为
（2）当x＝2时，y＝5＞4，
∴该货车能通过隧道．
知识点三 利用二次函数求图形面积的最值问题
【例3】某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得方程求解即可；
（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质求解即可。
【解答】（1）根据题意得：(30－2x)x＝72，
解得：x＝3或x＝12，
∵30－2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）设苗圃园的面积为y，
∴
∵a＝－2＜0，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∴当时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大＝112.5平方米；
∵6≤x≤11，
∴当x＝11时，y最小＝88平方米．
知识点四 利用二次函数求解跳水、投篮等实际问题
【例4】2017—2018赛季中国男子篮球职业联赛季后赛正如火如荼的进行．在浙江广厦队与深圳马可波罗对的一场比赛中，广厦队员福特森在距篮下4米处跳起投篮，篮球准确落入篮圈．已知篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2）已知福特森身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【分析】（1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得
【解答】解：（1）根据题意知抛物线的顶点坐标为（0，3.5），且过点（1.5，3.05），
设抛物线解析式为将（1.5，3.05）代入，得：a＝－0.2，
则抛物线解析式为
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
∵
而球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m
∴
∴h＝0.2．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
【知识巩固】
1. 某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（ ）
A．60元 B．70元 C．80元 D．90元
【解答】设销售该商品每月所获总利润为w，
则w＝(x－50)(－4x＋440)
＝－4x2＋640x－22000
＝－4(x－80)2＋3600，
∴当x＝80时，w取得最大值，最大值为3600，
即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，
故选：C．
2. 如图，抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为( )
A. B. C. D.
【解答】建立如图所示直角坐标系：
可设这条抛物线为
把点（2，－2）代入，得
解得：
∴
当y＝－3时，
解得
∴水面下降1m，水面宽度为
故选：A
3. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t－5t2，汽车刹车后停下来前进的距离是（ ）
A．10m B．20m C．30m D．40m
【解答】∵
∴汽车刹车后到停下来前进了20m．
故选：B
4. 如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（ ）
A．比开始高0.8m B．比开始高0.4m C．比开始低0.8m D．比开始低0.4m
【解答】由题意可得，
运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样，
∴运动员出手的位置距地面的高度为3m，
∵3－2.2＝0.8，
∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8m，
故选：A．
5. 如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
【解答】设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18，
故选：C
【培优特训】
6. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m D．火箭升空的最大高度为145m
【解答】A、当t＝9时，h＝136；当t＝13时，h＝144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t＝24时h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t＝10时h＝141m，此选项错误；
D、由知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
故选：D．
7. 一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（ ）
A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm
【解答】如图，设BE＝CF＝x，则EF＝80－2x，
∵△EFM和△CFN都是等腰直角三角形，
∴
∴包装盒的侧面积＝4MF·FN＝
当x＝20时，包装盒的侧面积最大．
故选：C
8. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律计算，每件商品降价__________元时，商场日盈利最多．
【解答】设每件商品降价x元，所获利润为y，
则 y＝(50－x)(30＋2x)
＝－2x2＋70x＋1500
＝－2（x－17.5）2＋2112.5，
∴当x＝17.5时，W取得最大值，最大值为2112.5，
即每件商品降价17.5元时，商场日盈利达到最大，是2112.5元．
故答案为：17.5．
9. 某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【解答】（1）当50≤x≤80时，y＝210－(x－50)，即y＝260－x，
当80＜x＜140时，y＝210－(80－50)－3(x－80)，即y＝420－3x．
则
（2）当50≤x≤80时，w＝－x2＋300x－10400＝－(x－150)2＋12100，
当x＜150时，w随x增大而增大，
则当x＝80时，w最大＝7200；
当80＜x≤140时，w＝－3x2＋540x－16800＝－3(x－90)2＋7500，
当x＝90时，w最大＝7500，
∴x＝90时，W有最大值7500元，
答：每件商品的售价定为90元时，每个月可获得最大利润是7500元．
10. 座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是的形式．请根据所给的数据求出a，c的值．
（2）求支柱MN的长度．
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【解答】（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(－10，0)、(10，0)、(0，6)
将B、C的坐标代入，可得
解得，c＝6
∴抛物线的表达式是
（2）可设N（5，），于是
从而支柱MN的长度是10－4.5＝5.5米；
（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是（7，0），
（7＝2÷2＋2×3）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车
【中考链接】
11. 如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是( )
【解答】∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE＝BF＝CG＝DH，
∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
设AE为x，则AH＝1－x，根据勾股定理，得
即
∴所求函数是一个开口向上，
对称轴是直线
∴自变量的取值范围是大于0小于1．
故选：B
12. 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是_________m。
【解答】由题意得：t＝4时，h＝0，
因此0＝16a＋19.6×4，
解得：a＝－4.9，
∴函数关系为
足球距地面的最大高度是：
13. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【解答】（1）∵AB＝x，则BC＝(28－x)，
∴x(28－x)＝192，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：x的值为12或16；
（2）∵AB＝xm，
∴BC＝28－x，
∴S＝x(28－x)＝－x2+28x＝－(x－14)2＋196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28－15＝13，
∴6≤x≤13，
∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝－(13－14)2＋196＝195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
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